俗话说，凡事预则立，不预则废。高中教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？以下是小编收集整理的“指数扩充及运算性质”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

【必修1】第三章指数函数和对数函数
第二节指数扩充及运算性质
学时：1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本．
2.回答问题
（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？
（2）层次间的联系是什么？
（3）分数指数幂的意义是什么？实数指数幂的运算性质有哪些？
3.，练习
4.小结.
二、方法指导
1．阅读本节内容时，同学们应先回忆初中所学的整数指数幂的运算法则，从而将整数指数幂扩充到分数指数幂，得到分数指数幂的运算法则.
2．阅读本节内容时，同学们应注意分数指数幂与根式指数幂只是形式不同，二者可以互化.
【思考引导】
一、提问题
1.在上节中，臭氧含量Q与时间存在指数关系，而课本只讨论了指数为正整数的情况，如果当时间是半年或5年零3个月，即指数是分数时情况又怎么样？
1．你能说说正分数指数幂和负分数指数幂之间如何联系吗，负分数指数幂又如何化成根式指数幂的形式呢？
2．试说说的结果是什么？
二、变题目
1．求值（1）（2）
（3）（4）
2．设，则
3.设，化简式子的结果是（）．
A．B．C．D．
4．当1x3时，化简的结果是
5．已知求的值．
【总结引导】
1.实数指数幂的3条运算性质：

2.分数指数幂与根式指数幂互化的步骤：
【拓展引导】
1.课外作业：习题3-2A组3，4B组2，4
2.课外思考：
1．化简
2．若=25，则
参考答案
【思考引导】
二、变题目
1．（1）4（2）（3）（4）；
2．8；
3．A；
4．2；
5．
【拓展引导】
1.
2.

精选阅读

指数概念的扩充

3.2.1指数概念的扩充
【自学目标】
1.掌握正整数指数幂的概念和性质；
2.理解n次方根和n次根式的概念，能正确地运用根式表示一个正实数的算术根；
3.能熟练运用n次根式的概念和性质进行根式的化简与运算。
【知识要点】
1．方根的概念
若，则称x是a的平方根；若，则称x是a的立方根。
一般地，若一个实数x满足，则称x为a的n次实数方根。
当n是奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数n次实数方根是一个负数，这时a的n的次实数方根只有一个，记作；
当n是偶数时，正数的n次实数方根有二个，它们是相反数。这时a的正的n次实数方根用符号。
注意：0的n次实数方根等于0。
2．根式的概念
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
求a的n次实数方根的运算叫做开方运算。
3．方根的性质
（1）；
（2）当n是奇数时，，当n是偶数时，
【预习自测】
例1．试根据n次方根的定义分别写出下列各数的n次方根。
⑴25的平方根；⑵27的三次方根；
⑶－32的五次方根；⑷的三次方根．

例2．求下列各式的值：
⑴；⑵；

例3．化简下列各式：
⑴；⑵；
⑶；

例4．化简下列各式：
⑴；
⑵。

【课堂练习】
1．填空：
⑴0的七次方根；⑵的四次方根。
2．化简：
⑴；⑵；
⑶；⑷。
3．计算：

【归纳反思】
1．在化简时，不仅要注意n是奇数还是偶数，还要注意a的正负；
2．配方和分母有理化是解决根式的求值和化简等问题常用的方法和技巧，而分类讨论则是不可忽视的数学思想。
【巩固提高】
1．的值为（）
A．B．C．D．
2．下列结论中，正确的命题的个数是（）
①当a0时，；②；
③函数的定义域为；④若与相同。
A．0B．1C．2D．3
3．化简的结果是()
A．1B．2a－1C．1或2a－1D．0
4．如果a，b都是实数，则下列实数一定成立的是（）
A．B．C．D．
5．当8x10时，。
6．若，则=。
7．若有意义，则x∈
8．计算的值

9．若，用a表示
10．求使等式成立的实数a的取值范围。

指数函数的图像及性质

指数函数的图像及性质
一内容及其解析
（一）内容：指数函数的图像及性质
（二）解析：函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图像与性质，它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
二目标及其解析
（一）目标：掌握指数函数的图像、性质及其简单应用；
（二）解析:回顾函数性质的一般研究方式，通过以前学过的对于函数图像的基本做法，作出指数函数的大致图像，使学生从函数图像的直观感受上观察、分析、归纳指数函数的基本性质，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力
三问题诊断分析
根据这一节课的内容特点以及学生对指数幂的掌握情况,指数函数的图像形成过程是学生缺乏感性认识的最重要的问题，因此，为解决这一问题，从最初始的函数图像做法（五点作图）入手，使学生对于图像的形成有一个很清楚的认识，在此基础上来分析、总结指数函数的简单性质，解决指数函数中值的分布问题以及由此来小结指数函数的图像和性质及指数函数图像与底的关系，并能够在基本问题的处理中回扣指数函数模型，利用性质解决基本问题。
四教学支持条件
五教学过程
问题一：指数函数有什么样的性质？
设计意图：明确本节课的学习目标，并且借此回顾函数的基本性质
师生活动：由学生回忆总结
问题二：对于函数性质的研究，一般方式是什么？
设计意图：将学生的思维由函数解析式上转变到函数图像上来
师生活动：由学生自己思考、提出函数图像的基本作法
问题三：指数函数的图像
设计意图：巩固函数图像的基本做法
师生活动：通过学生自己取点、在坐标系中描点、连线的过程中，让学生进一步体会函数图像的形成过程，让学生自己进行总结
1、指数函数的函数图像
列表
……-2-1012……
…124…

2、作出的函数图像
列表
……210-1-2……
…124…

3、通过上述实例，你能画出函数与的大致图像吗？
问题四：指数函数的性质
设计意图：在函数的基本图像的基础上，让学生观察、分析、归纳函数的基本性质
师生活动：从学生的回答中把握认识程度，从中进行引导：
1由此回顾函数的基本概念，函数学习过哪些基本性质？进一步巩固函数性质的概念、判断、和理解
2通过函数的图像观察函数的定义域及值域，加强识图，用图的能力
3通过函数的图像，认识指数函数中值的分布，体会数形结合和分类讨论的思想，加深函数定义域和值域之间的依存关系
4通过函数的图像，认识底数与图像之间的变换关系

小问题串

函数

图
象

性
质定义域

值域

定点

单调性在上是减函数
在上是增函数

取值若，则若，则
若，则若，则

对称性函数与的图象关于轴对称

问题五：例题及变式
变式训练1：
变式训练2：:函数，，，的图像如图所示，则的大小关系为；
变式训练：

六目标检测：
1已知按大小顺序排列.
七课堂小结
1、指数函数的图像及性质
2、指数函数图像和底的关系
3、指数幂大小比较过程中中间量的引入

八目标检测
A组
教材P597、8.
B组
1．函数与的图象关于下列那种图形对称()
A．轴B．轴C．直线D．原点中心对称
2.函数（a0,且a≠1）的图像恒过定点的坐标是什么？
C组
已知函数（x∈R），a为实数
1试证明对任意实数a，f(x)为增函数
2试确定a的值，使f(x)为奇函数

指数与指数幂的运算

教案课件是老师上课做的提前准备，大家开始动笔写自己的教案课件了。只有制定教案课件工作计划，接下来的工作才会更顺利！适合教案课件的范文有多少呢？以下是小编收集整理的“指数与指数幂的运算”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

§2.1.1指数与指数幂的运算（练习）

学习目标
1.掌握n次方根的求解；
2.会用分数指数幂表示根式；
3.掌握根式与分数指数幂的运算.

学习过程
一、课前准备
（复习教材P48~P53，找出疑惑之处）
复习1：什么叫做根式?运算性质？
像的式子就叫做，具有性质：
=；=；=.

复习2：分数指数幂如何定义？运算性质？
①；.
其中
②；；
.

复习3：填空.
①n为时，.
②求下列各式的值：
=；=；=；
=；=；
=；=.

二、新课导学
※典型例题
例1已知=3，求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
补充：立方和差公式.

小结：①平方法；②乘法公式；
③根式的基本性质（a≥0）等.
注意，a≥0十分重要，无此条件则公式不成立.例如，.

变式：已知，求：
（1）；（2）.

例2从盛满1升纯酒精的容器中倒出升，然后用水填满，再倒出升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

变式：n次后？

小结：①方法：摘要→审题；探究→结论；
②解应用问题四步曲：审题→建模→解答→作答.
※动手试试
练1.化简：.

练2.已知x+x-1=3，求下列各式的值.
（1）；（2）.

练3.已知，试求的值.

三、总结提升
※学习小结
1.根式与分数指数幂的运算；
2.乘法公式的运用.

※知识拓展
1.立方和差公式：
；
.
2.完全立方公式：
；
.
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.的值为（）.
A.B.C.3D.729
2.(a0)的值是（）.
A.1B.aC.D.
3.下列各式中成立的是（）.
A．B．
C．D．
4.化简=.
5.化简=.

课后作业
1.已知,求的值.
2.探究：时,实数和整数所应满足的条件.

指数与指数幂的运算教学设计

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师缓解教学的压力，提高教学质量。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？以下是小编收集整理的“指数与指数幂的运算教学设计”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

教学设计
2.1.1指数与指数幂的运算
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标
1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．
2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．
3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．
4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．
重点难点
教学重点
(1)分数指数幂和根式概念的理解．
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．
(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值．
教学难点
(1)分数指数幂及根式概念的理解．
(2)有理指数幂性质的灵活应用．
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
作者：路致芳
导入新课
思路1．同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．
思路2．同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？
(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？
(4)可否用一个式子表达呢？
活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．
讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.
(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根．
(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．
(4)用一个式子表达是，若xn＝a，则x叫a的n次方根．
教师板书n次方根的意义：
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根(nthroot)，其中n＞1且n∈N*.
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．
提出问题
(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目).
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.
(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？
(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？
(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.
(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．
(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.
(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．
类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：
①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．
②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．
上面的文字语言可用下面的式子表示：
a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.
a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在.
零的n次方根为零，记为n0＝0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例．
思考
根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？
活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．
解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式．
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数．
如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．
思考
nan表示an的n次方根，式子nan＝a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理．
〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕．
解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n＝a.
通过探究得到：n为奇数，nan＝a.
n为偶数，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a0.
因此我们得到n次方根的运算性质：
①(na)n＝a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．
②n为奇数，nan＝a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．
n为偶数，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．
应用示例
思路1
例求下列各式的值：
(1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a－b)2(a＞b)．
活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．
解：(1)3(－8)3＝－8；
(2)(－10)2＝10；
(3)4(3－π)4＝π－3；
(4)(a－b)2＝a－b(a＞b)．
点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．
变式训练
求出下列各式的值：
(1)7(－2)7；
(2)3(3a－3)3(a≤1)；
(3)4(3a－3)4.
解：(1)7(－2)7＝－2，
(2)3(3a－3)3(a≤1)＝3a－3，
(3)4(3a－3)4＝
点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解.
思路2
例1下列各式中正确的是()
A．4a4＝a
B．6(－2)2＝3－2
C．a0＝1
D．10(2－1)5＝2－1
活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．
解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan＝|a|，故A项错．
(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．
(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．
(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D.
答案：D
点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．
例23＋22＋3－22＝__________.
活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．
解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，
3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，
所以3＋22＋3－22＝22.
答案：22
点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．
思考
上面的例2还有别的解法吗？
活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．
另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，
两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝22.
点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．
变式训练
若a2－2a＋1＝a－1，求a的取值范围．
解：因为a2－2a＋1＝a－1，而a2－2a＋1＝(a－1)2＝|a－1|＝a－1，
即a－1≥0，
所以a≥1.
点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键.
知能训练
(教师用多媒体显示在屏幕上)
1．以下说法正确的是()
A．正数的n次方根是一个正数
B．负数的n次方根是一个负数
C．0的n次方根是零
D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)
答案：C
2．化简下列各式：
(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x8；(4)6x6y3；(5)(x－y)2.
答案：(1)2；(2)3；(3)x2；(4)|x|y；(5)|x－y|.
3．计算7＋40＋7－40＝__________.
解析：7＋40＋7－40
＝(5)2＋252＋(2)2＋(5)2－252＋(2)2
＝(5＋2)2＋(5－2)2
＝5＋2＋5－2
＝25.
答案：25
拓展提升
问题：nan＝a与(na)n＝a(n＞1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明．
活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．
通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下．再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．
解：(1)(na)n＝a(n＞1，n∈N)．
如果xn＝a(n＞1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x＝na一定是它的一个n次方根，所以(na)n＝a恒成立．
例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.
(2)nan＝a，|a|，当n为奇数，当n为偶数.
当n为奇数时，a∈R，nan＝a恒成立．
例如：525＝2，5(－2)5＝－2.
当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan＝a.例如434＝3，40＝0；如果a＜0，那么nan＝|a|＝－a，如(－3)2＝32＝3，
即(na)n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，nan＝a(n＞1，n∈N)是有条件的．
点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．
课堂小结
学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．
1．如果xn＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．
(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．
(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．
(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．
2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，nan＝|a|＝a，－a，a≥0，a0.
作业
课本习题2.1A组1.
补充作业：
1．化简下列各式：
(1)681；(2)15－32；(3)6a2b4.
解：(1)681＝634＝332＝39；
(2)15－32＝－1525＝－32；
(3)6a2b4＝6(|a|b2)2＝3|a|b2.
2．若5＜a＜8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．
解析：因为5＜a＜8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.
答案：2a－13
3．5＋26＋5－26＝__________.
解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，
不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋2.
同理5－26＝(3－2)2＝3－2.
所以5＋26＋5－26＝23.
答案：23
设计感想
学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a＞0，a＜0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．
第2课时
作者：郝云静
导入新课
思路1．碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．
思路2．同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)整数指数幂的运算性质是什么？
(2)观察以下式子，并总结出规律：a＞0，
①；
②a8＝(a4)2＝a4＝，；
③4a12＝4(a3)4＝a3＝；
④2a10＝2(a5)2＝a5＝.
(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？
，，，(x0，m，n∈N*，且n1).
(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？
(5)你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an＝aaa…a，a0＝1(a≠0)；00无意义；
a－n＝1an(a≠0)；aman＝am＋n；(am)n＝amn；(an)m＝amn；(ab)n＝anbn.
(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①5a10＝，②a8＝，③4a12＝，④2a10＝结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变．
根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．
(3)利用(2)的规律，453＝，375＝，5a7＝，nxm＝.
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是.
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．
(5)如果a＞0，那么am的n次方根可表示为nam＝，即＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
提出问题
(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的？
(2)你能得出负分数指数幂的意义吗？
(3)你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？
(4)综合上述，如何规定分数指数幂的意义？
(5)分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？
(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．
讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a－n＝1an(a≠0)，n∈N*.
(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．
规定：正数的负分数指数幂的意义是＝＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．
(3)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(4)教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：
正数的正分数指数幂的意义是＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是＝＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(5)若没有a＞0这个条件会怎样呢？
如＝3－1＝－1，＝6(－1)2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a＞0的条件，比如式子3a2＝，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．
(6)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．
应用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12－5；(4).
活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．
解：(1)＝22＝4；
(2)＝5－1＝15；
(3)12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32；
(4)＝23－3＝278.
点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如＝382＝364＝4.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式．
a3a；a23a2；a3a(a＞0)．
活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．
解：a3a＝a3＝；
a23a2＝a2＝；
a3a＝.
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．
例3计算下列各式(式中字母都是正数)．
(1)；
(2).
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤．
解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]＝4ab0＝4a；
(2)＝m2n－3＝m2n3.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法．有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了．
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用．
变式训练
求值：(1)333363；
(2)627m3125n64.
解：(1)333363＝＝32＝9；
(2)627m3125n64＝＝9m225n4＝925m2n－4.

例4计算下列各式：
(1)(325－125)÷425；
(2)a2a3a2(a＞0)．
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．
解：(1)原式＝
＝＝65－5；
(2)a2a3a2＝＝6a5.
知能训练
课本本节练习1,2,3
【补充练习】
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励．
1．(1)下列运算中，正确的是()
A．a2a3＝a6B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(a－1)0＝0D．(－a2)3＝－a6
(2)下列各式①4(－4)2n，②4(－4)2n＋1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是()
A．①②B．①③C．①②③④D．①③④
(3)(34a6)2(43a6)2等于()
A．aB．a2C．a3D．a4
(4)把根式－25(a－b)－2改写成分数指数幂的形式为()
A．B．
C．D．
(5)化简的结果是()
A．6aB．－aC．－9aD．9a
2．计算：(1)－－17－2＋－3－1＋(2－1)0＝__________.
(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.
3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．
答案：1．(1)D(2)B(3)B(4)A(5)C2．(1)19(2)8
3．解：.
因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.
又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－63.
所以原式＝＝12－6－63＝－33.
拓展提升
1．化简：.
活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：
x－1＝－13＝；
x＋1＝＋13＝；
．
构建解题思路教师适时启发提示．
解：
＝
＝
＝
＝.
点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，
＝a－b，
＝a±＋b，
＝a±b.
2．已知，探究下列各式的值的求法．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
解：(1)将，两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；
(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47；
(3)由于，
所以有＝a＋a－1＋1＝8.
点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．
课堂小结
活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：
(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是＝nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是＝＝1nam(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．
(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)，
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)，
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
(4)说明两点：
①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．
②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用＝am来计算．
作业
课本习题2.1A组2,4.
设计感想
本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．
第3课时
作者：郑芳鸣
导入新课
思路1．同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂．
思路2．同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)我们知道2＝1.41421356…，那么1.41,1.414,1.4142,1.41421，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.4143,1.41422，…，是2的什么近似值？
(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？
2的过剩近似值
的近似值

1.511.18033989
1.429.829635328
1.4159.750851808
1.41439.73987262
1.414229.738618643
1.4142149.738524602
1.41421369.738518332
1.414213579.738517862
1.4142135639.738517752
……

的近似值
2的不足近似值

9.5182696941.4
9.6726699731.41
9.7351710391.414
9.7383051741.4142
9.7384619071.41421
9.7385089281.414213
9.7385167651.4142135
9.7385177051.41421356
9.7385177361.414213562
……
(3)你能给上述思想起个名字吗？
(4)一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？
(5)借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？
活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：
问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向．
问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联．
问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近．
问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释．
问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般．
讨论结果：(1)1.41,1.414,1.4142,1.41421，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.4143,1.41422，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值．
(2)第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向逼近.
第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向逼近.
从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.4＜51.41＜51.414＜51.4142＜51.41421＜…＜＜…＜51.41422＜51.4143＜51.415＜51.42＜51.5.
充分表明是一个实数．
(3)逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识．
(4)根据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数．
(5)无理数指数幂的意义：
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．
也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数．我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂．
提出问题
(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？
(3)你能给出实数指数幂的运算法则吗？
活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳．
对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明．
对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通．
对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了．
讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a＝－1，那么aα是＋1还是－1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱．
(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂．类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s都是无理数)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是无理数)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r是无理数)．
(3)指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂．
实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
应用示例
例1利用函数计算器计算．(精确到0.001)
(1)0.32.1；(2)3.14－3；(3)；(4).
活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按＝，即可求得它的值；
对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号－键，再按3，最后按＝即可；
对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按＝即可；
对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按＝键．有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算．
学生可以相互交流，挖掘计算器的用途．
解：(1)0.32.1≈0.080；(2)3.14－3≈0.032；(3)≈2.336；(4)≈6.705.
点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n＋1)位能否进位即可．
例2求值或化简．
(1)a－4b23ab2(a＞0，b＞0)；
(2)(a＞0，b＞0)；
(3)5－26＋7－43－6－42.
活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2＋(2)2,22＋(3)2,22＋(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律．
解：(1)a－4b23ab2＝＝3b46a11.
点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示．
(2)
＝
＝425a0b0＝425.
点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数，另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数．
(3)5－26＋7－43－6－42
＝(3－2)2＋(2－3)2－(2－2)2
＝3－2＋2－3－2＋2＝0.
点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用．
例3已知，n∈N*，求(x＋1＋x2)n的值．
活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，与具有对称性，它们的积是常数1，为我们解题提供了思路，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示．
＝.
这时应看到1＋x2＝，
这样先算出1＋x2，再算出1＋x2，代入即可．
解：将代入1＋x2，得1＋x2＝，
所以(x＋1＋x2)n＝
＝
＝＝5.
点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法．
知能训练
课本习题2.1A组3.
利用投影仪投射下列补充练习：
1．化简：的结果是()
A．B．
C．D．
解析：根据本题的特点，注意到它的整体性，特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形．
因为，所以原式的分子分母同乘以．
依次类推，所以.
答案：A
2．计算2790.5＋0.1－2＋－3π0＋9－0.5＋490.5×2－4.
解：原式＝
＝53＋100＋916－3＋13＋716＝100.
3．计算a＋2a－1＋a－2a－1(a≥1)．
解：原式＝(a－1＋1)2＋(a－1－1)2＝a－1＋1＋|a－1－1|(a≥1)．
本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习．
4．设a＞0，，则(x＋1＋x2)n的值为__________．
解析：1＋x2＝.
这样先算出1＋x2，再算出1＋x2，
将代入1＋x2，得1＋x2＝.
所以(x＋1＋x2)n＝
＝＝a.
答案：a
拓展提升
参照我们说明无理数指数幂的意义的过程，请你说明无理数指数幂的意义．
活动：教师引导学生回顾无理数指数幂的意义的过程，利用计算器计算出3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果．
解：3＝1.73205080…，取它的过剩近似值和不足近似值如下表．
3的过剩近似值
的过剩近似值
3的不足近似值
的不足近似值

1.83.4822022531.73.249009585
1.743.3403516781.733.317278183
1.7333.3241834461.7313.319578342
1.73213.322110361.73193.321649849
1.732063.3220202521.732043.3219722
1.7320513.3219975291.7320493.321992923
1.73205093.3219972981.73205073.321996838
1.732050813.3219970911.732050793.321997045
…………
我们把用2作底数，3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数
21.7,21.72,21.731,21.7319，…，
同样把用2作底数，3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数：
21．8,21.74,21.733,21.7321，…，不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多，即3的近似值精确度越高，以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为，
即21.7＜21.73＜21.731＜21.7319＜…＜＜…＜21.7321＜21.733＜21.74＜21.8.
也就是说是一个实数，＝3.321997…也可以这样解释：
当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时，23的近似值从大于的方向逼近；
当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时，23的近似值从小于的方向逼近.
所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319，…，和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321，…，按上述规律变化的结果，即≈3.321997.
课堂小结
(1)无理指数幂的意义．
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．
(2)实数指数幂的运算性质：
对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
(3)逼近的思想，体会无限接近的含义．
作业
课本习题2.1B组2.
设计感想
无理数指数是指数概念的又一次扩充，教学中要让学生通过多媒体的演示，理解无理数指数幂的意义，教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索，自己得出结论，加深对概念的理解，本堂课内容较为抽象，又不能进行推理，只能通过多媒体的教学手段，让学生体会，特别是逼近的思想、类比的思想，多作练习，提高学生理解问题、分析问题的能力．
备课资料
【备用习题】
1．以下各式中成立且结果为最简根式的是()
A．a5a3a10a7＝10a4
B．3xy2(xy)2＝y3x2
C．a2bb3aab3＝8a7b15
D．(35－125)3＝5＋125125－235125
答案：B
2．对于a＞0，r，s∈Q，以下运算中正确的是()
A．aras＝arsB．(ar)s＝ars
C．abr＝arbsD．arbs＝(ab)r＋s
答案：B
3．式子x－2x－1＝x－2x－1成立当且仅当()
A．x－2x－1≥0B．x≠1C．x＜1D．x≥2
解析：方法一：
要使式子x－2x－1＝x－2x－1成立，需x－1＞0，x－2≥0，即x≥2.
若x≥2，则式子x－2x－1＝x－2x－1成立．
故选D.
方法二：
对A，式子x－2x－1≥0连式子成立也保证不了，尤其x－2≤0，x－1＜0时式子不成立．
对B，x－1＜0时式子不成立．
对C，x＜1时x－1无意义．
对D正确．
答案：D
4．化简b－(2b－1)(1＜b＜2)．
解：b－(2b－1)＝(b－1)2＝b－1(1＜b＜2)．
5．计算32＋5＋32－5.
解：令x＝32＋5＋32－5，
两边立方得x3＝2＋5＋2－5＋332＋532－5(32＋5＋32－5)，即x3＝4－3x，x3＋3x－4＝0.∴(x－1)(x2＋x＋4)＝0.
∵x2＋x＋4＝x＋122＋154＞0，∴x－1＝0，即x＝1.
∴32＋5＋32－5＝1.

文章来源：http://m.jab88.com/j/5503.html

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