7.1常量和变量
〖教学目标〗
◆1、通过实例体验在一个过程中有些量固定不变,有些量不断地变化。
◆2、了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在。
◆3、会在简单的过程中辨别常量和变量。
〖教学重点与难点〗
◆教学重点:常量和变量的概念。
◆教学难点:本节范例由于学生对宇航中的一些量不熟悉,而且涉及一定的物理知识,是本节教学的难点。
〖教学过程〗
一、引言:
一辆长途客车从杭州驶向上海,全程哪些量不变?哪些量在变?
当我们用数学来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温;某段河道一天中时刻变化着的水位……在某一个过程中,有些量固定不变,有些量不断改变。
二、合作交流,探求新知:
1、请讨论下面的问题:
(1)圆的周长公式为,请取的一些不同的值,算出相应的的值:
cmcm
cmcm
cmcm
cmcm
……
在计算半径不同的圆的面积的过程中,哪些量在改变,哪些量不变?
(2)假设钟点工的工资标准为6元/时,设工作时数为t,应得工资额为m,则
=6
取一些不同的的值,求出相应的的值:
cm
cm
cm
cm
……
在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过程中,哪些量在改变?哪些量不变?
设问:一个量变化,具体地说是它的什么在变?什么不变呢?
引导学生观察发现:是量的数值变与不变。
2、变量与常量的概念形成:
在一个过程中,固定不变的量称为常量,如上面两题中,圆周率和钟点工的工资标准6元/时。可以取不同数值的量称为变量,如上面两题中,半径和圆面积s,工作时数t和工资额都是变量。又如购买同一种商品时,商品的单价就是常量,购买商品数量和相应的总价就是变量;某段河道一天中各时刻变化着的水位也是变量。
注意:常量与变量必须存在与一个变化过程中。判断一个量是常量还是变量,需这两个方面:①看它是否在一个变化的过程中;②看它在这个变化过程中的取值情况。
3、巩固概念:
(1)向平静的湖面投一石子,便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆,①在这个变化过程中有哪些是变量?②若面积用,半径用表示,则和的关系是什么?是常量还是变量?③若周长用C,半径用表示,则C和的关系是什么?
(2)在行程问题中,当汽车在匀速行驶的过程中,速度、行驶的时间和路程哪些是常量,哪些是变量?若一辆汽车从甲地向乙地行驶,所需的时间、行驶速度和路程哪些是常量,哪些又是变量?
常量与变量不是绝对的,而是对于一个变化过程而言的。
三、例题讲解:
出示例题(见书本第151页)
分析:在这6分时间内,火星车运动的时间是变量;火星车在空气阻力的作用下,速度不断减小,速度是变量。火星车与火星越来越接近,火星车所受火星的引力越来越大,也是变量。火星着陆前6分时的位置和着陆点都是空间中确定的两个位置,两者之间的距离是一个确定的量,所以是一个常量。
最后完成例题中的“想一想”(先请学生单独考虑,再作讲解)
四、练习巩固:
课内练习1、2、
五、小结回顾,反思提高
1、常量和变量的概念。
2、常量与变量必须存在与一个变化过程中。
3、常量与变量不是绝对的,而是对于一个变化过程而言的。
六、作业:作业本
变量与函数(二)
教学目标
1.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数.
2.进一步理解掌握确定函数关系式.
3.会确定自变量取值范围.
教学重点
1.进一步掌握确定函数关系的方法.
2.确定自变量的取值范围.
教学难点
认识函数、领会函数的意义.
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
我们来回顾一下上节课所研究的每个问题中是否各有两个变化?同一问题中的变量之间有什么联系?也就是说当其中一个变量确定一个值时,另一个变量是否随之确定一个值呢?
这将是我们这节研究的内容.
Ⅱ.导入新课
首先回顾一下上节活动一中的两个问题.思考它们每个问题中是否有两个变量,变量间存在什么联系.
活动一两个问题都有两个变量.问题(1)中,经计算可以发现:每当售票数量x取定一个值时,票房收入y就随之确定一个值.例如早场x=150,则y=1500;日场x=205,则y=2050;晚场x=310,则y=3100.
问题(2)中,通过试验可以看出:每当重物质量m确定一个值时,弹簧长度L就随之确定一个值.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.当m=10时,则L=15,当m=20时,则L=20.
再来回顾活动二中的两个问题.看看它们中的变量又怎样呢?
问题(1)中,很容易算出,当S=10cm2时,r=1.78cm;当S=20cm2时,r=2.52cm.每当S取定一个值时,r随之确定一个值,它们的关系为r=.
问题(2)中,我们可以根据题意,每确定一个矩形的一边长,即可得出另一边长,再计算出矩形的面积.如:当x=1cm时,则S=1×(5-1)=4cm2,当x=2cm时,则S=2×(5-2)=6cm2……它们之间存在关系S=x(5-x)=5x-x2.因此可知,每当矩形长度x取定一个值时,面积S就随之确定一个值.
由以上回顾我们可以归纳这样的结论:
上面每个问题中的两个变量互相联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应.
其实,在一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题,通过观察、思考、讨论后回答:
(1)下图是体检时的心电图.其中横坐标x表示时间,纵坐标y表示心脏部位的生物电流,它们是两个变量.在心电图中,对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的对应值吗?
(2)在下面的我国人口数统计表中,年份与人口数可以记作两个变量x与y,对于表中每个确定的年份(x),都对应着个确定的人口数(y)吗?
中国人口数统计表
年份人口数/亿
198410.34
198911.06
199411.76
199912.52
通过观察不难发现在问题(1)的心电图中,对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应;在问题(2)中,对于表中每个确定的年份x,都对应着一个确定的人口数y.
一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量(independentvariable),y是x的函数(function).如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
据此可以认为:上节情景问题中时间t是自变量,里程s是t的函数.t=1时的函数值s=60,t=2时的函数值s=120,t=2.5时的函数值s=150,…,同样地,在以上心电图问题中,时间x是自变量,心脏电流y是x的函数;人口数统计表中,年份x是自变量,人口数y是x的函数.当x=1999时,函数值y=12.52亿.
从上面的学习中可知许多问题中的变量之间都存在函数关系.
[活动一]
1.在计算器上按照下面的程序进行操作:
填表:
x13-40101
y
显示的数y是输入的数x的函数吗?为什么?
2.在计算器上按照下面的程序进行操作.
下表中的x与y是输入的5个数与相应的计算结果:
x1230-1
y3572-1
所按的第三、四两个键是哪两个键?y是x的函数吗?如果是,写出它的表达式(用含有x的式子表示y).
活动结论:
1.从计算结果完全可以看出,每输入一个x的值,操作后都有一个唯五的y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量、y是x的函数.
2.从表中两行数据中不难看出第三、四按键是这两个键,且每个x的值都有唯一一个y值与其对应,所以在这两个变量中,x是自变量,y是x的函数.关系式是:y=2x+1
[活动二]
例1一辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(L)随行驶里程x(km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km.
1.写出表示y与x的函数关系式.
2.指出自变量x的取值范围.
3.汽车行驶200km时,油桶中还有多少汽油?
结论:
1.行驶里程x是自变量,油箱中的油量y是x的函数.
行驶里程x时耗油为:0.1x
油箱中剩余油量为:50-0.1x
所以函数关系式为:y=50-0.1x
2.仅从式子y=50-0.1x上看,x可以取任意实数,但是考虑到x代表的实际意义是行驶里程,所以不能取负数,并且行驶中耗油量为0.1x,它不能超过油箱中现有汽油50L,即0.1x≤50,x≤500.
因此自变量x的取值范围是:
0≤x≤500
3.汽车行驶200km时,油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值,将x=200代入y=50-0.1x得:y=50-0.1×200=30
汽车行驶200km时,油箱中还有30升汽油.
关于函数自变量的取值范围
1.实际问题中的自变量取值范围
问题1:在上面的联系中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制?
问题2:某剧场共有30排座位,第l排有18个座位,后面每排比前一排多1个座位,写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式,自变量的取值有什么限制。
2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围
例.求下列函数中自变量x的取值范围
(1)y=3x-l(2)y=2x2+7(3)y=1x+2(4)y=x-2
分析:用数学表示的函数,一般来说,自变量的取值范围是使式子有意义的值,对于上述的第(1)(2)两题,x取任意实数,这两个式子都有意义,而对于第(3)题,(x+2)必须不等于0式子才有意义,对于第(4)题,(x-2)必须是非负数式子才有意义.
我们在巩固函数意义理解认识及确立函数关系式基础上,又该学会如何确定自变量取值范围和求函数值的方法.知道了自变量取值范围的确定,不仅要考虑函数关系式的意义,而且还要注意问题的实际意义.
Ⅲ.随堂练习
下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.
1.改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.
2.秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.
解答:
1.正方形边长x是自变量,正方形面积S是x的函数.
函数关系式:S=x2
2.这个村人口数n是自变量,人均占有耕地面积y是n的函数.
函数关系式:y=
Ⅳ.小结
本节课我们通过回顾思考、观察讨论,认识了自变量、函数及函数值的概念,并通过两个活动加深了对函数意义的理解,学会了确立函数关系式、自变量取值范围的方法,会求函数值,提高了用函数解决实际问题的能力.
Ⅴ.作业
1、习题11.1.1-1、2、3、4题.
2、《课堂感悟与探究》
Ⅵ.活动与探究
1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔,宣纸每张3元,毛笔每支5元,商店正搞优惠活动,买一支毛笔赠一张宣纸.小明买了10支毛笔和x张宣纸,则小明用钱总数y(元)与宣纸数x之间的函数关系是什么?
过程:
根据题意可知:
当小明所买宣纸数x小于等于10张时,所用钱数为:y=5×10=50(元)
当小明所买宣纸数x大于10张时,所用钱数为:y=50+(x-10)×3=3x+20(元)
结果:
当0x≤10时y=50
当x10时y=3x+20
2、为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过10吨时,水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x吨(x10),应交水费y元,请用方程的知识来求有关x和y的关系式,并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数?
(参考答案:Y=1.8x-6或)
2、如图(二),请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式.
*3.如图(三),等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式.
板书设计
§11.1.2函数
一、自变量、函数及函数值
二、自变量取值范围
三、课堂练习
备课资料
1.校园里栽下一棵小树高1.8米,以后每年长0.3米,则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式__________.
2.在男子1500米赛跑中,运动员的平均速度v=,则这个关系式中________是自变量,________函数.
3.已知2x-3y=1,若把y看成x的函数,则可以表示为____________.
4.△ABC中,AB=AC,设∠B=x°,∠A=y°,试写出y与x的函数关系式_____________.
5.到邮局投寄平信,每封信的重量不超过20克时付邮费0.80元,超过20克而不超过40克时付邮费1.60元,依此类推,每增加20克须增加邮费0.80元(信重量在100克内).如果某人所寄一封信的质量为78.5克,则他应付邮费________元.
答案:1.L=0.8+0.3n2.tv是t的3.y=x-4.y=180°-2x5.3.20.
每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件,大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划,才能规范的完成工作!你们会写一段优秀的教案课件吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“变量与函数(1)导学案”,相信能对大家有所帮助。
班级姓名科目数学使用
时间
课题19.1.1变量与函数(1)
重难点学习重点:了解常量与变量的意义;
学习难点:较复杂问题中常量与变量的识别。
【自主复习知识准备】
问题一:汽车以60千米/小时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.
1、请同学们根据题意填写下表:
t/时12345t
s/千米
2、在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含t的式子表示s,s=________,t的取值范围是这个问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的路程____随行驶时间___的变化过程.
【自主探究知识应用】
问题二:每张电影票的售价为10元,如果早场售出票150张,午场售出205张,晚场售出310张,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售票x张,票房收入y元.
1、请同学们根据题意填写下表:
售出票数(张)早场150午场206晚场310x
收入y(元)
2、在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含x的式子表示y,y=______,x的取值范围是.
这个问题反映了票房收入_________随售票张数_________的变化过程.
问题三:当圆的半径r分别是10cm,20cm,30cm时,圆的面积S分别是多少?
1、请同学们根据题意填写下表:(用含的式子表示)
半径r10cm20cm30cm
面积S
2.在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3.试用含S的式子表示r,S=___,r的取值范围是.这个问题反映了____随____的变化过程.
问题四:用10m长的绳子围成长方形,试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化.记录不同的矩形的长度值,计算相应的矩形面积的值,探索它们的变化规律。设矩形的长为xm,面积为Sm2.
1、请同学们根据题意填写下表:
长x(m)4.543.53x
另一边长(m)
面积s(m2)
2、在以上这个过程中,变化的量是_____________.不变化的量是__________.
3、试用含x的式子表示s.S=__________________,x的取值范围是.
这个问题反映了矩形的____随___的变化过程.
小结:以上这些问题都反映了不同事物的变化过程,其实现实生活中还有好多类似的问题,在这些变化过程中,有些量的值是按照某种规律变化的,有些量的数值是始终不变的。
得出结论:在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为________;在一个变化过程中,我们称数值始终不变的量为________;
巩固与拓展:
例1、一支圆珠笔的单价为2元,设圆珠笔的数量为x支,总价为y元。则y=;在这个式子中,变量是,常量是。
例2、某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元。用含x的式子表示y,y=,常量是,变量是。
【当堂检测知识升华】
1.小军用50元钱去买单价是8元的笔记本,则他剩余的钱Q(元)与他买这种笔记本的本数x之间的关系是()
A.Q=8xB.Q=8x-50C.Q=50-8xD.Q=8x+50
2.甲、乙两地相距S千米,某人行完全程所用的时间t(时)与他的速度v(千米/时)满足vt=S,在这个变化过程中,下列判断中错误的是()
A.S是变量B.t是变量C.v是变量D.S是常量
3.在一个变化过程中,__________________的量是变量,________________的量是常量.
4.某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,先填写下表,再用含x的式子表示y.
份数/份1234567100
价钱/元
x与y之间的关系是y=______,在这个变化过程中,常量___________,变量是___________.
5.长方形相邻两边长分别为x、y,面积为30,则用含x的式子表示y为y=_______,则这个问题中,___________常量;_________是变量.
6.写出下列问题中的关系式,并指出其中的变量和常量.
(1)用20cm的铁丝所围的长方形的长x(cm)与面积S(cm2)的关系.
(2)直角三角形中一个锐角α与另一个锐角β之间的关系.
(3)一盛满30吨水的水箱,每小时流出0.5吨水,试用流水时间t(小时)表示水箱中的剩水量y(吨)
【课后作业知识反馈】
课本P81第1题。
我的收获
(想和老师说)
纠错台
文章来源:http://m.jab88.com/j/63180.html
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