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高一数学幂函数49

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第二十八课时幂函数(2)
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学习要求
1.了解幂函数的概念,能画出一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征;
2.掌握判断某些简单函数奇偶性的方法;
3.培养学生判断推理的能力,加强数形结合思想,化归转化能力的培养.
自学评价
1.幂函数的性质:
(1)都过点;
(2)任何幂函数都不过第四象限;
(3)当时,幂函数的图象过原点.
2.幂函数的图象在第一象限的分布规律:
(1)在经过点平行于轴的直线的右侧,按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从下到上分布;
(2)幂指数的分母为偶数时,图象只在
第一象限;幂指数的分子为偶数时,图象在第一、第二象限关于轴对称;幂指数的分子、分母都为奇数时,图象在第一、第三象限关于原点对称.
【精典范例】
例1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性:(1)(2)
(3)(4)(5)
分析:要求幂函数的定义域和值域,可先将分数指数式化为根式.
【解】(1)定义域R,值域R,奇函数,在R上单调递增.
(2)定义域,值域,偶函数,在上单调递增,在上单调递减.
(3)定义域,值域,偶函数,非奇非偶函数,在上单调递增.
(4)定义域,值域,奇函数,在上单调递减,在上单调递减.
(5)定义域,值域,非奇非偶函数,在上单调递减.
点评:熟练进行分数指数幂与根式的互化,是研究幂函数性质的基础.
例2:将下列各组数用小于号从小到大排列:
(1)
(2)
(3)
分析:(1)底数相异,指数相同的数比较大小,可以转化为比较同一幂函数的不同函数值的大小问题,根据函数的单调性,只要比较自变量的大小就可以了.
(2)观察发现,这三个数指数可以统一,底数可以化为正数,故可利用幂函数的单调性比较大小.
【解】(1)
(2)
(3)
点评:比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.
例3:已知的图象如图所示:
则,,,的大小关系是:
分析:对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:正抛物负双曲,大竖直小横铺.即
【解】有幂函数的性质,当自变量时,幂指数大的函数值比较大,故有
点评:幂函数在第一象限内的图象均过点,在区间上,值越小,图象越靠近轴.

追踪训练一
1.图中曲线是幂函数在第一相限的图象,已知取,四个值,则相应与曲线、、、的值依次为(B)
,,,
,,,
,,,
,,,
2.给出下列四个函数:;;;,其中定义域和值域相同的是(2)(3)(写出所有满足条件的函数的序号)
3.比较下列几组数大小
(1),,;
(2),,.
解:(1)∵幂函数在上单调递增,且,
∴;
(2),,,
∵幂函数在上单调递减,且,,
∴即.
【选修延伸】
一、幂函数性质的运用
例4:已知,求的取值范围.
分析:数形给合思想的运用.由于不等式的左右两边的幂指数都是,因此可借助于幂函数的图象性质来求解.
【解】因为在和上为减函数,时,;时,.原不等式可以化为
(1)(2)
(3)
(1)无解;(2),(3)
所以所求的取值范围为
{}
点评:利用函数图象特征了解函数的性质,利用函数性质去解不等式.
二、幂函数图象的性质特征
例5:已知幂函数()的图象与轴、轴都无交点,且关于原点对称,求的值.
分析:幂函数图象与轴、轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函数为奇函数.结合,便可逐步确定的值.
【解】∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点,
∴,∴;
∵,∴,又函数图象关于原点对称,
∴是奇数,∴或.
点评:掌握幂函数图象的特征,是顺利解题的关键.

思维点拔:
(1)比较同指数幂的大小,利用幂函数的单调性;
(2)根据幂函数的图象,判断指数的大小,或根据幂函数的指数的大小,描述其图象的特征;
(3)判断幂函数的奇偶性,宜先将分数指数化为根式的形式.
追踪训练二
1.设满足,下列不等式中正确的是(C)
A.B.C.D.
2.函数在第二象限内单调递增,则的最大负整数是.
3.求函数的值域.
答案:

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高一数学幂函数教案


幂函数
第一课时
教学目标
1、通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括,让学生体验数学概念的形成过程,培养学生的抽象概括能力。
2、使学生理解并掌握幂函数的图像与性质,并能初步运用所学知识解决有关问题,培养学生的灵活思维能力。
教学难点
幂函数图像和性质的发现过程
教学重点
幂函数的性质及运用
教学过程
一、教学导入
数学和日常生活是密不可分的,观察下列问题中的函数个有什么共同特征?
(1)如果李斯在超市买了每支1元的水笔n(支),那么他应支付p=n元。这里p是n的函数。
(2)如果正方形的边长a,那么正方形的面积为S=a2,这里S是a的函数。
(3)如果立方体的边长a,那么立方体的体积为V=a3,这里V是a的函数。
(4)如果正方形的面积为S,那么这个正方形的边长为a=S,这里a是S的函数。
(5)如果壮壮t(s)内骑车行进了1(km),那么他骑车的平均速度为v=t-1(),这里v是t的函数。
由学生讨论,总结,即可得出:p=n,S=a2,V=a3,a=S,v=t-1都是自变量的若干次幂的形式。
这节课,我们将来共同学习另一种函数——幂函数(老师板书课题)

二、讲授新课
1、定义:一般地,函数y=xa叫做幂函数,其中x是自变量,a是实常数。
判断一个函数是否是幂函数?注意:①是否为幂的形式;②自变量是幂的底数,指数可以是任意实数。
例1、(1)y=xa与y=ax一样吗?
(2)在函数y=x+2,y=1,y=x2+x,y=2x2+3,y=中,哪几个函数是幂函数?
(3)已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),试求出这个函数的解析式。

2、对于幂函数y=xa,讨论当a=1,2,3,,-1时的函数性质
表格如下:

y=xy=x2y=x3y=xy=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
下面先请五位同学分别在黑板上画出每个函数的图像,其他同学可以在同一坐标系内作五个幂函数的图像。(要给学生留出充分时间去研究函数性质)
通过观察图像与表格
(1)函数y=x,y=x2,y=x3,y=x和y=x-1的图像都通过(1,1);
(2)函数y=x,y=x3,y=x-1是奇函数,函数y=x2是偶函数;
(3)在第一象限内,函数y=x,y=x2,y=x3和y=x是增函数,函数y=x-1是减函数;
(4)在第一象限内,函数y=x-1的图像向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近。
例2、求下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性
(1)f(x)=-2x5(2)g(x)=x4+2
(3)f(x)=-x+x(4)g(x)=5x+x

3、拓展题
证明幂函数f(x)=x3在R上是增函数
三、课外作业
P49习题2—5A组1、2

教学后记
本节课主要从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质,画五个幂函数的图像并由图像概括其性质是教学中可能遇到的困难,所以要注意引导学生亲自动手画图像、分组讨论等形式,让学生自己去探究,把主动权交给学生。

高一数学《反函数、幂函数》知识点


俗话说,凡事预则立,不预则废。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来,减轻教师们在教学时的教学压力。优秀有创意的教案要怎样写呢?急您所急,小编为朋友们了收集和编辑了“高一数学《反函数、幂函数》知识点”,相信您能找到对自己有用的内容。

高一数学《反函数、幂函数》知识点

1.反函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是A,值域是C.我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),习惯表示为y=f-1(x).注意:函数y=f(x)的定义域和值域,分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域,
例如:f(x)的定义域是[-1,+∞],值域是[0,+∞),它的反函数定义域为[0,+∞),值域是[-1,+∞)。
2.反函数存在的条件
按照函数定义,y=f(x)定义域中的每一个元素x,都唯一地对应着值域中的元素y,如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应,即定义域中的元素x和值域中的元素y,通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系,那么函数y=f(x)存在反函数,否则不存在反函数.例如:函数y=x2,x∈R,定义域中的元素±1,都对应着值域中的同一个元素1,所以,没有反函数.而y=x2,x≥1表示定义域到值域的一一对应,因而存在反函数.
3.函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称.若点(a,b)在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上.
4.反函数的几个简单命题
(1)一个奇函数y=f(x)如果存在反函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数.
(2)一个函数在某一区间是(减)函数,并且存在反函数,那么它的反函数在相应区间也是增(减)函数.

定义:
形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域:
当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域
性质:
对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:
首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:
排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数;
排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。
总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:
如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数,0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到:
(1)所有的图形都通过(1,1)这点。
(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。
(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。
(6)显然幂函数无界。

1幂函数解析式的右端是个幂的形式。幂的底数是自变量,指数是常数,可以为任何实数;与指数函数的形式正好相反。
2幂函数的图像和性质比较复杂,高考只要求掌握指数为1、2、3、-1、时幂函数的图像和性质。
3了解其它幂函数的图像和性质,主要有:
①当自变量为正数时,幂函数的图像都在第一象限。指数为负数的幂函数都是过点(1,1)的减函数,以坐标轴为渐近线,指数越小越靠近
x轴。指数为正数的幂函数都是过原点和(1,1)的增函数;在x=1的右侧指数越大越远离x轴。
②幂函数的定义域可以根据幂的意义去求出:要么是x≥0,要么是关于原点对称。前者只在第一象限有图像;后者一定具有奇偶性,利用对称性可以画出二或三象限的图像。注意第四象限绝对不会有图像。
③定义域关于原点对称的幂函数一定具有奇偶性。当指数是偶数或分子是偶数的分数时是偶函数;否则是奇函数。
4幂函数奇偶性的一般规律:
⑴指数是偶数的幂函数是偶函数。
⑵指数是奇数的幂函数是奇函数。
⑶指数是分母为偶数的分数时,定义域x0或x≥0,没有奇偶性。
⑷指数是分子为偶数的分数时,幂函数是偶函数。
⑸指数是分子分母为奇数的分数时,幂函数是奇数函数。

高一数学教案:《幂函数》教学设计


高一数学教案:《幂函数》教学设计

教学目标:

1.使学生理解幂函数的概念,能够通过图象研究幂函数的性质;

2.在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中,培养学生的观察能力,概括总结的能力;

3.通过对幂函数的研究,培养学生分析问题的能力.

教学重点:

常见幂函数的概念、图象和性质;

教学难点:

幂函数的单调性及其应用.

教学方法:

采用师生互动的方式,由学生自我探索、自我分析,合作学习,充分发挥学生的积极性与主动性,教师利用实物投影仪及计算机辅助教学.

教学过程:

一、问题情境

情境:我们以前学过这样的函数:y=x,y=x2,y=x?1,试作出它们的图象,并观察其性质.

问题:这些函数有什么共同特征?它们是指数函数吗?

二、数学建构

1.幂函数的定义:一般的我们把形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中底数x是变量,指数是常数.

2.幂函数y=x 图象的分布与 的关系:

对任意的 R,y=x在第I象限中必有图象;

若y=x为偶函数,则y=x在第II象限中必有图象;

若y=x为奇函数,则y=x在第III象限中必有图象;

对任意的 R,y=x的图象都不会出现在第VI象限中.

3.幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象):

(1)定点:>0时,图象过(0,0)和(1,1)两个定点;

≤0时,图象过只过定点(1,1).

(2)单调性:>0时,在区间[0,+)上是单调递增;

<0时,在区间(0,+)上是单调递减.

三、数学运用

例1 写出下列函数的定义域,并判断它们的奇偶性

四、要点归纳与方法小结

1.幂函数的概念、图象和性质;

2.幂值的大小比较方法.

五、作业

课本P90-2,4,6.

人教版高一数学下册《幂函数》知识点


人教版高一数学下册《幂函数》知识点

定义:

形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域:

当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域

性质:

对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性:

首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道:

排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数;

排除了为0这种可能,即对于x0x=0的所有实数,q不能是偶数;

排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:

如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;

如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。

在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数,0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到:

(1)所有的图形都通过(1,1)这点。

(2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。

(3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。

(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。

(5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。

(6)显然幂函数无界。

练习题:

1.下列幂函数为偶函数的是()

A.y=x12B.y=3x

C.y=x2D.y=x-1

解析:选C.y=x2,定义域为R,f(-x)=f(x)=x2.

2.若a0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()

A.5-a5a0.5aB.5a0.5a5-a

C.0.5a5-a5aD.5a5-a0.5a

解析:选B.5-a=(15)a,因为a0时y=xa单调递减,且150.55,所以5a0.5a5-a.

3.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R,且为奇函数的所有α值为()

A.1,3B.-1,1

C.-1,3D.-1,1,3

解析:选A.在函数y=x-1,y=x,y=x12,y=x3中,只有函数y=x和y=x3的定义域是R,且是奇函数,故α=1,3.

文章来源:http://m.jab88.com/j/12946.html

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