一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。优秀有创意的高中教案要怎样写呢？下面是小编帮大家编辑的《函数与应用问题》，希望能为您提供更多的参考。

数学必修1：函数的应用举例
【要点导学】
1、数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等.
2、数学模型方法
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
3、求解实际问题的基本步骤
以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：

⑴审题：通过阅读，理解关键词的意义，明确变量和常量，理顺数量关系，弄清题意，明白问题讲的是什么.
⑵建模：将文字语言转换成数学语言，用数学式子表达数量关系，利用数学知识建立相应的数学模型.
⑶求模：求解数学模型，得到数学结论.
⑷还原：将用数学方法得到的结论，回归实际，还原为实际问题的意义.
4、本节课的函数应用是指利用函数知识求解实际问题.
【范例精析】
例1要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径
不允许小于600.如果某段铁路两端相距156，弧所对的圆心
角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围(精确到1m).
思路剖析先以弓形的高为自变量，半径R为函数，建
立R关于的函数关系式，然后再利用圆弧半径不小于600得
到关于的不等式，求出的范围.
解题示范如图，设圆弧的半径OA=OB=R,
圆弧弓形的高CD=,0R.
在RtΔBOD中，DB=78，OD=R-，
则，∴，
依题意R≥600，即≥600，
∴≥0，
解得≤5.1或≥1194.9,
又R,∴,∴≥1194.9应舍去.
答：圆弧弓形的高的允许值范围是（单位：米）.
回顾反思如何依题意寻找关于的不等式，是求解本题的关键，这里要抓住两方面：一是圆弧半径不小于600，二是R.其中“R”是几何图形的性质所需要的，在解题时要善于挖掘题设条件中的隐含条件.
例2大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12以上温度一定，保持在-55oC.
（1）当地球表面大气的温度是oC时，在的上空为oC,求、、间的函数关系式；
（2）问当地表的温度是29oC时，3上空的温度是多少？
思路剖析用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.
解题示范（1）由题设知，可设-=，即=+.
依题意，当=12时，=-55，
∴-55=+12，解得=-，
∴当时，.
又当时，.
∴所求的函数关系式为
（2）当=29,=3时，
=29-(55+29)=8，
即3上空的温度为8oC.
答：所求的关系式为，在3上空的温度是8oC.
回顾反思1、在求解本题时，要抓住“上升到12为止温度的降低大体上与升高的距离成正比”这句关键性的话，它表达了两层意思：一是温度的降低与升高的距离成正比；二是“温度的降低与升高的距离成正比”的前提是“上升到12为止”，故函数的定义域为.
2、数学模型中的自变量的取值范围，一方面要使数学关系式有意义，另一方面还必须满足实际问题的意义.
例31980年我国人均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则年平均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少多少美元？
思路剖析按平均增长率可求得逐年的人均收入，通过解方程可计算平均增长率.
解题示范设年平均增长率为，则
1981年人均收入为255，
1982年人均收入为255,
……
2000年人均收入为255，
依题意，得255=817，
∴=，
用计算器算得=0.06=6%.
设2010年人均收入为美元，则=255(1+6%)30,
用计算器算得=1464（美元）.
答：年平均增长率为6%，到2010年人均收入至少为1464美元.
回顾反思在实际问题中，常常遇到有关平均增长率（如复利、人口增长率、产值增长率等）的问题，求解与平均增长率有关的实际应用问题时，常要用到公式，其中N表示原来产值的基础数，为平均增长率，表示对应于时间的产值，此公式称作复利公式，要掌握它的推导过程和实际应用.当表示增长率时，0；当表示折旧率时，0.
例4某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可选用二次函数或(,,为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.
思路剖析先利用待定系数法求出两个函数的解析式，再进行比较.
解题示范设二次函数为.
由已知得，
∴.
对于函数，
由已知得，
∴.
当=4时，；
.
∴，，
∴，
∴选用函数作模拟函数较好.
回顾反思本题中，要弄清选择哪个函数作为模拟函数“较好”的依据是什么？看分别与四月份该产品的实际产量1.37万件的误差哪个小.
例5已知某商品的价格每上涨%，销售的数量就减少%，其中为正常数.
(1)当时，该商品的价格上涨多少时，就能使销售的总金额最大？
(2)若适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围.
思路剖析销售总金额=商品定价销售数量.
解题示范(1)设商品原定价为，卖出的数量为，则当价格上涨%时，
商品的定价为，销售数量为，
∴销售总金额为，
即.
当时，
∴当=50时，.
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
(2)∵二次函数在上递增，在上递减，
∴要使适当地涨价，能使销售总金额增加，即当0时,为增函数，则须且只需满足
，
解得01.
回顾反思在求解第二问时要注意两点：一是要理解“适当地涨价，能使销售总金额增加”在数学中的含义是什么？它表示当0时,为增函数，由此得到二次函数顶点的横坐标需满足的条件；二是不要把“销售总金额增加”错误地理解为“销售总金额比原来增加”，以致产生下面的错误解法：
令，得，∴，
∴，∴.
尽管答案一致，但纯属偶然.
【能力训练】
一、选择题
1、我国工农业总产值从1980年到2000年的20年间实现了翻两番的目标，若平均每年的增长率为，则（）
A、=4B、=2C、=3D、=4
2、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低.若每隔5年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机经过15年，其价格可降为（）
A、300元B、900元C、2400元D、3600元
3、某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为（）
A、PB、P12C、(1+P)12D、(1+P)12-1
4、某商品零售价2002年比2001年上涨25%，欲控制2003年比2001年只上涨10%，则2003年应比2002年降价（）
A、15%B、12%C、10%D、5%
5、一名退休职工每年获得一份医疗保障金，金额与他工作的年数的平方根成正比，如果多工作年，他的保障金会比原有的多元；如果多工作年，他的保障金会比原来的多元，那么他每年的保障金（用表示）是（）
A、B、C、D、
二、填空题
6、有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.则盒子的容积V与的函数关系式是.
7、以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的ΔPAB的面积S与高PD=之间的函数关系式是
8、储油303的油桶，每分钟流出3的油，则桶内剩余油量Q（3）以流出时间为自变量的函数的定义域为
9、A、B两地相距160（A地在B地的正北方向），甲从A地以80/s的速度向B行驶，乙从B地向正东方向以60/s的速度行驶.若甲、乙同时出发，则它们之间的最小距离为
10、“中华人民共和国个人所得税法”规定，薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额税率
不超过500元的部分5％
超过500元至2000元部分10％
…………
则每月工资为1900元的工人每月应纳税款元.
三、解答题
11、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大？并求出最大利润.
12、一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？
13、如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP，设AP=
（1）写出AP+2PM关于的函数关系式；
（2）求此函数的最值.
14、在底边BC=60,高AD=40的△ABC中作内接矩形MNPQ.设矩形的面积为S，MN=，写出S与之间的函数关系式，并求其定义域和值域.
15、某林场现有木材300003,如果每年平均增长5%，问大约经过多少年木材可以增加到400003?
【素质提高】
16、某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出
一块长方形的地面修建一座公寓楼.问如何设计才能使
公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积.
17、在测量某物理量的过程当中，因仪器和观察
的误差，使得次测量分别得到共个数
据.我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”是
这样一个量：与其它近似值比较，与各数据的平方和最小.依此规定，从推出的值.
18、某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间（小时，且规定早上6点时）的函数关系为W=100.水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空），又不会使水溢出？
2.6函数的应用举例
1、D2、C3、D4、B5、D6、7、8、[0，40]9、10、8511、售价定为12元时可获最大利润160元12、0.5013、（1）；（2）当时，当时14、，定义域为{|060}，值域为{S|0S≤600}15、6年16、与AE平行的长方形的一边长为时，公寓楼的地面面积最大为17、18、第4级

相关知识

应用已知函数模型解决实际问题

§3.2.2函数模型的应用实例
第一课时应用已知函数模型解决实际问题

课前预习学案
一．预习目标：熟悉几种常见的函数增长型
二．预习内容：阅读课本内容思考：主要的函数增长性有哪些
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一．学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.
学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.
学习难点：将实际问题转变为数学模型.
二．学习过程
解决实际问题的步骤
1）首先建立直角坐标系，画出散点图；
2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：
一次函数模型：
二次函数模型：
幂函数模型：
指数函数模型：（＞0，）
利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.

例1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

变式：某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

例2要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.

变式：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

课后练习与提高
一．选择题
1.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（）
A.B.C.D.
2．一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（）
A．10%B．20%C．5%D．11.1%
3．今有一组实验数据如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
现准备用下列函数中一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）
A．B．C．D．
二．填空题
4.假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=，那么广告效应为，当A=时，取得最大广告效应.
5．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为2个）经过3小时后，这种细菌可由1个分裂成__________个
三．解答题
6.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x吨.?
（1）求y关于x的函数；?
（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.?

参考答案

函数的应用

一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“函数的应用”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

2.3函数的应用（Ⅰ）
一．学习目标：１．进一步巩固函数模型在实际中的应用；２．掌握应用题的解答步骤；
３．掌握数学建模的基本思路；
二．上节回顾：１．函数模型：２．数学建模步骤：
三．典例分析：
例1：（见课本第67页例4）
变式训练：南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据（见下表）
需求量吨
403837.13632.830
价值千元/吨22.42.62.83.44

价值千元/吨22.53.24.4655.3
供应量吨
293236.340.944.647

（1）试写出描述芦蒿市场需求量关于价格的近似函数关系式；
（2）试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量（需求量与供应量相等，又称供求平衡）（近似到吨）.

例2．为了尽快改善职工住房困难，鼓励个人购房和积累建房公基金，决定住房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，假设办法如下表：
每月工资公积金
100元以下不交纳
100元至200元交纳超过100元部分的5％
200元至300元100元至200元部分交纳5％，
超过200元部分交纳10％
300元以上100元至200元部分交纳5％，
200元至300元部分交纳10％，
300元以上部分交纳15％
设职工每月工资为元，交纳公积金后实得工资为元，求与之间的关系式．

变式练习：《国务院关于修改＜中华人民共和国个人所得税法实施条例＞的决定》已于2008年3月1日起施行，个人所得税率表示如下：
级数全月应纳税所得额税率
1不超过500元的部分5%
2超过500元至2000元的部分10%
3超过2000至5000元的部分15%
………
9超过10000元的部分45%
注：本表所称全月应纳税所得额每月改入额减去2000元的余额.
若个人月收入额为元，应缴税费为元，当时，写出与之间的函数关系式.
例3．向高为的水瓶注水，注满为止，如果注水量与水深的函数亲系的图象如
图所示，那么水瓶的形状是（）

变式练习：如右图高为的圆形被高度为的水平线截
得阴影面积为，则的图象大致是（）

限时训练：
1．甲、乙两学生在操场上煅炼身体，操场一圈300米，甲学生以速度跑第一圈，然后以速度走完第二圈，而乙学生以速度走完第一圈，然后以速度跑第二圈，则能反映出两人时间与路程的函数图象是（粗线是甲的图象）（）
2．某工厂八年来某种产品总产量与时间（年）的函数关系如右图，下列四种说法：
○1前三年中产量增长速度越来越快；
○2前三年中产量增长速度越来越慢；
○3第三年后，这种产品停止生产；
○4第三年后，年产量保持不变．
其中说法正确的是＿＿＿＿＿＿．
3．如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止.
（１）若水量V与水深ｈ的函数图象是下图的（ａ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（２）若水深ｈ与注水时间ｔ的函数图象是下图的（ｂ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（３）若注水时间ｔ与水深ｈ的函数图象是下图的（ｃ），则水瓶的形状是＿＿＿＿；（４）若水量V与注水时间ｔ的函数的图象是下图中的（ｄ），则水瓶的形状是＿＿．

4．某市一种出租车标价为1.2元/ｋｍ，但事实上的收费标准如下：最开始4ｋｍ内不管车行驶路程多少，均收费10元（即起步费），4ｋｍ后到15ｋｍ之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元。试写出收费金额与打车路程之间的函数关系（其他因素产生的费用不计）

5.机车开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油（升）与它工作的时间（小时）之间的函数关系的图象是（）

6．下图中的折线为甲地向乙地打长途电话所需付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的函数关系图象.当时，该图象的解析式为_______________;从图象可知，通话2分钟需付电话费__________元；通话7分钟需付电话费__________元.

7．如图所示，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，顺次经过B、C、D点再回到A点，设x表示P点的行程，y表示线段PA的长，求出y关于x的函数关系式.

8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为，其中ｘ为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）
（A）45.606万元（B）45.6万元（Ｃ）45.56万元（D）45.51万元
９．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
，其中ｘ是仪器的月产量．
（１）将利润表示为月产量的函数；
（２）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收入＝总成本＋利润）

1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题

经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助教师能够井然有序的进行教学。那么，你知道教案要怎么写呢？下面是小编为大家整理的“1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题

教学目标：

1、能正确分析收集到的数据，选择恰当的函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据。

2、巩固三角函数的有关知识，会初步利用图象解三角不等式，巩固二分法求相应方程近似解。

3、培养学生数学应用意识；提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

教学重点：

用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题

教学难点：

对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。

教学媒体：几何画板

教学流程：

给出出港口水深数据，提出问题

根据散点图形特征，选择适当的函数拟合

求解函数模型

利用函数模型解决实际问题

反思解题过程，总结解题方法，提炼数学思想

教学过程：

1．情景展示，新课导入

2．问题提出，探究解决

【师】若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？

【生】水深情况。

【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。

请同学们看下面这个问题。

问题探究1：如图所示，下面是钱塘江某个码头在今年春季每天的时间与水深的关系表：

时间

0.00

3.00

6.00

9.00

12.00

15.00

18.00

21.00

24.00

水深

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？

小组合作发现，代表发言。可能结果：

1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。

3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。

4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。（研究数据的两种形式）

安全水深，即：

，

讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）

通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P点横坐标即解方程

数形结合，二分法求近似解：

由图得点P点横坐标在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。

时间

实际水深

安全水深

是否安全

6．0

5米

4．3米

安全

6．5

4．2米

4．1米

较安全

7．0

3．8米

4．0米

危险货船应该在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议，可以讨论）

从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？（学生讨论）

可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度。

问题探究4：若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？---探究3的变式（学生课后探究）

3．课时小结，认识深化

（师生一起归纳）

3-1回顾整个探究过程，经历了第一阶段：收集数据-----画散点图

第二阶段：根据图象特征---选模、求模、验模

第三阶段：函数模型应用

3-2在整个探究过程，我们用到数学常见的一些思想方法：

（1）对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；

（2）在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；

（3）在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；

（4）在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。

4．教师演示激发学生思考并进一步探究：生活中哪些现象与三角函数模型有关？-----周期性

5．作业布置，延时探究

4-1电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期。

4-2请调查我们杭州某个地区的每天的用电情况，制定一项“消蜂平谷”的电价方案。

4-3一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论。

函数的应用举例

函数的应用举例

教学目标

1.能够运用函数的性质，指数函数，对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．
(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．
(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．
2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．
3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

教学建议

教材分析
（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．
（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．

教法建议
（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．
（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．
（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

教学目标

1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．

2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力

3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．

教学重点，难点

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

教学方法

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程

一.提出问题

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，△是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)

首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．

当时，，(采用直接计算的方法)

当时，

．(板书)

(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上，有，

此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看第二个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．

设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：

2000年2003年

2001年2004年

2002年2005年(板书)

第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．

总结后再提出最后一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满足

同时成立即解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．

三．小结

通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．

四．作业略

五．板书设计

2．9函数初步应用

问题一：

解：

问题二

分析

问题三

分析

小结：

文章来源：http://m.jab88.com/j/18396.html

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