一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。怎么才能让教案写的更加全面呢？下面是由小编为大家整理的“高二数学下册《向量的线性运算》复习资料”，仅供参考，欢迎大家阅读。

高二数学下册《向量的线性运算》复习资料

向量的基本概念

(1)向量

既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.

向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)

(5)平行向量

方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.

若向量a、b平行，记作a∥b.

规定：0与任一向量平行.

(6)相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.

②向量a，b相等记作a=b.

③零向量都相等.

④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.

对于向量概念需注意

(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.

(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.

(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.

练习题：jAb88.com

1、平面向量a,b共线的充要条件是()

A.a,b方向相同

B.a,b两向量中至少有一个为0

C.存在λ∈R,使b=λa

D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0

解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向量,故B错.当b=λa时,a,b一定共线,若b≠0,a=0.则b=λa不成立,故C错.排除A、B、C,故选D.

答案:D

2、已知OAB是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足则等于()

解析:∴故选A.

答案:A

3、设DEF分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且则与（）

A.反向平行B.同向平行

C.不平行D.无法判断

答案:A

相关知识

《向量的线性运算》教学设计

《向量的线性运算》教学设计

一、教学目标

1．理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，会画图表示简单的线性运算结果.

2．知道用两个不平行的向量表示平面内一个向量的表达式的特征。会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合．

二、教学重点及难点

1.向量的线性运算的意义，线性组合的概念；

2.线性组合的简单应用。

三、教学设计要点

1.情境设计：巩固复习再引入新课题；

2.教学内容的处理：知识点与具体题目结合，从而得以使学生灵活运用知识；

3.教学方法：合作交流和老师引导相结合；

四、教具的准备

粉笔、三角尺、多媒体演示PPT

五、教学过程

（一）新课导入

我们已经学习了向量加法、减法以及实数与向量相乘等运算,并且知道，向量的减法可以转化为加法运算；向量加法以及实数与向量相乘，有类似于实数加法和乘法的运算律.这些运算还可以组合起来，如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.

（二）探索新知

例题1：已知两个不平行的向量a,b

求作：3a+2b；a-2b

概念：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算

3a+2b；a-2b；3（a+5b）等，都是向量的线性运算

提问：-2a+（a-2b）是向量的线性运算？

例题2:已知两个不平行的向量a，b

求作：（a+b)-(7/2a-2b)

强调：先将算式化简再选择适当的作图方法

概念：如果a，b是两个不平行的向量，c是平面内的一个向量，那么c可以用a，b来表示，并且通常将其表达式整理成：c=xa+yb的形式，其中x，y是实数。xa+yb叫做a，b的线性组合。

例如：a，b是两个不平行的向量，向量OE=3a+2b，这时就说，OE可由a，b的线性组合表示。

例题3:如图，点M是△CAB的边AB的中点.设向量CA=a,CB=b,试用a，b的线性组合表示向量CM

（三）巩固练习:练习24.7（1）

（四）课堂小结:

（五）作业布置:练习册24.7（1）

人教版高二数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计

高中数学必修四《平面向量的线性运算》教案

教学目标

一、知识与技能

1．掌握向量的加减法运算，并理解其几何意义.

2．会用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量，培养数形结合解决问题的能力.

3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加减法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

二、过程与方法

1．位移、速度和力这些物理量都是向量，可以合成，而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则，由此引入本课题．

2．运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加减法的三角形法则、平行四边形法则，并对向量加法的交换律、结合律进行证明，同时运用他们进行相关计算，这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解．三、情感、态度与价值观

1．通过本节内容的学习，让学生认识事物之间的相互转化，培养学生的数学应用意识．

2．体会数学在生活中的作用．培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力．教学重点、难点教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量和差向量．

教学难点：理解向量加减法的定义．

教学关键：向量加法的三角形法则和平行四边形法则的探究引导.

教学突破方法：由物理中力的合成与分解拓展延伸，引导学生探讨得到结论．教法与学法导航

教学方法；启发诱导，讲练结合．

学习方法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法．借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义．结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律．教学准备

教师准备：多媒体或实物投影仪、尺规．

1

教师备课系统──多媒体教案

学生准备：练习本、尺规.教学过程

一、创设情境，导入新课上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断．数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？这一节，我们将借助于物理中位移的合成、力的合成来学习向量的加法和减法．

二、主题探究，合作交流提出问题：

1.类比数的加法，猜想向量的加法，应怎样定义向量的加法？2.向量加法的法则是什么？3.与数的运算法则有什么不同？

师生互动：向量是既有大小、又有方向的量，教师引导学生回顾物理中位移的概念，位移可以合成，如图．某对象从A点经B点到C点，两次位移AB、BC的结果，与A点直接到C点的位移AC结果相同．力也可以合成，老师引导，让学生共同探究如下的问题.

图（1）表示橡皮条在两个力的作用下，沿着GC的方向伸长了EO；图（2）表示撤去F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度．

改变力F1与F2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F与F1、F2之间的关系吗？

力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1与F2的合力．2

人教版新课标普通高中◎数学④必修

合力F与力F1、F2有怎样的关系呢？由图（3）发现，力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长．

数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成看作向量的加法．

讨论结果：1.向量加法的定义：如下图，已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC．求BC=b，两个向量和的运算，叫做向量的加法．

2.向量加法的法则：

（1）向量加法的三角形法则

在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则．运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量．

位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．（2）向量加法的平行四边形法则

如图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．

力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．

对于零向量与任一向量a，我们规定a+0=0+a=a．

提出问题

1.两共线向量求和时，用三角形法则较为合适．当在数轴上表示两个向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

2.思考|a+b|，|a|，|b|存在着怎样的关系？

3.数的运算和运算律紧密联系，运算律可以有效地简化运算．类似地，向量的加法是否也有运算律呢？

师生互动：观察实际例子，教师启发学生思考，并适时点拨，诱导，探究向量的加法在特殊情况下的运算，共线向量加法与数的加法之间的关系．数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）．任意向量a，b的加法是否也满足交换律和结合律？引导学生画图进行探索．

讨论结果：1.两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段．

2.当a，b不共线时，|a+b||a|+|b|（即三角形两边之和大于第三边）;当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|;

当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）．其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|．

一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|．

3.如下左图，作AB=a，AD=b，以AB、AD为邻边作

ABCD，则BC=b，DC=a．

因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a．

如上右图，因为AD=AC+CD=（AB+BC）+CD=（a+b）+c，

，所以（a+b）+c=a+（b+c）．AD=AB+BD=AB+（BC+CD）=a+（b+c）

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律．提出问题

①如何理解向量的减法？

②向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？

师生互动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？

引导学生思考，相反向量有哪些性质？

由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量．于是

-（-a）=a．

我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即

a+（-a）=（-a）+a=0．

所以，如果a、b是互为相反的向量，那么4

人教版新课标普通高中◎数学④必修

a=-b，b=-a，a+b=0．

A.平行四边形法则

如上图，设向量AB=b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+（-b）=a-b．又b+BC=a，所以BC=a-b．

由此，我们得到a-b的作图方法．B.三角形法则

如上图，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则BA=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．

讨论结果：

①向量减法的定义．我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

规定：零向量的相反向量是零向量．

②向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．

三、拓展创新，应用提高

例1如下左图，已知向量a、b，求作向量a+b．

活动：教师引导学生，让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．在向量加法的作图中，学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性．在向量作图时，一般都需要进行向量的平移，用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起，而用三角形法则作图则要求首尾相连．

解：作法一：在平面内任取一点O（上中图），作OA=a，AB=b，则OB=a+b．作法二：在平面内任取一点O（上右图），作OA=a，以OA、OB为邻边作OB=b．连接OC，则OC=a+b．

例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如下图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）;（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．

OACB，

活动：本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用．这样的问题在物理中已有涉及，这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向（与某一方向所成角的大小）．引导点拨学生正确理解题意，将实际问题反映在向量作图上，从而与初中学过的解直角三角形建立联系．

解：如上右图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作则AC表示船实际航行的速度．

（2）在Rt△ABC中，|AB|=2，|BC|=5，所以|AC|=|AB|?|BC|?因为tan∠CAB=

22ABCD，

22?52?29≈5.4．

29，由计算器得∠CAB=68°．2答：船实际航行速度的大小约为5．4km/h，方向与水的流速间的夹角为68°．点评：用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题．

例3如图（1）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．

作法：如图（2），在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则

BA=a-b，DC=c-d．

例4如图，ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗？

活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．

解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b．

四、小结

1．先由学生回顾本节学习的数学知识：向量的加法定义，向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法满足交换律和结合律，几何作图，向量加法的实际应用．

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法：特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法．

课堂作业

1．下列等式中，正确的个数是（）

①a+b=b+a②a-b=b③0-a=-a④-（-a）=a⑤a+（-a）=0A．5B．4C．3D．2

2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF-DB等于（）

A．FDB．FCC．FED．BE3．下列式子中不能化简为AD的是（）

A．（AB+CD）+BCB．（AD+MB）+（BC+CM）C．MB?AD?BMD．OC-OA+CD

平面向量的线性运算考点解读

考点解读：平面向量的线性运算
向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.
下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究：
考点一、平面向量基本概念的考查：
例1、给出下列命题：
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
⑵若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各顶点；
⑶若，则；
⑷若，则
其中所有正确命题的序号为.
解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当时，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由，则，且与的方向相同；由，则，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故，⑶是正确的；对于⑷，当时，与不一定平行，故⑷是不正确的.
所以正确命题的序号为⑶.

考点二、向量加法、加法的考查：
例2、下列命题：
①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与之一方向相同；
②在中，必有；
③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若均为非零向量，则与一定相等.
其中真命题的个数为（）
A、0B、1C、2D、3
解析：①假命题，当时，命题不成立.②真命题.③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有.④假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为.
点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.

例3、已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为，则向量等于（）
A、B、C、D、
解析：如图所示，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为，
结合图形有：
故答案：B
点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.

考点三、平面向量的共线定理的考查：
例4、如图所示，在的边上分别有一点M、N，已知、，连结AN，在AN上取一点R，满足.
⑴用向量表示向量；⑵证明：R在线段BM上.
解析：⑴∵，∴
∵，∴
∵，∴
又
∴，
∴.
⑵证明：∵
∴，∴R在线段BM上.
点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.

《平面向量的概念及线性运算》教学反思

《平面向量的概念及线性运算》教学反思

本节课主要是要让学生理解平面向量的基本概念：向量、有向线段、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量；掌握基本方法：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、向量的减法法则、数乘向量的运算法则。因为向量知识比较抽象，就像学生说的有点“横空出世”，很难想到，学生容易产生厌烦的情绪。

建议：1、借助图形帮助学生理解，把抽象的问题转化为形象具体的问题；2、向量有两种表示方法：即有向线段和字母法，但是书写时必须加箭头，必须强调这一点。

7.2平面向量的坐标表示

反思：本节课主要是要让学生理解向量坐标化的意义，并且能熟练掌握平面向量的坐标运算。向量的坐标表示比较好理解，所以课上没有太多问题。只是课上和学生的交流太少，几乎都是自己在讲，而且学生的呼应不够，有时候问他们，并没有多少人会回答。

建议：1.在表示向量时要注意与表示点的坐标的区别，前者有等号连接，后者无等号，这点要向学生强调；2.必须强化“数形结合”的思想；3.多和学生进行眼神交流。4.讲解速度可以放慢一点。

7.3平面向量的内积

反思：本节课主要是①通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②理解平面向量夹角的定义和内积运算公式；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。由于公式比较多，学生有点消化良；学生对数量积的性质、运算律不够灵活应用。

建议：1、讲课速度放慢点，花多点时间放在练习上。让学生熟练数量积的性质、运算律的应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。2、鼓励学生积极参与到课堂中来。

第七章反思和体会

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。由于平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特。用学生的话说：有些解法真有点“横空出世”，很难想到，所以学生就可能会有畏难情绪，针对前一段的教学做了简单的总结：

一、向量的三类运算

（一）几何运算：数形结合是求解向量问题的基本方法。向量加法重点讲解了三角形法则、平行四边形法则，减法讲解了三角形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，充分体现了数形结合的数学思想。

（二）代数运算：1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。

（三）坐标运算：平面向量的坐标运算是联结几何运算与数量运算的桥梁，在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用解析法来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学要求：1、掌握相关概念、性质、运算公式、法则以及基本运算技能；2、明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式与坐标公式进行有机结合，注意数与形的相互转化；3、能把向量知识与其他知识如曲线、函数、三角等知识进行横向联系，体现向量的工具性。

三、本章的特点：1、运用类比思想分析概念。首先通过物理中位移、力的概念引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，建立学习向量的认知基础；为了使学生更好的理解向量的概念，课本采用了与数量概念比较的方法使学生在区分相似概念的过程中更深刻的把握向量概念。2、利用向量法解决实际问题。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法--向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。4、强化数学能力。指导学生综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。

四、教学体会1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高向量法的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。4、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高引导学生理解本章向量垂直与平行的判断或证明与直线垂直与平行的联系和区别；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。

文章来源：http://m.jab88.com/j/28096.html

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