课题：11.2三角形全等的HL判定定理

教学任务分析
教
学
目
标知识与技能能灵活利用三角形全等的有关公理和定理，证明两个直角三角形全等，探究直角三角形全等的HL判定定理，并能用于解决简单的实际问题。
思想与方法经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
情感态度
与价值观经历在现实情境中进一步认识三角形全等的判定，提出新的问题，感
受知识的深化与拓展，激发学生的求知欲．
重点HL定理的探究及其应用
难点灵活运用HL定理解决简单的实际问题。

教学简易流程
活动流程图活动内容和目的
（一）课前预设三角形全等的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS)
（二）新知引入创设“问题情境”引出“课题内容”
（三）新知探究
用常用的作图验证法“HL定理”；
作图-----交流体验-------归纳总结------运用
（四）练习巩固《学习单》基础题。
（五）总结、归纳、布置作业这节课你有什么收获或疑惑？请大胆与你的
同伴进行交流。回顾本节知识,建立系统的知识结
构。

教学过程设计
问题与情境师生行为设计意图
（一）课前预设
合作完成课本13页“思考”,如图，已知AB┴BE于B，DE┴BE于E，再增加什么条件就能定这两个直角三角形全等，把你们的想法写下来.
直角三角形是特殊的三角形，所以它一定具有一般三角形判定全等的方法:、、、。
检查《学习单》的完成情况，简单归纳普遍存在的问题，要求学生规范表达
检查学生对几种三角形全等判定方法的理解程度，为更好的掌握HL定理作铺垫
（二）新知引入
舞台背景的形状是两个直角三角形，
为了美观，工作人员想知道这两个直角
三角形是否全等，但每个三角形都有一
条直角边被花盆遮住无法测量。

工作人员是这样做的，他分别测量了没有被遮住的直角边和斜边，发现它们对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？
（三）新知探究
同桌合作完成教材第13页“探究8”，一边画图一边写出作图过程。
教师指导学生规范作图
学生总结探究8反映的规律:
可见：直角三角形还有直角三角形特殊的判定方法:
（四）新知运用
尝试：独立写出教材第14页例4的证明过程：

参与学生交流活动，观察、发现学生思维上的亮点，鼓励学生大胆猜测，并尝试推理。

指导学生尝试作图验证：
分析：只要根据所给条件作出的三角形和原三角形完全重合，这两个三角形就全等，作图中的条件就是判定定理的题设。

指导学生用文字和数学语言两种方式归纳结论。
注意数学建模思想的引导

鼓励学生大胆谈思法和问题，注意引导的方式
在老师的引导下小组交流、猜测、尝试作图验证。

畅所欲言
大胆质疑
按要求规范书写
（五）练习巩固
《学习单》尝试提高中的1、2题
（六）总结、归纳、布置作业
这节课你有什么收获或疑惑？请大胆与你的同伴进
行交流。
作业：《学习单》打“☆”的题和拓展题供选择
做。巡查、个别指导，观察普遍性问题
分层次合理布置作业独立完成

延伸阅读

八年级数学上册第12章全等三角形12.1全等三角形学案新版新人教版

一般给学生们上课之前，老师就早早地准备好了教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。只有规划好新的教案课件工作，新的工作才会更顺利！你们知道哪些教案课件的范文呢？下面是小编精心为您整理的“八年级数学上册第12章全等三角形12.1全等三角形学案新版新人教版”，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

课题：12.1全等三角形
【学习目标】
1、了解全等形及全等三角形的概念；
2、理解全等三角形的性质；
3、在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉；
4、学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。
【学习重点】
探究全等三角形的性质
【学习难点】
掌握全等三角形的对应顶点、对应边，对应角
【学习过程】
一、知识链接
复习旧知：
1、ΔABC中，∠A＝50，，∠B＝60，则∠C＝________。
2、如下图，若ΔABC是由ΔABC平移得到的，且∠A＝70，∠B＝40，AB＝3，则
∠C＝______，AB＝_______。

二、自主学习
阅读课本P31-P32，完成下列问题。
1、探究学习
探究1：观察下列图形，你能从中找出形状、大小相同的图形吗？你能否举出生活中一些相似的例子？
探究2：把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也能够完全重合吗？
通过动手操作得到结论：这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全_________。能够完全重合的两个图形叫做__________。
能够完全重合的两个三角形叫做_______三角形。
探究3：
结论：
1、一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形_______。
“全等”用≌表示，读作：___________。
2、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如ΔABC与ΔDEF全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作ΔABC≌ΔDEF。
3、把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应_____，重合的边叫做对应____，重合的角叫做对应______。
（4）如上图13.1-1中，ΔABC≌ΔDEF，则有AB___DE，BC_____EF，AC____DF，∠A___∠D，∠B___∠E，∠C___∠F，即全等三角形的对应边________，对应角_________。

4、全等变换常见方式
变换方式图形
对应点对应边对应角
将ΔABC沿AB所在直线翻折1800，得ΔABD
将ΔABC沿射线BC方向平移，得ΔDEF
将ΔABC绕点C旋转，得ΔEDC

三、巩固练习题
基础知识
1、判断题
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（）
（2）全等三角形的周长相等。（）
（3）面积相等的三角形是全等三角形。（）
（4）全等三角形的面积相等。（）
2、选择题
（1）全等三角形是（）
A、三个角对应相等的三角形B、周长相等的三角形
C、面积相等的两个三角形D、能够完全重合的两个三角形
（2）下列说法正确的个数是（）
①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④全等三角形的面积相等
A、1B、2C、3D、4
3、如图，ΔABE≌ΔACD，AB与AC，AD与AE是对应边，∠A=43，∠B=30，求∠ADC的大小。

4、如图所示，ΔABC绕着点B顺时针旋转90得到ΔDBE，且∠ABC＝90
（1）ΔABC和ΔDBE是否全等？若全等，请指出对应边和对应角。
（2）直线AC、DE有怎样的位置关系？

拓展提升
把四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点C落在四边形ABCD内部的点C处，如图，试探究∠C与∠1＋∠2之间的数量关系。
四、知识归纳
1、能够完全的两个图形叫做。
2、能够完全重合的两个叫做，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做。
3、全等三角形的性质：全等三角形的相等，对应角相等。

课后反思：____________________________________________________________
__________________________________________________________________
（实际课时）

八年级上册《全等三角形》学案

八年级上册《全等三角形》学案

课题
12.1全等三角形
课时
课程标准
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角
修改点
教材分析
本节是这一章的第一节，这是全章的开篇，也是全等的基础，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形打好基础，具有承上启下的作用。
课堂目标
知识与技能1、了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。2、能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。
过程与方法通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。
情感态度与价值观通过全等形和全等三角形的学习，认识和熟悉生活中的全等图形，认识生活和数学的关系，激发学生学习数学的兴趣。
学情分析
学生在七年级学习了线段、角、平行线、以及三角形的相关知识，已初步具有简单图形的分析和辨识能力，八年级学生处于以形象思维为主要思维形式的时期。
学法指导
自主探究——观察思考——得出结论
教学重点
探究全等三角形的性质
教学难点
正确地识别全等三角形的对应元素以及全等三角形性质的熟练应用
教具
PPT，三角板
教学过程
教学
环节
教师活动
学生活动
设计意图
修改点
一、情景导入
二、新课讲授

全等三角形教学设计

三、例题讲解

三、课堂练习
三、小结
活动1：观察下列图案，指出这些图案中形状与大小相同的图形
探究
（1）两张纸重合后剪纸，得到的两个图形大小、形状相同。它们能重合吗?
（2）同一张底片洗出的两张尺寸相同的照片大小、形状相同。
它们能重合吗?
概念：
能够完全重合的两个图形称为全等形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
观察思考：
(1)把△ABC沿直线BC平移得到△DEF
(2)把△ABC沿直线BC翻折180度，得到△DBC
(2)把△ABC绕点A旋转，得到
△ADE
各图中的三角形全等吗？
结论：平移、翻折、旋转前后的图形全等。
全等三角形的相关元素：
全等三角形教学设计（1）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
（2）“全等”用符号“≌”表示：
记作△ABC≌△DEF
注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
几何语言：
∵△ABC≌△DFE
∴AB=DF,BC=FE,AC=DE
∴∠A=∠D,∠B=∠F,
∠C=∠E。
例1：找出下列图中一对全等三角形的对应边、对应角。
总结：寻找对应元素的规律
（1）有公共边的，公共边是对应边；
（2）有公共角的，公共角是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角是对应角；
（4）最大边与最大边（最小边与最小边）为对应边；最大角与最大角（最小角与最小角）为对应角；
（5）对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角；
（6）根据书写规范，按照对应顶点找对应边或对应角。
例2：如图,△ABD≌△EBC，
全等三角形教学设计

1、请找出对应边和对应角.
2、AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.
3、如果AB=3cm,DE=2cm,求BC的长.
课本P32第2题，P33第1,2,3题
谈收获
学生举例类似于生活中这样的图形
类比给出全等三角形的定义

全等三角形教学设计

让学生自己找到全等三角形的对应边、对应角、对应顶点

练习本上书写全等符号
几何语言的表述
教师板书

小组讨论
观察总结

学生口述
教师板书

总结知识点
让学生体验数学来源于生活，生活中处处有数学，

利用多媒体动画演示，让学生观察前后的图形特征

加强学生的几何语言表述

培养学生的合作意识

新知识的提升应用
板
书
设
计
12.1全等三角形
一、情景导入五、例题讲解
二、全等形、全等三角形的定义六、课堂练习
三、全等三角形的相关元素七、小结
四、全等三角形的性质
堂清内容:
1、全等形及全等三角形的概念
2、全等三角形的对应元素
3、全等三角形的性质
教学反思：
作业设计:
正式作业：课本P33第4,5题
家庭作业：绩优

全等三角形

第十讲全等三角形
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．
利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形：
例题求解
【例1】如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AC＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是(把你认为所有正确结论的序号填上)．(广州市中考题)
思路点拨对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出其他三角形全等．
注两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应’两字，有“相当”、“相应”的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．
实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．
【例2】在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，则边AB的取值范围是()
A．1AB9B．3AB13C．5AB13D．9AB13
(连云港市中考题)
思路点拨线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中．
【例3】如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ=AB
求证：(1)AP=AQ；(2)AP⊥AQ．
(江苏省竞赛题)

思路点拨(1)证明对应的两个三角形全等；(2)在(1)的基础上，证明∠PAQ=90°
【例4】若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．
(“五羊杯”竞赛题改编题)
思路点拨运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，解题的关键是由高的特殊性，分三角形的形状讨论．
注有时图中并没有直接的全等三角形，，需要通过作辅助线构造全等三角形，完成恰当添辅助线的任务，我们的思堆要经历一个观察、联想、构造的过程．
边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件使之组合可得到关于三角形全等判定的若干命题，其中有真有假，课本中全等三角形的判定方法只涉及边、角两类元素．
【例5】如图，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC、∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论?
思路点拨折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论．
注例5融操作、观察、猜想、推理于一体，需要一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的逄径．
善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：
(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；
(2)从题设条件无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．

学力训练
1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高，且AB=A′B′，AD＝A′D，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你
认为适当的条件)．(黑龙江省中考题)

2．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个论断：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出)．(海南省中考题)
3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．

4．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，则∠DOE的度数是．

5．如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③连OE，则OE平分∠O，正确的是()
A．①②B．②③C．①③D．①②③
6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于()
A．DCB．BCC．ABD．AE+AC(2003年武汉市选拔赛试题)
7．如图，AE∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有()对
A．5B．6C．7D．8
8．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数．(贵州省中考题)
9．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下4个论断：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3个论断为题设，填人下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填人下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：
求证：
(荆州市中考题)
10．如图，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，
求证：∠M=（∠ACB－∠B）．(天津市竞赛题)

11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝．

12．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝36°，那么∠BED．
(河南省竞赛题)
13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点F，给出3个论断：①DE=FE；②AE＝CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是．
(武汉市选拔赛试题)
14．如图，AD∥BC，∠1＝∠2，∠3＝∠4，AD=4，BC=2，那么AB=．

15．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB=c，AC=b，则（m+n）与(b+c)大小关系是()
A．m+nb+cB．m+nb+cC．m+n=b+cD．不能确定
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，ABAD，下列结论中正确的是()A．AB－ADCB－CDB．AB－AD＝CB—CD
C．AB—ADCB—CDD．AB－AD与CB—CD的大小关系不确定．
(江苏省竞赛题)
17．考查下列命题()
(1)全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；
(2)两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；
(3)两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；
(4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．
其中正确命题的个数有()
A．4个B．3个C．2个D．1个
18．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=(AB+AD)，求∠ABC+∠ADC的度数．(上海市竞赛题)
19．如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
20．如图，已知AB=CD=AE＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC的面积．
(江苏省竞赛题)
21．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AF+CD．
(武汉市选拔赛试题)

22．(1)已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′=100°，求证：△ABC≌△A′B′C′；
(2)上问中，若将条件改为AB＝A′B′，BC=B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C′=70°，
结论是否成立?为什么?

文章来源：//m.jab88.com/j/60485.html

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