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第六章三角函数

一、基础知识
定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=
定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.
定理2诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;（Ⅳ）sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.
定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
定理6两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=
定理7和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

tan2α=
定理9半角公式:sin=,cos=,
tan==
定理10万能公式:,,
定理11辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.
asinα+bcosα=sin(α+β).
定理12正弦定理：在任意△ABC中有，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。
定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。
定义4函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).
定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.
定理16若，则sinxxtanx.
二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】若，则cosx≤1且cosx-1，所以cos，
所以sin(cosx)≤0,又0sinx≤1,所以cos(sinx)0，
所以cos(sinx)sin(cosx).
若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤，
所以0sinx-cosx，
所以cos(sinx)cos(-cosx)=sin(cosx).
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)sin(cosx).
例3已知α，β为锐角，且x（α+β-）0，求证：
【证明】若α+β，则x0，由α-β0得cosαcos(-β)=sinβ,
所以01，又sinαsin(-β)=cosβ,所以01，
所以
若α+β，则x0，由0α-β得cosαcos(-β)=sinβ0,
所以1。又0sinαsin(-β)=cosβ，所以1，
所以，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例4求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2π）,
所以若最小正周期为T0，则T0=mπ,m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。
4．三角最值问题。
例5已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。
【解法一】令sinx=,
则有y=
因为，所以，
所以≤1，
所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，

当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.
【解法二】因为y=sinx+,
=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），
且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2，
所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=2，
当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=0。
例6设0π，求sin的最大值。
【解】因为0π，所以，所以sin0,cos0.
所以sin（1+cos）=2sincos2=≤=

当且仅当2sin2=cos2,即tan=,=2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。
例7若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
【解】因为sinA+sinB=2sincos,①
sinC+sin,②
又因为，③
由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,
当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例8求的值域。
【解】设t=sinx+cosx=
因为
所以
又因为t2=1+2sinxcosx,
所以sinxcosx=，所以，
所以
因为t-1，所以，所以y-1.
所以函数值域为

例9已知a0=1,an=(n∈N+)，求证：an.
【证明】由题设an0，令an=tanan,an∈，则
an=
因为，an∈，所以an=，所以an=
又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以。
又因为当0x时，tanxx，所以
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当x∈时，有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,,0).
由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。
例10例10已知f(x)=sin(x+)(0,0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。
【解】由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。
又0≤≤π，解得=，
因为f(x)图象关于对称，所以=0。
取x=0，得=0，所以sin
所以(k∈Z)，即=(2k+1)(k∈Z).
又0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，
综上，=或2。
7．三角公式的应用。
例11已知sin(α-β)=，sin(α+β)=-，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。
【解】因为α-β∈，所以cos(α-β)=-
又因为α+β∈，所以cos(α+β)=
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例12已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。
【解】因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，
又由于
=，
所以=0。
解得或。
又0，所以。
例13求证：tan20+4cos70.
【解】tan20+4cos70=+4sin20

三、基础训练题
1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3)，则x的弧度数为___________。
2．适合-2cscx的角的集合为___________。
3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα0.上述四个命题中，正确的命题有__________个。
4．已知sinx+cosx=(x∈(0,π))，则cotx=___________。
5．简谐振动x1=Asin和x2=Bsin叠加后得到的合振动是x=___________。
6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。
7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。
8．已知，则=___________。
9．=___________。
10．cot15cos25cot35cot85=___________。
11．已知α,β∈(0,π),tan,sin(α+β)=，求cosβ的值。
12．已知函数f(x)=在区间上单调递减，试求实数m的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c0)，当扇形面积最大时，a=__________.
2.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.
3.函数的值域为__________.
4.方程=0的实根个数为__________.
5.若sina+cosa=tana,a，则__________a（填大小关系）.
6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.
7.若0y≤x且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________.
8.=__________.
9.coscoscoscos=__________.
10.cos271+cos71cos49+cos249=__________.
11.解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.
12.求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x.
13.已知f(x)=(kA0,k∈Z,且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）若A0,k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题（一）
1．若x,y∈R，则z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范围是____________.
2．已知圆x2+y2=k2至少盖住函数f(x)=的一个最大值点与一个最小值点，则实数k的取值范围是____________.
3．f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值为____________.
4．方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有相异两实根α，β，则α+β=____________.
5．函数f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.
6．设sina0cosa,且sincos，则的取值范围是____________.
7．方程tan5x+tan3x=0在[0，π]中有__________个解.
8．若x,y∈R,则M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________.
9．若0,m∈N+,比较大小：(2m+1)sinm(1-sin)__________1-sin2m+1.
10．cot70+4cos70=____________.
11.在方程组中消去x,y，求出关于a,b,c的关系式。
12．已知α，β，γ，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求tanαtanβtanγ的最小值。
13．关于x,y的方程组有唯一一组解，且sinα,sinβ,sinγ互不相等，求sinα+sinβ+sinγ的值。
14．求满足等式sinxy=sinx+siny的所有实数对（x,y）,x,y.
联赛一试水平训练题（二）
1．在平面直角坐标系中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图象与函数g(x)=的图象所围成的封闭图形的面积是__________.
2．若，则y=tan-tan+cos的最大值是__________.
3．在△ABC中，记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0，则=__________.
4．设f(x)=x2-πx,α=arcsin,β=arctan,γ=arccos,δ=arccot,将f(α),f(β),f(γ),f(δ)从小到大排列为__________.
5．logsin1cos1=a,logsin1tan1=b,logcos1sin1=c,logcos1tan1=d。将a,b,c,d从小到大排列为__________.
6．在锐角△ABC中，cosA=cosαsinβ,cosB=cosβsinγ,cosC=cosγsinα，则tanαtanβtanγ=__________.
7．已知矩形的两边长分别为tan和1+cos(0π)，且对任何x∈R,f(x)=sinx2+x+cos≥0，则此矩形面积的取值范围是__________.
8．在锐角△ABC中，sinA+sinB+sinC的取值范围是__________.
9．已知当x∈[0,1]，不等式x2cos-x(1-x)+(1-x)2sin0恒成立，则的取值范围是__________.
10．已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，则cos2x+cos2y+cos2z=__________.
11．已知a1,a2,…,an是n个实常数，考虑关于x的函数：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x)+…+cos(an+x)。求证：若实数x1,x2满足f(x1)=f(x2)=0，则存在整数m，使得x2-x1=mπ.
12．在△ABC中，已知，求证：此三角形中有一个内角为。
13．求证：对任意自然数n,均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|.

六、联赛二试水平训练题
1．已知x0,y0,且x+yπ，求证：w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny0①（w∈R）.
2.已知a为锐角，n≥2,n∈N+，求证：≥2n-2+1.
3.设x1,x2,…,xn,…,y1,y2,…,yn,…满足x1=y1=,xn+1=xn+,yn+1=，求证：2xnyn3(n≥2).
4．已知α，β，γ为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证；πα+β+γπ.
5．求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意，恒有(x+3+2sincos)2+(x+asin+asin)2≥
6.设n,m都是正整数，并且nm，求证：对一切x都有2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|.
7．在△ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。
8．求的有的实数a,使cosa,cos2a,cos4a,…,cos2na,…中的每一项均为负数。
9．已知i，tan1tan2…tann=2,n∈N+,若对任意一组满足上述条件的
1，2，…，n都有cos1+cos2+…+cosn≤λ，求λ的最小值。

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第七章解三角形（高中数学竞赛标准教材）

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一、基础知识
在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a,b,c分别表示它们所对的各边长，为半周长。
1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。
推论1：△ABC的面积为S△ABC=
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]=[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0-A+a，-a+A.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2=（1）
【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos，
所以c2=AD2+p2-2ADpcos①
同理b2=AD2+q2-2ADqcos，②
因为ADB+ADC=，
所以cosADB+cosADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式
（2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2(1-cos2A)=b2c2[(b+c)-a2][a2-(b-c)2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
这里
所以S△ABC=
二、方法与例题
1．面积法。
例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u,w,v，这里α，β，α+β∈(0,)，则P，Q，R的共线的充要条件是
【证明】P，Q，R共线
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
，得证。
2．正弦定理的应用。
例2如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求证：APBC=BPCA=CPAB。
【证明】过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CPBA=APBC=BPAC，得证：
例3如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。
【证明】延长PA交GD于M，
因为O1GBC，O2DBC，所以只需证
由正弦定理，
所以
另一方面，，
所以，
所以，所以PA//O1G，
即PABC，得证。
3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x,y,z，则a=y+z,b=z+x,c=x+y.
例4在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
【证明】令a=y+z,b=z+x,c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.
4．三角换元。
例5设a,b,c∈R+，且abc+a+c=b，试求的最大值。
【解】由题设，令a=tanα,c=tanγ,b=tanβ,
则tanβ=tan(α+γ),P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤，
当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=
例6在△ABC中，若a+b+c=1，求证:a2+b2+c2+4abc
【证明】设a=sin2αcos2β,b=cos2αcos2β,c=sin2β,β.
因为a,b,c为三边长，所以c,c|a-b|，
从而，所以sin2β|cos2αcos2β|.
因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2αcos4βcos2β
=[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=.
所以a2+b2+c2+4abc
三、基础训练题
1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=，则cosAcosB的最大值为__________.
2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则的取值范围是__________.
3．在△ABC中，a=4,b+c=5,tanC+tanB+tanCtanB，则△ABC的面积为__________.
4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1，则=__________.
5．在△ABC中，“ab”是“sinAsinB”的__________条件.
6．在△ABC中，sinA+cosA0,tanA-sinA0，则角A的取值范围是__________.
7．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=__________.
8．在△ABC中，“三边a,b,c成等差数列”是“tan”的__________条件.
9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.
10．在△ABC中，tanAtanB1，则△ABC为__________角三角形.
11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。
12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。
13．已知△ABC中，sinC=，试判断其形状。
四、高考水平训练题
1．在△ABC中，若tanA=,tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________.
2．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.
3．已知p,q∈R+,p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC为__________角三角形.
5．若A为△ABC的内角，比较大小：__________3.
6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.
7．满足A=600，a=,b=4的三角形有__________个.
8．设为三角形最小内角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，则a的取值范围是__________.
9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。
10．求方程的实数解。
11．求证：
五、联赛一试水平训练题
1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.
2．在△ABC中，若，则△ABC的形状为____________.
3．对任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为____________.
4．在△ABC中，的最大值为____________.
5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=，C，D为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S2+T2的取值范围是____________.
6．在△ABC中，AC=BC，，O为△ABC的一点，，ABO=300，则ACO=____________.
7．在△ABC中，A≥B≥C≥，则乘积的最大值为____________，最小值为__________.
8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则=____________.
9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。
10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。
11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。

六、联赛二试水平训练题
1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：，此处=B。
2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。
3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：，此处(a+b+c),a,b,c分别为△ABC对应三边之长。
4．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。
5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证：AFB=900的充要条件是AD+BC=CD。
6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。
7．已知一凸四边形的边长依次为a,b,c,d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？
8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则
9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PAPBPC≥(PD+PE)(PE+PF)(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

高中数学竞赛标准教材(第五章数列)

第五章数列

一、基础知识
定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1,当n1时，an=Sn-Sn-1.
定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.
定理2等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
定理3等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
定义4极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(n∈N),都有|an-A|，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作
定义5无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
定理3第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理
定理4第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。
二、方法与例题
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2已知数列{an}满足a1=,a1+a2+…+an=n2an,n≥1，求通项an.
【解】因为a1=,又a1+a2=22a2,
所以a2=，a3=,猜想(n≥1).
证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。
当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+a1+…+a1=[(k+1)2-1]ak+1,，
所以=k(k+2)ak+1,
即=k(k+2)ak+1,
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由数学归纳法可得猜想成立，所以
例3设0a1，数列{an}满足an=1+a,an-1=a+，求证：对任意n∈N+,有an1.
【证明】证明更强的结论：1an≤1+a.
1)当n=1时，1a1=1+a，①式成立；
2)假设n=k时，①式成立，即1an≤1+a，则当n=k+1时，有
由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。
2．迭代法。
数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。
例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求证：存在常数c，使得an+
【证明】an+1+(pan+1+an+2)+=an+2(-qan)+=
+an(pqn+1+qan)]=q().
若=0，则对任意n,+=0，取c=0即可.
若0，则{+}是首项为，公式为q的等比数列。
所以+=qn.
取即可.
综上，结论成立。
例5已知a1=0,an+1=5an+，求证：an都是整数，n∈N+.
【证明】因为a1=0,a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1an.
又由an+1=5an+移项、平方得
①
当n≥2时，把①式中的n换成n-1得，即
②
因为an-1an+1，所以①式和②式说明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+an-1=10an(n≥2).
再由a1=0,a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。
3．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6已知an=(n=1,2,…)，求S99=a1+a2+…+a99.
【解】因为an+a100-n=+=，
所以S99=
例7求和：+…+
【解】一般地，
，
所以Sn=

例8已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和，求证：Sn2。
【证明】由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。
因为，①
所以。②
由①-②得，
所以。
又因为Sn-2Sn且0,
所以Sn,所以，
所以Sn2，得证。
4．特征方程法。
例9已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.
【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故设an=(α+βn)2n-1，其中，
所以α=3，β=0，
所以an=32n-1.
例10已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通项an.
【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,
所以an=α3n+β(-1)n，其中，
解得α=，β，
所以3]。
5．构造等差或等比数列。
例11正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。
【解】由得=1，
即
令bn=+1，则{bn}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，
所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，
所以an=…a0=
注：C1C2…Cn.
例12已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通项。
【解】考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=
因为x1=2,xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。
又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又
Xn+1-==,①
Xn+1+==,②
由①÷②得。③
又0，
由③可知对任意n∈N+，0且,
所以是首项为，公比为2的等比数列。
所以，所以，
解得。
注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。
三、基础训练题
1．数列{xn}满足x1=2,xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.
2.数列{xn}满足x1=，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________.
3.数列{xn}满足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，则{xn}的通项xn=_________.
4.等差数列{an}满足3a8=5a13，且a10,Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________.
5.等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________.
6.数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，则S100=_________.
7.数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.
8.若，并且x1+x2+…+xn=8，则x1=_________.
9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_________.
10.若n!=n(n-1)…21,则=_________.
11．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48,log2a2log2a3+log2a2log2a5+log2a2log2a6+log2a5log2a6=36，求的通项。
12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：（1）q的值；（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题
1．已知函数f(x)=，若数列{an}满足a1=，an+1=f(an)(n∈N+)，则a2006=_____________.
2．已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，则{an}的通项an=.
3.若an=n2+,且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________.
4.设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_____________.
5.已知，则a的取值范围是______________.
6．数列{an}满足an+1=3an+n(n∈N+)，存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。
7．已知(n∈N+)，则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.
8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________.
9.设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.
10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数.
11．已知数列{an}中，an0，求证：数列{an}成等差数列的充要条件是
（n≥2）①恒成立。
12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=(n≥2),当a1=p,b1=q(p0,q0)且p+q=1时，（1）求证：an0,bn0且an+bn=1（n∈N）；（2）求证：an+1=；（3）求数列
13．是否存在常数a,b,c，使题设等式
122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)
对于一切自然数n都成立？证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。
2．设数列{xn}满足x1=1,xn=，则通项xn=__________.
3.设数列{an}满足a1=3,an0，且，则通项an=__________.
4.已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，则=__________.
5.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比为=__________.
6.各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项.
7.数列{an}满足a1=2,a2=6,且=2，则
________.
8.数列{an}称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.
9．设h∈N+，数列{an}定义为：a0=1,an+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？
10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。
11．求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得
a1=1,a21,an+1(an+1-1)=

六、联赛二试水平训练题
1．设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1,2,….
2．设a1,a2,…,an表示整数1，2，…，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1。
试问f(2007)能否被3整除？
3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且
求证：an(n=0,1,2,…)是完全平方数。
4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：x0=1，xi+1xi(i=0,1,2,…),
（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使≥3.999均成立；
（2）寻求这样的一个数列使不等式4对任一n均成立。
5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样的序列最多有多少项？
6．设a1=a2=，且当n=3,4,5,…时，an=,
(ⅰ)求数列{an}的通项公式；(ⅱ)求证：是整数的平方。
7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n,un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。
8．求证：存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m,k，有|xm-xk|≥
9.已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0q1，求证：n个实数b0,b1,…，bn和满足：（1）akbk(k=1,2,…,n)；
（2）q(k=1,2,…,n)；
（3）b1+b2+…+bn(a0+a1+…+an).

第十五章复数(高中数学竞赛标准教材)

第十五章复数
一、基础知识
1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。
2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。
7．单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).
8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等。
9．复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。
11．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac0时方程的根为
二、方法与例题
1．模的应用。
例1求证：当n∈N+时，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有纯虚根。
[证明]若z是方程的根，则(z+1)2n=-(z-1)2n，所以|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯虚数。
例2设f(z)=z2+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。
[解]因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.复数相等。
例3设λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根，求λ满足的充要条件。
[解]若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，则方程x2-x+1=0中Δ0无实根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2.所以当λ≠2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。
3．三角形式的应用。
例4设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？
[解]由题设得
，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。
4．二项式定理的应用。
例5计算：（1）；（2）
[解](1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二项式定理(1+i)100==)+()i，比较实部和虚部，得=-250，=0。
5．复数乘法的几何意义。
例6以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。
[证明]设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,，由复数乘法的几何意义得：，①，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值，所以MN的中点P为定点。
例7设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：ABAD+BCAD≥ACBD。
[证明]用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|,“=”成立当且仅当，即=π，即A，B，C，D共圆时成立。不等式得证。
6．复数与轨迹。
例8ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC的外心轨迹。
[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。
7．复数与三角。
例9已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[证明]令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则
z1+z2+z3=0。所以又因为|zi|=1,i=1,2,3.
所以zi=1，即
由z1+z2+z3=0得①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解]令w=cos200+isin200,则w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,则S+iP=w+2w2+…+18w18.①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=，所以S+iP=，所以
8．复数与多项式。
例11已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次复系数多项式(c0≠0).
求证：一定存在一个复数z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
[证明]记c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-Arg(z0)，则方程g(Z)-c0eiθ=0为n次方程，其必有n个根，设为z1,z2,…,zn，从而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以z1,z2,…，zn中必有一个zi使得|zi|≤1,从而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以|f(zi)|=|c0eiθ+cn|=|c0|+|cn|.
9.单位根的应用。
例12证明：自⊙O上任意一点p到正多边形A1A2…An各个顶点的距离的平方和为定值。
[证明]取此圆为单位圆，O为原点，射线OAn为实轴正半轴，建立复平面，顶点A1对应复数设为，则顶点A2A3…An对应复数分别为ε2，ε3，…，εn.设点p对应复数z,则|z|=1,且=2n-
=2n-命题得证。
10．复数与几何。
例13如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。
[证明]以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取，则C-Q=i(B-Q)，则ΔBCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。
例14平面上给定ΔA1A2A3及点p0，定义As=As-3,s≥4，构造点列p0,p1,p2,…,使得pk+1为绕中心Ak+1顺时针旋转1200时pk所到达的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.证明：ΔA1A2A3为等边三角形。
[证明]令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明ΔA1A2A3为正三角形。
三、基础训练题
1．满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。
3.复数z满足|z|=5，且(3+4i)z是纯虚数，则__________。
4．已知，则1+z+z2+…+z1992=__________。
5.设复数z使得的一个辐角的绝对值为，则z辐角主值的取值范围是__________。
6．设z,w,λ∈C,|λ|≠1，则关于z的方程-Λz=w的解为z=__________。
7.设0x1，则2arctan__________。
8.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的两个虚根且，则__________。
9．若a,b,c∈C,则a2+b2c2是a2+b2-c20成立的__________条件。
10．已知关于x的实系数方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。
12．复平面上定点Z0，动点Z1对应的复数分别为z0,z1，其中z0≠0，且满足方程|z1-z0|=|z1|，①另一个动点Z对应的复数z满足z1z=-1，②求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状和位置。
13．N个复数z1,z2,…,zn成等比数列，其中|z1|≠1，公比为q,|q|=1且q≠±1,复数w1,w2,…,wn满足条件：wk=zk++h，其中k=1,2,…,n,h为已知实数，求证：复平面内表示w1,w2,…,wn的点p1,p2,…,pn都在一个焦距为4的椭圆上。
四、高考水平训练题
1．复数z和cosθ+isinθ对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称，则z=__________。
2.设复数z满足z+|z|=2+i，那么z=__________。
3．有一个人在草原上漫步，开始时从O出发，向东行走，每走1千米后，便向左转角度，他走过n千米后，首次回到原出发点，则n=__________。
4.若，则|z|=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并规定an+1=a1，使不等式恒成立的实数λ的最大值为__________。
6．已知点P为椭圆上任意一点，以OP为边逆时针作正方形OPQR，则动点R的轨迹方程为__________。
7．已知P为直线x-y+1=0上的动点，以OP为边作正ΔOPQ(O，P，Q按顺时针方向排列)。则点Q的轨迹方程为__________。
8．已知z∈C,则命题“z是纯虚数”是命题“”的__________条件。
9．若n∈N，且n≥3,则方程zn+1+zn-1=0的模为1的虚根的个数为__________。
10．设(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则+…+a3k-__________。
11.设复数z1,z2满足z1,其中A≠0，A∈C。证明：
（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
12．若z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值时的复数z.
13.给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足求
|az1+bz2+cz3|的值。
三、联赛一试水平训练题
1．已知复数z满足则z的辐角主值的取值范围是__________。
2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，复数z,(1+i)z，2在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R，当P，Q，R不共线时，以PQ，PR为两边的平行四边形第四个顶点为S，则S到原点距离的最大值为__________。
3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,…,z20,则复数所对应的不同点的个数是__________。
4．已知复数z满足|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为__________。
5．设，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2对应复平面上的点A，B，点O为原点，∠AOB=900，|AO|=|BO|，则ΔOAB面积是__________。
6．设，则(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展开式为__________。
7．已知()m=(1+i)n(m,n∈N+)，则mn的最小值是__________。
8．复平面上，非零复数z1,z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=__________。
9.当n∈N,且1≤n≤100时，的值中有实数__________个。
10．已知复数z1,z2满足，且，，，则的值是__________。
11．集合A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B}，问：集合C中有多少个不同的元素？
12．证明：如果复数A的模为1，那么方程的所有根都是不相等的实根（n∈N+）.
13.对于适合|z|≤1的每一个复数z，要使0|αz+β|2总能成立，试问：复数α，β应满足什么条件？
六、联赛二试水平训练题
1．设非零复数a1,a2,a3,a4,a5满足
其中S为实数且|S|≤2，求证：复数a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上。
2．求证：。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是复变量z的实系数多项式，且|p(i)|1，求证：存在实数a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)24b2+1.
4．运用复数证明：任给8个非零实数a1,a2,…,a8，证明六个数a1a3+a2a4,a1a5+a2a6,a1a7+a2a8,a3a5+a4a6,a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一个是非负数。
5．已知复数z满足11z10+10iz9+10iz-11=0，求证：|z|=1.
6.设z1,z2,z3为复数，求证：
|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。

高中数学竞赛标准教材(第四章几个初等函数的性质)

第四章几个初等函数的性质

一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0a1时，y=ax是减函数，当a1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂：。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0a1，y=logax为减函数，当a1时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（M0,N0）；
1）ax=Mx=logaM(a0,a1)；
2）loga(MN)=logaM+logaN；
3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，
5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c0,a,c1).
5.函数y=x+（a0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若ab,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。
二、方法与例题
1．构造函数解题。
例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+10.
【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(x∈(-1,1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)0且f(1)0（因为-1a1）.
因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，
所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.
例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,…,n时成立。
【证明】令f(x)=（）x2-2()x+=,
因为0，且对任意x∈R,f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展开得（）()≥()2。
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在，使ai=,i=1,2,…,n。
例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2
=xy++2.
令xy=t，则0t=xy≤,设f(t)=t+,0t≤
因为0c≤2，所以0≤1，所以f(t)在上单调递减。
所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.
当x=y=时，等号成立.所以u的最小值为++2.
2．指数和对数的运算技巧。
例4设p,q∈R+且满足log9p=log12q=log16(p+q)，求的值。
【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t，则p=9t,q=12t,p+q=16t，
所以9t+12t=16t，即1+
记x=，则1+x=x2，解得
又0，所以=
例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.
【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70,lgb=lg70,lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由题设，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a1.
又a≤b≤c，且a,b,c为70的正约数，所以只有a=2,b=5,c=7.
所以a+b=c.
例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
【证明】由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得
，
因为ac0,ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7解方程：3x+4x+5x=6x.
【解】方程可化为=1。设f(x)=,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
例8解方程组：（其中x,y∈R+）.
【解】两边取对数，则原方程组可化为①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x,y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y0，所以y=2,x=4.
所以方程组的解为.
例9已知a0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知，原方程的解x应满足.①②③
若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)，④
当k=0时，④无解；当k0时，④的解是x=，代入②得k.
若k0，则k21，所以k-1；若k0，则k21，所以0k1.
综上，当k∈(-∞,-1)∪(0,1)时，原方程有解。

三、基础训练题
1．命题p:“(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|1的解集为_________。
4．若log2a0，则a取值范围是_________。
5．命题p:函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q:函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件。
6．若0b1,a0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8．若x=，则与x最接近的整数是_________。
9．函数的单调递增区间是_________。
10．函数f(x)=的值域为_________。
11．设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa]，其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.
2．已知不等式x2-logmx0在x∈时恒成立，则m的取值范围是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是_________.
4.若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_________.

5.命题p:函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件.
6．若0b1,a0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8．若x=，则与x最接近的整数是_________.
9．函数y=的单调递增区间是_________.
10．函数f(x)=的值域为_________.
11．设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nxa]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是__________.
2．已知不等式x2-logmx0在x∈时恒成立，则m的取值范围是________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是________.
4．若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=成立的a,b的取值范围是________.
5．已知an=logn(n+1)，设，其中p,q为整数，且(p,q)=1，则pq的值为_________.
6．已知x10,y10,xy=1000，则(lgx)(lgy)的取值范围是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.
8．函数f(x)=的定义域为R，若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b,c应满足的充要条件是________.
（1）b0且c0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)=x,F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1,|b|1，则f(a)+f(b)=________.
11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12．设f(x)=|lgx|，实数a,b满足0ab,f(a)=f(b)=2f，求证：
（1）a4+2a2-4a+1=0,b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b4.
13．设a0且a1,f(x)=loga(x+)(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)(n∈N+)，求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1．如果log2[log(log2x)]=log3[log(log3x)]=log5[log(log5z)]=0，那么将x,y,z从小到大排列为___________.
2．设对任意实数x0x1x2x30，都有log1993+log1993+log1993klog1993恒成立，则k的最大值为___________.
3．实数x,y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则的值为___________.
4．已知0b1,00α450，则以下三个数：x=(sinα)logbsina,y=(cosα)logbsina,z=(sinα)logbsina从小到大排列为___________.
5．用[x]表示不超过x的最大整数，则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1],b=lgx-1+lg[xyz+1],c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a,b,c中的最大数为M，则M的最小值为___________.
7．若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=，则，由小到大排列为___________.
8．不等式+20的解集为___________.
9．已知a1,b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）试画出由方程所确定的函数y=f(x)图象。
（2）若函数y=ax+与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。
11．对于任意n∈N+(n1)，试证明：[]+[]+…+[]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1．设x,y,z∈R+且x+y+z=1，求u=的最小值。
2．当a为何值时，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解（a1且a1）。
3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件；对于任何x,y1及u,v0,f(xuyv)≤[f(x)][f(y)]①都成立，试确定所有这样的函数f(x).
4.求所有函数f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：
f(n)=,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定义在有理数集上且满足下列条件的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y),x,y∈Q.
7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n1,f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．设p,q是任意自然数，求证：存在这样的f(x)∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为的开区间中的每一个数x,有
9．设α，β为实数，求所有f:R+→R，使得对任意的x,y∈R+,f(x)f(y)=y2f成立。

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