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高中数学知识点归纳:平面向量

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划,高中教师要准备好教案,这是教师工作中的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,帮助授课经验少的高中教师教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗?下面是小编精心为您整理的“高中数学知识点归纳:平面向量”,仅供您在工作和学习中参考。

高中数学知识点归纳:平面向量

平面向量的实际背景及基本概念

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

向量的线性运算

1.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.

2.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.

3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

平面向量的基本定理及坐标表示

1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

平面向量的数量积及向量的应用

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

1.向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.

(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.

(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.

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高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理导学案


2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理

【学习目标】
1.了解平面向量基本定理;
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
3.能够在具体问题中适当选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.

【新知自学】
知识回顾:
1、实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个,记作;规定:
(1)|λ|=
(2)λ0时,λ与方向;
λ0时,λ与方向;
λ=0时,λ=
2.运算定律:
结合律:λ(μ)=;
分配律:(λ+μ)=,
λ(+)=

3.向量共线定理:向量与非零向量共线,则有且只有一个非零实数λ,使=λ.

新知梳理:
1.给定平面内两个向量,,请你作出向量3+2,-2,

2.由上,同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示?
平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使
不共线的向量,叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟:
(1)基底不惟一,关键是;不同基底下,一个向量可有不同形式表示;
(2)基底给定时,分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的数.

3.向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗?

已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角。

当=,、同向;
当=,、反向;统称为向量平行,记作
如果=,与垂直,记作⊥。

对点练习:
1.设、是同一平面内的两个向量,则有()
A.、一定平行
B.、的模相等
C.同一平面内的任一向量都有=λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共线,则同一平面内的任一向量都有=λ+u(λ、u∈R)

2.已知向量=-2,=2+,其中、不共线,则+与=6-2的关系()
A.不共线B.共线
C.相等D.无法确定

3.已知λ1>0,λ2>0,、是一组基底,且=λ1+λ2,则与,
与.(填共线或不共线).

【合作探究】
典例精析:
例1:已知向量,求作向量2.5+3

变式1:已知向量、(如图),求作向量:
(1)+2.?(2)-+3

例2:如图,,不共线,且
,用,来表示

变式2:已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.

【课堂小结】
知识、方法、思想

【当堂达标】
1.设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的则真命题的个数是()()
A.1B.2C.3D

2.如图,正六边形ABCDEF中,=
A.B.C.D.

3.在中,,,,为的中点,则____________.(用表示)

【课时作业】
1、若、不共线,且λ+μ=(λ、μ),则()
A.=,=B.=0,=0
C.=0,=D.=,=0
2.在△ABC中,AD→=14AB→,DE∥BC,且DE与AC相交于点E,M是BC的中点,AM与DE相交于点N,若AN→=xAB→+yAC→(x,y∈R),则x+y等于()
A.1B.12C.14D.18

3.在如图所示的平行四边形ABCD中,AB→=a,AD→=b,AN=3NC,M为BC的中点,则MN→=________.(用a,b表示).

4.如图ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,用,表示,,和

5.设与是两个不共线向量,=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.

6如图,在△ABC中,AN→=13NC→,P是BN上一点,若AP→=mAB→+211AC→,求实数m的值.

7.如图所示,P是△ABC内一点,且满足条件AP→+2BP→+3CP→=0,设Q为CP延长线与AB的交点,令CP→=p,用p表示CQ→.

【延伸探究】
已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:+++=4

高中数学必修四2.3.3平面向量的坐标运算导学案


2.3.3平面向量的坐标运算

【学习目标】
1.理解平面向量的坐标的概念;掌握平面向量的坐标运算;
2.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.

【新知自学】
知识回顾:
1.平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=______________
(1)不共线向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组;
(2)由定理可将任一向量在给出基底,的条件下进行分解;分解形式惟一.λ1,λ2是被,,唯一确定的实数对;
2.向量的夹角:已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角,当=,、同向,当=,
、反向,当=,与垂直,记作⊥。
3.向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,取=(1,0),=(0,1)作为一组基底,设=x+y,则向量的坐标就是点的坐标。
新知梳理:
1.平面向量的坐标运算
已知:=(),=(),我们考虑如何得出、、的坐标。
设基底为、,
则=
=
即=,
同理可得=
结论:(1)若=(),=(),
则,
即:两个向量和与差的坐标分别等于.
(2)若=(x,y)和实数,则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考感悟:
已知,,怎样来求的坐标?
若,,==
则=
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的

对点练习:
1.设向量,坐标分别是(-1,2),(3,-5)则+=__________,
-=________,3=_______,2+5=___________
2.如右图所示,平面向量的坐标是()
A.B.
C.D.

3.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),则2=.

【合作探究】
典例精析:
例1:已知=(2,1),=(-3,4),求+,-,3+4的坐标.

变式1:已知,求:
(1)
(2)
(3)

例2:已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标。

*变式2:设,,,用表示

【课堂小结】

【当堂达标】
1、设则=___________
2、已知M(3,-2)N(-5,-1),且,则=()
A.(-8,1)B.
C.(-16,2)D.(8,-1)
3、若点A的坐标是,向量=,则点B的坐标为()
A.
B.
C.
D.
4、已知
则=()
A.(6,-2)B.(5,0)
C.(-5,0)D.(0,5)

【课时作业】
1.如图,已知,,
点是的三等分点,则()
A.B.
C.D.

2.若M(3,-2)N(-5,-1)且,则P点的坐标

*3.已知

*4.在△ABC中,点P在BC上,且BP→=2PC→,点Q是AC的中点,若PA→=(4,3),PQ→=(1,5),则BC→=________.

5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()
A.(1,5)或(5,5)
B.(1,5)或(-3,-5)
C.(5,-5)或(-3,-5)
D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)

6.已知=(1,2),=(-2,3),=(-1,2),以,为基底,试将分解为的形式.

7.已知三个力=(3,4),=(2,5),=(x,y)的合力++=,求的坐标.

8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,求第四个顶点的坐标。

9.已知点,若,
(1)试求为何值时,点P在第一、三象限的交平分线上?
(2)试求为何值时,点P在第三象限?

【延伸探究】
已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP→=OA→+tAB→,试问:
(1)t为何值时,P在x轴上,P在y轴上,P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.

第八章平面向量(高中数学竞赛标准教材)


第八章平面向量

一、基础知识
定义1既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如a.|a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为1的向量称为单位向量。
定义2方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
定理1向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
定理2非零向量a,b共线的充要条件是存在实数0,使得a=f
定理3平面向量的基本定理,若平面内的向量a,b不共线,则对同一平面内任意向是c,存在唯一一对实数x,y,使得c=xa+yb,其中a,b称为一组基底。
定义3向量的坐标,在直角坐标系中,取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任取一个向量c,由定理3可知存在唯一一组实数x,y,使得c=xi+yi,则(x,y)叫做c坐标。
定义4向量的数量积,若非零向量a,b的夹角为,则a,b的数量积记作ab=|a||b|cos=|a||b|cosa,b,也称内积,其中|b|cos叫做b在a上的投影(注:投影可能为负值)。
定理4平面向量的坐标运算:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),
1.a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2.λa=(λx1,λy1),a(b+c)=ab+ac,
3.ab=x1x2+y1y2,cos(a,b)=(a,b0),
4.a//bx1y2=x2y1,abx1x2+y1y2=0.
定义5若点P是直线P1P2上异于p1,p2的一点,则存在唯一实数λ,使,λ叫P分所成的比,若O为平面内任意一点,则。由此可得若P1,P,P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2),则
定义6设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照向量a=(h,k)的方向,平移|a|=个单位得到图形,这一过程叫做平移。设p(x,y)是F上任意一点,平移到上对应的点为,则称为平移公式。
定理5对于任意向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),|ab|≤|a||b|,并且|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|ab|≥0,|a||b|≥0,
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|ab|≤|a||b|,化简即为柯西不等式:(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|ab|≥0,|a||b|≥0,
所以|a||b|≥|ab|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注:本定理的两个结论均可推广。1)对n维向量,a=(x1,x2,…,xn),b=(y1,y2,…,yn),同样有|ab|≤|a||b|,化简即为柯西不等式:(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2)对于任意n个向量,a1,a2,…,an,有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向与例题
1.向量定义和运算法则的运用。
例1设O是正n边形A1A2…An的中心,求证:
【证明】记,若,则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合,所以不变,这不可能,所以
例2给定△ABC,求证:G是△ABC重心的充要条件是
【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为D,E,F,延长AD至P,使DP=GD,则
又因为BC与GP互相平分,
所以BPCG为平行四边形,所以BGPC,所以
所以
充分性。若,延长AG交BC于D,使GP=AG,连结CP,则因为,则,所以GBCP,所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G为重心。
例3在凸四边形ABCD中,P和Q分别为对角线BD和AC的中点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】如图所示,结结BQ,QD。
因为,
所以
=
=①
又因为
同理,②
,③
由①,②,③可得
。得证。
2.证利用定理2证明共线。
例4△ABC外心为O,垂心为H,重心为G。求证:O,G,H为共线,且OG:GH=1:2。
【证明】首先
=
其次设BO交外接圆于另一点E,则连结CE后得CE
又AHBC,所以AH//CE。
又EAAB,CHAB,所以AHCE为平行四边形。
所以
所以,
所以,
所以与共线,所以O,G,H共线。
所以OG:GH=1:2。
3.利用数量积证明垂直。
例5给定非零向量a,b.求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.
【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2a2+2ab+b2=a2-2ab+b2ab=0ab.
例6已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,D为AB中点,E为△ACD重心。求证:OECD。
【证明】设,
则,
又,
所以
a(b-c).(因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2)
又因为AB=AC,OB=OC,所以OA为BC的中垂线。
所以a(b-c)=0.所以OECD。
4.向量的坐标运算。
例7已知四边形ABCD是正方形,BE//AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE。
【证明】如图所示,以CD所在的直线为x轴,以C为原点建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A,B坐标分别为(-1,1)和(0,1),设E点的坐标为(x,y),则=(x,y-1),,因为,所以-x-(y-1)=0.
又因为,所以x2+y2=2.
由①,②解得
所以
设,则。由和共线得
所以,即F,
所以=4+,所以AF=AE。
三、基础训练题
1.以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|,且a//b;②(ab)c=(ac)b;③若ab=ac,则b=c;④若a,b不共线,则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n;⑤若,且a,b共线,则A,B,C,D共线;⑥a=(8,1)在b=(-3,4)上的投影为-4。
2.已知正六边形ABCDEF,在下列表达式中:①;②;③;④与,相等的有__________.
3.已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,ab=0,则|x|+|y|=__________.
4.设s,t为非零实数,a,b为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则a和b的夹角为__________.
5.已知a,b不共线,=a+kb,=la+b,则“kl-1=0”是“M,N,P共线”的__________条件.
6.在△ABC中,M是AC中点,N是AB的三等分点,且,BM与CN交于D,若,则λ=__________.
7.已知不共线,点C分所成的比为2,,则__________.
8.已知=b,ab=|a-b|=2,当△AOB面积最大时,a与b的夹角为__________.
9.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象,c=(1,-1),若,cb=4,则b的坐标为__________.
10.将向量a=(2,1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量b,则b的坐标为__________.
11.在Rt△BAC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,试问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值。
12.在四边形ABCD中,,如果ab=bc=cd=da,试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题
1.点O是平面上一定点,A,B,C是此平面上不共线的三个点,动点P满足则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。
2.在△ABC中,,且ab0,则△ABC的形状是__________.
3.非零向量,若点B关于所在直线对称的点为B1,则=__________.
4.若O为△ABC的内心,且,则△ABC的形状为__________.
5.设O点在△ABC内部,且,则△AOB与△AOC的面积比为__________.
6.P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的__________心.
7.已知,则||的取值范围是__________.
8.已知a=(2,1),b=(λ,1),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是__________.
9.在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,则的最小值为__________.
10.已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},集合N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},mjMN=__________.
11.设G为△ABO的重心,过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q,已知,△OAB与△OPQ的面积分别为S和T,
(1)求y=f(x)的解析式及定义域;(2)求的取值范围。
12.已知两点M(-1,0),N(1,0),有一点P使得成公差小于零的等差数列。
(1)试问点P的轨迹是什么?(2)若点P坐标为(x0,y0),为与的夹角,求tan.

五、联赛一试水平训练题
1.在直角坐标系内,O为原点,点A,B坐标分别为(1,0),(0,2),当实数p,q满足时,若点C,D分别在x轴,y轴上,且,则直线CD恒过一个定点,这个定点的坐标为___________.
2.p为△ABC内心,角A,B,C所对边长分别为a,b,c.O为平面内任意一点,则=___________(用a,b,c,x,y,z表示).
3.已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量,且两两的夹角均为1200,若|ka+b+c|1(k∈R),则k的取值范围是___________.
4.平面内四点A,B,C,D满足,则的取值有___________个.
5.已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形,P为⊙O上任意一点,则取值的集合是___________.
6.O为△ABC所在平面内一点,A,B,C为△ABC的角,若sinA+sinB+sinC,则点O为△ABC的___________心.
7.对于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“(a+b)(a-b)”的___________条件.
8.在△ABC中,,又(cb):(ba):(ac)=1:2:3,则△ABC三边长之比|a|:|b|:|c|=____________.
9.已知P为△ABC内一点,且,CP交AB于D,求证:
10.已知△ABC的垂心为H,△HBC,△HCA,△HAB的外心分别为O1,O2,O3,令,求证:(1)2p=b+c-a;(2)H为△O1O2O3的外心。
11.设坐标平面上全部向量的集合为V,a=(a1,a2)为V中的一个单位向量,已知从V到的变换T,由T(x)=-x+2(xa)a(x∈V)确定,
(1)对于V的任意两个向量x,y,求证:T(x)T(y)=xy;
(2)对于V的任意向量x,计算T[T(x)]-x;
(3)设u=(1,0);,若,求a.
六、联赛二试水平训练题
1.已知A,B为两条定直线AX,BY上的定点,P和R为射线AX上两点,Q和S为射线BY上的两点,为定比,M,N,T分别为线段AB,PQ,RS上的点,为另一定比,试问M,N,T三点的位置关系如何?证明你的结论。
2.已知AC,CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M,N分别内分AC,CE,使得AM:AC=CN:CE=r,如果B,M,N三点共线,求r.
3.在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A,B的点M,点P,Q,R,S是M分别在直线AD,AB,BC,CD上的射影,求证:直线PQ与RS互相垂直。
4.在△ABC内,设D及E是BC的三等分点,D在B和F之间,F是AC的中点,G是AB的中点,又设H是线段EG和DF的交点,求比值EH:HG。
5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?
6.已知点O在凸多边形A1A2…An内,考虑所有的AiOAj,这里的i,j为1至n中不同的自然数,求证:其中至少有n-1个不是锐角。
7.如图,在△ABC中,O为外心,三条高AD,BE,CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N,求证:(1)OBDF,OCDE,(2)OHMN。
8.平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2,字母排列顺序一致,过平面上一点O作,求证△ABC为正三角形。
9.在平面上给出和为的向量a,b,c,d,任何两个不共线,求证:
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.

高中数学函数必考知识点归纳


一名优秀的教师就要对每一课堂负责,准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生更好的消化课堂内容,有效的提高课堂的教学效率。所以你在写教案时要注意些什么呢?下面是小编精心为您整理的“高中数学函数必考知识点归纳”,希望对您的工作和生活有所帮助。

高中数学函数必考知识点归纳

一次函数

一、定义与定义式自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx(k为常数,k≠0)
二、一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质1.作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k,b与函数图像所在象限:当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。当b>0时,直线必通过一、二象限;当b=0时,直线通过原点当b<0时,直线必通过三、四象限。特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
四、一次函数在生活中的应用1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

二次函数
一、定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。)则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的三种表达式一般式:y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式:y=a(x-h)+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)

反比例函数
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质:反比例函数的图像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为|k|。
知识点:1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
2.对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)

对数函数
对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。
对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。(2)对数函数的值域为全部实数集合。(3)函数总是通过(1,0)这点。(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。
(5)显然对数函数无界。

指数函数
指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
可以得到:(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。(3)函数图形都是下凹的。(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。(7)函数总是通过(0,1)这点。
(8)显然指数函数无界。

奇偶性
一、定义一般地,对于函数f(x)(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
二、奇偶函数图像的特征定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称点(x,y)→(-x,-y)奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。
三、奇偶函数运算1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.4.两个偶函数相乘所得的积为偶函数.5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.

值域
一、名称定义函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。
常用的求值域的方法(1)化归法(2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法(4)配方法(5)换元法(6)反函数法(逆求法)(7)判别式法(8)复合函数法(9)三角代换法(10)基本不等式法等
二、关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。
然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。
三、“范围”与“值域”相同吗?“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。
“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。
也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”。

文章来源:http://m.jab88.com/j/28159.html

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