考点解读：平面向量的线性运算
向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.
下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究：
考点一、平面向量基本概念的考查：
例1、给出下列命题：
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
⑵若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各顶点；
⑶若，则；
⑷若，则
其中所有正确命题的序号为.
解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当时，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由，则，且与的方向相同；由，则，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故，⑶是正确的；对于⑷，当时，与不一定平行，故⑷是不正确的.
所以正确命题的序号为⑶.

考点二、向量加法、加法的考查：
例2、下列命题：
①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与之一方向相同；
②在中，必有；
③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若均为非零向量，则与一定相等.
其中真命题的个数为（）
A、0B、1C、2D、3
解析：①假命题，当时，命题不成立.②真命题.③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有.④假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为.
点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.

例3、已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为，则向量等于（）
A、B、C、D、
解析：如图所示，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为，
结合图形有：
故答案：B
点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.jab88.com

考点三、平面向量的共线定理的考查：
例4、如图所示，在的边上分别有一点M、N，已知、，连结AN，在AN上取一点R，满足.
⑴用向量表示向量；⑵证明：R在线段BM上.
解析：⑴∵，∴
∵，∴
∵，∴
又
∴，
∴.
⑵证明：∵
∴，∴R在线段BM上.
点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.

精选阅读

平面向量的坐标运算

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么如何写好我们的教案呢？下面是小编为大家整理的“平面向量的坐标运算”，相信能对大家有所帮助。

2.3.2平面向量的坐标运算

一、课题：2.3.2平面向量的坐标运算
二、教学目标：1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。
三、教学重、难点：1．向量平行的充要条件的坐标表示；
2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。
四、教学过程：
（一）复习：
1．已知，，求，的坐标；
2．已知点，及，，，求点、、的
坐标。
归纳：（1）设点，，则；
（2），，则，
，；
3．向量与非零向量平行的充要条件是：.
（二）新课讲解：
1．向量平行的坐标表示：
设，，（），且，
则，∴.
∴，∴.
归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）

例1已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．

例2已知，，，求证、、三点共线．
证明：，，
又，∴.∵直线、直线有公共点，
∴，，三点共线。
例3已知，，若与平行，求．
解：=
∴，∴，∴.
例4已知，，，，则以，为基底，求.
解：令，则.
，∴，
∴，∴.

例5已知点，，，，向量与平行吗？直线平
行与直线吗？
解：∵，=，
又，∴；
又，，，
∴与不平行，
∴、、不共线，与不重合，
所以，直线与平行。

五、小结：1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
六、作业：
补充：1．已知，，，且，，求点，的坐标及向量的坐标；
2．已知，，，试用，表示；
3．设，

高二数学必修四《平面向量的线性运算》名师教案

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，让教师能够快速的解决各种教学问题。那么如何写好我们的教案呢？以下是小编为大家收集的“高二数学必修四《平面向量的线性运算》名师教案”欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

高中数学必修四《平面向量的线性运算》教学设计

【教学目标】

知识与能力；过程与方法；情感、态度、价值观；

1.掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义；

2.掌握向量数乘向量的运算及其几何意义，理解向量共线的充要条件；

了解向量共线的含义，理解向量共线判定和性质定理。

【教学重点、难点】

重点：理解并掌握向量的线性运算及向量共线的充要条件；难点：向量的线性运算及向量共线的充要条件的应用。【教具准备】

多媒体课件【教学方法】

启发引导式；讲练结合【教学设计】．复习导入

问题：前面我们已经复习了的向量的有关概念，知道了

向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？学生：速度，加速度，位移，力

力可以合成也可以分解，那么向量怎么运算

那么我们今天一起回顾向量的线性运算——板书课题知识要点1.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；加法求两个向量和的运算(2)结合律：(a＋b)＋c减法求两个向量差的运算数乘求实数λ与向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；1

＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)(1)λ(μa)＝(λμ)a；积的运算(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．3.【知识拓展】

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终→→→——→→

点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．→1→→

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2→→→

＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，点A，B，C共线λ＋μ＝1.

题型一平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算

→→→→→

例2(1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于()＋c－c33

－b＋c33

→→

(2)(20XX·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，若BC＝3CD，则()1→4→→

＝－AB＋AC

33→4→1→

＝AB＋AC

33答案(1)A(2)A

2

→1→4→＝AB－AC

33→4→1→

＝AB－AC

33

→→→→→→解析(1)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC→→＝2(AC－AD)，→→→∴3AD＝2AC＋AB，→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

→→→→→→

(2)∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1→4→→→→→

即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.

33题型二

根据向量线性运算求参数

12→→

例2(1)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB

23→

＋λ2AC(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

→→

(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，→→→

D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()10，A.21

－，0C.21

答案(1)(2)D

2

→→→1→2→

解析(1)DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

632→→

(2)设CO＝yBC，→→→∵AO＝AC＋CO

→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)

10，B.31

－，0D.3

3

→→＝－yAB＋(1＋y)AC.

→→

∵BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，10，，∴y∈3

→→→∵AO＝xAB＋(1－x)AC，1

－，0.∴x＝－y，∴x∈3

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两

→2→→1→→→

点，且交对角线AC于点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为()

52

2222

A.B.C.D.9753答案A

→2→→1→解析∵AE＝AB，AF＝AD。

52→5→→→

∴AB＝AE，AD＝2AF.

2

向量加法的平行四边形法则可知，→→→AC＝AB＋AD，→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)5→→AE＋2AF＝λ24

5→→＝λAE＋2λAF，2

2

E，F，K三点共线，可得λ＝。

9故选A.

思想方法感悟提高

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则

与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；

向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素

是“起点重合”．

→→

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB∥CD且AB与CD不共线，则

→→

AB∥CD；若AB∥BC，则A、B、C三点共线

作业布置练出高分

1.步步高P241-242

2.预习平面向量基本定理及坐标表示

课后反思

本节课按课前预设完成了教学任务，但教学理念陈旧，课堂上没有充分发挥学生的主动性和积极性，教师不能大胆放手让学生去探索，造成了课堂上教师讲的多。

2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

2．3.22.3.3平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算

预习课本P94～98，思考并完成以下问题
(1)怎样分解一个向量才为正交分解？
(2)如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？
[新知初探]
1．平面向量正交分解的定义
把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．
2．平面向量的坐标表示
(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标．
(3)坐标表示：a＝(x，y)．
(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
[点睛](1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝bx1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
文字描述符号表示
加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝(λx1，λy1)
重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
[点睛](1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．()
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()
(4)点的坐标与向量的坐标相同．()
答案：(1)√(2)√(3)×(4)×
2．若a＝(2,1)，b＝(1,0)，则3a＋2b的坐标是()
A．(5,3)B．(4,3)
C．(8,3)D．(0，－1)
答案：C
3．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝()
A．(4,6)B．(－4，－6)
C．(－2，－2)D．(2,2)
答案：A
4．若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量＝______.
答案：(－1，－4)

平面向量的坐标表示

[典例]
如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解]由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.
x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，
∴D－12，32.
∴＝32，12，＝－12，32.

求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．

[活学活用]
已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，
(1)求向量的坐标；
(2)若B(3，－1)，求的坐标．
解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，
y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．
(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).
平面向量的坐标运算
[典例](1)已知三点A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，则向量3＋2＝________，－2＝________.
(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，
∴＝(1,5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)．
∴3＋2＝3(1,5)＋2(4，－1)
＝(3＋8,15－2)
＝(11,13)．
－2＝(－5，－4)－2(1,5)
＝(－5－2，－4－10)
＝(－7，－14)．
[答案](11,13)(－7，－14)
(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，
a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，
3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，
2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)
＝(－2,4)＋(9，－15)
＝(7，－11)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

[活学活用]
1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()
A．(7,3)B．(7,7)
C．(1,7)D．(1,3)
解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，
∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝12，则P点坐标为______．
解析：设P(x，y)，＝(x－3，y＋2)，＝(－8,1)，
∴＝12＝12(－8,1)＝－4，12，
∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.
答案：－1，－32

向量坐标运算的综合应用
[典例]已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解]因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－23.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－13.
若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，
所以－23＜t＜－13.
[一题多变]
1．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．
解：由典例知P(1＋3t,2＋3t)，
则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.
2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．
解：＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则＝，
所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
向量中含参数问题的求解
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
层级一学业水平达标
1．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()
A．2i＋3jB．4i＋2j
C．2i－jD．－2i＋j
解析：选C记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j.
2．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于()
A．－18，－1B．14，3
C．18，1D．－14，－3
解析：选A∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，
∴λa＝12a＝－18，－1.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝()
A．(1，－2)B．(1,2)
C．(5,6)D．(2,0)
解析：选Ab＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝()
A．(2,4)B．(3,5)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：选C＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
5．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为()
A．(－14,16)B．(22，－11)
C．(6,1)D．(2,4)
解析：选D设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，＝(－2－x,7－y)，
由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x＝2，y＝4.
6．(江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝2－5＝－3.
答案：－3
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．
∴＋2＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，向量的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，
y＝||sin150°＝6sin150°＝3，
即A(－33，3)，所以＝(－33，3)．
答案：(－33，3)
9．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴1－x＝－7，0－y＝10x＝8，y＝－10，
即A点坐标为(8，－10)．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标．
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，
所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，
所以M－12，－1.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37.

层级二应试能力达标
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则12＝()
A．(－2，－2)B．(2,2)
C．(1,1)D．(－1，－1)
解析：选D12＝12(－)＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()
A．－2,1B．1，－2
C．2，－1D．－1,2
解析：选D∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为()
A．2，72B．2，－12
C．(3,2)D．(1,3)
解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3，解得m＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.
4．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“?”为m?n＝(a＋c，b＋d)．设f＝(p，q)，若(1,2)?f＝(5,0)，则(1,2)?f等于()
A．(4,0)B．(2,0)
C．(0,2)D．(0，－4)
解析：选B由(1,2)f＝(5,0)，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f＝(1，－2)，所以(1,2)?f＝(1,2)?(1，－2)＝(2,0)．
5．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中，正确结论有________个．
解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：1
6．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC＝π4.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________.
解析：过C作CE⊥x轴于点E，
由∠AOC＝π4知，|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.
答案：23
7．在△ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标．
解：∵A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，
∴＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，
＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．
∵D是BC的中点，
∴＝12(＋)＝12(－4－3，－3－5)
＝12(－7，－8)＝－72，－4.
∵M，N分别为AB，AC的中点，∴F为AD的中点．
∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.
8．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
(1)若＋＋＝0，求的坐标．
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)．
所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.
所以点P的坐标为(2,2)，
故＝(2,2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，
所以＝(2,3)－(1,1)＝(1,2)，
＝(3,2)－(1,1)＝(2,1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，所以x0＝m＋2n，y0＝2m＋n，
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.

平面向量数量积的运算律

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。高中教案的内容要写些什么更好呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“平面向量数量积的运算律”，希望对您的工作和生活有所帮助。

平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1ea=ae=|a|cos；2abab=0
3当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.特别的aa=|a|2或
4cos=；5|ab|≤|a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：ab=ba
证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos
∴ab=ba
2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
说明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①
(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②
两式相减：2ab=b2
代入①或②得：a2=b2
设a、b的夹角为，则cos=∴=60
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而=，
∴||2=
∴||2+||2=2=
例3四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａｂ＝ｂс＝сｄ＝ｄａ，试问四边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２сｄ＋｜ｄ｜２
由于ａｂ＝сｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａｂ＝ｂс，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ(2ａ)＝０，即ａｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（）
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)(a-3b)等于（）
A.72B.-72C.36D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝.
5.已知|a|=2，|b|=5，ab=-3，则|a+b|=______，|a-b|=.
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：

文章来源：//m.jab88.com/j/28168.html

更多