一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。怎么才能让高中教案写的更加全面呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“高一数学《两角差的余弦公式》学案”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

高一数学《两角差的余弦公式》学案

一、教材分析
《两角差的余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一课时内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思考，合作交流，获得相应结论。
二、教学目标
1.知识与技能：引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简单应用，体会公式的结构和作用，为建立其他和差角的三角公式打下基础。
2.过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培养学生分析转化、探究解决问题的能力，培养学生合作交流的能力。
3.情感、态度与价值观：通过引例的设计，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性。
三、教学重难点
重点：两角差的余弦公式的推导和简单应用
难点：两角差的余弦公式的推导过程的组织和引导
四、学情分析
前面已经学习了三角函数的定义、图像和性质，及平面向量的运算和应用，在这个基础上考虑用的正余弦值来表示，熟练掌握这个公式，并在此基础上学好下一节。
五、教学方法
1.自主学习法：通过课前自学掌握两角差的余弦公式
2.合作探究学习法：通过分析、探究，掌握两角差的余弦公式的推导方法
3.反馈练习法：通过反馈练习检验知识的掌握情况，同时检测找出疑惑点、总结规律
六、教学过程
（一）创设情境，揭示课题
1.现在我们有工具：皮尺、测角仪，要测量一下我校的桅杆标志的高，要求在地面上测量。
2.问题：（1）不用计算器能不能计算的值？
（2）是不是有成立？
（二）研探新知
1.三角函数线
问题：（1）怎样做出角的终边？
（2）怎样做出角的余弦线？
(3)怎么样利用几何直观寻找的表达式？
公式推导的前提条件是都是锐角，且.
2.向量法
问题：（1）结合图形，明确应选哪那几个向量，它们怎么表示？
（2）怎样利用向量的数量积的概念及计算公式得到结果？
（3）对探索的过程进一步严谨的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
作单位圆如图，
则
由向量的数量积的概念得，
由向量数量积的坐标运算得，
因为是任意角，所以也是任意角，
但是由诱导公式在内总可以找到一个角，，
于是对任意角总有，简记为
例1.利用两角差的余弦公式求.
变式：利用两角差的余弦公式推导下列诱导公式
例2.已知是第三象限的角，求的值.
变式：已知是第二象限角，求的值.
（三）质疑、排忧解难
（四）
本课小结
1.知识上：学会了的推导，熟记的结构，能熟练应用公式.
2.思想方法：在公式的正用、逆用、灵活运用过程中，体现了变角、拆角的化归转化思想方法.
解题过程中注意的象限，也就是符号问题.
（五）自我检测
1.求值：
2．——.
3.化简.
4.已知是锐角，，求.
七、教学反思:通过课前应用实例的解决，可以培养学生的应用意识，以及培养小组之间的合作能力。通过直观猜测，再到理性验证，体会知识的获得过程，感受茫然无知到柳暗花明，感受获得知识的快乐。
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延伸阅读

两角差的余弦公式

课题：§3.1.1两角差的余弦公式

【教学目标】

【知识与技能】

①了解两角差的余弦公式的推导；

②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。

【过程与方法】

①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展；

②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数学的积极性；

③培养学生获取数学知识、数学交流的能力；

【情感态度价值观】

①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想；

②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。

【教学重点、难点】

重点：两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点：探索过程的组织和引导。
【教学手段】用几何画板和powerpoint演示。
【教学流程】

创设问题情景，揭示课题

感知猜想

利用几何画板验证猜想

组织和引导学生共同合作探索公式

通过例题、练习，加强对公式的理解

回顾与反思

布置作业，引发其他公式的探究

【教学设计】

（一）创设问题情境，揭示课题
先让学生口答的正弦余弦值，再提出

问题1.有什么关系？

（）

问题2.对于a、b、c

（让学生讨论，老师归纳其讨论结果，并指出不成立。因为

）

问题3.对于任意角α、β，
（设计意图：由特殊问题引发一般问题，唤起学生解决问题的意识，抛出新知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导学习方向。）
（二）感性认知，提出猜想

问题：如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos（α－β）？

虽然但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，于是让学生凭借直觉，发挥想象，将sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合，构造出结果的表示形式。

（三）验证猜想

借助几何画板，呈现猜想的式子，计算出cos（α－β）和各式子的值，发现当随意变换角度α和β时，总有cos（α－β）和

cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等，所以猜测公式的形式可能是：

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

（第一组验证）

（第二组验证）

（设计意图：使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助，从而引导学生在今后的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。）
（四）联想转化、探索论证

让学生加强新旧知识的联系，寻找已有知识点的理论支持，选定探讨方法，适时提问，逐步引导，层层推进。

问题(1)刚才的验证可靠吗？为什么？

（不可靠，它并不能代表一般性）

问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢？你联想到哪些相关知识？
1.根据学生的回答，先利用向量来证明。

问题（3）你是如何联想到向量？用向量证明得先做哪些准备？

问题（4）在图中选择哪些向量，它们如何表示？

问题（5）如何利用向量的运算构造出等式的左右两边？

问题（6）证明是否严密？若有，请你补充。
（设计意图：让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学问题的简洁性。）

2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。

让学生研读教材，并提出相应的问题，拓宽学生的思维。

问题（1）如何构造三角函数线来证明公式？

问题（2）证明前提是什么?证明完成了吗？

(是在三个角都是锐角的前提下证明的,不具备一般性)

问题（3）两种证明方法用的是哪一种数学思想方法？

问题（4）你认为哪一种方法好？

（设计意图：分化难点，突出重点，拓宽思维，养成研读教材，善于思考，善于提问，小组合作的好习惯）
3.分析公式结构特点，寻求简单记忆

(记作,谐音记忆为:烤烤晒晒符号反)

【拓展与应用】
1.利用差角余弦公式求的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）

2.

（让学生结合公式，明确需要再求哪些三角函数值，可使问题得到解决。并使学生体会到思维的有序性和表达的条理性是三角变换的基本要求。）

变式：去掉α的范围，对结果有影响吗？

（提醒学生注意三角函数的符号问题，并培养学生分类讨论的思想）

3.①求的值

②求的值

③求的值

（设置题目由简单到复杂，由具体角度到任意角，培养学生的灵活变换能力和逆向思维能力）

4．
（让学生结合公式，明确需要先求哪些三角函数值，可使问题得到解决。）

（让学生自主练习，收集学生的解法，对比点评，培养学生对角进行拆分，构造出差角，灵活运用公式）

变式二：

（巩固对角的拆分，突出灵活的重要性）
（例题和习题的设计意图：通过基础训练和变式训练，加强学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题，培养了学生的灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）
【回顾与反思】

1.回顾公式的推导过程，让学生口述并辅以简单的流程图。

2．体会其中蕴涵的数学思想。

3．你在公式的推导过程中有什么启发和感受？

4．公式的应用过程中应该注意什么问题，你有什么体会？

(设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过程的理解，促进知识的内化。)
【设置作业和思考题】.

作业:的1,4题

思考:你能利用如何用cos(α－β)继续探究α±β的三角函数？
(设计意图：巩固本节课的知识,并根据本节课所讲的知识提出问题，而用下一节课要学的知识解决问题作为课堂教学的结束，使新旧知识建立联系，给学生留下悬念。使学生在探索学习的过程中，充满好奇心和兴趣，充分调动了学生的主观能动性。)

《两角和与差的余弦公式》学案

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助教师掌握上课时的教学节奏。那么，你知道教案要怎么写呢？小编收集并整理了“《两角和与差的余弦公式》学案”，仅供参考，希望能为您提供参考！

《两角和与差的余弦公式》学案

【学习目标】
1.了解两角差的余弦公式的产生背景；
2.熟悉用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，通过对比，体会向量法的优越性；
3.把握两角和与差的余弦公式的结构特点，熟记公式，并能灵活运用.
【重点难点】
用向量的数量积推导两角差的余弦公式
【预习指导】
1.左图是我校桅杆标志，你有什么办法可以知道其高度：
（1）；
（2）；

（3）如果有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明

（4）桅杆底部外侧正在施工，有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明
2.阅读课本P124_126,想想学好这节课该做好哪些知识准备：
（1）如何在单位圆中定义三角函数？如何用角表示终边上点的坐标？
（2）三角函数线的意义？
（3）向量的夹角的定义及求法？
（4）向量的投影的定义？回顾一下我们是如何用投影证明向量的数量积的分配律？
【典型例题】
例1.利用两角和与差的余弦公式求.
变式：利用两角和与差的余弦公式推导下列诱导公式

例2.已知是第四象限的角，求的值.

变式：已知是第二象限角，求的值.

例3.已知均为锐角，且，求的值.

变式：

【当堂检测】
1.求值：

2．
3.化简

4.已知是锐角求
【课下拓展】
1.已知均为锐角，，求的值.
2.已知中，，求的值.
【思考】
你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式吗？

高中数学必修四3.1.1两角差的余弦公式导学案

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切
3.1.1两角差的余弦公式

【学习目标】
1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.
2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
【新知自学】
知识回顾
1、三角函数线的有关定义？
2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？
新知梳理
1、设为两个任意角,你能判断恒成立吗?
2、我们设想的值与的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？
cos(60°－30°)cos60°cos30°sin60°sin30°

cos(120°－60°)cos120°cos60°sin120°sin60°

猜想：=
3、试推导上述公式（利用三角函数线）
思考感悟
1、公式中的角适用于任意角吗？
2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？
对点练习
cos17等于（）
A.cos20cos3-sin20sin3
B.cos20cos3+sin20sin3
C.sin20sin3-cos20cos3
D.cos20sin20+sin3cos3

【合作探究】
典例精析：
例1、利用差角余弦公式求的值.

变式练习：1、利用差角余弦公式求的值.

变式练习：2、=

例2、利用两角差的余弦公式证明等式.

变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式.

例3、已知，
是第三象限角，求的值.

变式练习：
4、，，则=（）
A.B.
C.D.

【课堂小结】

【当堂达标】
1.=（）
A.B.
C.D.

【课时作业】
1.计算的结果是（）
A.1B.C.D.

2.已知，则=（）
A.B.
C.D.
*3.化简=（）
A.
B.
C.
D.
*4已知则

*5.已知
，求的值.

6.已知sin，是第三象限角，求的值.

*7.已知都是锐角，
，求的值.

两角和与差的余弦

第三章三角恒等变换
【学习导航】
1．本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
2．三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值变化的规律，是研究三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理能力和运算能力。
3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的兴趣，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的堆积。

知识结构

学习要求
1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3.运用上述公式进行简单的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。
3.1两角和与差的三角函数
第1课时
【学习导航】
学习要求
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；
2、应用公式，求三角函数值.
3．培养探索和创新的能力和意识.
【自学评价】
1．探究
反例：
问题：的关系？
解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2．探究：在坐标系中、角构造+角
3．探究：作单位圆，构造全等三角形
4．探究：写出4个点的坐标
，
，
，
5．计算，
=
=
6．探究由=导出公式
展开并整理得
所以
可记为
7．探究特征
①熟悉公式的结构和特点；
②此公式对任意、都适用
③公式记号
8．探究cos()的公式
以代得：
公式记号
【精典范例】
例1计算①cos105②cos15
③coscossinsin
【解】
例2已知sin=，cos=求cos()的值.
【解】

例3已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且α,0β,
求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】

例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）

在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
【追踪训练】：
1．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。

2．求cos75的值

3．计算：cos65cos115cos25sin115

4计算：cos70cos20+sin110sin20

5．已知锐角,满足cos=cos(+)=求cos.

6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.

【选修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.

例6，
且，
求的值.

【追踪训练】：
学生质疑
教师释疑
1．满足的一组的值是（）
A.B.
C.D.

2．若，则的值为（）
A.0B.1C.D.—1
3．已知cosα=35,α∈（3π2，2π），则cos（α－π3）=。
4．化简：
=。
5．利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
（2）
（3）
（4）

文章来源：http://m.jab88.com/j/3162.html

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