俗话说，磨刀不误砍柴工。高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？下面是小编帮大家编辑的《高三数学理科复习：函数解析式》，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

高三数学理科复习3----函数解析式
【高考要求】：函数的有关概念(B).
【教学目标】：1.理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法）,会选择恰当的方法表示简单情境中的函数.
2.了解简单的分段函数；能写出简单情境中的分段函数,并能求出给定自变量所对应的函数值,会画函数的图象（不要求根据函数值求自变量的范围）.
【教学重难点】：求函数解析式的方法.
【知识复习与自学质疑】
1、已知则____.._____..=.
2、设则的表达式为.
3、函数，则.
4、若，则.
5、设，则.
6、对记，则的最小值为.
【交流展示与互动探究】
1、已知，求的解析式.

2、设二次函数的最小值为4，且求的解析式.

3、如图，是边长为2的正三角形，设直线截这个三角形所得到的位于此直线上方的图形（阴影部分）的面积为，求的解析式.

【矫正反馈】
1、若则..
2、已知则的解析式为.
3、设函数的图像与的图像关于轴对称，则=.
4、一次函数在上的最小值为1，最大值为3，则的解析式为.
5、设，则的解析式为.
【迁移应用】
6、某超市经销某种牙膏，其年销售额为6000盒，每盒进价2.8元，销售价3.4元，全年分若干次进货，每次进货均为盒，已知每次运输劳务费62.5元，全年的保管费元
（1）把该超市经销牙膏一年的利润元表示为每次进货是的函数.
（2）为使利润最大，每次应进多少盒？

7、已知函数有两个实根，求的解析式.

8、已知定义域为R的函数满足
（1）若求又若.
（2）设有且仅有一个实数求的解析式.

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第十三章统计案例

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考试要求重难点击命题展望
1.理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法.
2.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、茎叶图，理解它们各自的特点，理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
3.会作两个有关联变量的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.本章重点：1.三种抽样方法的区别、联系及操作步骤.2.样本频率分布直方图和茎叶图.3.用样本估计总体的思想.
本章难点：回归直线方程与独立性检验.统计多数以选择题和填空题形式考查，大题只在个别省的考题中出现过.难度属于基础题和中档题.考点往往集中体现在抽样方法、频率分布图表这两个方面.另外，应注意统计题反映出来的综合性与应用性，如与数列、概率等的综合，用统计方法提供决策、制定方案等，以此考查学生搜集处理信息及分析解决问题的能力.
知识网络
13.1抽样方法与用样本估计总体

典例精析
题型一抽样方法
【例1】某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生抽取的人数为80人，则n的值为.
【解析】根据分层抽样的意义，
n200＋1200＋1000＝801000，解得n＝192.
【点拨】现实中正确的分层抽样一般有三个步骤：首先，辨明突出的统计特征和分类.其次，确定每个分层在总体上的比例.利用这个比例，可计算出样本中每组(层)应抽取的人数.最后，必须从每层中抽取独立简单随机样本.
【变式训练1】从某厂生产的802辆轿车中随机抽取80辆测试某项性能.请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.
【解析】第一步，将802辆轿车用随机方式编号.
第二步，从总体中剔除2辆(剔除方法可用随机数表法)，将剩余的800辆轿车重新编号(分别为001,002,003，…，800)，并分成80段.
第三步，在第一段001,002，…，010这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如005)作为起始号码.
第四步，将编号为005,015,025，…，795的个体抽出，组成样本.
题型二频率分布直方图
【例2】(2010湖南)如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
【解析】(1)依题意及频率分布直方图知0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知X～B(3,0.1)，因此
P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001，
故随机变量X的分布列为
X0123
P0.7290.2430.0270.001
X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3.
(或E(X)＝1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3)
【点拨】从频率分布直方图读取数据时，要特别重视组距，纵坐标是频率除以组距，故长方形的面积之和为1.
【变式训练2】如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据数据填空：
(1)样本数据落在[10,14)内的频数为；
(2)样本数据落在[6,10)内的频率为；
(3)总体落在[2,6)内的频率为.
【解析】(1)样本落在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36.
(2)样本落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32.
(3)样本落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08，所以总体落在[2,6)内的频率约为0.08.
题型三平均数、方差的计算
【例3】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下：
甲47109568688
乙7868678759
试问谁10次射靶的情况较稳定？
【解析】本题要计算两样本的方差，当样本平均数不是整数，且样本数据不大时，可用简化公式计算方差.
＝110(4＋7＋…＋8)＝7.1，
＝110(7＋8＋…＋9)＝7.1，
s2甲＝110(42＋72＋…＋82－10×7.12)＝3.09，
s2乙＝110(72＋82＋…＋92－10×7.12)＝1.29，
因为s2甲＞s2乙，所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定.
【点拨】平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
【变式训练3】(2010北京市东城区)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如右图.
(1)计算此样本的平均成绩及方差；
(2)现从此样本中随机抽出2名学生的成绩，设抽出分数为90分以上的人数为X，求随机变量X的分布列和均值.
【解析】(1)样本的平均成绩＝80；
方差为s2＝110[(92－80)2＋(98－80)2＋(98－80)2＋(85－80)2＋(85－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝175.
(2)由题意，随机变量X＝0,1,2.
P(X＝0)＝C27C210＝715，P(X＝1)＝C13C17C210＝715，P(X＝2)＝115.
随机变量X的分布列为
X012
P
E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.
总结提高
1.统计的基本思想是用样本估计总体.这就要求样本具有很好的代表性，而样本良好客观的代表性，则完全依赖抽样方法.
2.三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础，它们的共同点都是等概率抽样.适用范围不同，要根据总体的具体情况选用不同的方法.
3.对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计.
4.用样本估计总体，一般分成以下几个步骤：
先求样本数据中的最大值和最小值(称为极值)，再确定合适的组数和组距，确定分点(每个分点只属于一组，故一般采用半开半闭区间)，然后列出频率分布表(准确，查数据容易)，画频率分布直方图.

13.2两变量间的相关性、回归分析和独立性检验

典例精析
题型一求回归直线方程
【例1】下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用(万元)的几组统计数据：
x23456
y2.23.85.56.57.0
(1)若y对x呈线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程y＝x＋；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
【解析】(1)因为xiyi＝112.3，x2i＝4＋9＋16＋25＋36＝90，且＝4，＝5，n＝5，
所以＝112.3－5×4×590－5×16＝12.310＝1.23，＝5－1.23×4＝0.08，
所以回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，
所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元.
【点拨】当x与y呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归直线方程进行计算和预测.
【变式训练1】某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据.
x3456
y2.5344.5
据相关性检验，y与x具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么y关于x的回归直线方程是.
【解析】先求得＝4.5，＝3.5，由＝0.7x＋a过点(，)，则a＝0.35，所以回归直线方程是＝0.7x＋0.35.
题型二独立性检验
【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：
种子灭菌种子未灭菌合计
黑穗病26184210
无黑穗病50200250
合计76384460
试按照原试验目的作统计分析推断.
【解析】由列联表得：
a＝26，b＝184，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460.
所以K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804，
由于K2≈4.804＞3.841，
所以有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的.
【变式训练2】(2010东北三省三校模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
超重不超重合计
偏高415
不偏高31215
合计71320
附：独立性检验临界值表
P(K2≥k0)0.0250.0100.0050.001
k05.0246.6357.87910.828
(独立性检验随机变量K2值的计算公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))
【解析】由表可得a＋b＝5，c＋d＝15，a＋c＝7，b＋d＝13，ad＝48，bc＝3，n＝20，运用独立性检验随机变量K2值的计算公式得K2＝20×(48－3)25×15×7×13＝54091≈5.934，
由于K2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
总结提高
1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.
2.样本的随机性导致由线性回归方程所作出的预报也具有随机性.

高三数学理科复习：等差、等比数列的运用

高三数学理科复习23——等差、等比数列的运用
【高考要求】：等差数列（C）；等比数列（C）.
【教学目标】：能运用等差等比数列的通项公式、前n项和的公式解决一些简单问题.
【教学重难点】：等差等比数列的应用.
【知识复习与自学质疑】
1、三个数成等差数列，成等比数列，则.
2、下列判断是否正确：
（1）若成等比数列，则也成等比数列.
（2）若成等差数列，则也成等差数列.
（3）数列是公差不为0的等差数列，则数列中一定不会有.
（4）数列的前n项的和为，且，则数列为等差或等比数列
（5）已知数列为等差数列，它的前n项的和为，则使取最大值的n可由不等式组来确定.
（6）是项数相等的等差数列，则数列（其中p，q为常数）也是等差数列.
（7）是项数相等的等比数列，则数列不一定是等比数列.
（8）若数列是等比数列，，则数列不是等比数列.
3、已知数列为等差数列，它的前n项的和为，则数列是数列，数列是数列；若数列是每项都是正数的等比数列，则数列是数列.
4、一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，则这些直线上夹在两腰之间的线段的长度之和为______.
5、定义一种运算“”，对于正整数满足以下的运算性质：
（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=3(n*1).则n*1用含有n的代数式可以表示为__________________.

【例题精讲】
例1、已知等比数列的首项，公比.设数列的通项为.把数列与的前n项和分别记为与，试比较与的大小.

例2、在等差数列中，，前n项和为，且.问：n为何值时，最大？

例3（1）设等比数列的前n项的和为，求证：.
（2）已知数列为等比数列，.设是数列的前n项和，证明.

例4、设各项均为正数的数列和满足成等比数列，成等差数列且，求通项.
【矫正反馈】
1、已知正数等比数列.若，则公比q的取值范围是__________________.
2、设等差数列的前n项之和为，若，则当n=___________时，取得最大值.
3、等差数列的前n项和为，且，则=.
4、若数列是公差d不为0的等差数列，则与的大小关系为_______________.
5、在1与2之间插入5个正数，使这7个数成等比数列，则插入的5个数的积是____________.
6、设等差数列中，，且从第5项开始是正数，则公差的取值范围是____________.
7、某人2002年7月1日在银行存入一年期定期存款a元，以后每年7月1日到银行将厡存款的本金与利息转为新的一年定期存款，并再新存入一年期定期存款a元，若年利率为r保持不变，到2007年7月1日，将所有的存款与利息全部取回，他可取回多少元？

【迁移应用】
8、设等差数列的前n项之和为
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出中哪个值最大，并说明理由.
9、已知数列为等差数列，公差中的部分项组成的数列恰为等比数列，其中.
（1）求；（2）求数列的前n项的和.

高考数学理科一轮复习任意角的三角函数学案

第四章三角函数与三角恒等变换
学案17任意角的三角函数
导学目标：1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
自主梳理
1．任意角的概念
角可以看成平面内一条射线OA绕着端点从一个位置旋转到另一个位置OB所成的图形．旋转开始时的射线OA叫做角的________，射线的端点O叫做角的________，旋转终止位置的射线OB叫做角的________，按______时针方向旋转所形成的角叫做正角，按______时针方向旋转所形成的角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个________角．
(1)象限角
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说这个角是__________角．
(2)象限界角(即终边在坐标轴上的角)
终边在x轴上的角表示为____________________；
终边在y轴上的角表示为__________________________________________；
终边落在坐标轴上的角可表示为____________________________．
(3)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合______________________或__________________________，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．
(4)弧度制
把长度等于________长的弧所对的__________叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的单位符号是________，读作________，通常略去不写．
(5)度与弧度的换算关系
360°＝______rad；180°＝____rad；1°＝________rad；
1rad＝_______________≈57.30°.
(6)弧长公式与扇形面积公式
l＝________，即弧长等于_________________________________________________．
S扇＝________＝____________.
2．三角函数的定义
任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①____叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；②____叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；③________叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．
(1)三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)三角函数线
下图中有向线段MP，OM，AT分别表示__________，__________________和____________．
自我检测
1．“α＝π6”是“cos2α＝12”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2.(2011济宁模拟)点P(tan2009°，cos2009°)位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．(2010山东青岛高三教学质量检测)已知sinα0且tanα0，则角α是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．已知角α的终边上一点的坐标为sin2π3，cos2π3，则角α的最小正值为()
A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6
探究点一角的概念
例1(1)如果角α是第三象限角，那么－α，π－α，π＋α角的终边落在第几象限；
(2)写出终边落在直线y＝3x上的角的集合；
(3)若θ＝168°＋k360°(k∈Z)，求在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角．

变式迁移1若α是第二象限的角，试分别确定2α，α2的终边所在位置．

探究点二弧长与扇形面积
例2(2011金华模拟)已知一个扇形的圆心角是α，0α2π，其所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

变式迁移2(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

探究点三三角函数的定义
例3已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．

变式迁移3已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα，cosα，tanα的值．

1．角的度量由原来的角度制改换为弧度制，要养成用弧度表示角的习惯．象限角的判断，终边相同的角的表示，弧度、弧长公式和扇形面积公式的运用是学习三角函数的基础．
2．三角函数都是以角为自变量(用弧度表示)，以比值为函数值的函数，是从实数集到实数集的映射，注意两种定义法，即坐标法和单位圆法．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011宣城模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q，则Q的坐标为（）
A．(－12，32)B．(－32，－12)
C．(－12，－32)D．(－32，12)
2．若0xπ，则使sinx12和cosx12同时成立的x的取值范围是()
A.π3xπ2B.π3x56π
C.π6x56πD.π3x23π
3．已知α为第三象限的角，则α2所在的象限是()
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
4．若1弧度的圆心角所对弦长等于2，则这个圆心角所对的弧长等于()
A．sin12B.π6
C.1sin12D．2sin12
5．已知θ∈－π2，π2且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tanθ的值，以下四个答案中，可能正确的是()
A．－3B．3或13
C．－13D．－3或－13
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，且α∈[0,2π]，则α的取值范围是________________．
7．(2011龙岩模拟)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
8．阅读下列命题：
①若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα＝255；
②同时满足sinα＝12，cosα＝32的角有且只有一个；
③设tanα＝12且πα3π2，则sinα＝－55；
④设cos(sinθ)tan(cosθ)0(θ为象限角)，则θ在第一象限．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上)
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求AB的弧长；
(2)求弓形OAB的面积．

10．(12分)在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
(1)sinα≥32；
(2)cosα≤－12.

11．(14分)(2011舟山月考)已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x.求sinα＋1tanα的值．

答案自主梳理
1．始边顶点终边逆顺零(1)第几象限
(2){α|α＝kπ，k∈Z}α|α＝kπ＋π2，k∈Zα|α＝kπ2，k∈Z(3){β|β＝α＋k360°，k∈Z}{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}(4)半径圆心角弧度制rad弧度(5)2πππ180180π°(6)|α|r弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积12lr12|α|r22.①y②x③yx(2)α的正弦线α的余弦线α的正切线
自我检测
1．A2.D3.C4.D
课堂活动区
例1解题导引(1)一般地，角α与－α终边关于x轴对称；角α与π－α终边关于y轴对称；角α与π＋α终边关于原点对称．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一角α与2π的整数倍，然后判断角α的象限．
(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法为先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合参数k赋值来求得所需角．
解(1)π＋2kπα3π2＋2kπ(k∈Z)，
∴－3π2－2kπ－α－π－2kπ(k∈Z)，
即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．①
∴－α角终边在第二象限．
又由①各边都加上π，得3π2＋2kππ－α2π＋2kπ(k∈Z)．
∴π－α是第四象限角．
同理可知，π＋α是第一象限角．
(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，
∴终边在直线y＝3x上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝168°＋k360°(k∈Z)，
∴θ3＝56°＋k120°(k∈Z)．
∵0°≤56°＋k120°360°，
∴k＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．
故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角是56°，176°，296°.
变式迁移1解∵α是第二象限的角，
∴k360°＋90°αk360°＋180°(k∈Z)．
(1)∵2k360°＋180°2α2k360°＋360°(k∈Z)，
∴2α的终边在第三或第四象限，或角的终边在y轴的非正半轴上．
(2)∵k180°＋45°α2k180°＋90°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，
n360°＋45°α2n360°＋90°；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n360°＋225°α2n360°＋270°.
∴α2是第一或第三象限的角．
∴α2的终边在第一或第三象限．
例2解题导引本题主要考查弧长公式和扇形的面积公式，并与最值问题联系在一起．确定一个扇形需要两个基本条件，因此在解题中应依据题目条件确定出圆心角、半径、弧长三个基本量中的两个，然后再进行求解．
解
(1)设扇形的弧长为l，该弧所在弓形的面积为S，如图所示，
当α＝60°＝π3，
R＝10cm时，
可知l＝αR＝10π3cm.
而S＝S扇－S△OAB＝12lR－12R2sinπ3
＝12×10π3×10－12×100×32
＝50π3－253cm2.
(2)已知2R＋l＝C，即2R＋αR＝C，
S扇＝12αR2＝12αRR＝14αR2R
≤14αR＋2R22＝14C22＝C216.
当且仅当αR＝2R，即α＝2时，等号成立，即当α为2弧度时，该扇形有最大面积116C2.
变式迁移2解设扇形半径为R，圆心角为θ，所对的弧长为l.
(1)依题意，得12θR2＝4，θR＋2R＝10，
∴2θ2－17θ＋8＝0.∴θ＝8或12.
∵82π，舍去，∴θ＝12.
(2)扇形的周长为40，即θR＋2R＝40，
S＝12lR＝12θR2＝14θR2R≤14θR＋2R22＝100.
当且仅当θR＝2R，即R＝10，θ＝2时扇形面积取得最大值，最大值为100.
例3解题导引某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定了．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组，要分别求解．
解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，
则x＝4t，y＝－3t，
r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，
当t0时，r＝5t，
sinα＝yr＝－3t5t＝－35，
cosα＝xr＝4t5t＝45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34；
当t0时，r＝－5t，
sinα＝yr＝－3t－5t＝35，
cosα＝xr＝4t－5t＝－45，
tanα＝yx＝－3t4t＝－34.
综上可知，t0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；
t0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.
变式迁移3解r＝－4a2＋3a2＝5|a|.
若a0，则r＝5a，α角在第二象限，
sinα＝yr＝3a5a＝35，
cosα＝xr＝－4a5a＝－45，
tanα＝yx＝3a－4a＝－34.
若a0，则r＝－5a，α角在第四象限，
sinα＝yr＝3a－5a＝－35，cosα＝xr＝－4a－5a＝45，
tanα＝yx＝3a－4a＝－34.
课后练习区
1．A2.B3.D4.C5.C
6.π4，π2∪π，5π4
解析由已知得sinαcosα，tanα0，
∴π4＋2kπαπ2＋2kπ或π＋2kπα5π4＋2kπ，k∈Z.
∵0≤α≤2π，∴当k＝0时，π4απ2或πα5π4.
7.74π
解析由三角函数的定义，tanθ＝yx＝cos3π4sin3π4＝－1.
又∵sin3π40，cos3π40，∴P在第四象限，∴θ＝7π4.
8．③
解析①中，当α在第三象限时，
sinα＝－255，故①错．
②中，同时满足sinα＝12，cosα＝32的角为α＝2kπ＋π6(k∈Z)，不只有一个，故②错．③正确．④θ可能在第一象限或第四象限，故④错．综上选③.
9．解(1)∵α＝120°＝2π3，r＝6，
∴AB的弧长为l＝αr＝2π3×6＝4π.……………………………………………………(4分)
(2)∵S扇形OAB＝12lr＝12×4π×6＝12π，……………………………………………………(7分)
S△ABO＝12r2sin2π3＝12×62×32
＝93，……………………………………………………………………………………(10分)
∴S弓形OAB＝S扇形OAB－S△ABO＝12π－93.………………………………………………(12分)
10．解(1)
作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的集合为α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.…………………………………………………(6分)
(2)
作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为
α|2kπ＋2π3≤α≤2kπ＋4π3，k∈Z.……………………………………………………(12分)
11．解∵P(x，－2)(x≠0)，
∴点P到原点的距离r＝x2＋2.…………………………………………………………(2分)
又cosα＝36x，
∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，
∴r＝23.…………………………………………………………………………………(6分)
当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，
由三角函数的定义，
有sinα＝－66，1tanα＝－5，
∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；……………………………………………(10分)
当x＝－10时，
同样可求得sinα＋1tanα＝65－66.………………………………………………(14分)

高考数学理科一轮复习同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案

学案18同角三角函数的基本关系式及诱导公式
导学目标：1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.
自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：______________________________.
2．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sinπ2－α＝________，cosπ2－α＝________.
(6)sinπ2＋α＝__________，cosπ2＋α＝____________________________________.
3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：
上述过程体现了化归的思想方法．
自我检测
1．(2010全国Ⅰ)cos300°等于()
A．－32B．－12
C.12D.32
2．(2009陕西)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()
A.103B.53
C.23D．－2
3．(2010福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tanα＝34，则sinα等于()
A.45B.35
C．－45D．－35
4．cos(－174π)－sin(－174π)的值是()
A.2B．－2
C．0D.22
5．(2011清远月考)已知cos(π6－α)＝23，则sin(α－2π3)＝________.
探究点一利用同角三角函数基本关系式化简、求值
例1已知－π2x0，sinx＋cosx＝15.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求tanx2sinx＋cosx的值．

变式迁移1已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，求下列各式的值．
(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα；(2)sin2α＋sin2α.

探究点二利用诱导公式化简、求值
例2(2011合肥模拟)已知sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)．
(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；
(2)求cos2α－3π4的值．

变式迁移2设f(α)＝
2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.
探究点三综合应用
例3在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

变式迁移3(2011安阳模拟)已知△ABC中，sinA＋cosA＝15，
(1)求sinAcosA；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tanA的值．

转化与化归思想的应用
例(12分)已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.
(1)求tanα的值；
(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值．
多角度审题由sinα＋cosα＝15应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tanα，应当切化弦，所以只要求出sinα，cosα即可．
【答题模板】
解(1)联立方程sinα＋cosα＝15，①?sin2α＋cos2α＝1，②
由①得cosα＝15－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.[2分]
∵α是三角形的内角，∴sinα＝45?cosα＝－35，[4分]
∴tanα＝－43.[6分]
(2)1cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α，[8分]
∵tanα＝－43，∴1cos2α－sin2α＝tan2α＋11－tan2α[10分]
＝－432＋11－－432＝－257.[12分]
【突破思维障碍】
由sinα＋cosα＝15及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sinα再求cosα.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用．
【易错点剖析】
在求解sinα，cosα的过程中，若消去cosα得到关于sinα的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解．
1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011荆州模拟)已知△ABC中，cosAsinA＝－125，则cosA等于()
A.1213B.513
C．－513D．－1213
2．已知tanα＝－512，且α为第二象限角，则sinα的值等于()
A.15B．－115
C.513D．－513
3．(2011许昌月考)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－π－αtanα，则f(－313π)的值为()
A.12B．－13C．－12D.13
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002)＝－1，则f(2003)等于()
A．－1B．0C．1D．2
5．(2010全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan100°等于()
A.1－k2kB．－1－k2k
C.k1－k2D．－k1－k2
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－12，则cosα＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010东北育才学校高三第一次模拟考试)若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝15，求f(α)的值．

10．(12分)化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α(k∈Z)．

11．(14分)(2011秦皇岛模拟)已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－1tanθ的值．

答案自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1(2)sinαcosα＝tanα2.(1)sinαcosαtanα(2)－sinα－cosαtanα(3)－sinαcosα－tanα(4)sinα－cosα－tanα(5)cosαsinα(6)cosα－sinα
自我检测
1．C[cos300°＝cos(360°－60°)＝cos60°＝12.]
2．A[∵3sinα＋cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝110，
∴1cos2α＋sin2α＝1cos2α＋2sinα－3sinα
＝11－7sin2α＝103.]
3．B
4．A[cos(－174π)－sin(－174π)＝cos(－4π－π4)－sin(－4π－π4)＝cos(－π4)－sin(－π4)＝cosπ4＋sinπ4＝2.]
5．－23
解析sin(α－2π3)＝－sin(2π3－α)
＝－sin[(π6－α)＋π2]
＝－cos(π6－α)＝－23.
课堂活动区
例1解题导引学会利用方程思想解三角函数题，对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要注意对符号的判断．
解由sinx＋cosx＝15得，
1＋2sinxcosx＝125，则2sinxcosx＝－2425.
∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，
即sinx－cosx0.
则sinx－cosx
＝－sin2x－2sinxcosx＋cos2x
＝－1＋2425＝－75.
(1)sin2x－cos2x＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)
＝15×－75＝－725.
(2)由sinx＋cosx＝15sinx－cosx＝－75，
得sinx＝－35cosx＝45，则tanx＝－34.
即tanx2sinx＋cosx＝－34－65＋45＝158.
变式迁移1解∵sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，
∴－sinα＝－2cosα.
∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.
方法一(直接代入法)：
(1)原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2α＋sin2αsin2α＋14sin2α＝85.
方法二(同除转化法)：
(1)原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.
(2)原式＝sin2α＋2sinαcosα
＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.
例2解题导引三角诱导公式记忆有一定规律：k2π＋α的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α2π；(2)转化为锐角三角函数．
解(1)∵sinα＋π2＝－55，α∈(0，π)，
∴cosα＝－55，sinα＝255.
∴sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.
(2)∵cosα＝－55，sinα＝255，
∴sin2α＝－45，cos2α＝－35，
cos2α－3π4＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.
变式迁移23
解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α
＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，
∴f－23π6＝1tan－23π6
＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.
例3解题导引先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；A2＋B2＋C2＝π2.
解由已知得sinA＝2sinB，①3cosA＝2cosB，②
①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)当cosA＝22时，cosB＝32，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.
(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝34π，B＝56π，不合题意．
综上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
变式迁移3解(1)∵sinA＋cosA＝15，①
∴两边平方得1＋2sinAcosA＝125，
∴sinAcosA＝－1225.
(2)由(1)sinAcosA＝－12250，且0Aπ，
可知cosA0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
(3)∵(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝4925，
又sinA0，cosA0，∴sinA－cosA0，
∴sinA－cosA＝75，②
∴由①，②得sinA＝45，cosA＝－35，
∴tanA＝sinAcosA＝－43.
课后练习区
1．D[∵A为△ABC中的角，cosAsinA＝－125，
∴sinA＝－512cosA，A为钝角，∴cosA0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cosA＝－1213.]
2．C[已知tanα＝－512，且α为第二象限角，
有cosα＝－11＋tan2α＝－1213，所以sinα＝513.]
3．C[∵f(α)＝sinαcosα－cosαtanα＝－cosα，∴f(－313π)
＝－cos(－313π)＝－cos(10π＋π3)＝－cosπ3＝－12.]
4．C[∵f(2002)＝asin(2002π＋α)＋bcos(2002π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2003)＝asin(2003π＋α)＋bcos(2003π＋β)
＝asin[2002π＋(π＋α)]＋bcos[2002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.]
5．B[∵cos(－80°)＝cos80°＝k，
sin80°＝1－cos280°＝1－k2.
∴tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.]
6．－255
解析∵tanα＝－12，∴sinαcosα＝－12，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是第二象限的角，
∴cosα＝－255.
7.892
解析sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋222＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋12＝44＋12＝892.
8.165
解析原式＝tanα＋1tanα－1＋cos2αsin2α＋cos2α
＝3＋1tan2α＋1＝3＋15＝165.
9．解(1)f(α)＝sinπ－αcos2π－αtan－α＋π－tan－α－πsin－π－α
＝sinαcosα－tanαtanαsinα＝－cosα.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－3π2)＝－sinα＝15，
∴sinα＝－15，……………………………………………………………………………(8分)
∴cosα＝－1－sin2α＝－1－－152＝－265，
∴f(α)＝－cosα＝265.…………………………………………………………………(12分)
10．解当k为偶数2n(n∈Z)时，
原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α
＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα
＝－sinαcosπ＋α－sinαcosα＝－cosαcosα＝－1；……………………………………………………(6分)
当k为奇数2n＋1(n∈Z)时，
原式＝sin[2n＋1π－α]cos2nπ－αsin[2n＋2π＋α]cos[2n＋1π＋α]
＝sinπ－αcos－αsin2π＋αcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.
∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又sinθ＋cosθ＝asinθcosθ＝a，(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，则a2－2a－1＝0，(6分)
从而a＝1－2或a＝1＋2(舍去)，
因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－2.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(π2－θ)＋sin3(π2－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－1tanθ＝－tanθ－1tanθ
＝－(sinθcosθ＋cosθsinθ)＝－1sinθcosθ＝－11－2＝1＋2.
……………………………………………………………………………………………(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/56821.html

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