课题:§1.2.2映射
教学目的:(1)了解映射的概念及表示方法,了解象、原象的概念;
(2)结合简单的对应图示,了解一一映射的概念.
教学重点:映射的概念.
教学难点:映射的概念.
教学过程:
一、引入课题
复习初中已经遇到过的对应:
1.对于任何一个实数a,数轴上都有唯一的点P和它对应;
2.对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应;
3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应;
4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应;
5.函数的概念.
二、新课教学
1.我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射(mapping)(板书课题).
2.先看几个例子,两个集合A、B的元素之间的一些对应关系
(1)开平方;
(2)求正弦
(3)求平方;
(4)乘以2;
3.什么叫做映射?
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射(mapping).
记作“f:AB”
说明:
(1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述.
(2)“都有唯一”什么意思?
包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。
4.例题分析:下列哪些对应是从集合A到集合B的映射?
(1)A={P|P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)A={P|P是平面直角体系中的点},B={(x,y)|x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角体系中的点与它的坐标对应;
(3)A={三角形},B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;
(4)A={x|x是新华中学的班级},B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生.
思考:
将(3)中的对应关系f改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应f:BA是从集合B到集合A的映射吗?
5.完成课本练习
三、作业布置
补充习题
第二十七课时幂函数(1)
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学习要求
1.了解幂函数的概念,会画出幂函数的图象,根据上述幂函数的图象,了解幂函数的变化情况和性质;;
2.了解几个常见的幂函数的性质,会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小;
3.进一步体会数形结合的思想.
自学评价
1.幂函数的概念:一般地,我们把形如的函数称为幂函数,其中是自变量,是常数;
注意:幂函数与指数函数的区别.
2.幂函数的性质:
(1)幂函数的图象都过点;
(2)当时,幂函数在上单调递增;当时,幂函数在上单调递减;
(3)当时,幂函数是偶函数;
当时,幂函数是奇函数.
【精典范例】
例1:写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:
(1)(2)
(3)(4)
(5)(6)
分析:求幂函数的定义域,宜先将分数指数幂写成根式,再确定定义域;
【解】(1)此函数的定义域为R,
∴此函数为奇函数.
(2)
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
此函数为非奇非偶函数.
(3)
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
(4)
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
(5)
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
(6)
∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
点评:熟练进行分数指数幂与根式的互化,是研究幂函数性质的基础.
例2:比较大小:
(1)(2)
(3)
(4)
分析:抓住各数的形式特点,联想相应函数的性质,是比较大小的基本思路.
【解】(1)∵在上是增函数,,∴
(2)∵在上是增函数,
,∴
(3)∵在上是减函数,
,∴;
∵是增函数,,
∴;
综上,
(4)∵,,,
∴
点评:若两个数是同一个函数的两个函数值,则可用函数的单调性比较大小;若两个数不是同一个函数的函数值,则可利用0,1等数架设桥梁来比较大小.
追踪训练一
1.在函数(1)(2)(3),(4)中,是幂函数序号为(1).
2.已知幂函数的图象过,试求出这个函数的解析式;
答案:
3.求函数的定义域.
答案:
【选修延伸】
一、幂函数图象的运用
例3:已知,求的取值范围.
【解】在同一坐标系中作出幂函数和的图象,可得的取值范围为.
点评:数形结合的运用是解决问题的关键.
二、幂函数单调性的证明
例4:证明幂函数在上是增函数.
分析:直接根据函数单调性的定义来证明.
【解】证:设,
则
即
此函数在上是增函数
追踪训练二
1.下列函数中,在区间上是单调增函数的是(B)
A.B.
C.D.
2.函数的值域是(D)
A.B.C.D.
3.若,则的取值范围是(C)
A.B.C.D.
4.证明:函数在上是减函数.
证:略.
幂函数
第一课时
教学目标
1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括,让学生体验数学概念的形成过程,培养学生的抽象概括能力。
2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质,并能初步运用所学知识解决有关问题,培养学生的灵活思维能力。
教学难点
幂函数图像和性质的发现过程
教学重点
幂函数的性质及运用
教学过程
一、教学导入
数学和日常生活是密不可分的,观察下列问题中的函数个有什么共同特征?
(1)如果李斯在超市买了每支1元的水笔n(支),那么他应支付p=n元。这里p是n的函数。
(2)如果正方形的边长a,那么正方形的面积为S=a2,这里S是a的函数。
(3)如果立方体的边长a,那么立方体的体积为V=a3,这里V是a的函数。
(4)如果正方形的面积为S,那么这个正方形的边长为a=S,这里a是S的函数。
(5)如果壮壮t(s)内骑车行进了1(km),那么他骑车的平均速度为v=t-1(),这里v是t的函数。
由学生讨论,总结,即可得出:p=n,S=a2,V=a3,a=S,v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。
这节课,我们将来共同学习另一种函数——幂函数(老师板书课题)
二、讲授新课
1、定义:一般地,函数y=xa叫做幂函数,其中x是自变量,a是实常数。
判断一个函数是否是幂函数?注意:①是否为幂的形式;②自变量是幂的底数,指数可以是任意实数。
例1、(1)y=xa与y=ax一样吗?
(2)在函数y=x+2,y=1,y=x2+x,y=2x2+3,y=中,哪几个函数是幂函数?
(3)已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),试求出这个函数的解析式。
2、对于幂函数y=xa,讨论当a=1,2,3,,-1时的函数性质
表格如下:
y=xy=x2y=x3y=xy=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
下面先请五位同学分别在黑板上画出每个函数的图像,其他同学可以在同一坐标系内作五个幂函数的图像。(要给学生留出充分时间去研究函数性质)
通过观察图像与表格
(1)函数y=x,y=x2,y=x3,y=x和y=x-1的图像都通过(1,1);
(2)函数y=x,y=x3,y=x-1是奇函数,函数y=x2是偶函数;
(3)在第一象限内,函数y=x,y=x2,y=x3和y=x是增函数,函数y=x-1是减函数;
(4)在第一象限内,函数y=x-1的图像向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近。
例2、求下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性
(1)f(x)=-2x5(2)g(x)=x4+2
(3)f(x)=-x+x(4)g(x)=5x+x
3、拓展题
证明幂函数f(x)=x3在R上是增函数
三、课外作业
P49习题2—5A组1、2
教学后记
本节课主要从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质,画五个幂函数的图像并由图像概括其性质是教学中可能遇到的困难,所以要注意引导学生亲自动手画图像、分组讨论等形式,让学生自己去探究,把主动权交给学生。
一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,使教师有一个简单易懂的教学思路。所以你在写教案时要注意些什么呢?为满足您的需求,小编特地编辑了“高一数学幂函数49”,欢迎阅读,希望您能阅读并收藏。
第二十八课时幂函数(2)
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学习要求
1.了解幂函数的概念,能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征;
2.掌握判断某些简单函数奇偶性的方法;
3.培养学生判断推理的能力,加强数形结合思想,化归转化能力的培养.
自学评价
1.幂函数的性质:
(1)都过点;
(2)任何幂函数都不过第四象限;
(3)当时,幂函数的图象过原点.
2.幂函数的图象在第一象限的分布规律:
(1)在经过点平行于轴的直线的右侧,按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布;
(2)幂指数的分母为偶数时,图象只在
第一象限;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、第二象限关于轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限关于原点对称.
【精典范例】
例1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性:(1)(2)
(3)(4)(5)
分析:要求幂函数的定义域和值域,可先将分数指数式化为根式.
【解】(1)定义域R,值域R,奇函数,在R上单调递增.
(2)定义域,值域,偶函数,在上单调递增,在上单调递减.
(3)定义域,值域,偶函数,非奇非偶函数,在上单调递增.
(4)定义域,值域,奇函数,在上单调递减,在上单调递减.
(5)定义域,值域,非奇非偶函数,在上单调递减.
点评:熟练进行分数指数幂与根式的互化,是研究幂函数性质的基础.
例2:将下列各组数用小于号从小到大排列:
(1)
(2)
(3)
分析:(1)底数相异,指数相同的数比较大小,可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题,根据函数的单调性,只要比较自变量的大小就可以了.
(2)观察发现,这三个数指数可以统一,底数可以化为正数,故可利用幂函数的单调性比较大小.
【解】(1)
(2)
(3)
点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.
例3:已知的图象如图所示:
则,,,的大小关系是:
分析:对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:正抛物负双曲,大竖直小横铺.即
【解】有幂函数的性质,当自变量时,幂指数大的函数值比较大,故有
点评:幂函数在第一象限内的图象均过点,在区间上,值越小,图象越靠近轴.
追踪训练一
1.图中曲线是幂函数在第一相限的图象,已知取,四个值,则相应与曲线、、、的值依次为(B)
,,,
,,,
,,,
,,,
2.给出下列四个函数:;;;,其中定义域和值域相同的是(2)(3)(写出所有满足条件的函数的序号)
3.比较下列几组数大小
(1),,;
(2),,.
解:(1)∵幂函数在上单调递增,且,
∴;
(2),,,
∵幂函数在上单调递减,且,,
∴即.
【选修延伸】
一、幂函数性质的运用
例4:已知,求的取值范围.
分析:数形给合思想的运用.由于不等式的左右两边的幂指数都是,因此可借助于幂函数的图象性质来求解.
【解】因为在和上为减函数,时,;时,.原不等式可以化为
(1)(2)
(3)
(1)无解;(2),(3)
所以所求的取值范围为
{}
点评:利用函数图象特征了解函数的性质,利用函数性质去解不等式.
二、幂函数图象的性质特征
例5:已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值.
分析:幂函数图象与轴、轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函数为奇函数.结合,便可逐步确定的值.
【解】∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点,
∴,∴;
∵,∴,又函数图象关于原点对称,
∴是奇数,∴或.
点评:掌握幂函数图象的特征,是顺利解题的关键.
思维点拔:
(1)比较同指数幂的大小,利用幂函数的单调性;
(2)根据幂函数的图象,判断指数的大小,或根据幂函数的指数的大小,描述其图象的特征;
(3)判断幂函数的奇偶性,宜先将分数指数化为根式的形式.
追踪训练二
1.设满足,下列不等式中正确的是(C)
A.B.C.D.
2.函数在第二象限内单调递增,则的最大负整数是.
3.求函数的值域.
答案:
文章来源:http://m.jab88.com/j/21397.html
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