俗话说，凡事预则立，不预则废。作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。写好一份优质的高中教案要怎么做呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高考数学（理科）一轮复习函数的单调性与最值学案含答案”，仅供参考，欢迎大家阅读。

学案5函数的单调性与最值
导学目标：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．
自主梳理
1．单调性
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________．
(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))0fx1－fx2x1－x20f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))0fx1－fx2x1－x20f(x)在[a，b]上是________．
(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________．
(4)函数y＝x＋ax(a0)在(－∞，－a)，(a，＋∞)上是单调________；在(－a，0)，(0，a)上是单调______________；函数y＝x＋ax(a0)在______________上单调递增．
2．最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________．
自我检测
1．(2011杭州模拟)若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有()
A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)
C．f(a2＋a)f(a)D．f(a2＋1)f(a)
3．下列函数在(0,1)上是增函数的是()
A．y＝1－2xB．y＝x－1
C．y＝－x2＋2xD．y＝5
4．(2011合肥月考)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是()
A．f(x1)f(x2)B．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)D．不能确定
5．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为()
A．[c,55＋c]B．[－43＋c，c]
C．[－43＋c,55＋c]D．[c,20＋c]

探究点一函数单调性的判定及证明
例1设函数f(x)＝x＋ax＋b(ab0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．

变式迁移1已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)0，且f(5)＝1，设F(x)＝f(x)＋1fx，讨论F(x)的单调性，并证明你的结论．

探究点二函数的单调性与最值
例2(2011烟台模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围．

变式迁移2已知函数f(x)＝x－ax＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
探究点三抽象函数的单调性
例3(2011厦门模拟)已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.
(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

变式迁移3已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)－2.
分类讨论及数形结合思想
例(12分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【答题模板】
解f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[3分]

(2)当0≤a1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.[6分]
(3)当1a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.[9分]
(4)当a2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
综上，(1)当a0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；
(2)当0≤a1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；
(3)当1a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；
(4)当a2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[12分]
【突破思维障碍】
(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．
(2)不是应该分a0,0≤a≤2，a2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．
1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：
(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．
2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．
(2)f(x)与af(x)，当a0时，具有相同的单调性，当a0时，具有相反的单调性．
(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1fx具有相反的单调性．
(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011泉州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2009天津)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0，若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
3．(2009宁夏，海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为()
A．4B．5C．6D．7
4．(2011丹东月考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1)D．(0,1]
5．(2011葫芦岛模拟)已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()
A．一定大于0B．一定小于0
C．等于0D．正负都有可能
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
7．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．
①y＝[f(x)]2是增函数；
②y＝1fx是减函数；
③y＝－f(x)是减函数；
④y＝|f(x)|是增函数．
8．设0x1，则函数y＝1x＋11－x的最小值是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011湖州模拟)已知函数f(x)＝a－1|x|.
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

10．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

11．(14分)(2011鞍山模拟)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈
[－1,1]，a＋b≠0时，有fa＋fba＋b0成立．
(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；
(2)解不等式：f(x＋12)f(1x－1)；
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案自主梳理
1．(1)增函数(减函数)(2)增函数减函数(3)单调区间(4)递增递减(－∞，0)，(0，＋∞)2.最大(小)值
自我检测
1．B[由已知得a0，b0.所以二次函数对称轴为直线x＝－b2a0，且图象开口向下．]
2．D[∵a2＋1a，f(x)在R上单调递增，
∴f(a2＋1)f(a)．]
3．C[常数函数不具有单调性．]
4．D[在本题中，x1，x2不在同一单调区间内，故无法比较f(x1)与f(x2)的大小．]
5．C[∵f(x)＝3(x－23)2－43＋c，x∈[0,5]，∴当x＝23时，f(x)min＝－43＋c；当x＝5时，f(x)max＝55＋c.]
课堂活动区
例1解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．
解在定义域内任取x1，x2，且使x1x2，
则Δx＝x2－x10，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝x2＋ax2＋b－x1＋ax1＋b
＝x2＋ax1＋b－x2＋bx1＋ax1＋bx2＋b
＝b－ax2－x1x1＋bx2＋b.
∵ab0，∴b－a0，∴(b－a)(x2－x1)0，
又∵x∈(－∞，－b)∪(－b，＋∞)，
∴只有当x1x2－b，或－bx1x2时，函数才单调．
当x1x2－b，或－bx1x2时，f(x2)－f(x1)0，即Δy0.
∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
变式迁移1解在R上任取x1、x2，设x1x2，∴f(x2)f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋1fx2]－[f(x1)＋1fx1]＝[f(x2)－f(x1)][1－1fx1fx2]，
∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，
∴当x5时，0f(x)1，而当x5时f(x)1；
①若x1x25，则0f(x1)f(x2)1，
∴0f(x1)f(x2)1，∴1－1fx1fx20，
∴F(x2)F(x1)；
②若x2x15，则f(x2)f(x1)1，
∴f(x1)f(x2)1，∴1－1fx1fx20，
∴F(x2)F(x1)．
综上，F(x)在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．
例2解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，
设x1，x2∈[1，＋∞)且x1x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2
＝(x1－x2)(1－12x1x2)
∵x1x2，∴x1－x20，又∵1x1x2，
∴1－12x1x20，
∴f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.
(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立，等价于x2＋2x＋a0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，
y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，
∴当x＝1时，ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a0时，函数f(x)恒成立，
故a－3.
方法二f(x)＝x＋ax＋2，x∈[1，＋∞)，
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正，满足题意，当a0时，函数f(x)递增；
当x＝1时，f(x)min＝3＋a，于是当且仅当f(x)min＝3＋a0时，函数f(x)0恒成立，
故a－3.
方法三在区间[1，＋∞)上f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立等价于x2＋2x＋a0恒成立．
即a－x2－2x恒成立．
又∵x∈[1，＋∞)，a－x2－2x恒成立，
∴a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．
∴a－x2－2x＝－(x＋1)2＋1.
当x＝1时，u取得最大值－3，∴a－3.
变式迁移2解设1x1x2.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－ax1＋a2－(x2－ax2＋a2)
＝(x1－x2)(1＋ax1x2)0.
又∵x1－x20，∴1＋ax1x20，即a－x1x2恒成立．
∵1x1x2，x1x21，－x1x2－1.
∴a≥－1，∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
例3解题导引(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f(x)为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．
(1)证明设x1x2，
则f(x1)－f(x2)
＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)
又∵x0时，f(x)0.
而x1－x20，∴f(x1－x2)0，
即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．
(2)解∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
又∵f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)
∴f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
变式迁移3解(1)令x1＝x20，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则x1x21，
由于当x1时，f(x)0，
∴f(x1x2)0，即f(x1)－f(x2)0，∴f(x1)f(x2)，
∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)由f(x1x2)＝f(x1)－f(x2)得
f(93)＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.
由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，
∴当x0时，由f(|x|)－2，得f(x)f(9)，∴x9；
当x0时，由f(|x|)－2，得f(－x)f(9)，
∴－x9，故x－9，
∴不等式的解集为{x|x9或x－9}．
课后练习区
1．A[f(x)对称轴x＝a，当a≤1时f(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴“a＝1”为f(x)在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]
2．C[由题知f(x)在R上是增函数，由题得2－a2a，解得－2a1.]
3．C[
由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函数f(x)图象的最高点．]
4．D[f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0a≤1.]
5．A[∵f(－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．
又∵x1＋x20，x2＋x30，x3＋x10，
∴x1－x2，x2－x3，x3－x1.
又∵f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，
f(x2)f(－x3)＝－f(x3)，
f(x3)f(－x1)＝－f(x1)，
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)－f(x2)－f(x3)－f(x1)．
∴f(x1)＋f(x2)＋f(x3)0.]
6．[0，32]
解析y＝－x－3xx≥0x－3xx0.
画图象如图所示：
可知递增区间为[0，32]．
7．③
解析举例：设f(x)＝x，易知①②④均不正确．
8．4
解析y＝1x＋11－x＝1x1－x，当0x1时，x(1－x)＝－(x－12)2＋14≤14.
∴y≥4.
9．(1)证明当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＝a－1x，
设0x1x2，则x1x20，x2－x10.
f(x1)－f(x2)＝(a－1x1)－(a－1x2)
＝1x2－1x1＝x1－x2x1x20.………………………………………………………………………(5分)
∴f(x1)f(x2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
……………………………………………………………………………………………(6分)
(2)解由题意a－1x2x在(1，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝2x＋1x，则ah(x)在(1，＋∞)上恒成立．
……………………………………………………………………………………………(8分)
∵h′(x)＝2－1x2，x∈(1，＋∞)，∴2－1x20，
∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分)
故a≤h(1)，即a≤3.
∴a的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分)
10．解设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)≥0，
由题意知，f(x)的对称轴为－a2.
(1)当－a2－2，即a4时，
g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤73.
又a4，故此时的a不存在．……………………………………………………………(4分)
(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，
g(a)＝f(－a2)＝3－a－a24≥0得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.……………………………………………………………(8分)
(3)当－a22，即a－4时，
g(a)＝f(2)＝7＋a≥0得a≥－7.
又a－4，故－7≤a－4.
综上得所求a的取值范围是－7≤a≤2.………………………………………………(12分)
11．解(1)任取x1，x2∈[－1,1]，且x1x2，
则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝fx1＋f－x2x1＋－x2(x1－x2)，
由已知得fx1＋f－x2x1＋－x20，x1－x20，
∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)
(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，
∴x＋121x－1，－1≤x＋12≤1，－1≤1x－11.………………………………8分
∴－32≤x－1.……………………………………………………………………………(9分)
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增．
∴在[－1,1]上，f(x)≤1.…………………………………………………………………(10分)
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]成立．
下面来求m的取值范围．
设g(a)＝－2ma＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2，或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.……………………………………………………(14分)

延伸阅读

高考数学（理科）一轮复习曲线与方程学案含答案

学案55曲线与方程

导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应关系．
自主梳理
1．曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)__________________都是这个方程的______．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是________________，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．平面解析几何研究的两个主要问题
(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．
3．求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示________________________；
(2)写出适合条件p的点M的集合P＝____________；
(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为________；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在________．
自我检测
1．(2011湛江月考)已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()
A．y＝2x2B．y＝8x2
C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1
2．一动圆与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()
A．双曲线的一支B．椭圆
C．抛物线D．圆
3．(2011佛山模拟)已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是()
A．直线lB．与l垂直的一条直线
C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线
4．若M、N为两个定点且|MN|＝6，动点P满足PM→PN→＝0，则P点的轨迹是()
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．(2011江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()
A．(－33，33)B．(－33，0)∪(0，33)
C．[－33，33]D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)
探究点一直接法求轨迹方程
例1动点P与两定点A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积为k，试求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．

变式迁移1已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为______________．
探究点二定义法求轨迹方程
例2(2011包头模拟)已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．

变式迁移2在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B－a2，0，Ca2，0，且满足条件sinC－sinB＝12sinA，则动点A的轨迹方程是()
A.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)
B.16y2a2－16x23a2＝1(x≠0)
C.16x2a2－16y215a2＝1(y≠0)的左支
D.16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支
探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程
例3如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程．

变式迁移3已知长为1＋2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且AP→＝22PB→.求点P的轨迹C的方程．

分类讨论思想的应用

例(12分)
过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示，求线段MN的中点P的轨迹方程．
多角度审题要求点P坐标，必须先求M、N两点，这样就要求直线l1、l2，又l1、l2过定点且垂直，只要l1的斜率存在，设一参数k1即可求出P点坐标，再消去k1即得点P轨迹方程．
【答题模板】
解(1)当l1不平行于y轴时，设l1的斜率为k1，则k1≠0.因为l1⊥l2，
所以l2的斜率为－1k1，
l1的方程为y－b＝k1(x－a)，①
l2的方程为y－b＝－1k1(x－a)，②
在①中令y＝0，得M点的横坐标为x1＝a－bk1，[4分]
在②中令x＝0，得N点的纵坐标为y1＝b＋ak1，[6分]
设MN中点P的坐标为(x，y)，则有x＝a2－b2k1，y＝b2＋a2k1，
消去k1，得2ax＋2by－a2－b2＝0(x≠a2)．③[8分]
(2)当l1平行于y轴时，MN中点为a2，b2，其坐标满足方程③.
综合(1)(2)知所求MN中点P的轨迹方程为2ax＋2by－a2－b2＝0.[12分]
【突破思维障碍】
引进l1的斜率k1作参数，写出l1、l2的直线方程，求出M、N的坐标，求出点P的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l1的斜率是否存在．
【易错点剖析】
当AM⊥x轴时，AM的斜率不存在，此时MN中点为a2，b2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点a2，b2.
1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．
2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是()
A．圆B．椭圆
C．双曲线的一支D．抛物线
2．(2011唐山模拟)已知A、B是两个定点，且|AB|＝3，|CB|－|CA|＝2，则点C的轨迹为()
A．双曲线B．双曲线的一支
C．椭圆D．线段
3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC→＝2CB→，则点C的轨迹是()
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线
4．(2011银川模拟)如图，圆O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是()
A．双曲线B．椭圆
C．抛物线D．圆
5．已知F1、F2是椭圆x24＋y23＝1的两个焦点，平面内一个动点M满足|MF1|－|MF2|＝2，则动点M的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线的一个分支
C．两条射线D．一条射线
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于______．
7．(2011泰安月考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为______________．
8．平面上有三点A(－2，y)，B0，y2，C(x，y)，若AB→⊥BC→，则动点C的轨迹方程为__________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知抛物线y2＝4px(p0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．

10．(12分)(2009宁夏，海南)已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，|OP||OM|＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

11．(14分)(2011石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，－3)和F2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x轴，y轴的交点分别为A，B，且OM→＝OA→＋OB→.求：
(1)点M的轨迹方程；
(2)|OM→|的最小值．
学案55曲线与方程
自主梳理
1．(1)曲线上的点的坐标解(2)曲线上的点3.(1)曲线上任意一点M的坐标(2){M|p(M)}(4)最简形式(5)曲线上
自我检测
1．C2.A3.C4.A
5．B[
C1：(x－1)2＋y2＝1，
C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．
当m＝0时，C2：y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m＝±33，
即直线处于两切线之间时满足题意，
则－33m0或0m33.
综上知－33m0或0m33.]
课堂活动区
例1解题导引①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；
②由于已知条件中，直线PA、PB的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A、B两点；
③一般地，方程x2A＋y2B＝1所表示的曲线有以下几种情况：
1°AB0，表示焦点在x轴上的椭圆；
2°A＝B0，表示圆；
3°0AB，表示焦点在y轴上的椭圆；
4°A0B，表示焦点在x轴上的双曲线；
5°A0B，表示焦点在y轴上的双曲线；
6°A，B0，无轨迹．
解设点P(x，y)，则kAP＝yx－a，kBP＝yx＋a.
由题意得yx－ayx＋a＝k，即kx2－y2＝ka2.
∴点P的轨迹方程为kx2－y2＝ka2(x≠±a)．(*)
(1)当k＝0时，(*)式即y＝0，点P的轨迹是直线AB(除去A、B两点)．
(2)当k≠0时，(*)式即x2a2－y2ka2＝1，
①若k0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线(除去A、B两点)．
②若k0，(*)式可化为x2a2＋y2－ka2＝1.
1°当－1k0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A、B两点)；
2°当k＝－1时，(*)式即x2＋y2＝a2，点P的轨迹是以原点为圆心，|a|为半径的圆(除去A、B两点)；
3°当k－1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A、B两点)．
变式迁移1y2＝－8x
解析由题意：MN→＝(4,0)，MP→＝(x＋2，y)，NP→＝(x－2，y)，
∵|MN→||MP→|＋MN→NP→＝0，
∴42＋02x＋22＋y2＋(x－2)4＋y0＝0，
移项两边平方，化简得y2＝－8x.
例2解题导引(1)由于动点M到两定点O1、O2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；
(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．
解
如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．由|O1O2|＝4，
得O1(－2,0)、O2(2,0)．
设动圆M的半径为r，则
由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；
由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝34.
∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a＝32，c＝2，∴b2＝c2－a2＝74.
∴点M的轨迹方程为4x29－4y27＝1(x0)．
变式迁移2D[∵sinC－sinB＝12sinA，由正弦定理得到
|AB|－|AC|＝12|BC|＝12a(定值)．
∴A点轨迹是以B，C为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为|BC|＝a.
∴虚半轴长为a22－a42＝34a，由双曲线标准方程得为16x2a2－16y23a2＝1(y≠0)的右支．]
例3解题导引相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A的运动与点B的运动相关，且点B的运动有规律(有方程)，只需将A的坐标转移到B的坐标中，整理即可得点A的轨迹方程．
解设动点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x1，y1)，则点N的坐标为(2x－x1,2y－y1)．
∵N在直线x＋y＝2上，
∴2x－x1＋2y－y1＝2.①
又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，
∴y－y1x－x1＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②
联立①②解得x1＝32x＋12y－1，y1＝12x＋32y－1.③
又点Q在双曲线x2－y2＝1上，
∴x21－y21＝1.④
③代入④，得动点P的轨迹方程是
2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.
变式迁移3解设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，
AP→＝22PB→，又AP→＝(x－x0，y)，PB→＝(－x，y0－y)，
所以x－x0＝－22x，y＝22(y0－y)
得x0＝1＋22x，y0＝(1＋2)y.
因为|AB|＝1＋2，即x20＋y20＝(1＋2)2，
所以1＋22x2＋[(1＋2)y]2＝(1＋2)2，
化简得x22＋y2＝1.∴点P的轨迹方程为x22＋y2＝1.
课后练习区
1．B[
如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a(设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，其中ab0)．
连接MO，由三角形的中位线可得
|F1M|＋|MO|＝a(a|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．]
2．B[A、B是两个定点，|CB|－|CA|＝2|AB|，所以点C轨迹为双曲线的一支．]
3．C[设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①
又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，
即a＝3x，b＝32y，②
代入①式整理可得x2＋y24＝1.]
4．B[
设抛物线的焦点为F，因为A、B在抛物线上，
所以由抛物线的定义知，A、B到F的距离AF、BF分别等于A、B到准线l的距离AM、BN(如图所示)，
于是|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|.
过O作OR⊥l，由于l是圆O的一条切线，所以四边形AMNB是直角梯形，OR是中位线，
故有|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|
＝2|OR|＝84＝|AB|.
根据椭圆的定义知，焦点F的轨迹是一个椭圆．]
5．D[因为|F1F2|＝2，|MF1|－|MF2|＝2，
所以轨迹为一条射线．]
6．4π
解析设P(x，y)，由题知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.
7．(x－10)2＋y2＝36(y≠0)
解析方法一直接法．
设A(x，y)，y≠0，则Dx2，y2，
∴|CD|＝x2－52＋y24＝3.
化简得(x－10)2＋y2＝36，
∵A、B、C三点构成三角形，
∴A不能落在x轴上，即y≠0.
方法二
定义法．如图所示，
设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E，
则E(10,0)．
∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，
∴A到E的距离为常数6.
∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，
即(x－10)2＋y2＝36.
又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0.
故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
8．y2＝8x
解析AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2.
∵AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，
得2x－y2y2＝0，得y2＝8x.
9．解设M(x，y)，直线AB斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋b.
由OM⊥AB得k＝－xy.
设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
由y2＝4px及y＝kx＋b消去y，
得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝b2k2.
消去x，得ky2－4py＋4pb＝0，
所以y1y2＝4pbk.(4分)
由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2，
所以4pbk＝－b2k2，b＝－4kp.
故y＝kx＋b＝k(x－4p)．(8分)
用k＝－xy代入，
得x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(10分)
AB斜率不存在时，经验证也符合上式．
故M的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0(x≠0)．(12分)
10．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得a－c＝1，a＋c＝7，解得a＝4，c＝3，又∵b2＝a2－c2，∴b＝7，
所以椭圆C的方程为x216＋y27＝1.(4分)
(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]，
由已知|OP|2|OM|2＝λ2及点P在椭圆C上可得9x2＋11216x2＋y2＝λ2，
整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，
其中x∈[－4,4]．(5分)
①当λ＝34时，化简得9y2＝112，
所以点M的轨迹方程为y＝±473(－4≤x≤4)．
轨迹是两条平行于x轴的线段．(7分)
②当λ≠34时，方程变形为x211216λ2－9＋y211216λ2＝1，
其中x∈[－4,4]．
当0λ34时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分．
当34λ1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点，长轴在x轴上的椭圆．(12分)
11．解(1)椭圆的方程可写为y2a2＋x2b2＝1，其中ab0，
由a2－b2＝33a＝32得a2＝4b2＝1，所以曲线C的方程为x2＋y24＝1(0x1,0y2)．(3分)
y＝21－x2(0x1)，y′＝－2x1－x2.
设P(x0，y0)，因为P在C上，有0x01，
y0＝21－x20，y′|x＝x0＝－4x0y0，
得切线AB的方程为y＝－4x0y0(x－x0)＋y0.
(6分)
设A(x,0)和B(0，y)，由切线方程得x＝1x0，y＝4y0.
由OM→＝OA→＋OB→得点M的坐标为(x，y)，
由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为1x2＋4y2＝1(x1，y2)．(10分)
(2)|OM→|2＝x2＋y2，y2＝41－1x2＝4＋4x2－1，
所以|OM→|2＝x2－1＋4x2－1＋5≥4＋5＝9，
当且仅当x2－1＝4x2－1，即x＝3时，上式取等号．
故|OM→|的最小值为3.(14分)

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案

学案52双曲线

导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．
自主梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；
(1)当________时，P点的轨迹是________；
(2)当________时，P点的轨迹是________；
(3)当________时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)
y2a2－x2b2＝1(a0，b0)

图形

性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴
对称中心：原点对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线y＝±bax
y＝±abx

离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2

实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．
自我检测
1．(2011安徽)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．22
C．4D．42
2．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→PF2→等于()
A．－12B．－2
C．0D．4
3．(2011课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()
A.2B.3
C．2D．3
4．(2011武汉调研)已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．
5．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．
探究点一双曲线的定义及应用
例1已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．

变式迁移1已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
探究点二求双曲线的标准方程
例2已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．

变式迁移2(2011安庆模拟)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．
探究点三双曲线几何性质的应用
例3已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.
(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

变式迁移3已知双曲线C：x22－y2＝1.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)已知M点坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP→MQ→，求λ的取值范围．
方程思想的应用
例(12分)过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积；
(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
多角度审题(1)要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；(2)在(1)的基础上只要求点到直线的距离；(3)要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．
【答题模板】
(1)解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，
∴c＝a2＋b2＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)．
直线AB的方程为y＝33(x－3)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]
∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332x1＋x22－4x1x2＝433625＋1085＝1635.[4分]
(2)解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]
∴S△AOB＝12|AB|d＝12×1635×32＝1235.[8分]
(3)证明
如图，由双曲线的定义得
|AF2|－|AF1|＝23，
|BF1|－|BF2|＝23，[10分]
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]
【突破思维障碍】
写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点O到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．
【易错点剖析】
在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ0，而导致错解．
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
2．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx.
3．双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知M(－2,0)、N(2,0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是()
A．双曲线B．双曲线左边一支
C．双曲线右边一支D．一条射线
2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于()
A．22B．16C．14D．12
3．(2011宁波高三调研)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为()
A.2B.3C．2D.5
4．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是()
A．相交B．相离C．相切D．内含
5．(2011山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()
A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1
C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011上海)设m是常数，若点F(0,5)是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.
7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．
8．(2011铜陵期末)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)；
(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．

10．(12分)(2011广东)设圆C与两圆(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．

11．(14分)(2010四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N.
(1)求E的方程；
(2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由．

学案52双曲线
自主梳理
1．双曲线焦点焦距(1)ac双曲线(2)a＝c两条射线(3)ac3.等轴双曲线y＝±xe＝2
自我检测
1．C[∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，
∴a＝2，∴2a＝4.]
2．C
3．B[设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，
∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]
4．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)
5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知
|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，
∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.
∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．
由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，
故所求最小值为9.
课堂活动区
例1解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．
解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，
所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a
(其中a表示椭圆的长半轴)．
所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.
所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.
所以|FA|－|FB|＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．
所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．
变式迁移1解
设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，
|MC2|＝r－2，
∴|MC1|－|MC2|＝22，
又C1(－4,0)，C2(4,0)，
∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以
C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.
∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．
例2解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ(参数λ≠0)中，当λ0时，焦点在x轴上；当λ0时，焦点在y轴上．
解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
当x＝4时，y＝2yp＝3，
∴双曲线的焦点在y轴上．
从而有ab＝12，∴b＝2a.
设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，
∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.
∴双曲线方程为y25－x220＝1.
方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，
即x2－y＝0，
∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.
设双曲线方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.
变式迁移2y24－x212＝1
解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.
例3解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．
解(1)由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5,0)，
F2(5,0)，离心率e＝53，
渐近线方程为y＝±43x.
(2)||PF1|－|PF2||＝6，
cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|
＝36＋64－10064＝0，
∴∠F1PF2＝90°.
变式迁移3解(1)因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.
(2)设P点坐标为(x0，y0)，则Q的坐标为(－x0，－y0)，
λ＝MP→MQ→＝(x0，y0－1)(－x0，－y0－1)
＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.
∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是(－∞，－1]．
课后练习区
1．C2.A3.A4.C
5．A[∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，
∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，
∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]
6．16
解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.
7.1638.62
9．解(1)方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，
(2分)
设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，
由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，
解得a2＝94，b2＝4.(4分)
所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.(6分)
方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ(λ≠0)，(2分)
将点(－3,23)代入得λ＝14，(4分)
所以双曲线方程为x29－y216＝14，
即49x2－y24＝1.(6分)
(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.(8分)
又双曲线过点(32，2)，∴322a2－4b2＝1.
又∵a2＋b2＝(25)2，
∴a2＝12，b2＝8.(10分)
故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.(12分)
10．解(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋5)2＋y2＝4的圆心为F1(－5，0)，半径为2，
圆(x－5)2＋y2＝4的圆心为F(5，0)，半径为2.
由题意得|CF1|＝r＋2，|CF|＝r－2或|CF1|＝r－2，|CF|＝r＋2，
∴||CF1|－|CF||＝4.(4分)
∵|F1F|＝254.
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－5，0)，F(5，0)为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.(6分)
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，(8分)
且|MF|＝355－52＋455－02＝2.(9分)
直线MF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.
此时y＝－255.(11分)
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为(655，－255)．(12分)
11．解(1)设P(x，y)，
则x－22＋y2＝2x－12，
化简得x2－y23＝1(y≠0)．(5分)
(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，
得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0.
由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.(7分)
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2x1x2－2x1＋x2＋4
＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.
因为x1，x2≠－1，
所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1(x＋1)．
因此M点的坐标为12，3y12x1＋1，
FM→＝－32，3y12x1＋1.
同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.
因此FM→FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1
＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.(11分)
②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B(2,3)，C(2，－3)．
AB的方程为y＝x＋1，
因此M点的坐标为12，32，FM→＝－32，32.
同理可得FN→＝－32，－32.
因此FM→FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.(13分)
综上，FM→FN→＝0，故FM⊥FN.
故以线段MN为直径的圆过点F.(14分)

高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道教案要怎么写呢？为了让您在使用时更加简单方便，下面是小编整理的“高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

学案11函数与方程
导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．
自主梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与____有交点函数y＝f(x)有________．
2．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个____也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系
Δ0Δ＝0Δ0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a0)的图象

与x轴的交点________，
________________无交点
零点个数________________________
4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；
第二步，求区间(a，b)的中点c；
第三步，计算______：
①若________，则c就是函数的零点；
②若________，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
③若________，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．
自我检测
1．(2010福建)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx0的零点个数为()
A．0B．1C．2D．3
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点()
A．至少有一个B．至多有一个
C．有且只有一个D．可能有无数个
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()
A．①②B．①③
C．①④D．③④
4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0，则方程的根所在的区间是()
A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)D．不能确定
5．(2011福州模拟)若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()
A．f(x)＝4x－1B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1D．f(x)＝ln(x－0.5)
探究点一函数零点的判断
例1判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．

变式迁移1(2011烟台模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()
A．多于4个B．4个
C．3个D．2个
探究点二用二分法求方程的近似解
例2求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．

变式迁移2(2011淮北模拟)用二分法研究函数f(x)＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f(0)0，0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为()
A.0，12B．(0,1)f12
C.12，1D.0，12
探究点三利用函数的零点确定参数
例3已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
变式迁移3若函数f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．
1．全面认识深刻理解函数零点：
(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；
(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；
(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；
(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．
2．求函数y＝f(x)的零点的方法：
(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；
(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)f(b)0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
3．有关函数零点的重要结论：
(1)若连续不间断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点；
(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
2．(2011福州质检)已知函数f(x)＝log2x－13x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()
A．恒为负B．等于零
C．恒为正D．不小于零
3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()
4．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1、x2，且x1x2，则()
A．x12,2x25
B．x12，x25
C．x12，x25
D．2x15，x25
5．(2011厦门月考)设函数f(x)＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x1，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是()
A．4B．3C．2D．1
题号12345
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2006x＋log2006x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．
7．(2011深圳模拟)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．
8．(2009山东)若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14.
证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.

10．(12分)已知二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)0，求实数p的取值范围．
11．(14分)(2011杭州调研)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求证：
(1)a0且－3ba－34；
(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；
(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|574.

答案自主梳理
1．(1)f(x)＝0(2)x轴零点2.f(a)f(b)0(a，b)f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)两个一个无4.f(a)f(b)0f(c)①f(c)＝0②f(a)f(c)0③f(c)f(b)0
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1．C[当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，
解得x＝－3；
当x0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，
所以已知函数有两个零点．]
2．B3.B4.B5.A
课堂活动区
例1解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．
解方法一设f(x)＝lnx＋2x－6，
∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，
∴f(x)也是增函数．
又∵f(1)＝0＋2－6＝－40，f(3)＝ln30，
∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，
∴函数在(1,3)上存在唯一零点．
方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．
变式迁移1B[由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右
边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．]
例2解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；
②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f(a)f(b)0；
③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，直到|a－b|ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．
解设f(x)＝2x3＋3x－3.
经计算，f(0)＝－30，f(1)＝20，
所以函数在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，
又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解，
如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.
(a，b)(a，b)
的中点fa＋b2

(0,1)0.5f(0.5)0
(0.5,1)0.75f(0.75)0
(0.5,0.75)0.625f(0.625)0
(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)0
(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.06250.1
至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间(0.6875,0.75)内，可以将区间端点0.6875作为函数f(x)零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．
变式迁移2D[由于f(0)0，f120，而f(x)＝x3＋lnx＋12中的x3及lnx＋12在－12，＋∞上是增函数，故f(x)在－12，＋∞上也是增函数，
故f(x)在0，12上存在零点，所以x0∈0，12，
第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点
x1＝0＋122＝14.]
例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.
令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，
解得a＝－3±72.
①当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，
当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72[－1,1]，
∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；
②当f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)0，
即1a5时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点．
③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则
a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≥0f－1≥0，或a0Δ＝8a2＋24a＋40－1－12a1f1≤0f－1≤0，
解得a≥5或a－3－72.
综上所述实数a的取值范围是a1或a≤－3－72.
变式迁移3解方法一(换元)
设2x＝t，则函数f(x)＝4x＋a2x＋a＋1化为g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
函数f(x)＝4x＋a2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．
(1)当方程①有两个正实根时，
a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a0t1t2＝a＋10，
解得：－1a≤2－22；
(2)当方程①有一正根一负根时，只需t1t2＝a＋10，
即a－1；
(3)当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.
综上可知a≤2－22.
方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．
(1)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在两个零点时，
实数a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0－a20g0＝a＋10，
解得－1a≤2－22；
(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a应满足g(0)＝a＋10，
解得a－1；
(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g(t)的另一个零点是1.
综上(1)(2)(3)知a≤2－22.
课后练习区
1．B[因为f(－1)＝12－30，f(0)＝10，
所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．]
2．A
3．C[能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A、B中不存在f(x)0，D中函数不连续．]
4．C
5．B[当x≤1时，函数f(x)＝4x－4与g(x)＝log2x的图象有两个交点，可得h(x)有两个零点，当x1时，函数f(x)＝x2－4x＋3与g(x)＝log2x的图象有1个交点，可得函数h(x)有1个零点，∴函数h(x)共有3个零点．]
6．3
解析函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x0时，f(x)＝2006x＋log2006x在区间(0，12006)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.
7．x1x2x3
解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；
令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，
设y＝lnx，y＝－x.
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x10x21，令x－x－1＝0，则(x)2－x－1＝0，
∴x＝1＋52，
即x3＝3＋521，所以x1x2x3.
8．a1
解析设函数y＝ax(a0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0a1时两函数只有一个交点，不符合；当a1时，因为函数y＝ax(a1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a1.
9．证明令g(x)＝f(x)－x.………………………………………………………………(2分)
∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，
∴g(0)g(12)0.……………………………………………………………………………(8分)
又函数g(x)在(0，12)上连续，…………………………………………………………(10分)
所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.
即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分)
10．解二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，
使f(c)0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x都有f(x)≤0.……………………(4分)
此时f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：
p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………(10分)
∴二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f(c)0的实数p的取值范围是
－3p32.…………………………………………………………………………………(12分)
11．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，
∴3a＋2b＋2c＝0.
又3a2c2b，∴3a0,2b0，
∴a0，b0.
又2c＝－3a－2b，由3a2c2b，
∴3a－3a－2b2b.
∵a0，∴－3ba－34.……………………………………………………………………(4分)
(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.
①当c0时，∵a0，
∴f(0)＝c0且f(1)＝－a20，
∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(7分)
②当c≤0时，
∵a0，
∴f(1)＝－a20且f(2)＝a－c0，
∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．
综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(10分)
(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.
∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2
＝－ba2－4－32－ba
＝ba＋22＋2.(12分)
∵－3ba－34，
∴2≤|x1－x2|574.……………………………………………………………………(14分)

2012届高考数学第二轮备考复习：函数的单调性、最值、极值问题

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助授课经验少的高中教师教学。那么，你知道高中教案要怎么写呢？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“2012届高考数学第二轮备考复习：函数的单调性、最值、极值问题”，欢迎阅读，希望您能够喜欢并分享！

题型九函数的单调性、最值、极值问题
(推荐时间：30分钟)
1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值5，其导函数的图象经过(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值；
(3)f(x)的极大值．
2．已知函数f(x)＝xlnx.
(1)求f(x)的最小值；
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．
答案
1．解f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
(1)观察图象，我们可发现当x∈(－∞，1)时，f′(x)0，此时f(x)为增函数；
当x∈(1,2)时，f′(x)0，此时f(x)为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，此时f(x)为增函数，
因此在x＝2处函数取得极小值．
结合已知，可得x0＝2.
(2)由(1)知f(2)＝5，即8a＋4b＋2c＝5.
再结合f′(x)的图象可知，方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为1,2，
那么1＋2＝－2b3a，1×2＝c3a即2b＝－9a，c＝6a.
联立8a＋4b＋2c＝5，得a＝52，b＝－454，c＝15.
(3)由(1)知f(x)在x＝1处函数取得极大值，
∴f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＋c＝52－454＋15＝254.
2．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1e，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x0，1e
1e
1e，＋∞

f′(x)－0＋
f(x)?
极小值?

所以，f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f1e＝－1e.
(2)当x∈0，1e时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是－1e，0；
当x∈1e，＋∞时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是－1e，＋∞，
下面讨论f(x)－m＝0的解，
当m－1e时，原方程无解；
当m＝－1e或m≥0，原方程有唯一解；
当－1em0时，原方程有两解．

文章来源：http://m.jab88.com/j/52259.html

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