一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,高中教师要准备好教案,这是老师职责的一部分。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,有效的提高课堂的教学效率。那么如何写好我们的高中教案呢?下面是由小编为大家整理的“正余弦函数的图象”,供大家参考,希望能帮助到有需要的朋友。
1.4.1正弦、余弦函数的图象
教学目的:
知识目标:(1)利用单位圆中的三角函数线作出的图象,明确图象的形状;
(2)根据关系,作出的图象;
(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题;
能力目标:(1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法;
(2)理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法;
德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工作精神;
教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象;
教学难点:作余弦函数的图象。
教学过程:
一、复习引入:
1.弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义:设是一个任意角,在的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)
P与原点的距离r()
则比值叫做的正弦记作:
比值叫做的余弦记作:
3.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M,则有
,
向线段MP叫做角α的正弦线,有向线段OM叫做角α的余弦线.
二、讲解新课:
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识.
(1)函数y=sinx的图象
第一步:在直角坐标系的x轴上任取一点,以为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).
第二步:在单位圆中画出对应于角,,,…,2π的正弦线正弦线(等价于“列表”).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象.
把角x的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
(2)余弦函数y=cosx的图象
探究1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象?
根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.(课件第三页“平移曲线”)
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0)(,1)(,0)(,-1)(2,0)
余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是哪几个?(0,1)(,0)(,-1)(,0)(2,1)
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.
优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以
3、讲解范例:
例1作下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π],(2)y=-COSx
●探究2.如何利用y=sinx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到
(1)y=1+sinx,x∈〔0,2π〕的图象;
(2)y=sin(x-π/3)的图象?
小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。
●探究3.
如何利用y=cosx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=-cosx,
x∈〔0,2π〕的图象?
小结:这两个图像关于X轴对称。
●探究4.
如何利用y=cosx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cosx,x∈〔0,2π〕的图象?
小结:先作y=cosx图象关于x轴对称的图形,得到y=-cosx的图象,
再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到y=2-cosx的图象。
●探究5.
不用作图,你能判断函数y=sin(x-3π/2)和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想。
小结:sin(x-3π/2)=sin[(x-3π/2)+2π]=sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等,图象重合。
例2分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合:
三、巩固与练习
四、小结:本节课学习了以下内容:
1.正弦、余弦曲线几何画法和五点法
2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系
五、课后作业:《习案》作业:八
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。那么如何写好我们的高中教案呢?以下是小编为大家收集的“高中数学必修四导学案1.4.1正弦函数、余弦函数的图象”仅供参考,大家一起来看看吧。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法;2.掌握正、余弦函数图象间的关系;
3.会用“五点法”画出正、余弦函数的图象.
预习课本P30---33页的内容
【新知自学】
知识回顾:
1、正弦线、余弦线、正切线:
设角α的终边落在第一象限,第二象限,….
则有向线段为正弦线、余弦线、正切线.
2、函数图像的画法:
描点法:列表,描点,连线
新知梳理:
1.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M,则有向线段_________叫做角α的正弦线,有向线段___________叫做角α的余弦线.
2.正弦函数图象画法(几何法):
(1)函数y=sinx,x∈的图象
第一步:12等分单位圆;
第二步:平移正弦线;
第三步:连线.
根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为______,就得到y=sinx,x∈R的图象.
感悟:一般情况下,两轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的“胖瘦不一”,形状各不相同.
(2)余弦函数y=cosx,x∈的图象
根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.
探究:正弦函数曲线怎么变换可以得到余弦曲线?方法唯一吗?
3.正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
4.“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图:
(1)正弦函数y=sinx,x∈的图象中,五个关键点是:
(0,0),__________,(,0),
_________,(2,0).
(2)余弦函数y=cosx,x的图象中,五个关键点是:
(0,1),_________,(,-1),__________,(2,1).
对点练习:
1.函数y=cosx的图象经过点()
A.()B.()
C.(,0)D.(,1)
2.函数y=sinx经过点(,a),则的值是()
A.1B.-1C.0D.
3.函数y=sinx,x∈的图象与直线y=的交点个数是()
A.1B.2C.0D.3
4.sinx≥0,x∈的解集是________________________.
【合作探究】
典例精析:
题型一:“五点法”作简图
例1.作函数y=1+sinx,x∈的简图.
变式1.画出函数y=2sinx,x∈〔0,2π〕的简图.
题型二:图象变换作简图
例2.用图象变换作下列函数的简图:
(1)y=-sinx;
(2)y=|cosx|,x.
题型三:正、余弦函数图象的应用
例3利用函数的图象,求满足条件sinx,x的x的集合.
变式2.求满足条件cosx,x的x的集合.
【课堂小结】
知识方法思想
【当堂达标】
1.函数y=-sinx的图象经过点()
A.(,-1)B.(,1)
C.(,-1)D.(,1)
2.函数y=1+sinx,x的图象与直线y=2的交点个数是()
A.0B.1C.2D.3
3.方程x2=cosx的解的个数是()
A.0B.1C.2D.3
4.求函数的定义域.
【课时作业】
1.用“五点法”画出函数y=sinx-1,x的图象.
2.用变换法画出函数y=-cosx,x的图象.
3.求满足条件cosx(x的x的集合.
4.在同一坐标系内,观察正、余弦函数的图象,在区间内,写出满足不等式sinx≤cos的集合.
【延伸探究】
5.方程sinx=x的解的个数是_____________________.
6.画出函数y=sin|x|的图象.
余弦函数图象与性质
年级高一学科数学课题余弦函数图象与性质
授课时间撰写人刘报时间2011-10-24
学习重点正弦函数y=cosx的图象性质求周期及对称
学习难点正弦函数y=cosx的图像性质的应用。
学习目标
①掌握余弦函数图象的性质,并能结合图像加以理解;
②会求余弦函数定义域、值域、最值、单调区间、周期,会判断一些函数的奇偶性。
教学过程
一自主学习
1.函数叫余弦函数,从图像上看正弦函数的定义域是值域是
2.余弦函数的性质
函数
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性增
减
最值
对称性
二师生互动
例1五点作图法画下列函数在图像
1.2。
例2求下列函数的定义域与值域
1.2。
例3.求下列函数的单调区间并判断其奇偶性
(1)(2)
例4.比较下列各组数的大小
(1)
(2)
(3)
三巩固练习
1求下列函数的最值
(1)y=-9cosx+1;
(2)
2、判断下列函数的奇偶性
(1)y=cosx+2;
(2)y=cosxsinx.
3、求函数的最小正周期
4、求函数的单调区间
5、求函数的单调区间
四课后反思
五课后巩固练习
1.求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合
(1)(2)
2.求下列函数的值域
(1)(2)
正弦、余弦例题分析
例1.△ABC中已知a=6,,A=30°,求c.
我们熟知用正弦定理可得两解.其实用余弦定理也可:
由得c的二次方程c2-18c+72=0
解得c1=12或c2=6.
例2.如图5—43四边形ABCD中,AB=3,AD=2内角A=60°、B=D=90°.求对角线AC.
由于含AC的两三角形都只有2个条件,不能直接求解,容易想到以下解法:
(1)设多个未知数,建立方程组求解.如设BC=x,CD=y,则有
AC2=9+x2=4+y2,…①
即有9+4-6=x2+y2+xy…②
联立①、②解出,.
∴
(2)引入角未知数∠BAC=θ.则∠DAC=60°-θ.
即有关于θ的方程
即3cos(60°-θ)=2cosθ
求出,
∴
但若洞察图形的几何特征,则有巧法.
(3)A、B、C、D四点共圆:且AC为该圆直径.
则由余弦定理求出
,再由正弦定理,.
(4)延长AB、DC交于E如图5—44.则易知,AE=4,BE=1,
立即可得.
本例凸显几何直觉的价值.
例3.若一扇形半径为R,中心角为2α,这里,求此扇形图示这种内接矩形ABCD的最大面积.
依题意OB=OE=R,∠AOE=∠DOE=α,要求其最大值的矩形面积S=ABBC,关键在选择适当变元来表示ABBC,由BC=2BF.我们选x=∠BOE为变元,
立即有BC=2Rsinx,∠AOB=α-x,∠OAB=π-α,在△OAB内由正弦定理得
于是
积化和差得
∴当时,S有最大值:.
文章来源:http://m.jab88.com/j/38529.html
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