经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师更好的完成实现教学目标。优秀有创意的教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“高一数学《圆锥曲线中的最值问题》教案”，相信您能找到对自己有用的内容。

高一数学《圆锥曲线中的最值问题》教案Jab88.Com

一、内容与内容解析
圆锥曲线的单元复习的基础内容包括椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系,在掌握以上一些陈述性知识和程序性知识的基础上，再学习圆锥曲线的一些综合应用.
在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点关注变化中不变的量或关系，以及变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的定点、定值问题，圆锥曲线的中的参数取值范围问题，圆锥曲线中的最值问题等.
圆锥曲线的最值问题是本单元复习综合性较强的内容.重点研究变化的距离、弦长、角度、面积、斜率、定比等几何量的最值及相关问题.本课重点是借助对常见的距离问题等的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.
解决圆锥曲线的最值问题，不仅要用到圆锥曲线定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析.由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.
几何方法主要结合图形的几何特征，借助圆锥曲线的定义以及平面几何知识作直接论证及判断;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,通过设动点坐标或动直线的方程，将目标表示为变量的函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.
二、教学问题诊断
圆锥曲线的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用圆锥曲线、平面几何、代数等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.
在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。
在教学中，可以从简单的问题（或者教材中的问题）出发，通过问题的提出、问题的拓展、问题的变式等措施，使学生对圆锥曲线最值问题的本质特征有更新、更深的认识，同时激发学生学习的积极性；在教学中，通过学生对一类问题的主动思考、交流互动、反思提炼，构建知识体系，形成基本技能，关注数学本质，体验与感悟问题解决的策略。
为了更好地加强策略性知识的学习，教学中可一题多用，减少问题解决的运算量,使学生在关键点加强思考与交流，有更多的时间进行创造性的实践与反思.
三、目标与目标解析：
1.进一步理解圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质，会求解椭圆、抛物线的相关变量的最值问题，并形成一定的方法;
2.进一步体会“解析法”思想，会从代数与几何两个角度分析和解决曲线的最值问题，并会进行合理的选择；
3.在问题的提出、分析、解决的过程，进一步形成圆锥曲线最值问题的方法体系和数学思想，形成处理最值问题的基本策略,养成质疑和创新的意识.
解决问题后需要重构认知结构，对知识间的联系有新的认识，并在操作中形成技能;会通过反思与交流，感悟并提炼重要的数学思想；在具体的最值问题中，能根据问题的结构有意识地选择几何或代数的策略，并进行具体的操作.
四、教学支持条件分析
由于圆锥曲线的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板、TI—Nspire图形计算器、GeoGebra等软件，直观地呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点.
对于一些的运算，可以利用TI—NspireCAS代数运算系统，帮助学生在课堂上降低运算的难度，减少运算的时间，更深入地体会数学的本质.
五、教学过程设计
（一）提出问题——解决问题——形成初步经验
圆锥曲线中求一些变量的最值，是一类常见的问题，如何根据这类问题的特点，寻求相应的解题策略是我们本课研究的重点.
请大家做一做问题一.并与同学交流，进行解题后的反思.
问题一已知F(0,1),M(0,3),N(3,0),P是抛物线上的一动点，
（1）求|PF|的最小值；
（2）求|PM|的最小值；
（3）求|PM|+|PN|的最小值.
反思：（1）通过问题一的解决，你能否总结出解决此类问题的基本策略？体现了怎样的数学思想？
（2）你能对每一种策略，总结出明确的操作步骤吗？
（3）面对具体问题时如何选择相应的策略，你有了怎样的经验？
设计意图：
问题一入口简单，计算容易，在方法上有回归定义，构造函数，几何论证等典型方法。让学生先做，一方面是了解学生学习水平，诊断学生学习中存在的问题；另一方面，通过学生的做，让学生对此类问题及其解法有切身的感受与体验.
注重学生在解题后的反思活动，通过相互的交流和表达，对解决的策略进行反思提炼，并作进一步的明确，是使策略性知识内化的重要过程.
预设：解决圆锥曲线中的最值问题主要有两种策略：
一是几何方法：根据图形的特点，借助圆锥曲线的定义及几何图形的一些性质，进行直接判断.
二是代数方法：核心是函数思想，具体步骤：设参变量，找关系，建立目标函数，求函数的最值.
一般地，当条件中几何关系比较明显时，可借助几何直观，否则选用代数的方法.
（二）了解策略——简单应用——形成基本技能
你能否用前面所总结的解题策略来解决下列问题：
问题二练一练
（1）点P是抛物线C：上的动点,F是抛物线C的焦点，M(2,4),则的最小值为.
（2）若P，Q分别椭圆与圆上的两个动点，则
的最小值和最大值分别为，.
设计意图：
题(1)是动点到两定点的距离的最值问题，由于涉及到抛物线上的点到焦点的距离问题，可以利用抛物线的定义转化为点P到准线的距离,从而利用平面几何中点到直线的所有距离中垂线段最短的结论得到问题结果.解决此类问题，要求学生有结合曲线的几何性质进行转化与化归的能力.
题(2)对象涉及椭圆与圆，目标是动点到动点的距离最值问题，与问题一相比在结构上有较大差异；设计成填空题的形式可以引导学生优先选择图形直观解决问题，同时强调推导需要理性，本题先借助“形”的结构特点，得到，从而将问题转化为求椭圆上动点P到定点M(0,3)的距离的最值问题，进而从代数的角度，设点的坐标，建立目标函数进行求解.
实际教学中学生易凭直觉判断，需要进行适当的变式.如“压扁椭圆”使学生直观地感知错误，促进学生进行反思并调整策略.
图3
有学生用“曲率”来进行说明,
也可以用同心圆来直觉猜想，
最简单的方法还是用代数法——函数思想分析.
（三）问题变式——策略优化——形成能力
问题三.议一议
点M(0,3)的直线与椭圆交于P,Q两个不同点,若,
求数的取值范围.
分析：先审题：（1）谁在动？目标量是谁？（2）动直线有限制条件吗？（3）动直线确定时，P，Q的位置确定吗？不同的位置对目标量的值是否会有影响？
预设：本题若从代数的角度求解，当直线斜率存在时，设直线的斜率为参变量，则将代入，得
.
可得.
（１）若直接求出方程的两根，
则．
（２）若设，则
但若从几何的角度，却有意外的惊喜！
设计意图:可以建立与斜率的等量关系，再由的范围求的取值范围，也可以利用问题2的结论从几何的角度直接判断.同样的思想方法,可以训练学生的学习能力,形成解决问题的策略.
实际教学中，学生更多选择代数方法，只有三个同学选择几何法，学生一利用了练习二的结论，但这里事实上对一般的问题有个方法上的漏洞，教师可以提出质疑：当椭圆足够扁时，的最小值点和最大值点不共线，还能用类似的几何方法处理吗？
其实同样只需再换一个角度就可以顺利解决，用几何画板演示的变化即可.
练一练
直线y=kx(k0)与椭圆交于P,Q两点,A,B分别是椭圆的右、上顶点,则四边形APBQ面积的最大值为
你能说明理由吗？谈谈你的解题思路，并与同学议一议，了解一些不同的思路.
设计意图：本题的目标量是四边形的面积，需要借助三角形的面积，转化为距离问题进行求解.由此产生不同的策略.
如1：，以为参数构建目标函数;
如2：，以P点的坐标为参数建立目标函数;
如3：，以P点坐标为参数，建立目标函数.
如4：以思路2为基础，可以通过几何直观判断面积的最大值，即求P,Q两点到直线AB的距离之和的最大值，即为平行于AB且与椭圆相切的两直线之间的距离．
通过交流，了解不同的解法，使学生进一步体会两种策略的灵活运用，提升解题能力．
有学生提出两种几何法（1）如4；（2）较有创意：将椭圆通过伸缩变换成为圆，先解决圆中的四边形面积最大问题，再进行还原！
(四)反思小结——策略内化
本节课的学习，你有什么收获？
（1）你认为解决最值问题有哪些策略？
（2）每种策略如何操作？
（3）这些思想体现了怎样的数学思想？
（4）还有其他收获或感想吗？
设计意图：
解题后，在教师的引导下学生的自主反思，才能使学生的解题技能提升为策略，并内化成自身的能力.
（五）目标检测
（必做题）
1.若P，Q分别抛物线C：与圆上的两个动点，求的最小值.
2.
2.若P，Q分别是两条曲线上的任意两点，则称长度的最小值为这两曲线之间的距离.给定直线与椭圆，求直线l与椭圆D之间的距离.
（自主题）
3.给定直线与椭圆，请写出你自己设计的一个最值问题，并选择相应的策略加以解决.
设计意图：开放式地提出问题是学生地“弱点”，但在复习课的教学中，有必要给学生机会重新审视过去做过大量问题的特征，并尝试提出一些“自己”的具有创造性的问题.同时这也是学生对问题及问题解决本质理解的进一步内化的过

相关知识

高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案分析

高一数学《圆锥曲线问题的探究与发现》教案分析

一、问题导入，引发探究
师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象：
两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗？
二、实验探究，交流发现
探究1：卵之由来——椭圆的形成
(1)单个定椭圆的形成
椭圆的定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点到两定点、的距离之和等于常数(大于)，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆。）
思考1：如何使为定值？
（不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段的延长线上取点，使得，此时，为定值则可转化为为定值。）
思考2：若为定值，则点的轨迹是什么？定点与点轨迹的位置关系？
（以定点为圆心，为半径的圆。由于，则点在圆内。）
思考3：如何确定点的位置，使得，且？
（线段的中垂线与线段的交点为点。）
揭示思路来源：(高中数学选修2-1P497)如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线l和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？
(设圆的半径为，由椭圆定义，(常数)，且，所以当点在圆周上运动时，点的轨迹是以为焦点的椭圆。)
图形计算器作图验证：以圆与定点所在直线为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，设圆半径，，即圆，点，则点轨迹是以以为焦点的椭圆，椭圆方程为。
(2)单个动椭圆的形成
思考4：构造一种动椭圆的方式
（由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长为定值，则也要为定值，因此可将圆内点取在圆的同心圆上，当点在圆上动时，即可得到动椭圆。）
图形计算器作图验证：当圆内动点取在圆的同心圆上，运动点，即得到动椭圆。
(3)两个椭圆的形成
观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴对称，且直线过两椭圆公共点，所以直线为两椭圆的公切线。
因而找到公切线，作椭圆关于切线的对称椭圆即可。
探究2：卵之所依——切线的判断与证明
线段的垂直平分线与椭圆的位置关系
(1)利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断与椭圆的位置关系．设圆上动点，则线段的中垂线的方程为，将动点的横坐标保存为变量，纵坐标保存为变量，随着点的改变，在Graphs中画出相应的动直线．用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在区域内的直线与椭圆的交点，拖动点，动态观测交点个数的变化，发现无论点在何处，动直线与椭圆只有唯一一个交点，因此判断直线与椭圆相切，并可求出该切点的坐标．也可以将椭圆方程与直线方程联立，用“代数”工具中的solve（）求出方程组的解，从而判断根的情况．
(2)证明椭圆与直线相切．
不妨设直线：，其中，，与椭圆方程联立，得，因此
，
将，，代入上式，用“代数”工具中的expand()化简式子，得，所以椭圆与直线相切，切点为．
(3)证明由任意圆上的动点和圆内一点确定的椭圆与线段中垂线均相切(反证法)
因为椭圆是点的轨迹，而点是直线与线段中垂线的交点，所以点既在椭圆上，也在直线上。因此，直线与椭圆至少有一个公共点，即直线与椭圆相切或相交。
假设直线与椭圆相交，设另一个交点为（与不重合）．因为，所以；又因为，
所以为定值，而，矛盾．因此直线与椭圆相切。
探究3：两卵相依——对称旋转椭圆的形成与动画
当圆内动点取在圆的同心圆上，作椭圆关于切线的对称椭圆，运动点，隐藏相关坐标系与辅助圆等图形，呈现两卵相互依偎旋转的有趣效果。
改变一些问题条件，进行深入探究与发现。
探究4：改变点位置，探究点轨迹
(1)曲线判断：利用TI图形计算器作图分析，拖动点，当点在定圆内且不与圆心重合时，交点的轨迹是椭圆；当点在定圆外时，则，交点的轨迹是双曲线；当点与圆心重合时，点的轨迹是圆的同心圆；当点在圆周上时，点的轨迹是是一点（圆心）．
(2)方程证明：圆，设点，可解得点的轨迹方程为
，
当或时，点的轨迹为圆心；
当且时，点的轨迹方程为
，
当时，点的轨迹为圆:；
当且时，点的轨迹为椭圆；
当或时，点的轨迹为双曲线。
探究5：改变切线位置，探究由切线得到的包络图形
查阅有关参考书籍，了解圆锥曲线的包络线，并利用图形计算器作出椭圆、双曲线的包络图形，自主探究抛物线的包络线(将定圆改为定直线)。
结论：所谓包络图，就是指有一条曲线按照一定运动规律运动，保留其所有瞬间位置的影像，会有一条曲线能够和该运动曲线所有位置相切，这条曲线就成为该运动曲线的包络线。
探究6：拓展延伸：椭圆切线的几个性质及其应用
性质1：是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上异于长轴两端点的任一点，则点的切线平分的外角。
性质1′：点处的法线(过点且垂直于切线)平分。(即为椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。)
课后探究：阅读数学选修2-1P75阅读与思考——圆锥曲线的光学性质及其应用，了解双曲线、抛物线的光学性质。
练习1：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，过焦点向作垂线，垂足为，则点的轨迹是_____________，轨迹方程是_______________。
解：(1)直观判断：作轨迹
(2)严谨证明：圆的定义
由此得到：
性质2：是椭圆的两个焦点，是长轴的两个端点，过椭圆上异于的任一点的切线，过做切线的垂线，垂足分别为，则在以长轴为直径的圆上。
练习2：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，直线与椭圆相切与点，且到的垂线长分别为，求证：为定值。
解：(1)直观判断：作图
(2)严谨证明：利用性质2及圆的相交弦性质，
由此得到：
性质3：已知椭圆为，则焦点到椭圆任一切线的垂线长乘积等于。
课后探究2：已知为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任一点，直线过点，且到的垂线长分别为，则
①当时，直线与椭圆的位置关系；(相交)
②当时，直线与椭圆的位置关系。(相离)
(类比直线与圆位置关系的几何法，此为直线与椭圆位置关系的几何法)
课后探究：双曲线、抛物线的切线是否有类似性质？

高考数学圆锥曲线最经典题型研究教案

圆锥曲线最经典题型研究
第一定义、第二定义、双曲线渐近线等考查

1、（2010辽宁理数）设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
2、（2010辽宁理数）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A)(B)8(C)(D)16
【答案】B
3、（2010上海文数）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为y28x。
4、（2010全国卷2理数）（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．
若双曲线-=1(b0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于。
【答案】1
5、已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。
6、已知点P是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，I为的内心，若成立，则双曲线的离心率为（▲）
A．4B．C．2D．

8、（2010重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线
解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
9、（2010四川理数）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA|＝
|PF|∈[a－c,a＋c]
于是∈[a－c,a＋c]
即ac－c2≤b2≤ac＋c2
∴
又e∈(0,1)
故e∈
答案：D
10、（2010福建理数）若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()
A．B．C．D．
【答案】B
11、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.
12、（2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则的最小值为___________.
13、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是．

14、（2010全国卷1文数）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则
(A)2(B)4(C)6(D)8
15、（2010全国卷1理数）(9)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则P到x轴的距离为
(A)(B)(C)(D)

16、（2010重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.
解析：设BF=m,由抛物线的定义知
中，AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得
所以AB中点到准线距离为
17、（2010上海文数）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.
（1）若点满足，求点的坐标；
（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；
（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.
解析：(1)；
(2)由方程组，消y得方程，
因为直线交椭圆于、两点，
所以0，即，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则，
由方程组，消y得方程(k2k1)xp，
又因为，所以，
故E为CD的中点；
(3)因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率，直线l的斜率，
解方程组，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．

18、（2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

19、（2010安徽文数）椭圆经过点，对称轴为坐标轴，
焦点在轴上，离心率。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
20、（2010全国卷1理数）（21）(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求的内切圆M的方程.

21、（2010江苏卷）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

22、在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（I）求轨迹C的方程；
（II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.
解：（1）的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，
其方程为…………3分
（2）将，代入曲线C的方程，
整理得
…………5分
因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以①
设，则
②…………7分
且③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以
由
将②、③代入上式，整理得…………10分
所以
即经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点（-2，0）点.
即直线经过点A，与题意不符.
当时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点点，且不过点A.
综上，k与b的关系是：
且直线经过定点点…………13分

23、（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）（本小题满分13分）
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线的方程以及点M的坐标；
（3））是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.
解（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
解得，故椭圆C的方程为.……………………4分
（Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为
由得.①
因为直线与椭圆相切，所以
整理，得解得[
所以直线l方程为
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为…………9分
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以.
又，
因为即，
所以.
即
所以，解得
因为A，B为不同的两点，所以.
于是存在直线1满足条件，其方程为………………………………13分
24、直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
答案：.解：（Ⅰ）将直线
……①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.
则由FA⊥FB得：
整理得
……③
把②式及代入③式化简得
解得
可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.

高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案

§9.8圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系：
将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交点个数：
①当a＝0或a≠0，⊿＝0时,曲线和直线只有一个交点；②当a≠0,⊿0时,曲线和直线有两个交点；③当⊿0时,曲线和直线没有交点。
(2)弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★
重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为.
点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形，，当共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
[例1]设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）
A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析]易知抛物线的准线与x轴的交点为Q(－2,0)，
于是，可设过点Q(－2,0)的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得，应选C.
【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1.（09摸底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.
[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，
代入圆的方程得曲线C的方程：
（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.由,得
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，∴
解得.∴m的取值范围是.
题型2：与弦中点有关的问题
[例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
[解析](Ⅰ)设，
因为,所以化简得:
(Ⅱ)设
当直线⊥x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意
设直线的方程为将代入得
…………(1)…………(2)
(1)－(2)整理得:
直线的方程为即所求直线的方程为
解法二:当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,
将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程。
[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则
，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
3.已知直线y＝－x＋1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y＝0上，求此椭圆的离心率
[解析]设，AB的中点为,
代入椭圆方程得，,两式相减,得.
AB的中点为在直线上，，
，而
题型3：与弦长有关的问题
[例3](山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？

【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件
[解析]（1）将代入得，
由△可知，弦长AB，解得；
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，即，即位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4.(山东省济南市高三统一考试)
已知椭圆与直线相交于两点．
（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦的长度；
[解析]（1）由已知得：，∴
所以椭圆方程为：
（2），由，得
∴∴
（文）已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．
（文）解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．设，，
联立得．则．
所以．
故线段DE的长为．
考点2：对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
【新题导练】
[例4]若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M交椭圆＝1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程．
[解析]，设，则
又，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
所以直线l的方程为：8x－9y＋25＝0.
5.已知抛物线y2＝2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
求证：点A、B关于x轴对称；
[解析]设，，，
，即，
，，，故点A、B关于x轴对称
6.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围.
[解析]（1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．
（2）当k≠0时，设抛物线y2＝4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线，可设
代入y2＝4x得
，
在直线y＝kx＋3上，，
代入得即,又恒成立，所以－1＜k＜0．
综合（1）（2），k的取值范围是（－1，0）
考点3圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
[解析]由，得
由，得此时
由，得，∴
即，故由，得
∴由得，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【新题导练】
7.已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。

[解析]由，设
，
，，解得或
又或
8.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
[解析]设，，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，
将它代入得
由得即
，
将代入得
当且仅当即时取等号，此时，
所以，点M为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．
9.直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，直线过点P（－2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
[解析]由消去y得：
解得
设M（x0，y0）则
三点共线
令上为减函数.
10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值为
（2）最大值为10＋|BC|＝；最小值为10－|BC|＝．
考点4定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6]已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明：设知
同理
①当，
从而有设PQ的中点为，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y＝x2－2m2x－(2m2＋1)(m∈R)，则抛物线C恒过定点
[解析](－1,0)[令x＝－1得y＝0]
12.试证明双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
[解析]双曲线上任意一点为，
它到两渐近线的距离之积
考点6曲线与方程
题型：用几种基本方法求轨迹方程
[例7]已知抛物线C：y2＝4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
［解析］由抛物线y2＝4x,得焦点F(1,0),准线x＝－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|＝e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2＝x－1(x＞1)
[名师指引]求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
【新题导练】
13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是.
[解析][相关点法]
14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
[解析]右焦点（2，0），设
得，，直线l的斜率
又,,两式相减得,
把，，代入上式得
15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；
[解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，
点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．
16.(广东实验中学)已知圆C:.
(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.
(3)若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.
解析（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意……1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即…2分
设圆心到此直线的距离为，则，得
∴，，………4分故所求直线方程为3x－4y＋5＝0
综上所述，所求直线为3x－4y＋5＝0或x＝1……………5分
(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0,0)
∵，∴即，………7分
又∵，∴…………9分
直线m//y轴，所以，,∴点的轨迹方程是()……10分
（3）设Q坐标为(x,y)，，，……11分
又()可得：
.………13分
…………14分
★课后训练★
基础巩固训练
1.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示
（A）焦点在x轴上的椭圆（B）焦点在y轴上的椭圆
（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线
1.[解析]B.由知，
2.已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（）
（A）12（B）24（C）48（D）与椭圆有关
2.[解析]C[由椭圆的对称性可知];
3.已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
3.[解析]D.[MB＝MF]
4.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条.
4.[解析]3；垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
5.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是．
5.[解析]≤;
6.若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为.
6.[解析][]
综合提高训练
7.已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为
7.[解析]12x—23y—2＝0记住结论：
8.已知椭圆，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点.
8.[解析]证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：
不妨取代入曲线E的方程得：
即G（，），H（，－）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：
由题意知：
由
∴直线l与椭圆E交于两点,综上，直线l必与椭圆E交于两点
9.求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．
9.［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则：①②
①－②得：
当时，
由题意知，即③
③式与联立消去k，得④
当时，k不存在，此时，，也满足④．
故弦PQ的中点M的轨迹方程为：
10.已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．
10.[解析]直线的方程为，将，
得:．
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，
则又，
∴．
∵，∴．
解得．
11.过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2＋2y2＝2相交，求k的取值范围．
11.解析：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为
由得2分
∴故
由，解得k≥1
由得8分
由，解得k23因此1≤k23
∴k的取值范围是[，－1]∪[1，]
12.在直角坐标平面内，已知两点A（－2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。
（Ⅰ）证明|PA|＋|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；

12.解：）连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常数）。
又|PA|＋|PB||AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a＝6，2c＝4，∴椭圆方程为

圆锥曲线

古人云，工欲善其事，必先利其器。高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，让高中教师能够快速的解决各种教学问题。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编为大家整理的“圆锥曲线”，希望能对您有所帮助，请收藏。

一、的最值
若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。
例1.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。
分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。
二、的最值
若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。
例2.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）
图1
由椭圆的第一定义得：
可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。
故的最大值为，最小值为。
三、的最值
若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。
例3.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。
解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为
图2
根据椭圆的第二定义有：，即
可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。
故的最小值为10。
四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值
例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”
图3
则
当且仅当AB过焦点F时等号成立。
故M到椭圆右准线的最短距离为。
评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。

文章来源：http://m.jab88.com/j/3157.html

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