一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？为满足您的需求，小编特地编辑了“二次函数性质的再研究”，但愿对您的学习工作带来帮助。

§二次函数性质的再研究
一、内容与解析
（一）内容：二次函数性质的再研究。
（二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题.特别是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能灵活运用数形结合的思想来解决问题.
二、目标及其解析：
（一）教学目标
（1）掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用；
（二）解析
（1）二次函数是一重要的函数，掌握好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特别注意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。
三、问题诊断分析
研究二次函数问题一定注意问题成立的范围，超出范围的解是无效的.因此研究二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者来说，是很容易犯错的。
四、教学支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint2003。因为使用PowerPoint2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
（一）研探新知：
（1）1.二次函数的性质

图像
开口方向①②
顶点坐标③④
对称轴

单调区间单调递减区间
⑤调递增区间单调递增区间
⑥单调递减区间
最值当,取得最小值为
当,取得最大值为

2．二次函数性质的应用
①如何确定二次函数的性质
②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值
3.二次函数的三种解析式
①顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.如果已知顶点，则可设成这种形式.
②交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.如果已知二次函数与x轴的交点坐标，则可设成这种形式.
③一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标，可设为这种形式.
（二）类型题探究
题型一二次函数的最值与解析式问题
例1已知，函数、表示函数在区间上的最小值，最大值，求、表达式．
解析：由，知图像关于对称，结合图像知，
当，即时，；
而当，即时，；
当，即时，．
∴．
当，即时，；
当，即时，．
∴．
题型二二次函数的实际应用问题
例2某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：，所以这时租出了88辆车；
（2）设每辆车的月租金定为元，则租赁公司的月收益为：
，
整理得：，
所以，当时，取最大值，其最大值为，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.

设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。
(三）小结：
六、目标检测
一、选择题
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c满足f（4）＝f（1），那么（）
A.f（2）＞f（3）B.f（2）＜f（3）
C.f（2）＝f（3）D.f（2）与f（3）的大小关系不能确定
1.C解析：函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关，结合对称轴的位置即可得到答案．
2.一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根，则a的范围是（）
A.B.C.D.
2.C解析：方程△＝4－4a0，设两根为，则．∵异号，∴,结合两个不等式可得解.
3.函数是单调函数，则（）
A.B.C.D.
3．Ａ解析：函数的对称轴，∴函数）是单调函数，
4.二次函数，若，则等于（）
A.B.C.D.jAB88.Com

4.Ｄ解析：二次函数对称轴，顶点坐标,所以=
二、填空题
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈Z）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年.
5.7解析：首先根据条件求出y＝－（x－6）2＋11，本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差．
6.若函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是_____
6.a≤－3解析：利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为10,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为,所给区间都在对称轴的左侧,即a≤－3
三、解答题
7．(1)求函数（x∈N）的最小值.
(2)在区间上,求函数的最大值与最小值.
(3)在区间上,求函数的最大值与最小值.
7.解析：(1)因为,又因为∈N,所以当=1或=2时函数值都等于－9且最小.
(2)该函数的对称轴为x=,所给区间在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为10,所以在上该函数为增函数,所以当=2时,函数值最小,最小值为-9,当=3时函数有最大值,最大值为-7
(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为,当时,,当时,,所以该函数的最大值为.
8.已知二次函数当x=4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.
8.解析：解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由条件，可得抛物线的顶点为（4，－3），且过（1，0）与（7，0）两点，将三个点的坐标代入，得解得
∴所求二次函数解析式为y=x2－x+.
解法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是（1，0）与（7，0），
∴设二次函数的解析式为y=a（x－1）（x－7），把顶点（4，－3）代入，得－3=a（4－1）（4－7），解得a=.
∴二次函数解析式为y=（x－1）（x－7），即y=x2－x+.
解法三：∵抛物线的顶点为（4，－3），且过点（1，0），∴设二次函数解析式为y=a（x－4）2－3.
将（1，0）代入，得0=a（1－4）2－3，解得a=.
∴二次函数解析式为y=（x－4）2－3，即y=x2－x+.
高考能力演练
9.若函数f（x）=x2+ax+b与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）的单调性

A.在（－∞，2］上减少，在［2，+∞）上增加B.在（－∞，3）上增加
C.在［1，3］上增加D.不能确定
9.A解析：由已知可得该函数的对称轴为,又二次项系数为10,所以在（－∞，2］上为单调递减函数，在［2，+∞）上为单调递增函数.
10．已知函数,且对任意的实数都有成立
(1)求实数的值;(2)利用单调性的定义判断函数在区间上的单调性.
10.解析：(1),所以该函数的对称轴为,
根据函数解析式可知,所以.
(2)由(1)可知,在上该函数为增函数,下面就用定义去证明:
设,则
,,,
即,故函数在区间上的增函数
11.已知函数f（x）=x2－2ax+a2+1，x∈［0，1］，若g（a）为f（x）的最小值.
（1）求g（a）；（2）当g（a）=5时，求a的值.
11.解析：f（x）=（x－a）2+1，
（1）当0≤a≤1时，g（a）=f（a）=1;
当a0时，g（a）=f（0）=a2+1;当a1时，g（a）=f（1）=a2－2a+2.
∴g（a）=
（2）令a=－2.令a=3.∴或时,

扩展阅读

2．2．2二次函数的性质与图像学案

2．2．2二次函数的性质与图像学案
【学习目标】
1、使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法；
2、应“描点法”画出二次函数（的图像，通过图像总结二次函数的性质；
3、通过研究二次函数和图像的性质，能进一步体会研究一般函数的方法，能由特殊到一般地研究问题。
【自主学习】
二次函数的性质与图像
1）定义：函数叫二次函数，它的定义域是。特别地，当时，二次函数变为（。
2）函数的图像和性质：
（1）函数的图像是一条顶点为原点的抛物线，当时，抛物线开口，当时，抛物线开口。
（2）函数为（填“奇函数”或“偶函数”）。
（3）函数的图像的对称轴为。
3）二次函数的性质
（1）函数的图像是，抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴是直线。
（2）当时，抛物线开口向上，函数在处取得最小值；在区间上是减函数，在上是增函数。
（3）当时，抛物线开口向下，函数在处取得最大值；在区间上是增函数，在上是减函数。
跟踪1、试述二次函数的性质，并作出它的图像。

跟踪2、研讨二次函数的性质和图像。

跟踪3、求函数的值域和它的图像的对称轴，并说出它在那个区间上是增函数?在那个区间上是减函数？

跟踪4、课本P60练习B
1、

【归纳总结】
研究二次函数的图像与性质的思路是什么？
函数二次函数（a、b、c是常数，a≠0）

图像a0a0
性质

【典例示范】
例1：将函数配方，确定其对称轴和顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像。

例2：二次函数与的图像开口大小相同，开口方向也相同。已知函数的解析式和的顶点，写出符合下列条件的函数的解析式。
（1）函数，的图像的顶点是（4，）;
（2）函数，图像的顶点是。

【快乐体验】
1、已知函数，如果，且，则它的图像是（）

ABCD
2、函数的图像顶点位于（）
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
3、二次函数的图像过原点，且顶点为，则（）
A、B、C、D、
4、一次函数与二次函数在同一坐标系中的图像大致是（）

ABCD
5、已知二次函数，若，则的值为（）
A、正数B、负数C、零D、符号与a有关
6、若函数在区间上是减函数，则的取值范围是（）
ABCD
7、函数且的值域是。
8、如果二次函数在区间上是增函数，那么的取值
范围是。
9、抛物线与轴有两个交点，且两个交点间的距离为2，则=
10、已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，求的取值范围。

二次函数

一位优秀的教师不打无准备之仗，会提前做好准备，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。我们要如何写好一份值得称赞的高中教案呢？下面是小编精心为您整理的“二次函数”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

年级高一学科数学课题二次函数再研究（2）
授课时间撰写时间2011年8月21
学习重点配方法是研究二次函数图像性质和数学结合思想
学习难点有关二次函数综合问题的研究方法、思路
学习目标1.会对二次函数配方，并讨论图像的开口方向，开口大小，顶点，对称轴，单调性等性质。
2.会求二次函数的最值，体会图像的形状。
教学过程
一自主学习
二次函数（）的性质

开口方向
顶点坐标
对称轴
单调区间
最值
值域

二师生互动
例1已知函数，
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)求这个函数的最小值；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－1)和f(1)的大小
练一练
1.已知二次函数，求函数在区间的最大值与最小值
例2已知函数的定义域为R，值域为，则a的值
练一练
已知函数且，则下列不等式成立的是（）
AB
CD

三巩固练习
1.若x为实数，则函数y＝x2＋3x－5的最小值为…………………………………()
?A.?－294?B.?－5
?C.?0?D.?不存在
2.函数f(x)＝11－x(1－x)的最大值是…………………………………()
?A.?45?B.?54
?C.?34?D.?43
3.二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的最高点是(－3,1)，则b、c的值是……………()
?A.?b＝6，c＝8?B.?b＝6，c＝－8
?C.?b＝－6，c＝8?D.?b＝－6，c＝－8
4.已知二次函数y＝f(x)在区间(－∞，5］上单调递减，在区间［5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是…………………………………()
?A.?f(－2)＜f(6)＜f(11)?B.?f(11)＜f(6)＜f(－2)
?C.?f(6)＜f(11)＜f(－2)?D.?f(11)＜f(－2)＜f(6)
5.已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈［1，a］，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是.
6.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的根为.

四课后反思

五课后巩固练习
1.方程的两根均大于1，则实数a的取值范围
2.已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间［－2,3］上的最大值为6，求a的值.

二次函数的图象

普通高中课程标准实验教科书[北师版]–必修1
第二章函数
§2.4.1二次函数的图象（学案）
[学习目标]
1、知识与技能
(1)通过绘制二次函数图象，观察二次函数图象的特征；
(2)通过画出具体二次函数的图象,总结二次函数和以及
的图象之间的关系和变换特征.
(3)利用多媒体绘画技术演示各函数图象之间的关系并能直观认识.
2、过程与方法
(1)通过学习二次函数的图象，借助图形直观认识函数图象的变换,找到一般的变换
规律,完成从直观到抽象的转变.
(2)了解运用多媒体技术制作演示函数函数图象,理解和研究二次函数的性质.
3、情感.态度与价值观
通过学习感受到学习二次函数图象的必要性与重要性，增强学习函数的积极性和自信心.
[学习重点]:二次函数图象的变换.
[学习难点]：二次函数图象的绘制与想象以及发展到一般函数图象的变换结论．
[学习用具]：直尺、多媒体和画图纸
[学习方法]：观察、思考、交流、总结.
[学习过程]
【新课导入】
[互动过程1]
我们初中学习过二次函数的图象是抛物线,了解了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等特征以及与系数之间的关系.请同学们回顾二次函数的开口方向与谁的取值有关?抛物线的对称轴的方程是什么?顶点的坐标是什么?怎样表示出?
练习1.回答二次抛物线（1）的对称轴方程_________和顶点坐标__________;
（2）的对称轴方程_______和顶点坐标________.
[提出问题]
1．和的图象之间有什么关系?
2．和的图象之间有什么关系?
3．和的图象之间有什么关系?
这三个问题是本节课所要解决的问题.引出课题：
2.4.1二次函数的图象
1．请同学们列表画出函数和的图像
x…-3-2-10123…
…9410149…
…188202818…
[互动过程2]
从表中你发现了什么?从图像上发生这样的变化?它们相对应的点之间有什么关系?
从表中我们不难发现,要得到的值,只要把相应的的值扩大____倍即可,在图像上
则可以看出把线段AB________为原来的____倍,即AC的长度,得到当
时,对应的值.同理,其余的x的值对应的的值,都_____为原来的___倍,就可以得到的图像了.请你用类似的方法画出和的图像.
思考:（1）和的图像与和的图像之间有什么关系?
（2）二次函数与的图像之间有什么关系?请你总结出规律.
规律：二次函数的图像可以由的图像变化得到，横坐标
____________，纵坐标__________________到原来的_____________倍.
（3）二次函数中起什么作用?
从图上可以看出，a决定了图像的_________和__________________________.
[互动过程3]
请画出与的图像,并回答下列问题:
1．抛物线与的顶点分别是______________.对称轴和开口方向_________________________那么开口大小呢？开口大小与谁有关呢？
2．与的图像有什么关系?
抛物线的顶点为____________开口向_________,
对称轴为____________,的顶点是_________,
开口向________,对称轴为______________.
从图上可以看出只要把向_________平移__________个
单位长度,再向__________平移___________个单位长度就
可以得到的图像.,它们的形状相同,位置不同.
[互动过程4]
1．你能说出由函数的图像怎样得到函数
的图像吗?
2．如果把函数向右平移2个单位,再向上平移3个
单位,你得到的是哪个函数的图像?请你写出解析式_______________________________.
3．思考:对于二次函数,的作用是什么?和分别代表什么含义?
结论:一般地,二次函数,决定了二次函数图像的_________及___________;决定了二次函数图像的________平移,而且遵循的原则为“____________________”;决定了二次函数图像的__________平移,而且“_______________________”.
4．思考:对于一个一般函数的图像与函数的图像之间的关系怎样?
你能由函数的图像得到函数的图像吗?
[互动过程5]
1．你能写出函数的顶点坐标吗?有哪些方法？请你把方程改写为
的形式吗？你能说出函数的图象是由的怎样进行平移的吗?
2．请举出一例形如的函数改写为形式的
函数吗?试试看.
3．你能写出函数的顶点坐标吗?请你把函数改写为顶点式
的形式.并说明函数的图象是怎样由的图象变来的.
变化规律为:=_________________________,即把函数的图象向__________________________________平移_______________个单位,然后再向_________________平移________________个单位.
4．二次函数中,确定函数图像开口大小和方向的参数是什么?确定函
数图像位置的参数是什么?
5．写出一个开口向下,顶点为(-3,1)的二次函数的解析式,并画出其图像.

例1.二次函数和的图像开口大小相同,开口方向也相同,已知函数的解析式和图像的顶点,写出函数的解析式.
（1）函数,的顶点为(4,-7);
（2）函数,的顶点为(-3,2)

练习:1．画出函数的图像,并由此图像得到函数的图像.

练习:2．不画函数的图像,你能说出由函数的图像怎样得到函数的图像吗?

练习:3.画出函数的图像,怎样得到函数的图像?.

练习:4.画出函数的图像,你能由函数的图像,得到函数的图像吗?

[解决的问题]：
1．
2
3．
4．
〖课后练习〗P44练习1,2,3.
〖课后作业〗P46习题1,2,3

二次函数与一元二次方程

俗话说，居安思危，思则有备，有备无患。作为教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师营造一个良好的教学氛围。教案的内容具体要怎样写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《二次函数与一元二次方程》，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

总课题函数与方程分课时第1课时总课时总第37课时
分课题二次函数与一元二次方程课型新授课
教学目标会用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的情况。弄清二次函数的零点与方程根的关系。渗透数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。
重点函数与方程的关系。
难点数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法。
一、复习引入
问题1、不解方程如何判断一元二次方程解的情况。
问题2、画出二次函数的图象，观察图象，指出取哪些值时，。
二、建构数学
1、探究函数与方程图象之间的关系，填表：
Δ=
Δ
Δ
Δ

的根
的图象

的零点
2、零点：对于函数，我们把使的实数x叫做的零点；
有实数根的图象与轴有交点有零点。
三、例题分析
例1、（如图）是一个二次函数图象的一部分，（1）的零点为。
（2）。

例2、求证：一元二次方程有两个不相等的实数根（用两种方法证）。

例3、（1）在区间上是否存在零点？
（2）在区间、上是否存在零点？

观察：值的符号特点；、值的符号特点。
结论：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点。（即存在，使得．这个也就是方程的根。）
思考：
（1）若在上是单调函数，且，则在上的零点情况如何？
（2）若是二次函数的零点，且，那么一定成立吗？
四、随堂练习
1、分别指出下列各图象对应的二次函数中与0的大小关系：
(1)(2)（1）______0，_____0，______0，______0
（2）______0，_____0，______0，______0

2、判断函数在区间上是否存在零点。
3、证明：（1）函数有两个不同的零点；
（2）函数在区间（0，1）上有零点。

五、回顾小结
1、函数与方程的关系。
课后作业
班级：高一（）班姓名__________
一、基础题
１、若二次函数的两个零点分别是2和3，则，的值分别是（）
A、B、C、D、
２、函数的零点个数是（）
ABCD
3、若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是。
4、已知函数在区间[，]上的最小值大于0，则该函数的零点个数有个。
5、若二次函数的图象与轴有公共点，则。
6、设二次函数的两个零点分别为和，则。（填＞，＜）。
7、函数的图象如图所示。
（1）写出方程的根；
（2）求，，的值。

8、二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，求的面积。

9、已知二次函数满足且最小值为，求的表达式。

二、提高题
10、求证：方程没有实数根（用两种方法证）。
11、若方程方程的一个根在区间（，）内，另一个在区间（，）内，求实数的取值范围。

三、提高题
12、当为何值时，方程在区间（，）内有实数解？

文章来源：http://m.jab88.com/j/18514.html

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