老师在新授课程时，一般会准备教案课件，大家应该开始写教案课件了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，可以更好完成工作任务！你们会写适合教案课件的范文吗？下面是小编为大家整理的“《二次函数的图像及画法》知识点整理”，仅供您在工作和学习中参考。

《二次函数的图像及画法》知识点整理

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
二次函数y＝ax^2的图像的画法
用描点法画二次函数y＝ax^2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确。
用描点法画出二次函数y＝x^2的图像，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
因为抛物线y＝x^2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标。
基本图像
当a0时，y＝ax^2的图像
当a0时，y＝ax^2的图像
二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
对称轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，
当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)?+k的图象；
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。

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《二次函数抛物线的性质》知识点整理

每个老师不可缺少的课件是教案课件，大家在仔细规划教案课件。认真做好教案课件的工作计划，才能规范的完成工作！你们了解多少教案课件范文呢？以下是小编为大家收集的“《二次函数抛物线的性质》知识点整理”仅供您在工作和学习中参考。

《二次函数抛物线的性质》知识点整理

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a；在{x|x-b/2a}上是减函数，在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.特殊值的形式
①当x=１时y=a+b+c
②当x=-1时y=a-b+c
③当x=2时y=4a+2b+c
④当x=-2时y=4a-2b+c
8.定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）
奇偶性：偶函数
周期性：无
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）
对称轴X=(X1-X2)/2当a0且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小
此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

二次函数的图像和性质

34．3二次函数的图像和性质（2）

一、教材说明：

1．课程内容：河北教育出版社九年级下册第三十四章《二次函数》第三节《二次函数的图像和性质》第2课时

2．本节内容的地位和作用

本章的主要内容是由实际问题建立二次函数模型、研究二次函数的三种表示方法和二次函数的性质以及二次函数的简单应用.本课时之前，学生已经建立二次函数的概念、研究了二次函数的三种表示方法并且经历了最简单的二次函数y=ax2（a≠0）的图像和性质.本课时，引导学生画一般的二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像，让学生借助图像发现二次函数的性质以及特征.

3．学情分析

（1）学生的年龄特点和认知特点

初三年级的学生性格比较开朗活泼，对新鲜事物比较敏感，有自己的个人判断，因此，在教学过程中创设问题情景，留给他们动手实践、观察思考、自主探究、合作交流、归纳猜想的时间和空间.让他们经历获取知识的过程.

（2）学生已具备的基本知识与技能

学生在八年级已经初步积累了函数知识和利用函数解决问题的经验.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识.学生具有也一定的数学分析、理解能力.学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力.因此，在本课中，应多让学生动手实践、自主探究、合作交流，从而更好的体会到二次函数的特征.

4．教学目标

（1）知识性目标

a）能够作出函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像

b）能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标

c）能够理解y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的单调性

（2）能力与技能目标

a)通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解.

b)经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.

（3）情感与价值观目标

a）经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

b）让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.

5．教学重点

（1）经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程.

（2）能够作出y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像.

（3）能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标

（4）能够理解y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的单调性

6．教学难点

能够作出y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像；能够正确说出y=a（x-h）2+k（a≠0）图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.

二、教学方法和教学手段

1、教法分析

基于本节课内容的特点和九年级学生的心理特点，在本节课的教学中选择“情景教学法”、“引导探索法”和“研究性教学法”，通过创设问题情景，引导学生进行实际操作、观察探索、合作交流，亲身感受具体的二次函数，加深对二次函数的图像和性质的认识.

2．学法分析

学生是学习的主体，应在学习中充分发挥自己的主体能动作用，所以本节课学生采用亲手实践、自主探究、合作交流、总结升华为主要形式的“探究性学习法”，目的是让学生经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程，从而更好的理解.

3.教学手段

本节课以画图稿纸和多媒体课件为辅，通过亲自操作以及动感的画面，提高学生的学习兴趣，让学生积极而自主地获取知识，从而感受数学带来的快乐.

三、教学过程设计

教学环节教学过程设计意图

复习1．让学生联系生活中的抛物线，从而体会数学来源与生活，数学和生活密切相关.

2．老师展示“NBA篮球比赛”视频，抽象出篮球的轨迹—抛物线，并“数学化”，

提问：

（1）这条抛物线的表达式是怎么样的？

（2）抛物线y=ax2(a≠0)具有什么性质?数学和生活息息相关，引发学习兴趣；温故知新，复习前面知识.

设计情景，引入新知1．老师呈现“用一个平面切割圆锥”的视频动画，截面的边缘曲线是抛物线吗？

2．设计：“老师对这个问题研究后，得到如下结果，但是被墨水…！你能帮我还原这个函数的图像吗？”情景，引入今天的新课----对“比较一般的二次函数函数y=(x－1)2+1”的研究.

激发学习兴趣，数学无处不在；

到该课的主题中来.

师生互动，探索新知（一）活动一

1．画出二次函数y=(x－1)2+1的图像．

学生对x取值可能仍是关于y轴对称地选取，以致不能完整地画出函数图像.

展示一个完整的图像，从而引导学生带着疑问学习.

2．观察二次函数y=(x－1)2+1的图像,回答下面问题．

（1）它是轴对称图形吗？若是，请说出它的对称轴．

（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？

（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？

（4）这个图像有怎样的开口方向？

对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.

活动二

1．画出二次函数y=－(x+1)2+2的图像．

学生对x取值可能仍是关于y轴对称地选取，以致不能完整地画出函数图像.

展示一个完整的图像，从而引导学生带着疑问学习.

2．观察二次函数y=－(x+1)2+2的图像,回答下面问题．

（1）它是轴对称图形吗？若是，请说出它的对称轴．

（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？

（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？

（4）这个图像有怎样的开口方向？

对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.

总结活动一、活动二的性质：

抛物线对称轴顶点坐标开口方向

y=(x－1)2+1x=1(1，1)向上

y=－(x+1)2+2x=－1(－1，2)向下

给学生提出：对称轴、顶点坐标和开口方向怎么由表达式确定？

猜测：下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.

y=(x－3)2+16；y=3(x－3)2+18；y=－(x+3)2+1；y=－5(x+1)2－13.

总结二次函数y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质：

抛物线对称轴顶点坐标开口方向

y=a(x－h)2+k(a0)x=h(h，k)向上

y=a(x－h)2+k(a0)x=h(h，k)向下

安排应用上面结论的练习：

不画图像，指出下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.

y=0.5(x－4)2+23；y=－3(x－3.6)2+18；

y=(x+6)2+14；y=－27(x+11)2－13.活动一动学生，探求知识的愿望，让学生经历画函数图像—疑问—探究—解决的学习过程，初步感受二次函数的特征.

活动二改变二次函数，重复活动一的探究过程，再次感受二次函数的特征.

观察上面活动结果，引导学生发现抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向和表达式的关系.

让学生自己总结性质.

安排适当的练习，巩固知识.

师生互动，探索新知（二）用“几何画板”动画呈现，二次函数的单调性.

1．观察y=a(x-h)2+k(a≠0)的动画，回答下面问题：

当a0时，

（1）在对称轴的左侧（即xh），

当x增大时，y的变化情况？

（2）在对称轴的右侧（即xh），

当x增大时，y的变化情况？

当a0时，

（1）在对称轴的左侧（即xh），

当x增大时，y的变化情况？

（2）在对称轴的右侧（即xh），

当x增大时，y的变化情况？

2．总结

用看图，填表的形式，让学生自己总结

当a0时，

在对称轴的侧（即

x时），y随x的增大而;

在对称轴的侧（即

x时），y随x的增大而.

当a0时，

在对称轴的侧（即

x时），y随x的增大而;

在对称轴的侧（即

x时），y随x的增大而.

对于函数的增减性，学生有前面函数做铺垫，比较容易得到结果；通过观察几何画板课件，自主总结性质.

例题演示，巩固知识，规范格式例1.画出二次函数y=－(x+1)2+1的图像．

先让学生根据性质，得到它的对称轴，然后在对称轴的两侧对称着取点；

学生画图完成后；

老师呈现规范的步骤，结果：

⑴列表

x-4-3-2-1012[

y=－（x+1）2+1-8-3010-3-8

⑵描点

⑶连线（图在课件上）利用得到的性质，规范的画函数图像.

设置练习，巩固知识课堂练习

1．指出抛物线y＝－2（x＋1）2－3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并把你的结果与同学交流．

2.画出二次函数y＝（x－2）2＋1的图像，

并说明当x取哪些值时，y随x的增大而增大；

当x取哪些值时，y随x的增大而减小．

理论联系实际，应用得到的性质做些巩固练习.

畅谈收获谈谈你的收获…

1、画y=a（x－h）2+k（a≠0）的图像，列表时：在对称轴x=h两侧对称取点.

2、y=a（x－h）2＋k（a≠0）具有以下性质：

抛物线对称轴顶点坐标开口方向

y=a(x－h)2+k(a0)x=h(h，k)向上

y=a(x－h)2+k(a0)x=h(h，k)向下

3、对于抛物线y=a（x－h）2＋k（a≠0），从图像上可以看出：

当a0时，在对称轴的左侧（即xh时），y随x的增大而减小，在对称轴的右侧（即xh时），y随x的增大而增大;

当a0时，在对称轴的左侧（即xh时），y随x的增大而增大，在对称轴的右侧（即xh时），y随x的增大而减小.

师生合作小结，培养学生归纳和概括的能力，帮助学生梳理知识脉络，回顾自己在本节课学习中的收获、困难和需要改进的地方.

作业作业

1．必做题：习题3

2．选做题：《中华一题》P7作业分层，适合不同程度的学生的要求，体现基础教育的全面性和因材施教的原则.

34．3二次函数的图像和性质（2）

一、复习

二、一起探究

（1）活动1

（2）活动2

总结：y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质

四、观察思考

增减性

五、例题

六、课堂练习1、2

七、小结八、作业

《二次函数与一元二次方程的联系》知识点整理

老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，是认真规划好自己教案课件的时候了。对教案课件的工作进行一个详细的计划，接下来的工作才会更顺利！你们到底知道多少优秀的教案课件呢？下面是小编为大家整理的“《二次函数与一元二次方程的联系》知识点整理”，希望能对您有所帮助，请收藏。

《二次函数与一元二次方程的联系》知识点整理

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;，y=a(x-h)^2;，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2;
y=ax^2+K
y=a(x-h)^2;
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0，0)
(0，K)
(h，0)
(h，k)
(-b/2a，4ac-b^2/4a)
对称轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，
当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h0,k0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)?+k的图象；
当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2;]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b^2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△0．图象与x轴没有交点．当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0(a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

文章来源：http://m.jab88.com/j/16068.html

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