一名优秀的教师就要对每一课堂负责,作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助教师提前熟悉所教学的内容。那么怎么才能写出优秀的教案呢?下面是小编为大家整理的“2012届高三理科数学数列总复习”,相信您能找到对自己有用的内容。
第六章数列
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1.数列的概念和简单表示法?
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);?(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.?
2.等差数列、等比数列?
(1)理解等差数列、等比数列的概念;?
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式;?
(3)能在具体问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题;?
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.本章重点:1.等差数列、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式及有关性质;
2.注重提炼一些重要的思想和方法,如:观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法、函数与方程思想、数学模型思想以及离散与连续的关系.?
本章难点:1.数列概念的理解;2.等差等比数列性质的运用;3.数列通项与求和方法的运用.仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式及性质,在解答题中,会保持以前的风格,注重数列与其他分支的综合能力的考查,在高考中,数列常考常新,其主要原因是它作为一个特殊函数,使它可以与函数、不等式、解析几何、三角函数等综合起来,命出开放性、探索性强的问题,更体现了知识交叉命题原则得以贯彻;又因为数列与生产、生活的联系,使数列应用题也倍受欢迎.
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6.1数列的概念与简单表示法
典例精析
题型一归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式:
(1)7,77,777,7777,…
(2)23,-415,635,-863,…
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…
【解析】(1)将数列变形为79(10-1),79(102-1),79(103-1),…,79(10n-1),
故an=79(10n-1).
(2)分开观察,正负号由(-1)n+1确定,分子是偶数2n,分母是1×3,3×5,5×7,…,(2n-1)(2n+1),故数列的通项公式可写成an=(-1)n+1.
(3)将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,….
故数列的通项公式为an=n+.
【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法,观察归纳是由特殊到一般的有效手段,本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律,从而求得通项.
【变式训练1】如下表定义函数f(x):
x12345
f(x)54312
对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则a2008的值是()
A.1B.2C.3D.4
【解析】a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=4,…,可得an+4=an.
所以a2008=a4=2,故选B.
题型二应用an=求数列通项
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求其通项公式:
(1)Sn=3n-2;
(2)Sn=18(an+2)2(an>0).
【解析】(1)当n=1时,a1=S1=31-2=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1,
又a1=1不适合上式,
故an=
(2)当n=1时,a1=S1=18(a1+2)2,解得a1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=18(an+2)2-18(an-1+2)2,
所以(an-2)2-(an-1+2)2=0,所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0,
又an>0,所以an-an-1=4,
可知{an}为等差数列,公差为4,
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)4=4n-2,
a1=2也适合上式,故an=4n-2.
【点拨】本例的关键是应用an=求数列的通项,特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的一般性通项公式.
【变式训练2】已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是()
A.2n-1B.(n+1n)n-1C.n2D.n
【解析】由an=n(an+1-an)an+1an=n+1n.
所以an=anan-1×an-1an-2×…×a2a1=nn-1×n-1n-2×…×32×21=n,故选D.
题型三利用递推关系求数列的通项
【例3】已知在数列{an}中a1=1,求满足下列条件的数列的通项公式:
(1)an+1=an1+2an;(2)an+1=2an+2n+1.
【解析】(1)因为对于一切n∈N*,an≠0,
因此由an+1=an1+2an得1an+1=1an+2,即1an+1-1an=2.
所以{1an}是等差数列,1an=1a1+(n-1)2=2n-1,即an=12n-1.
(2)根据已知条件得an+12n+1=an2n+1,即an+12n+1-an2n=1.
所以数列{an2n}是等差数列,an2n=12+(n-1)=2n-12,即an=(2n-1)2n-1.
【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法,尤其是后者,可以通过进一步的计算,将其进行转化,构造新数列求通项,进而可以求得所求数列的通项公式.
【变式训练3】设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…),求an.
【解析】因为数列{an}是首项为1的正项数列,
所以anan+1≠0,所以(n+1)an+1an-nanan+1+1=0,
令an+1an=t,所以(n+1)t2+t-n=0,
所以[(n+1)t-n](t+1)=0,
得t=nn+1或t=-1(舍去),即an+1an=nn+1.
所以a2a1a3a2a4a3a5a4…anan-1=12233445…n-1n,所以an=1n.
总结提高
1.给出数列的前几项求通项时,常用特征分析法与化归法,所求通项不唯一.
2.由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况.
3.给出Sn与an的递推关系,要求an,常用思路是:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
6.2等差数列
典例精析
题型一等差数列的判定与基本运算
【例1】已知数列{an}前n项和Sn=n2-9n.
(1)求证:{an}为等差数列;(2)记数列{|an|}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.
【解析】(1)证明:n=1时,a1=S1=-8,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10,
当n=1时,也适合该式,所以an=2n-10(n∈N*).
当n≥2时,an-an-1=2,所以{an}为等差数列.
(2)因为n≤5时,an≤0,n≥6时,an>0.
所以当n≤5时,Tn=-Sn=9n-n2,
当n≥6时,Tn=a1+a2+…+a5+a6+…+an
=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an
=Sn-2S5=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40,
所以,
【点拨】根据定义法判断数列为等差数列,灵活运用求和公式.
【变式训练1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S21=42,若记bn=,则数列{bn}()
A.是等差数列,但不是等比数列B.是等比数列,但不是等差数列
C.既是等差数列,又是等比数列D.既不是等差数列,又不是等比数列
【解析】本题考查了两类常见数列,特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列,则S21=21a1+21×202d=42.
所以a1+10d=2,即a11=2.所以bn==22-(2a11)=20=1,即数列{bn}是非0常数列,既是等差数列又是等比数列.答案为C.
题型二公式的应用
【例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
【解析】(1)依题意,有
S12=12a1+12×(12-1)d2>0,S13=13a1+13×(13-1)d2<0,
即
由a3=12,得a1=12-2d.③
将③分别代入①②式,得
所以-247<d<-3.
(2)方法一:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,
即a6+a7>0,a7<0,因此a6>0,a7<0,
故在S1,S2,…,S12中,S6的值最大.
方法二:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
故在S1,S2,…,S12中,S6的值最大.
【变式训练2】在等差数列{an}中,公差d>0,a2008,a2009是方程x2-3x-5=0的两个根,Sn是数列{an}的前n项的和,那么满足条件Sn<0的最大自然数n=.
【解析】由题意知又因为公差d>0,所以a2008<0,a2009>0.当
n=4015时,S4015=a1+a40152×4015=a2008×4015<0;当n=4016时,S4016=a1+a40162×4016=a2008+a20092×4016>0.所以满足条件Sn<0的最大自然数n=4015.
题型三性质的应用
【例3】某地区2010年9月份曾发生流感,据统计,9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人数比前一天增加40人;但从9月11日起,该地区医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,每天的新感染者人数比前一天减少10人.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数;
(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人?
【解析】(1)由题意知,该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40,公差为40的等差数列.
所以9月10日的新感染者人数为40+(10-1)×40=400(人).
所以9月11日的新感染者人数为400-10=390(人).
(2)9月份前10天的新感染者人数和为S10=10(40+400)2=2200(人),
9月份后20天流感病毒的新感染者的人数,构成一个首项为390,公差为-10的等差数列.
所以后20天新感染者的人数和为T20=20×390+20(20-1)2×(-10)=5900(人).
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200+5900=8100(人).
【变式训练3】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为
.
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15,
所以5+3d2≤a4≤3+d,即5+3d≤6+2d,所以d≤1,
所以a4≤3+d≤3+1=4,故a4的最大值为4.
总结提高
1.在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中,am=an+(m-n)d.
2.在五个量a1、d、n、an、Sn中,知其中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,即善于减少运算量,达到快速、准确的目的.
3.已知三个或四个数成等差数列这类问题,要善于设元,目的仍在于减少运算量,如三个数成等差数列时,除了设a,a+d,a+2d外,还可设a-d,a,a+d;四个数成等差数列时,可设为a-3m,a-m,a+m,a+3m.
4.在求解数列问题时,要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.
6.3等比数列
典例精析
题型一等比数列的基本运算与判定
【例1】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n=1,2,3,…).求证:
(1)数列{Snn}是等比数列;(2)Sn+1=4an.
【解析】(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=n+2nSn,
所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).
整理得nSn+1=2(n+1)Sn,所以Sn+1n+1=2Snn,
故{Snn}是以2为公比的等比数列.
(2)由(1)知Sn+1n+1=4Sn-1n-1=4ann+1(n≥2),
于是Sn+1=4(n+1)Sn-1n-1=4an(n≥2).
又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4.
因此对于任意正整数n≥1,都有Sn+1=4an.
【点拨】①运用等比数列的基本公式,将已知条件转化为关于等比数列的特征量a1、q的方程是求解等比数列问题的常用方法之一,同时应注意在使用等比数列前n项和公式时,应充分讨论公比q是否等于1;②应用定义判断数列是否是等比数列是最直接,最有依据的方法,也是通法,若判断一个数列是等比数列可用an+1an=q(常数)恒成立,也可用a2n+1=anan+2恒成立,若判定一个数列不是等比数列则只需举出反例即可,也可以用反证法.
【变式训练1】等比数列{an}中,a1=317,q=-12.记f(n)=a1a2…an,则当f(n)最大时,n的值为()
A.7B.8C.9D.10
【解析】an=317×(-12)n-1,易知a9=317×1256>1,a10<0,0<a11<1.又a1a2…a9>0,故f(9)=a1a2…a9的值最大,此时n=9.故选C.
题型二性质运用
【例2】在等比数列{an}中,a1+a6=33,a3a4=32,an>an+1(n∈N*).
(1)求an;
(2)若Tn=lga1+lga2+…+lgan,求Tn.
【解析】(1)由等比数列的性质可知a1a6=a3a4=32,
又a1+a6=33,a1>a6,解得a1=32,a6=1,
所以a6a1=132,即q5=132,所以q=12,
所以an=32(12)n-1=26-n.
(2)由等比数列的性质可知,{lgan}是等差数列,
因为lgan=lg26-n=(6-n)lg2,lga1=5lg2,
所以Tn=(lga1+lgan)n2=n(11-n)2lg2.
【点拨】历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积性”,题目“小而巧”且背景不断更新,要熟练掌握.
【变式训练2】在等差数列{an}中,若a15=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a29-n(n<29,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{bn}中,若b19=1,能得到什么等式?
【解析】由题设可知,如果am=0,在等差数列中有
a1+a2+…+an=a1+a2+…+a2m-1-n(n<2m-1,n∈N*)成立,
我们知道,如果m+n=p+q,则am+an=ap+aq,
而对于等比数列{bn},则有若m+n=p+q,则aman=apaq,
所以可以得出结论:
若bm=1,则有b1b2…bn=b1b2…b2m-1-n(n<2m-1,n∈N*)成立.
在本题中则有b1b2…bn=b1b2…b37-n(n<37,n∈N*).
题型三综合运用
【例3】设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=1-Sn,问是否存在a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,则求出a1的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由题意可得2Sn=an+1-a1.
所以当n≥2时,有
两式相减得an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+a1=3a1,an≠0,
所以{an}是以首项为a1,公比为q=3的等比数列.
所以an=a13n-1.
(2)因为Sn=a1(1-qn)1-q=-12a1+12a13n,所以bn=1-Sn=1+12a1-12a13n.
要使{bn}为等比数列,当且仅当1+12a1=0,即a1=-2,此时bn=3n.
所以{bn}是首项为3,公比为q=3的等比数列.
所以{bn}能为等比数列,此时a1=-2.
【变式训练3】已知命题:若{an}为等差数列,且am=a,an=b(m<n,m、n∈N*),则am+n=bn-amn-m.现在已知数列{bn}(bn>0,n∈N*)为等比数列,且bm=a,bn=b(m<n,m,n∈N*),类比上述结论得bm+n=.
【解析】n-mbnam.
总结提高
1.方程思想,即等比数列{an}中五个量a1,n,q,an,Sn,一般可“知三求二”,通过求和与通项两公式列方程组求解.
2.对于已知数列{an}递推公式an与Sn的混合关系式,利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),再引入辅助数列,转化为等比数列问题求解.
3.分类讨论思想:当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列{an}为递增数列;当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,{an}为递减数列;q<0时,{an}为摆动数列;q=1时,{an}为常数列.
6.4数列求和
典例精析
题型一错位相减法求和
【例1】求和:Sn=1a+2a2+3a3+…+nan.
【解析】(1)a=1时,Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)2.
(2)a≠1时,因为a≠0,
Sn=1a+2a2+3a3+…+nan,①
1aSn=1a2+2a3+…+n-1an+nan+1.②
由①-②得(1-1a)Sn=1a+1a2+…+1an-nan+1=1a(1-1an)1-1a-nan+1,
所以Sn=a(an-1)-n(a-1)an(a-1)2.
综上所述,Sn=
【点拨】(1)若数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,则求数列{anbn}的前n项和时,可采用错位相减法;
(2)当等比数列公比为字母时,应对字母是否为1进行讨论;
(3)当将Sn与qSn相减合并同类项时,注意错位及未合并项的正负号.
【变式训练1】数列{2n-32n-3}的前n项和为()
A.4-2n-12n-1B.4+2n-72n-2C.8-2n+12n-3D.6-3n+22n-1
【解析】取n=1,2n-32n-3=-4.故选C.
题型二分组并项求和法
【例2】求和Sn=1+(1+12)+(1+12+14)+…+(1+12+14+…+12n-1).
【解析】和式中第k项为ak=1+12+14+…+12k-1=1-(12)k1-12=2(1-12k).
所以Sn=2[(1-12)+(1-122)+…+(1-12n)]
=-(12+122+…+12n)]
=2[n-12(1-12n)1-12]=2[n-(1-12n)]=2n-2+12n-1.
【变式训练2】数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为()
A.2n-1B.n2n-n
C.2n+1-nD.2n+1-n-2
【解析】an=1+2+22+…+2n-1=2n-1,
Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2n+1-n-2.故选D.
题型三裂项相消法求和
【例3】数列{an}满足a1=8,a4=2,且an+2-2an+1+an=0(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=1n(14-an)(n∈N*),Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*),若对任意非零自然数n,Tn>m32恒成立,求m的最大整数值.
【解析】(1)由an+2-2an+1+an=0,得an+2-an+1=an+1-an,
从而可知数列{an}为等差数列,设其公差为d,则d=a4-a14-1=-2,
所以an=8+(n-1)×(-2)=10-2n.
(2)bn=1n(14-an)=12n(n+2)=14(1n-1n+2),
所以Tn=b1+b2+…+bn=14[(11-13)+(12-14)+…+(1n-1n+2)]
=14(1+12-1n+1-1n+2)=38-14(n+1)-14(n+2)>m32,
上式对一切n∈N*恒成立.
所以m<12-8n+1-8n+2对一切n∈N*恒成立.
对n∈N*,(12-8n+1-8n+2)min=12-81+1-81+2=163,
所以m<163,故m的最大整数值为5.
【点拨】(1)若数列{an}的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和.
(2)使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.
【变式训练3】已知数列{an},{bn}的前n项和为An,Bn,记cn=anBn+bnAn-anbn(n∈N*),则数列{cn}的前10项和为()
A.A10+B10B.A10+B102C.A10B10D.A10B10
【解析】n=1,c1=A1B1;n≥2,cn=AnBn-An-1Bn-1,即可推出{cn}的前10项和为A10B10,故选C.
总结提高
1.常用的基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征,分析数列通项公式的特征联想相应的求和方法既是根本,也是关键.
2.数列求和实质就是求数列{Sn}的通项公式,它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧,对学生的知识和思维有很高的要求,应充分重视并系统训练.
6.5数列的综合应用
典例精析
题型一函数与数列的综合问题
【例1】已知f(x)=logax(a>0且a≠1),设f(a1),f(a2),…,f(an)(n∈N*)是首项为4,公差为2的等差数列.
(1)设a是常数,求证:{an}成等比数列;
(2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a=2时,求Sn.
【解析】(1)f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logaan=2n+2,所以an=a2n+2,
所以anan-1=a2n+2a2n=a2(n≥2)为定值,所以{an}为等比数列.
(2)bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2,
当a=2时,bn=(2n+2)(2)2n+2=(n+1)2n+2,
Sn=223+324+425+…+(n+1)2n+2,
2Sn=224+325+…+n2n+2+(n+1)2n+3,
两式相减得
-Sn=223+24+25+…+2n+2-(n+1)2n+3=16+24(1-2n-1)1-2-(n+1)2n+3,
所以Sn=n2n+3.
【点拨】本例是数列与函数综合的基本题型之一,特征是以函数为载体构建数列的递推关系,通过由函数的解析式获知数列的通项公式,从而问题得到求解.
【变式训练1】设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是()
A.nn+1B.n+2n+1C.nn+1D.n+1n
【解析】由f′(x)=mxm-1+a=2x+1得m=2,a=1.
所以f(x)=x2+x,则1f(n)=1n(n+1)=1n-1n+1.
所以Sn=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.故选C.
题型二数列模型实际应用问题
【例2】某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到2009年底全县的绿化率已达30%,从2010年开始,每年将出现这样的局面:原有沙漠面积的16%将被绿化,与此同时,由于各种原因,原有绿化面积的4%又被沙化.
(1)设全县面积为1,2009年底绿化面积为a1=310,经过n年绿化面积为an+1,求证:an+1=45an+425;
(2)至少需要多少年(取整数)的努力,才能使全县的绿化率达到60%?
【解析】(1)证明:由已知可得an确定后,an+1可表示为an+1=an(1-4%)+(1-an)16%,
即an+1=80%an+16%=45an+425.
(2)由an+1=45an+425有,an+1-45=45(an-45),
又a1-45=-12≠0,所以an+1-45=-12(45)n,即an+1=45-12(45)n,
若an+1≥35,则有45-12(45)n≥35,即(45)n-1≤12,(n-1)lg45≤-lg2,
(n-1)(2lg2-lg5)≤-lg2,即(n-1)(3lg2-1)≤-lg2,
所以n≥1+lg21-3lg2>4,n∈N*,
所以n取最小整数为5,故至少需要经过5年的努力,才能使全县的绿化率达到60%.
【点拨】解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题,通过反复读题,列出有关信息,转化为数列的有关问题.
【变式训练2】规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步,现程序设计师让机器狗以“前进3步,然后再后退2步”的规律进行移动.如果将此机器狗放在数轴的原点,面向正方向,以1步的距离为1单位长移动,令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标,且P(0)=0,则下列结论中错误的是()
A.P(2006)=402B.P(2007)=403
C.P(2008)=404D.P(2009)=405
【解析】考查数列的应用.构造数列{Pn},由题知P(0)=0,P(5)=1,P(10)=2,P(15)=3.所以P(2005)=401,P(2006)=401+1=402,P(2007)=401+1+1=403,P(2008)=401+
3=404,P(2009)=404-1=403.故D错.
题型三数列中的探索性问题
【例3】{an},{bn}为两个数列,点M(1,2),An(2,an),Bn(n-1n,2n)为直角坐标平面上的点.
(1)对n∈N*,若点M,An,Bn在同一直线上,求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足log2Cn=a1b1+a2b2+…+anbna1+a2+…+an,其中{Cn}是第三项为8,公比为4的等比数列,求证:点列(1,b1),(2,b2),…,(n,bn)在同一直线上,并求此直线方程.
【解析】(1)由an-22-1=2n-2n-1n-1,得an=2n.
(2)由已知有Cn=22n-3,由log2Cn的表达式可知:
2(b1+2b2+…+nbn)=n(n+1)(2n-3),①
所以2[b1+2b2+…+(n-1)bn-1]=(n-1)n(2n-5).②
①-②得bn=3n-4,所以{bn}为等差数列.
故点列(1,b1),(2,b2),…,(n,bn)共线,直线方程为y=3x-4.
【变式训练3】已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn(n∈N*).若a1>1,a4>3,S3≤9,则通项公式an=.
【解析】本题考查二元一次不等式的整数解以及等差数列的通项公式.
由a1>1,a4>3,S3≤9得
令x=a1,y=d得
在平面直角坐标系中画出可行域如图所示.符合要求的整数点只有(2,1),即a1=2,d=1.所以an=2+n-1=n+1.故答案填n+1.
总结提高
1.数列模型应用问题的求解策略
(1)认真审题,准确理解题意;
(2)依据问题情境,构造等差、等比数列,然后应用通项公式、前n项和公式以及性质求解,或通过探索、归纳构造递推数列求解;
(3)验证、反思结果与实际是否相符.
2.数列综合问题的求解策略
(1)数列与函数综合问题或应用数学思想解决数列问题,或以函数为载体构造数列,应用数列的知识求解;
(2)数列的几何型综合问题,探究几何性质和规律特征建立数列的递推关系式,然后求解问题.
作为杰出的教学工作者,能够保证教课的顺利开展,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课,帮助高中教师更好的完成实现教学目标。写好一份优质的高中教案要怎么做呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《高三数学下册《三角函数》知识点复习》,仅供参考,欢迎大家阅读。
高三数学下册《三角函数》知识点复习
三角函数线的定义:
设任意角α的顶点在原点O,始边与x轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),过P点作x轴的垂线,垂足为M,过点A(1,0)作单位圆的切线
设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T,则有向线段MP、OM,AT分别叫做角α的正弦线,余弦线,正切线,即:sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT
三角函数常考题型:
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用1的代换,如等。
(2)项的分拆与角的配凑,学习效率。
如分拆项:
配凑角:=()-,=-等。
(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
(4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。
(5)引入辅助角。asin+bcos=sin(+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
(6)万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan的有理式。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的差异分析。
(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
三角函数公式:
锐角三角函数公式
sinα=∠α的对边/斜边
cosα=∠α的邻边/斜边
tanα=∠α的对边/∠α的邻边
cotα=∠α的邻边/∠α的对边
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)
(注:SinA^2是sinA的平方sin2(A))
三倍角公式
sin3α=4sinα,学习方法?sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα?cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a=tana?tan(π/3+a)?tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
辅助角公式
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B
降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa
=4cos3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin3a
=4sina(3/4-sin2a)
=4sina[(√3/2)2-sin2a]
=4sina(sin260°-sin2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos3a-3cosa
=4cosa(cos2a-3/4)
=4cosa[cos2a-(√3/2)2]
=4cosa(cos2a-cos230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
三角函数记忆口诀:
三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。
同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;
中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,
顶点任意一函数,等于后面两根除。诱导公式就是好,负化正后大化小,
变成锐角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,
将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,
余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。
计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。
逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。
万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;
1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范;
三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;
利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集。
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。教案的内容要写些什么更好呢?下面是小编为大家整理的“2015届高考数学(文科)一轮总复习三角函数、解三角形”,欢迎大家阅读,希望对大家有所帮助。
第四篇三角函数、解三角形
第1讲弧度制及任意角的三角函数
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.若sinα<0且tanα>0,则α是第________象限角.
解析∵sinα<0,则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴;又tanα>0,∴α在第一象限或第三象限,故α在第三象限.
答案三
2.若1弧度的圆心角所对的弦长等于2,则这个圆心角所对的弧长等于________.
解析设圆的半径为r,由题意知rsin12=1,
∴r=1sin12,∴弧长l=αr=1sin12.
答案1sin12
3.(2014苏中联考)若α角与8π5角终边相同,则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________.
解析由题意,得α=8π5+2kπ(k∈Z),α4=2π5+kπ2(k∈Z).又α4∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,α4=2π5,9π10,7π5,19π10.
答案2π5,9π10,7π5,19π10
4.已知点Psin3π4,cos3π4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________.
解析由sin3π4>0,cos3π4<0知角θ是第四象限的角,
∵tanθ=cos3π4sin3π4=-1,θ∈[0,2π),∴θ=7π4.
答案7π4
5.有下列命题:
①终边相同的角的同名三角函数的值相等;
②终边不同的角的同名三角函数的值不等;
③若sinα>0,则α是第一、二象限的角;
④若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cosα=-xx2+y2.
其中正确的命题是________.
解析①正确,②不正确,
∵sinπ3=sin2π3,而π3与2π3角的终边不相同.
③不正确.sinα>0,α的终边也可能在y轴的正半轴上.
④不正确.在三角函数的定义中,cosα=xr=xx2+y2,不论角α在平面直角坐标系的任何位置,结论都成立.
答案①
6.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-255,则y=______.
解析因为sinθ=y42+y2=-255,所以y<0,且y2=64,所以y=-8.
答案-8
7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为45,则cosα=____.
解析因为A点纵坐标yA=45,且A点在第二象限,又因为圆O为单位圆,所以A点横坐标xA=-35,由三角函数的定义可得cosα=-35.
答案-35
8.函数y=2cosx-1的定义域为________.
解析∵2cosx-1≥0,∴cosx≥12.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).
∴x∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z).
答案2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z)
二、解答题
9.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤α720°的元素α写出来:
①60°;②-21°.
(2)试写出终边在直线y=-3x上的角的集合S,并把S中适合不等式-180°≤α180°的元素α写出来.
解(1)①S={α|α=60°+k360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α720°的元素α为-300°,60°,420°;
②S={α|α=-21°+k360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α720°的元素α为-21°,339°,699°.
(2)终边在y=-3x上的角的集合是S={α|α=k360°+120°,k∈Z}∪{α|α=k360°+300°,k∈Z}={α|α=k180°+120°,k∈Z},其中适合不等式-180°≤α180°的元素α为-60°,120°.
10.(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;
(2)一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.
解(1)设圆心角是θ,半径是r,则
2r+rθ=10,12θr2=4,解得r=4,θ=12或r=1,θ=8(舍去).
∴扇形的圆心角为12.
(2)设圆的半径为rcm,弧长为lcm,
则12lr=1,l+2r=4,解得r=1,l=2.
∴圆心角α=lr=2.
如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1弧度.
∴AH=1sin1=sin1(cm),
∴AB=2sin1(cm).
能力提升题组
(建议用时:25分钟)
一、填空题
1.(2014杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是________.
解析由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以有3a-9≤0,a+2>0,解得-2<a≤3.
答案(-2,3]
2.给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关;
④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;
⑤若cosθ0,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题是________.
解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sinπ6=sin5π6,但π6与5π6的终边不相同,故④错;当θ=π,cosθ=-10时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.
答案③
3.若角α的终边落在直线x+y=0上,则sinα1-sin2α+1-cos2αcosα=________.
解析原式=sinα|cosα|+|sinα|cosα,由题意知角α的终边在第二、四象限,sinα与cosα的符号相反,所以原式=0.
答案0
二、解答题
4.已知sinα<0,tanα>0.
(1)求α角的集合;
(2)求α2终边所在的象限;
(3)试判断tanα2sinα2cosα2的符号.
解(1)由sinα<0,知α在第三、四象限或y轴的负半轴上;
由tanα>0,知α在第一、三象限,
故α角在第三象限,其集合为
α|2k+1π<α<2kπ+3π2,k∈Z.
(2)由(2k+1)π<α<2kπ+3π2,
得kπ+π2<α2<kπ+3π4,k∈Z,
故α2终边在第二、四象限.
(3)当α2在第二象限时,tanα2<0,sinα2>0,cosα2<0,
所以tanα2sinα2cosα2取正号;
当α2在第四象限时,tanα2<0,sinα2<0,cosα2>0,
所以tanα2sinα2cosα2也取正号.
因此,tanα2sinα2cosα2取正号.
经验告诉我们,成功是留给有准备的人。教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动,帮助教师能够井然有序的进行教学。写好一份优质的教案要怎么做呢?以下是小编为大家收集的“2012届高考数学备考复习三角函数、三角变换、解三角形、平面向量教案”欢迎阅读,希望您能够喜欢并分享!
专题二:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
阶段质量评估(二)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,总分60分)
1.已知向量均为单位向量,若它们的夹角是60°,则等于()
A.B.C.D.4
2.已知为第三象限角,则所在的象限是()
A.第一或第二象限B.第二或第三象限
C.第一或第三象限D.第二或第四象限
3.函数的最小正周期T=()
(A)2π(B)π(C)(D)
4.()
A.B.C.D.
5.在中,,则()
(A)(B)(C)(D)
6.平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则等于()
A.6B.8C.-8D.-6
7.函数是()
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
8.设数,则下列结论正确的是()
A.的图象关于点对称
B.的图象关于直线对称
C.把的图象向右平移个单位,得到一个奇函数的图象
D.的最小正周期为上为增函数
9.已知中,的对边分别为,,,则()
A.2B.4+C.4—D.
10.在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是()
A.B.
C.D.
11.已知平面内任一点O满足则“”是“点P在直线AB上”的()
A.必要但不充分条件B.充分但不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
12.将函数的图象向左平移m个单位(m0),若所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,总分16分)
13.设向量,若向量与向量共线,则实数=。
14.已知=2,则的值为.
15.在锐角中,则的值等于,
的取值范围为.
16.在ABC中,已知,且,
则ABC的形状是。
三、解答题(本大题共6小题,总分74分)
17.(本小题12分)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最大值;
(II)求函数的零点的集合。
18.(本小题12分)设函数,,,
且以为最小正周期.
(1)求;
(2)求的解析式;
(3)已知,求的值.
19.(本小题满分12分)在中,角,,所对的边分别为,,,且,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
20.(本小题满分12分)
已知A、B、C是△ABC三内角,向量
(1)求角A的大小;
(2)若AB+AC=4,求△ABC外接圆面积的取值范围。
21.(本小题满分12分)已知函数,且函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若函数在区间上单调递增,求k的取值范围.
22.(本小题满分14分)向量满足,.
(1)求关于k的解析式;
(2)请你分别探讨⊥和∥的可能性,若不可能,请说明理由,若可能,求出k的值;
(3)求与夹角的最大值.
参考答案
一、选择题
1.【解析】选A
2.【解析】选D.
3.【解析】选B.
4.【解析】选C..
5.【解析】选A.
6.【解析】选B因为=(2,4),=(1,3),
所以
7.【解析】选A.因为为奇函数,,所以选A.
8.【解析】选C.因为的图像的对称中心在X轴上,对称轴对应的函数值为最值,
又。所以A、B不正确;对于C:把的图象向右平移个单位,则为奇函数。故C正确。
9.【解析】选A.
由可知,,所以,
由正弦定理得,故选A
10.答案:C
11.【解析】选C根据平面向量基本定理知:且
P在直线AB上.
12.【解析】选A.,
二、填空题
13.【解析】因为,所以因向量与向量共
线,所以
答案:2
14.【解析】∵tan=2,∴;
所以==.
答案:
15.【解析】设由正弦定理得
由锐角得,
又,故,
所以
答案:2
16.答案:等边三角形
三、解答题
17.解析:【命题立意】考查三角函数的基本公式和基本性质.
【思路点拨【首先化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式,再考查三角函数的基本性质.
【规范解答】(1)因为f(x)=
=2sin(2x+,
所以,当2x+=2k,即x=k
(2)方法1由(1)及f(x)=0得sin(2x+,所以
2x+
故函数f(x)的零点的集合为{x|x=k.
方法2由f(x)=0得2
由sinx=0可知x=k
故函数f(x)的零点的集合为{x|x=k.
【方法技巧】1、一般首先利用三组公式把散形化成f(x)=Asin(wx+φ)+d的形式.一组是立方差公式、立方和公式、平方差公式、完全平方公式.二组是诱导公式和基本关系式.三组是倍角公式、半角公式和两角和公式的逆运算.2、考查基本性质,包括单调性、周期性、对称性和函数值域等.
18.解析:【命题立意】本题考察三角函数的性质以及三角变换.
【思路点拨】(2)由已知条件求出,从而求出的解析式;
(3)由
【规范解答】(1)
(2),,所以的解析式为:
(3)由得,即
,
【方法技巧】三角函数的性质问题,往往都要先化成的形式再求解.
19.解析:(Ⅰ)因为,,
所以.
由已知得.
所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以且.
由正弦定理得.
又因为,
所以,.
所以.
20.解析:(1)
即
(2)由(1)得
当且仅当AB=AC=2时上式取“=”
又
………………10分
设△ABC外接圆半径为R,
则
∴△ABC外接圆面积的取值范围是
21.【解析】(Ⅰ).
据题意,,即,所以,即.
从而,故.
(Ⅱ)因为,,则
当时,.
据题意,,所以,解得.
22.解析:(1)由已知有,
又∵,则可得
即.
(2)∵,故与不可能垂直.
若∥,又,则与同向,
故有.
即,又,故
∴当时,∥.
(3)设,的夹角为,则
当,即时,,
又,则的最大值为.
注:此处也可用均值不等式或导数等知识求解.
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