八年级数学知识点：图形旋转

一、知识点学习
1.图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
注意：图形旋转后一对对应点与旋转中心的连线就是旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.
2.旋转的基本性质
（1）旋转前、后的图形全等
（2）对应点到旋转中心的距离相等
（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.
（4）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定.
3.旋转的要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；
4.明白顺时针旋转和逆时针旋转
5.中心对阵
中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点成中心对称.所有的中心对称图形都是旋转对称图形。
中心对称的性质:
（1）中心对称的两个图形是全等图形
（2）关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分
（3）关于中心对称的两个图形,对称线段平行且相等
中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有区别的概念
区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称。
联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形
如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称。
6.轴对称
定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形（axialsymmetricfigure)，这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线对称。比如说圆、正方形等。例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴.圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。
要特别注意线段,有两条对称轴,一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线.
性质：
（1）对称轴是一条直线。
（2）垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
（3）在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。
（4）在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。
（5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
（6）图形对称。
7.总结
轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合．实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形。
现将教材中常见的图形归类如下：
既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等。
只是轴对称图形的有：射线，角?等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等。
只是中心对称图形的有：平行四边形等；中心对称的多边形很多，如边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等。
轴对称图形中心对称图形
有一条对称轴——直线有一个对称中心
图形沿轴对折图形绕这个点旋转180度对称
对折部分与另一部分重合旋转后与原图重合

一、选择题
1、下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A.、1种B、2种C、3种D、4种
2、下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
3、如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△
A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
4、如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线
段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列
结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形
AOBO=6?3；⑤S△AOC+S△AOB=6+9．4
其中正确的结论是（）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③
5、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC
在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时
AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针
旋转到位置②，可得到点P2，此时
AP2=2?；将位置②的三角形绕点P2
顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时
AP3=3?；…按此规律继续旋转，直
到点P2012为止，则AP2012等于（）A.2011?B.2012?C.2013?D.2014?
6、如图，A（,1）B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°
得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为（）
A．（?，-1）B．（-2，0）
C。（-1，?）或（-2，0）D。（?，-1）或（-2，0）
7、如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°
到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，
则P′A：PB=（）
A．1：B．1：2C．：2D．1：
8、如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时
针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是
（）A．60°B．72°C．108°D．120
9、如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变
换是（）
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
10、如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原
点O顺时针旋转75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，
∠C=120°，则点B′的坐标为（）A.(3,)B.(3,-)C.(,)D.(,-)
11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将
△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在
AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）
A．30，2B．60，2C．60，3D．60，2
12、如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD
上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相
交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形
BCDG=3CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．4
其中正确的结论（）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③
二、填空题
13.如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，
AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′
的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则
C′D=________．
14、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰
好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为____________．
15、如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△
BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED．若BC=10，
BD=9，则△AED的周长是_____________．
16、如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行
四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对
应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠
C=___________度．
17、如图，在△ABC．中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α
度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点
D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正确的是__________（写出正确结论的序号）．
18、如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分面积等于___________cm2．
19、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连接AE、DE，△ADE的面积为3，则BC的长_________．
20、如图，边长为6的正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转30°后得到正方形EBGF，EF交CD于点H，则FH的长为________________．四边形BEHC的面积为
___________________（结果保留根号）

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初二数学知识点归纳：图形旋转

初二数学知识点归纳：图形旋转

一、知识点学习
1.图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
注意：图形旋转后一对对应点与旋转中心的连线就是旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置.
2.旋转的基本性质
（1）旋转前、后的图形全等
（2）对应点到旋转中心的距离相等
（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等.
（4）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定.
3.旋转的要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；
4.明白顺时针旋转和逆时针旋转
5.中心对阵
中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180度,如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点成中心对称.所有的中心对称图形都是旋转对称图形。
中心对称的性质:
（1）中心对称的两个图形是全等图形
（2）关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分
（3）关于中心对称的两个图形,对称线段平行且相等
中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有区别的概念
区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成中心对称。
联系:如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形
如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称。
6.轴对称
定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形（axialsymmetricfigure)，这条直线叫做对称轴;这时,我们也说这个图形关于这条直线对称。比如说圆、正方形等。例如等腰三角形、正方形、等边三角形、等腰梯形和圆和正多边形都是轴对称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴.圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。
要特别注意线段,有两条对称轴,一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线.
性质：
（1）对称轴是一条直线。
（2）垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
（3）在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等。
（4）在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合。
（5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
（6）图形对称。
7.总结
轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合；中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合．实际区别时轴对称图形要像折纸一样折叠能重合的是轴对称图形；中心对称图形只需把图形倒置，观察有无变化，没变的是中心对称图形。
现将教材中常见的图形归类如下：
既是轴对称图形又是中心对称图形的有：直线，线段，两条相交直线，矩形，菱形，正方形，圆等。
只是轴对称图形的有：射线，角?等腰三角形，等边三角形，等腰梯形等。
只是中心对称图形的有：平行四边形等；中心对称的多边形很多，如边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
既不是轴对称图形又不是中心对称图形有：不等边三角形，非等腰梯形等。
轴对称图形中心对称图形
有一条对称轴——直线有一个对称中心
图形沿轴对折图形绕这个点旋转180度对称
对折部分与另一部分重合旋转后与原图重合

八年级数学知识点：有序数对

八年级数学知识点：有序数对

有序数对:
通过像“九排七号”、“第一排第五列”这样含有两个数的词来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边的表示“排数”，后边的表示“号数”。我们把这种有顺序的两个数A与B组成的数对叫做有序数对，记做（A,B），常用在平面直角坐标系中。
平面上的点的坐标:
比如(1,2)就代表横坐标为1纵坐标为2;而(2,1)就代表横坐标为2纵坐标为1;
因为它们反过来表示的点不同所以是有序的。
利用有序数对，可以准确的表达出一个位置。

典型例题

(1)市政府在广场()方向上，距离是()米．
(2)工人文化宫在广场()偏()度的方向上，距离是()米．
(3)电信大楼在广场的()偏()度的方向上，距离是()米．
答案：正东
400
东
北40
500
北
西60
300
解析:（1）100×4=400（米），
则市政府在广场正东方向上，距离是400米．
（2）100×5=500（米），
则工人文化宫在广场东偏北40度的方向上，距离是500米．
（3）100×3=300（米），
则电信大楼在广场的北偏西60度的方向上，距离是300米．
故答案为：（1）正东、400；（2）东、北40、500；
（3）北、西60、300．
1.在地图上，上海在北京的南偏东约30°的方向上，那么北京一定在上海的北偏西约30°的方向上．______．
查看答案
2.下面的小学校园平面图是长方形，请根据这个平面图完成以下各题．

(1)．量一量，算一算．(测量图上距离时取整厘米．)
①校园平面图的长是______厘米，宽是______厘米．
②校园实际长______米，宽______米，占地面积是______平方米．
(2)．根据上面校园平面图填一填并动手操作．
①教学楼在花坛的______面，校门在跑道的______面；校园的西北角有______．
②如果在校园的东北角建一个长25米，宽10米的食堂，请在校园平面图上按比例画出食堂的位置．
3.小红在教室里的位置可以用电(4，6)表示，(4，6)表明小红坐______列______行．
4.先写出三角形各个顶点的位置，再画出三角形向右平移6个单位后的图形．

5.下面是某校集合时各个班级的位置。
5六年级三班六年级二班六年级一班五年级三班
4四年级二班四年级三班五年级一班五年级二班
3四年级一班三年级四班三年级三班三年级二班
2二年级一班二年级二班二年级三班三年级一班
1一年级一班一年级二班一年级三班一年级四班
1234
1．说一说各年级一班所在的位置，并用数对表示。
2．表示某班位置的数对是(x，4)，可能是哪个班？
3．表示某班位置的数对是(4，y)，可能是哪个班？
6.欢欢和乐乐在同一个班级，乐乐的座位在第3列，第4行，记作()；欢欢的位置在第6列，第8行，记作()。
7.如果用(1，4)表示E点的位置，请你在下面的方格图里描出下列各点，并把新描的这几个点顺次连接成一个封闭图形，你能发现什么？

A(3，1)B(8，1)C(4，4)D(9，4)
8.下图是8路公交车行车路线图。

1．张宏从社区上车去图书馆，他先向()方向到公园，再向()方向到图书馆。
2．小亮乘8路公交车坐了3站在超市下车，他可能是从()站上车的。
9.

(1)用数对表示位置．学校(______，______)，花店(______，______)．
(2)在图中找到下面场所的位置，标出来．游泳馆(3，3)，幼儿园(4，9)．
(3)明明家住在学校以西120米，再往南走160米处，他家的位置是(______，______)，在图中标出来．
10.

先写出三角形ABC各顶点的位置，再画出三角形ABC向右平移8个单位后的图形三角形ABC，并标明所得图形各项点的位置．

八年级数学知识点：黄金分割数

八年级数学知识点：黄金分割数

黄金分割数：
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:
黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：
一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：
（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618
黄金分割点:
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。
无限不循环小数
a，b
a:b=(a+b):a
通常用希腊字母Ф表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一个根）
黄金分割数前面的32位为：0.61803398874989484820458683436565
黄金分割三角形:
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
黄金矩形:
若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。
黄金分割线:
由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。
与数列的关系:
让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
分数与根式:
有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。
有限式=无限式
对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；
以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。
黄金分割法在摄影中的应用：
一幅优秀的摄影作品，不仅要有深刻的主题思想和内容，同时还应具备与内容相一致的优美形式和协调的构图。初学摄影，在取景时了解和掌握黄金分割法。对于提高作品美学价值很有帮助。
黄金分割法，就是把一条直线段分成两部分，其中一部分对全部的比等于其余一部分对这一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例关系迸引美术设计和摄影构图，这种比例也称黄金律。在摄影构图中，常使用的概略方法，就是在画面上横、竖各画两条与边平行、等分的直线，将画面分成9个相等的方块，称九宫图。直线和横线相交的4个点，称黄金分割点。
根据经验，将主体景物安排在黄金分割点附近，能更好地发挥主体景物在图面上的组织作用，有利于周围景物的协调和联系，容易引起美感，产生较好的视觉效果，使主体景物更加鲜明、突出。
另外，人们看图片和书刊有个习惯，就是由左向右移动，视线经过运动，往往视点落于右侧，所以在构图时把主要景物、醒目的形象安置在右边，更能收到良好的效果。
初学摄影取景，可选选用“黄金分割法”的练习构图，经过多次实践，有了自己的经验和体会以后，就可根据实际情况自己进行创作了。如果都千篇一律，生搬硬套这一种形式，也不可取，时间久了反而会束缚自己的创作思想，使拍出的照片四平八稳，缺乏变化，贫乏无味，就谈不上有什么艺术性。
用黄金分割法确定主体的位置，并没有完成构图的整个过程，还应注意安排必要的空间，考虑主体与陪体之间的呼应，充分表达主题的思想内容。同时，还要考虑影调，光线处理，色彩的表现等等。
为了提高基本功，还有很重要的一点，就是要认真学习美学知识，加强美学修养，并通过拍摄实践，不断总结，积累经验，多拍出一些有较高艺术水平的照片来。
发现历史：
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。

黄金分割数：
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
黄金分割:
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
黄金分割线:
黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言：
一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。
后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。
黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点：
（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。
（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。
（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。
（4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。
（5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。
理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618
黄金分割点:
把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为(√5-1)/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用φ表示）这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似表示，通过简单的计算就可以发现：(1-0.618)/0.618=0.6一条线段上有两个黄金分割点。
无限不循环小数
a，b
a:b=(a+b):a
通常用希腊字母Ф表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一个根）
黄金分割数前面的32位为：0.61803398874989484820458683436565
黄金分割三角形:
正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
黄金矩形:
若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。
黄金分割线:
由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。
与数列的关系:
让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。
但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。
分数与根式:
有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。
有限式=无限式
对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；
以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感。

文章来源：//m.jab88.com/j/56555.html

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