作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师能够更轻松的上课教学。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高二数学无穷等比数列的各项和012”，相信能对大家有所帮助。

7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）
一、教学内容分析
本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣．
本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．
二、教学目标设计
1．理解无穷等比数列的各项和的定义；
2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；
3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；
4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.
三、教学重点及难点
教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.
教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.
四、教学用具准备
实物投影仪
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、复习引入
思考下列问题：
1、和1哪个数大？为什么？
2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.
对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果.
引导学生回答以下问题：
（1）如果你认为，那么比1小多少？
（2）如果你认为，那么你能否找到一个实数a，使得成立？
换一个角度来看，事实上
而是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为
.
于是可以把看作当时的极限，从而
.
对于问题2，同样进行分析.
对比以上两个问题，它们有何共同特征？
二、讲授新课
1、无穷等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？
指出：当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在.
当时，无穷等比数列前项和的极限如下：
∵（）
∴
.
∵，∴.
∴．
让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．
强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．
2、无穷等比数列的各项和的定义
提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．
我们把的无穷等比数列的前项的和当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号表示.
（）.
强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．
3、无穷等比数列各项和的应用
例1化下列循环小数为分数：
（1）；（2）.
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.
解：（1）
等式右边是首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以
.
（2），
等式右边是加上一个首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以
.
师生共同总结得出：
循环小数化为分数的法则：
1．纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数．
2．混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同．
练习：
例2（补充）求下列循环小数的和．
分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和．
解：同例1可求得，
，，，…
∴原式=
上式表示首项为，公比为的无穷等比数列的各项和．
∴原式=．
练习：求下列循环小数的和：．答案：
例3如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A2B2C2D2；如此无限继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．
分析：关键是求出第n个正方形
的边长与前一个正方形的边长的关系.
解：由题意得
第1个正方形的边长，第n个
正方形的边长
，.
即所有正方形的边长组成的数列为
，
于是所有正方形的周长组成的数列为
，
这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和为
.
所有正方形的面积组成的数列为
，
这是首项为、公项为的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和为
.
练习：.
补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）
在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点、，得矩形；取、DC中点、，得一小矩形；再取、中点，得一小矩形；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．
所有面积组成首项为，公比为的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.
三、课堂小结
1.无穷等比数列的各项和的公式：S=()；
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；
3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比满足；
4．要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法．
四、课后作业
1、书面作业：；
2、思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n项和为，求．
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．
参看小结前的补充练习．
七、教学设计说明
1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用．求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n项和的极限存在．所以，在新课引入时，利用课本的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．
2．本节课的设计意图在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念理解后，应用也就水到渠成了．

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等比数列

等比数列教学目标
1.理解等比数列的概念,把握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判定一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;
(2)正确熟悉使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;
(3)通过通项公式熟悉等比数列的性质,能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
(2)重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的熟悉与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样,等比数列也是非凡的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
(1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.
(2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.
(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.
(4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点熟悉通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.
(5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.
(6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题:等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并把握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的熟悉:
2.对定义的熟悉(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?(不能)确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何熟悉通项公式.
(板书)(2)对公式的熟悉
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有熟悉,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?(不仅要会解题,还要注重规范表述的练习)
假如增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注重在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想熟悉通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的熟悉
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的熟悉
探究活动
将一张很大的薄纸对折,对折30次后(假如可能的话)有多厚?不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案:
30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.假如纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).

等比数列性质

课题

1.1.2等比数列性质

课型

新课

课程

分析

等比数列是又一特殊数列，它与前面我们刚刚所探讨过的等差数列仅有一字之差，所以我们可用比较法来学习等比数列的相关知识。在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的性质。

学情

分析

学生已经学习了等差数列，对于等比数列学生对比等差数列学习较容易接受。

设计

理念

采用比较式数学法，从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.

学习目标

知识目标

掌握等比数列的性质

能力目标

会求等比数列的通项公式,运用等比数列的性质。

德育目标

1.培养学生的发现意识、提高学生创新意识、提高学生的逻辑推理能力、增强学生的应用意识。

板书设计

3.1.2课题探究一练习性质1探究二性质2应用举例探究三性质3

课后反馈

解：设这个等比数列的首项是a1,公比是q,

①②

则：②÷①得:q=③③代入①得：a1=,∴an=a1·qn－1=，8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习1.求下面等比数列的第4项与第5项：（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），……；（4）…….2.(1)一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项.解：由题意得a9=,q=－∵a9=a1q8,∴,∴a1=2916答：它的第1项为2916.

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

一．导入新课

（一）回顾等比数列的有关概念

（1）定义式：

（2）通项公式：

导入本课题意：与等差数列类似，等比数列也是特殊的数列，它还有一些规律性质，本节课，就让我们一起来探寻一下它到底有一些怎样的性质。

二．推进新课

题：就任一等差数列｛an｝，计算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律作一般化的推广吗？类比猜想一下，在等比数列中会有怎样的类似结论？

引导探：…性质1（板书）：在等比数列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq

探究二.(引导学生通过类比联想发现进而推证出性质2)

已知｛an｝是等比数列.

（1）是否成立？成立吗？为什么？

（2）是否成立？你据此能得到什么结论？是否成立？你又能得到什么结论？)

合作探：…性质2（板书）：在等比数列中（本质上就是等比中项）

探究三：一位同学发现：若是等差数列的前n项和，则也是等差数列。在等比数列中是否也有这样的结论？为什么？

性质数列是公比为的等比数列，为的前项之和，则新构成的数列仍为等比数列，且公比为。

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

证明①当时，，则（常数），所以数列是以为首项，1为公比的等比数列；

②当时，则（常数），所以数列是以为首项，为公比的等比数列；

由①②得，数列为等比数列，且公比为。三．应用举例：（理解、巩固）

例1．1）在等比数列｛an｝中，已知

2)在等比数列｛bn｝中，b4＝3，求该数列的前7项之积。例2在等比数例中，求

例3等比数列｛an｝的各项均为正数，且，求

的值

例4、在等比数列中，,求的值.解：因是等比数列，所以是等比数列，所以

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

四.练习（掌握，应用）

1、下列命题中:(1)常数列既是等差数列又是等比数列;

(2)若{an}是等差数列，则{3－2an}也是等差数列;

(3)若{an}是等比数列，则{an+an+1}也是等比数列;

(4)若{an}是等比数列，则也是等比数列.

其中正确的命题是_____________(填命题序号)

2、在等比数列中，，则的值为_______

3、在等比数列中，，，求的值.解：因为由上述等比数列性质知，构造新数列其是首项为，公比为的等比数列，是新数列的第5项，所以。4、已知等比数列前项的和为2，其后项的和为12，求再后面项的和.解：由，，因成等比数列，其公比为，所以问题转化为：求的值.因为得，所以或，于是.

组织教学导入新课讲授新课归纳小结布置作业

备注

五．课堂小结

（1）等比数列的性质1、性质2性质3内容及推导方法归纳。

（2）等比数列三性质的探寻，我们是通过类比等差联想到等比，猜想在等比数列中可能存在的性质规律。然后先从简单的等比数列加以验证，再推出一般式，并加以严格的逻辑证明。这个过程所用的类比、联想、猜想、从特殊到一般，最后给予证明得出结论的想法和方法，我们称为数学思想方法。是解决问题、科学发现、探究自然的一种重要的思维方法和手段。它无处不体现在我们解决问题的思维过程中，希望大家今后留心思考，对提高你们的学习能力及分析解决问题的能力将有极大的帮助。

等比数列教案

教学设计
2．3.1等比数列
整体设计
教学分析
等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别．
等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法．本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用．
等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义．也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义．根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解．启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象．
由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用．
大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法，所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现．
三维目标
1．通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系．
2．通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的．
3．通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度．体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程．
重点难点
教学重点：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导．
教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法．
课时安排
2课时

教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(情境引入)将一张厚度为0.044mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗？但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球．将一张报纸对折会有那么大的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课．
思路2.(实例导入)先给出四个数列：
1,2,4,8,16，……
1，－1,1，－1,1，……
－4,2，－1，……
1,1,1,1,1，……
由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引入新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.
2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.
3观察数列①②③，它们有什么共同的特征？你能再举出2个与其特征相同的数列吗？
4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义？
5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗？它与等差中项有什么不同？
6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗？
7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？
8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗？
活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例．
引导学生发现数列①②③的共同特点：
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于－12.
也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列．让学生类比等差数列给出等比数列的定义：
一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，－12.
①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a1＝a，an＋1＝anq(n＝1,2,3，…)．
②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗？学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.
教师可再提出：常数列都是等比数列吗？让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列．
③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.
④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．如果G是x和y的等比中项，那么Gx＝yG，即G2＝xy，G＝±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项．显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项；反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列是等比数列．
课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
……
归纳得到an＝a1＋(n－1)d.
类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
归纳得到an＝a1qn－1.
这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用．这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它．
下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：
∵{an}是等比数列，
∴anan－1＝q，an－1an－2＝q，an－3an－4＝q，…，a2a1＝q.
把以上n－1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，则可得到
ana1＝qn－1，
于是得到an＝a1qn－1.
对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：
(1)不要把公式错误地写成an＝a1qn.
(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.
(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a＝0时，一切项都等于0；当q＝0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义．因此等比数列的首项和公比都不能为0.
(4)类比等差数列中d＞0，d＜0时的情况，若q＞0，则相邻两项符号同号，若q＜0，则各项符号异号；若q＝1，则等比数列为非零常数列；若q＝－1，则为如2，－2,2，－2，…这样的数列；若|q|＜1，则数列各项的绝对值递减．
最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解．

等差数列等比数列
定义从第2项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数从第2项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数
首项、公差(公比)取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为0
通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1

讨论结果：(1)～(3)略．
(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
(5)并不是所有的两个数都有等比中项．
(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列．
(7)(8)略．
应用示例
例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比．
(1)an＝2n；
(2)an＝1410n.
活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问．
解：(1)an＝22n－1，
∴a1＝2，q＝2.
(2)∵an＝141010n－1，
∴a1＝14×10＝52，q＝10.
点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.
变式训练
设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1＋a22a3＋a4的值为()
A.14B.12C.18D．1
答案：A
解析：由题意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，
∴2a1＋a22a3＋a4＝2a1＋2a18a1＋8a1＝14.

例2(教材本节例3)
活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成．
点评：解完本例后，启发引导学生观察a5，a10，a15，a20的规律．
变式训练
已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．
解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
∵a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，
∴2q＋2q＝203.
解得q1＝13，q2＝3.
当q＝13时，a1＝18.
∴an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝29，
∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

例3已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式．
活动：教师引导学生观察，数列{an}不是等差数列，也不是等比数列，要求an的表达式，通过转化{an＋1}是等比数列来求解．
解：(1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
∵a1＝1，故a1＋1≠0，则有an＋1＋1an＋1＝2.
∴{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝22n－1，即an＝2n－1.
点评：教师引导学生进行解后反思．如本题(1)，不能忽视对an＋1≠0的说明，因为在等比数列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否则解题会出现漏洞．
变式训练
已知数列{lgan}是等差数列，求证：{an}是等比数列．
证明：∵{lgan}是等差数列，设公差为d，
则lgan＋1－lgan＝d，即an＋1an＝10d(常数)．
∴{an}是等比数列．

知能训练
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()
A．64B．81C．128D．243
2．在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比为23，则项数为()
A．3B．4C．5D．6
答案：
1．A解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1.
所以a7＝a1q6＝64.
2．B解析：设等比数列为{an}．
又∵a1＝98，q＝23，an＝13，∴qn－1＝ana1，即(23)n－1＝827.
∴n－1＝3，n＝4，即项数为4.
课堂小结
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法．可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出．
2．教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法．
作业
课本习题2—3A组1；习题2—3B组1.
设计感想
本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移；让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事．
本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题；储蓄，分期付款的有关计算等等．教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义．
本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体．新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的．
(设计者：张晓君)

第2课时
导入新课
思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明等比数列的性质．这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念．
思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课．(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.
2回忆怎样证明一个数列是等比数列？
3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.
4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论？

活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究”中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为an＝2n－1的数列的图象和函数y＝2x－1的图象的关系．然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系．事实上，等比数列的通项公式可整理为an＝a1qqn，而y＝a1qqx(q≠1)是一个不为零的常数a1q与指数函数qx的乘积．从图象上看，表示数列{a1qqn}中的各项的点是函数y＝a1qqx的图象上的孤立点．
和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究．
就任一等差数列{an}，计算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你发现了什么规律？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论？
在等差数列{an}中，我们已经探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，那么我们可以类比猜想：对于等比数列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，则aman＝apas.让学生对此给出证明．
证明：设等比数列{an}的公比为q，
则有aman＝a1qm－1a1qn－1＝a21qm＋n－2，apas＝a1qp－1a1qs－1＝a21qp＋s－2，
∵m＋n＝p＋s，∴有aman＝apas.
经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，则有aman＝apas.
结合等比中项，我们很容易有这样的结论：
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方．
结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：
1．等比数列的判断方法
(1)an＝an－1q(n≥2，q是不等于零的常数，an－1≠0)?{an}是等比数列．
(2)a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)an＝cqn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列．
2．主要性质
(1)当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；当q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列，当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列．
(2)an＝amqn－m(m、n∈N*)．
(3)当m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)时，有aman＝apaq.
(4)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．
(5)数列{an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列．
学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题．
讨论结果：(1)让学生默写．
(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比数列．
(3)等比数列的通项公式是关于n的指数型函数．
(4)最常用的是活动中的第3个性质．
应用示例
例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．
活动：本例是课本上例题3，由题意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项．这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系．
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①
a1q3＝18.②
②÷①，得q＝32，③
把③代入①，得a1＝163.
因此，a2＝a1q＝163×32＝8.
答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.
点评：通过本题让学生体会方程思想．
变式训练
在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，则a18a10等于()
A．－23或－32B.23C.32D.23或32
答案：D
解析：∵a5a7＝a2a10，由a2a10＝6，a2＋a10＝5，
得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2.
∴a18a10＝a10a2＝32或a18a10＝23.

例2(1)在等比数列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18；
(2)在等比数列{bn}中，b4＝3，求该数列前七项之积；
(3)在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
活动：本例三个小题属基本概念题，让学生合作交流完成，充分让学生思考探究，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程．
解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝a9a10a1＝1005＝20.
(2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.
∵b24＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七项之积为(32)3×3＝37＝2187.
(3)∵a5是a2与a8的等比中项，∴542＝a8×(－2)．∴a8＝－1458.
另解：a8＝a5q3＝a5a5a2＝54×54－2＝－1458.
点评：通过本例，让学生熟悉公式，善于联想，善于将解题过程简化．
变式训练
已知等比数列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝11－log2a2n＋13，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q.
由题意得a1＋a1q2＝15，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝45，解得q＝2，a1＝3，
∴an＝32n－1.
(2)由(1)得a2n＋1＝322n，∴bn＝11－log2a2n＋13＝11－2n.
∴数列{bn}是首项为9，公差为－2的等差数列．
从而Sn＝n9＋11－2n2＝－n2＋10n.

例3三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
活动：教师引导学生分析题意，因为所求三个数成等差数列，它们的和已知，故可设这三个数为a－d，a，a＋d，再根据已知条件寻找关于a、d的两个方程，通过解方程组即可获解．
解：设所求三个数为a－d，a，a＋d，
则由题设得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，
解此方程组，得a＝5，d＝2.∴所求三个数为3,5,7.
点评：此类问题要注意设未知数的技巧．若设所求三个数为a，b，c，则列出三个方程求解，运算过程将过于繁杂．因此在计算过程中，应尽可能地少设未知数．
例4根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？
活动：本题是给出数列的前几项要求写出数列的递推公式．这种题型难度较大．但本题用程序框图给出了数列的前5项，而递推公式就包含在程序框图中，这就大大降低了题目的难度．教学时教师可引导学生回顾程序框图，引导学生思考如何判断一个数列是等比数列．
解：若将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，…，
可知a1＝1，a2＝a1×12，a3＝a2×12.
于是，可得递推公式a1＝1，an＝12an－1n1.
由于anan－1＝12，
因此，这个数列是等比数列．
其通项公式是an＝(12)n－1.
点评：通过本题让学生明确，要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，an＋1an是一个常数即可，同时也再一次体会到能够用框图中的循环结构来描述数列．
知能训练
1．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
2．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长？(精确到1年)
答案：
1．解：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8.∴a2＝2.
从而a1＋a3＝5，a1a3＝4.
解之，得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1.
当a1＝1时，q＝2，当a1＝4时，q＝12.
∴an＝2n－1或an＝4(12)n－1＝23－n(n∈N*)．
点评：本例解答中易产生的错误是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分别得出q＝±2或q＝±12.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4(12)n－1或an＝4(－12)n－1.教师引导学生寻找产生这一错误的原因是忽视了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0这一隐含条件．
2．解：设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an，
由条件可得，数列{an}是一个等比数列，其中a1＝0.84，q＝0.84.
设an＝0.5，则0.84n＝0.5.
两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5，
用计算器算得n≈4.
答：这种物质的半衰期大约为4年．
点评：本例是一道应用题，反映的是等比数列通项公式的基本量运算问题．在解题过程中，用对数的知识解方程可以帮助学生回顾对数的性质，本题重在让学生发现实际问题情境中数列的等比关系，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力．
课堂小结
1．让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的性质，等比数列与指数函数的关系．对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列则可以与指数函数联系起来．
2．学习本节内容应注意等比数列定义的运用，灵活选设未知数，注意总结常用解题技巧．有关本内容的高考题主要体现在考查化归能力、方程思想、分类讨论思想以及数学建模能力上，并能用这些知识解决一些实际问题．
作业
课本习题2—3A组2、3、4.
设计感想
本教案设计突出了教学梯度．因为从实际教学来看，对这部分内容的学习不少同学仍然是困难重重，从中折射出他们学习方式存在的问题，死记硬背仍然是公式学习的主要形式．在练习环节，不少学生只会做与课本例题完全一致的习题，如果稍加变式，就束手无策，反映出数学思维的僵化及简单．但是训练学生的思维能力，提升学生的思维品质，是数学教师直接面对的重要课题，也是提升教学效果的关键．因此在设计梯度方面注重了一题多解，这有助于学生思维的发散性及灵活性的培养，以及克服思维的僵化，变式教学又可以提升思维视野的广度，题后反思有助于学生思维批判性品质的提升．
本教案设计注重了教学过程的更优化、更合理化，因为长期以来的课堂教学太过于重视结论，轻视过程．为了应付考试，为了使公式、定理应用达到所谓的熟能生巧，教学中不惜花大量的时间采用题海战术来进行强化．在概念公式的教学中往往采用的是“掐头去尾烧中段”的方法，到头来把学生强化成只会套用公式机械解题，这样的学生面对新问题就会束手无策，更不利于今后的创新式高考．
本教案设计清晰了课堂教学的层次阶段，本节课可以划分为三个阶段，第一阶段是等比数列性质的推得和理解过程；第二阶段是等比数列性质的归纳、理解和应用的过程；第三阶段是归纳小结．这三个阶段自然是以第一、第二阶段为主．这样便于学生课堂推进，也便于教师对整个课堂的宏观调控．
备课资料
一、备用例题
例1.已知无穷数列10，10，10，…，10，….
求证：(1)这个数列成等比数列；
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的110；
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

例2.设a，b，c，d均为非零实数，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
求证：a，b，c成等比数列且公比为d.
证法一：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，
∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0.
则必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．
设公比为q，则b＝aq，c＝aq2，代入
(a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.
∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0.
证法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0.
∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c.
∵a，b，c，d非零，∴ba＝cb＝d.∴a，b，c成等比数列且公比为d.
二、备用习题
1．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为()
A．1B．2C．3D．4
2．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，则a3a6a9…a30等于()
A．210B．220C．216D．215
3．各项为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于……()
A．33B．72C．84D．189
4．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为__________．
5．在等比数列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q.
6．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比较an＋1与bn＋1的大小．
参考答案：
1．答案：C
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得a23＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)．
∴d＝－2a1.
设等比数列的公比为q，则q＝a3a2＝3.
2．答案：B
解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得
a33q3a36q3a39q3…a330q3＝230，
∴a33a36a39…a330＝(2q)30.
∴a3a6a9…a30＝220.
3．答案：C
解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
4．答案：216
解析：设插入的三个数为a、b、c，则b2＝83×272＝4×9＝ac，
所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.
5．解：(1)∵a9＝a1q8，∴256q8＝1，即q＝±12.
当q＝12时，a12＝a1q11＝2561211＝18；
当q＝－12时，a12＝a1q11＝256×(－12)11＝－18.
(2)a1q2a1q4＝18，即a21q6＝18.
又a1q3a1q7＝72，即a21q10＝72.
两式相除得q4＝7218＝4，∴q＝±2.
6．解：由题意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝c2(q2n－1)．
∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋c2(q2n－1)－cqn＝c2(qn－1)2≥0，
∴an＋1≥bn＋1.
三、斐波那契数列的奇妙性质
我们看章头图中的斐波那契数列，它有一系列奇妙的性质，现简列以下几条，供读者欣赏．
1．从首项开始，我们依次计算每一项与它的后一项的比值，并精确到小数点后第四位：
11＝1.000021＝2.0000
32＝1.500053＝1.6667
85＝1.6000138＝1.6250
2113＝1.61543421＝1.6190
5534＝1.61768955＝1.6182
14489＝1.6180253144＝1.6181
如果将这一工作不断地继续下去，这个比值将无限趋近于某一个常数，这个常数位于1.6180与1.6181之间，它还能准确地用黄金数1＋52表示出来．
2．我们在初中曾经遇到过杨辉三角形，如下图所示，杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成斐波那契数列：
3．在斐波那契数列中，请你验证下列简单的性质：
前n项和Sn＝an＋2－1，
anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)，
a2n－1＋a2n＝an－1(n≥2)，
an－2an＝a2n－1－(－1)n(n≥3)．
据载首先是由19世纪法国数学家吕卡将级数{Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用.1680年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式Un＋1Un－1－U2n＝(－1)n.1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式Sn＝[(1＋52)n－(1－52)n]，现在称之为比内公式．
世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人．斐波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已经广泛应用，特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间．

高二数学《等比数列前n项和公式》》教案分析

高二数学《等比数列前n项和公式》》教案分析

一、教材结构与内容分析：
《等比数列前n项和公式》是高中数学二年级第二学期第十三章第五节内容。教学对象为高二学生，教学课时为2课时。本节课为第一课时。在此之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。
从高中数学的整体内容来看，《数列与数学归纳法》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着作用性的作用。首先：数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。其次：数列有着承前启后的作用。数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。
本节的教学重点是等比数列前n项和公式及应用。
教学难点是等比数列前n项和公式的推导。
二、教学目标分析：
作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
1、知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。
2、能力目标：培养学生观察问题、思考问题的能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。
3、情感目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。
三、学生情况分析：
学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。
四、教学方法分析：
教法：数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。
本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式探索、反馈式评价。
学法：根据二期课改的精神，转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容，数学作为基础教育的核心学科之一，转变学生的数学学习方式，变学生被动接受式学习为主动参与式学习，不仅有利于提高学生的整体数学素养，也有利于促进学生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认知层次，设计了（１）创设情景（２）观察归纳（３）讨论研究（４）即时训练（５）总结反思（６）任务延续，六个层次的学法，他们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目的。自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流。
教学手段，利用多媒体和ＰＯＷＥＲＰＯＩＮＴ软件进行辅助教学。
五、教学程序设计：
1、创设情景：
引例：某公司，由于资金短缺，决定向银行进行贷款，双方约定，在3年内，公司每月向银行借款10万元，为了还本付息，公司第一个月要向银行还款10元，第二个月还款20元，第三个月还款40元，……。即每月还款的数量是前一个月的2倍，请问，假如你是公司经理或银行主管，你会在这个合约上签字吗？
这是一个悬念式的实例，后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境，让学生直接参与了“市场经济”。根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生自觉不自觉地参与了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。
这样引入课题有以下几个好处：
(1)利用学生求知好奇心理，以一个实际问题为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。
(2)在实际情况下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
(3)问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。
(4)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。
在教师的诱导下，学生根据自己掌握的知识和经验，很快建立起两个等比数列的数学模型。数列{an}是以100000为首项，1为公比的等比数列，即常数列。数列{bn}是以10为首项，2为公比的等比数列。
当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候，课题的引入已经水到渠成。教师再由特殊到一般、具体到抽象的启示，正式引入课题。
2、讲授新课：
本节课有两项主要内容，等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。等比数列的前n项和公式的推导是本节课的难点。依据如下：
(1)从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中，属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。
(2)从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”，突破这一“瓶颈”则后面的问题迎刃而解。
(3)从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高，原有知识薄弱，不易理解。
这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维，突破教材难点。
等比数列有两大类：公比q=1和q1两种情形
当q=1时，Sn=na1
当q1时，Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=
q1时，Sn的结果是怎么推导出来的呢？本节课的难点就在于此。
预习过课本的学生会知道这个结果以及推导过程，但是他们知其然而不知其所以然，可以说大部分学生根据他们掌握的知识和经验是难以推出这个公式的。
这时候我们可以首先让学生们进行思考，如果运用数学中“从特殊到一般”的数学思想方法，能不能向这个结果靠拢呢？
我们不难得到下述结论：
S1=a1,
S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)
S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)
……
Sn=a1+a2+……+an=a1(1+q+q2+……+qn-1)
不少同学根据这个式子可能会想到
a1(1+q+q2+……+qn-1)=a1(1+q+q2+……+qn-1)（1-q）/(1-q)=
这时我要向学生说明，这种从特殊到一般，逐步归纳的思想方法很好，是我们解决数学问题中经常会运用到的方法。然后又要指出在现阶段，我们还无法对这个过程进行证明，因此它的给出是不严密的。这样不仅让学生再一次体会到数学的最基本特点，严密的逻辑性。也为将来学习二项式展开的内容打下了伏笔。
此时，仅仅从形式上进行的归纳在现阶段是无法进行系统而严谨的证明的，那我们只能在思想的过程中另辟蹊径，因此，要通过复习等差数列的求和公式，借助推导等差数列求和公式的思想方法，来找到推导等比数列的前n项和公式的方法！
让学生们一起回忆一下等差数列的前n项和公式的推导过程。
可以发现当时我们是将a1与an，a2与an-1，所有与首末等距两项交换位置，得到Sn的倒序和的形式。然后两式相加。这样2Sn就是一个有n项的每一项都是a1+an的常数列。从而导出了Sn的公式。
等差数列的求和方法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结构和认知水平产生的，形式上是倒序相加，本质上就是消去数列中项与项之间的差异，构造一个新的各项相同的常数列，然后根据常数列的和导出Sn的公式来，其本质特征是等差数列从第二项起，每一项都比前一项多了一个d。
那么等比数列是不是也可以用类似的方法，构造出一个常数列或者部分常数列呢？让学生亲自去试一试，结果呢？
这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显然是行不通的。
此时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散——从倒序相加的定势中解脱出来。抓住学生迫切想解决这个问题的心态，及时地通过媒体进行启发。老师要告诉学生，构造常数列或者部分常数列的思路是正确的。既然倒序行不通，那么还有没有其它的方式构造常数列呢？
接着要引导学生从等比数列的定义出发，进一步认识等比数列从第二项起，每一项都是前一项的q倍，也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项，那么将Sn这个和式的两边同时乘以q，在qSn这个和式中的第一项就是Sn的第二项，也就是Sn和qSn之间产生了一个错位。由两个和式能否构造常数列或者部分常数列的和式呢？相加行不行？显然不行！相减行不行？显然行。
将Sn和qSn相减后，中间就得到了n－1项各项都是0的常数列,找到了这个常数列，难点就突破了，Sn的导出就容易了，导出了Sn就基本上达到了本节课的认知目标。
为了加深理解，这时还应该对等差、等比两种数列的求和公式的推导过程进行类比和分析：
两种数列求和的基本思路都是构造常数列，构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想。等比数列在构造常数列的过程中，采用“错位相减”，等差数列采用的是“倒序相加”，倒序相加本质上也是“错位相加”，是一种大幅度的“错位相加”，等比数列只不过是步幅为1的小幅度的“错位相加”。说明一下，在Sn的和式中，两边同时乘以q是解决问题——构造常数列的关键所在，是推导等比数列求和公式的一把钥匙。
所以，这两种数列的求和公式的推导方法，从数学思想和数学方法上来讲是一致的，但是它们也有差异，即错位的方法不同。正是由于这种差异，教师才有了更大的教学空间。当教师把学生从“倒序相加”的思维定式中引导出来的时候，学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了。这样，这节课的认知目标和素质目标就基本上都达到了。
推导出公式之后，对公式的特征要加以说明，以便学生记忆。同时还要对公式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。帮助学生弄清其形式和本质，明确其内涵和外延，为灵活运用公式打下基础。
有了求和公式后，回头让学生亲自计算一下引例中的钱款数量，从计算结果中让学生明确实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的数学头脑才行。
3.例题讲解。
我们在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的例题：
1）等比数列中知三求二的解答题
例：求首项为2，公比为2的等比数列的前8项和以及第5项的值。
以及书上的例4
2）实际应用题。
例：某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（保留到个位）?
这样设置主要依据：
(1)例题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹配关系。(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样的例题。
(3)应用题比较切合对智力技能进行检测，有利于数学能力的提高。同时，它可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性。
4．形成性练习：
例题处理后，设置一组形成性练习，作为对本节课的实时检测。练习基本上是直接运用公式求和，三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理特征设计的，有利于提高学生的积极性。学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。
5．课堂小结
本节课的小结从以下几个方面进行：
(1)等比数列的前n项和公式
(2)公式的推导方法——错位相减法
(3)求和思路——构造常数列或部分常数列。
通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。
最后用古印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事做为结尾，发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？再让学生感受一下数学的奇妙，激发他们学习数学的热情。
6.布置作业
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。
并可布置相应的研究作业，思考如何用其他方法来推导等比数列的前Ｎ项和公式，来加深学生对这一知识点的理解程度。
六、教学评价与反馈：
根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施教原则和启发性教学思想，本节课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略，即“案例—公式—应用”，案例为浅层次要求，使学生有概括印象。公式为中层次要求，由浅入深，重难点集中推导讲解，便于突破。应用为综合要求，多角度、多情境中消化巩固所学，反馈验证本节教学目标的落实。
其中，案例是基础，使学生感知教材；公式为关键，使学生理解教材；练习为应用，使学生巩固知识，举一反三。
在这三步教学中，以启发性强的小设问层层推导，辅之以学生的分组小讨论并充分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段，改变教师讲、学生听的填鸭式教学模式，充分体现学生是主体，教师教学服务于学生的思路，而且学生通过“案例—公式—应用”，由浅入深，由感性到理性，由直观到抽象，不仅加深了学生理解巩固与应用，也培养了学生的思维能力。

文章来源：http://m.jab88.com/j/49681.html

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