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课题11.2反比例函数的图象与性质（1）自主空间
学习目标学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。
培养提高学生的计算能力和作图能力。
学习重点反比例函数的图象
学习难点理解反比例函数的性质
教学流程
预
习
导
航1、画函数图像的一般过程：，，
2、（1）一次函数y=kx+b的图像是
（2）当k0时，y随x的增大而
当k0时，y随x的增大而
3、作反比例函数y=的图象：
列表：
x…－6－4－3－2－112346…
y=

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=的图象。
合
作
探
究
一、新知探究：
1、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点。
2、作反比例函数y=的图象

3、观察函数y=和y=的图象，它们有什么相同点和不同点？

图象分别都是由两支曲线组成的（一般把这两个分支组成的曲线称为双曲线），它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图形，它们各自都有两条对称轴。

4、归纳得出反比例函数图象特征：
反比例函数y=kx的图象是由两支曲线组成的，当k0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

二、例题分析：
例、反比例函数的图象经过点（-2，4），求它的解析式，并画出函数图象，图象分布在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？

三、展示交流：
1．已知y与2x—1成反比例,且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=________.
2.若函数y=(m-1)是反比例函数,则m的值等于()
A.±1B.1C.D.-1
3、在平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像
（1）y=(2)y=-（3）y=

4、已知变量y与x成反比例,并且当x=2时,y=-3.(1)求y与x的函数关系式;(2)求当y=2时x的值;(3)在直角坐标系内画出(1)小题中函数图象的草图.

四、提炼总结：
进一步熟悉画函数图像的步骤，不仅得到反比例函数的大致特征；类似一次函数的图像是一条直线，还知道反比例函数的图像为双曲线。对K的不同取值，能得到其所在的位置。
当
堂
达
标1、反比例函数的图象经过点（-2，4），则它的解析式为

2、已知变量y与x成反比例，并且当x＝2时，y＝－3。（1）求y与x的函数关系式；（2）当y＝2时x的值；（3）在直角坐标系中画出（1）小题虽函数的图象的草图。

3、如果点P（a，b）在y=kx的图象上，那么在此图象上的点还有（）
A（－a，b）B.（a，－b）C.（－a，－b）D.（0,0）
4、已知反比例函数y=,当x=1时，y=-8.
（1）求k值，并写出函数关系式；
(2)点P、Q、R在函数图象上，填空：P(1，),Q(2，),R(,-8)；（3）点P’、Q’、R’分别是点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点P’、Q’、R’的坐标；

延伸阅读

反比例函数的图象与性质（3）导学案

2011-2012学年度第二学期八年级数学导学案（14）
9.2反比例函数的图象与性质（3）
编写：罗俊审核：2012-3-1
班级学号姓名
【学习目标】
1.会根据反比例函数图象的某些特征，分析并掌握反比例函数的性质．
2.能运用反比例函数图象与对应的函数关系或之间的内在联系及其几何意义解决有关问题．
3.根据所给反比例函数与一次函数的图象解决一些简单的综合问题．
【学习重点、难点】
重点：根据条件确定函数的类型，明确函数图象所在象限及有关性质
难点：能结合函数图象及性质，比较函数值的大小和求函数关系式．
【新知预习】
1.老师给出一个函数，甲、乙各指出这个函数的一个性质：
甲：第一、三象限有它的图象；乙：在每个象限内，y随x的增大而减小．
请你写出一个满足上述性质的函数关系式．
2.点（-2，y1）（-1，y2）（1，y3）在反比例函数y=-4x的图象上，比较y1、y2、y3的大小．
思考：比较y1、、y2、y3的大小有哪些方法？（代人法、图象法、增减性法）

【导学过程】
1.填表
正比例函数y=kx反比例函数y=kx

k0k0k0k0
图象所在象限
增减性

【例题讲解】
例1：如图，是反比例函数y=2-mx的图象的一支．
(1)函数图象的另一支在第几象限？
(2)求常数m的取值范围．
(3)点A（－3，y1）、B（－1，y2）、C（2，y3）都在这个反比例函数的图象上，比较y1、、y2和y3的大小．
2.组内相互讲解，强调第（3）小题的方法。

例2.已知反比例函数y=kx与一次函数y=mx+b的图象交于P(－2,1)和Q（1，n）两点．
(1)求k、n的值；
(2)求一次函数y=mx+b的解析式．
(3)求△POQ的面积．

【反馈练习】
1.课本练习第1、2题
2.对于反比例函数y=kx（k0），当x10x2x3时，其对应的值y1、y2、y3的大小关系是．
3．反比例函数y=m-1x的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________．
4．已知反比例函数y=mx与一次函数y=2x+m的图象的一个交点的横坐标是-4，则m的值是____．
5．已知点（x1，-1），（x2，-），（x3，2）在函数y=-2x的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是．
6.若反比例函数的图象位于二、四象限内，正比例函数过一、三象限，则m的整数值是________．
7.已知反比例函数y1=－2ax和一次函数y2=kx+2的图象都过点P（a，2a）．
(1)求a与k的值；
(2)在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
(3)若两函数图象的另一个交点是Q(0.5，4)，利用图象指出：当x为何值时，有y1﹥y2?

☆8．如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x的垂线PA交双曲线y=于点A，连接AO，并在AO的延长线上与双曲线y=交于点F，过点F作x轴的垂线，垂足为H，连接AH、PF，试说明四边形APFH的面积为一定值．
【互动释疑】
你还有什么问题吗？
【作业布置】习题9.2第4、5题

中考复习反比例函数的图象与性质学案

课时12．反比例函数的图象与性质

班级_________学号_________姓名_________

【课前热身】

1．（09泸州）已知反比例函数的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图象位于()

A．第二、三象限B．第一、三象限C．第三、四象限D．第二、四象限

2．（09日照）已知点M(－2，3)在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是()

A.(3，-2)B.(-2，-3)C.(2，3)D.(3，2)

3（09梧州）已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，若，则有（）

A．B．C．D．

4.如图，矩形的面积为3，反比例函数的图象过点，则=（）

A．B．C．D．

5.（10兰州）已知点（-1，），（2，），（3，）在反比例函数

的图像上.下列结论中正确的是

A．B．C．D．

【考点链接】

1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝

或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

2.反比例函数的图象和性质

k的符号k＞0

k＜0

图像的大致位置

经过象限第象限第象限

性质在每一象限内y随x的增大而在每一象限内y随x的增大而

3．的几何含义：反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何

意义，即过双曲线y＝(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴

垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为.

【典例精析】

例1函数的值在每一个象限内随x的增大而增大，函数的图像和的图像无交点，那么a和k之间的关系是（）

A.B.

C.D.

例2已知图中的曲线是反比例函数图像的一支

（1）这个反比例函数图像的另一支在第几象限？常数m的取值范围是什么？

（2）若该函数的图像与正比例函数的图像在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式。

例3（10义乌）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且S△PBD=4，．

（1）求点D的坐标；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式；

（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例

函数的值的的取值范围.

【当堂训练】

1．（10凉山）是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是_______

2．(09年陕西)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线上的两点，且x1x20，则y1y2

3.（10聊城）函数y1＝x（x≥0），y2＝（x0）的图象如图所示，下列结论：

①两函数图象的交点坐标为A（2，2）；

②当x2时，y2y1；

③直线x＝1分别与两函数图象相交于B、C两点，则线段BC的长为3；

④当x逐渐增大时，y1的值随x的增大而增大，y2的值随x的增大减少．

其中正确的是_______________________________-

4.（10无锡）如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值（）

A．等于2B．等于C．等于D．无法确定

5.（10青岛）函数与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

6.（10眉山）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜

边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的

坐标为（，4），则△AOC的面积为

A．12B．9C．6D．4

[课后精练]

1.（10潍坊）若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（m，1），则k的值是__________________________

2.（10广西河池）如图3，Rt△ABC在第一象限，，AB=AC=2，点A在直线上，其中点A的横坐标为1，且AB∥轴，AC∥轴，若双曲线与△有交点，则k的

取值范围是.

3．（10荆州）如图，直线ｌ是经过点（1,0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4，BC=3．将BC边在直线ｌ上滑动，使A，B在函数的图象上．那么k的值是()

A．3B．６Ｃ．12D．

4.（10江西）反例函数图象的对称轴的条数是()

A．0B．1C．2D．3

5.（2010四川成都）如图，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．

（1）试确定这两个函数的表达式；

（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．

6.中考指南P46.10

7.中考指南P46.12

8.中考指南P46.13

反比例函数的图象和性质

反比例函数的图象和性质

一、背景分析

1．对教材的分析

本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。

本节课前一课时是在具体情境中领会反比例函数的意义和概念。函数的性质蕴涵于概念之中，对反比例函数性质的探索是对其内在规定性的的认识，也是对函数的概念的深化。同时，本节课也是下一节课《反比例函数的应用》的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和解释问题。

传统教材在内容和编写意图的比较：传统教材里反比例函数的内容仅有一节，新教材里反比例函数的内容增加至一章。本节课中的作函数图象的要求在新旧教材中并不一样，旧教材对画图只是一带而过，而新教材中让学生反复作反比例函数的图象，为下一步性质的探索打下良好的基础。因为在学生进行函数的列表、描点作图是活动中，就已经开始了对反比例函数性质的探索，而且通过对函数的三种表示方式的整和，逐步形成对函数概念的整体性认识。在旧教材中对反比例函数性质只是简单观察以后，由老师讲解得到，但是在新教材中注重从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从函数图象中获取信息的能力。这也充分体现了重视获取知识过程体验的新课标的精神。

（1）教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和；逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。

（2）重点：会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质。

（3）难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。

2、对学情的分析

九年级学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了一定的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面，这对于他们理解反比例函数的图象与性质没有多大的帮助，但由于本节课采用Z+Z智能教育平台进行教学，比较形象，便于学生接受。

教学过程

一、忆一忆

师：同学们还记得我们在学习一次函数时，是怎么作出一次函数图象的吗？一次函数的图象是什么图形？

生：作一次函数的图象要采用以下几个步骤：（1）列表（2）描点（3）连线。

生乙：一次函数的图象是一条直线。

师：大家说的很好，看来大家对过去的知识掌握的很牢固，那么同学们想一下，y=4/x是什么函数？

生：反比例函数。

师：你们能作出它的图象吗？

生：可以。

点评：复习旧知识，让学生感受到新旧知识的联系，并为后面的作反比例函数的图象做好准备。

二、作图象，试比较

师：请填写电脑上的表格，并开始在坐标纸上描点，连线。

师：再按照上述方法作y=-4/x的图象。

（学生动手操作）

师：下面大家分小组讨论：对照你们所作出的两个函数图象，找出它们的相同点与不同点。

（学生讨论交流，教师参与）

师：讨论结束，下面哪个小组的同学说说你们的看法？

生1：它们的图象都是由两支曲线组成的。

生2：y=4/x的图象的两条曲线分布在一、三象限内，而y=－4/x的图象的两支曲线分布在二、四象限内。

点评：这里让学生自己上台操作，既培养了学生的动手能力，又可以激发学生学好数学的兴趣。

三、细观察，找规律

师：大家都说得很好，下面我们一起观察反比例函数y=k/x的图象，当k的发值生变化时，函数的图象发生了怎样的变化，并分小组讨论有什么规律。

（展示图象，让学生观察y=k/x的图象，按下动画按钮，在运动中观察值的变化与函数的图象变化之间的关系，并与同学们充分讨论）

师：请同学们谈一谈刚才讨论的结果。

生：我发现函数图象的变化与k的值有关：当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。

师：看来大家都经过了认真的思考和讨论，对规律总结的也比较完整，下面我们一起把刚才两个环节的知识点一起总结一下。

（1）反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线所组成的。

（2）当k＞0时，两支曲线分别在一、三象限；当k＜0时，两支曲线分别在二、四象限。

（3）当k＞0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k＜0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。

师：如果我们将反比例函数的图象绕原点旋转180后，你会发现什么现象？这说明了什么问题？

（由学生在电脑上进行操作）

生：我发现旋转后的图象与原图象完全重合了，这说明反比例函数的图象是一个中心对称图形。

师：大家做得很好。那么，如果我们在图象上任取A、B两点，经过这两点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为S1、S2，观察两个矩形面积的变化情况，并找出其中的变化规律。

题目：（1）拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。（2）拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。

生：我们发现，在同一个反比例函数中，不管k值怎么变化，矩形的面积始终不变。

师：大家的观察很仔细，总结得也很正确。

点评：在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。结论主要有学生来发现，体现了新课程理论的精神。

四、用规律，练一练

1、课本137页随堂练习1

生：第一幅图是y=－2/x的图象，因为在这里的k＜0，双曲线应在第二、四象限。

2、下列函数中，其图象唯一、三象限的有哪几个？在其图象所在象限内，的值随的增大而增大的有哪几个？

（1）y=1/(2x)（2）y=0.3/x（3）y=10/x（4）y=－7/(100x)

生：其中（1）（2）（3）的图象在一、三象限；（4）的图象在每一象限内，y随x的增大而增大。

五、想一想，谈收获

师：通过今天的学习，你有什么收获？

生甲：我今天知道了怎样画反比例函数的图象。

生乙：我今天知道了反比例函数的图象是由两支曲线所组成的。

生丙：我还懂得了：当k＞0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大

生丁：我还能用反比例函数的相关性质解题。

师：看来大家今天学到了不少知识，只要大家能保持这种对数学的热情和勇于挑战的精神，在数学上一定会有所收获的。

总评：本节课很好的反映了新课程的一些理念，首先，就是将数学教学与多媒体教学进行了很好的整合，尤其是采用了Z+Z智能教育平台进行教学，在本节课从进入课堂到结束，始终有多媒体教学的参与，如在讲解反比例函数的性质时运用多媒体展示可以给学生以直观的感受，并给学生留下深刻的印象，教师也能熟练地操作电脑，可以看出教师扎实的基本功。其次，在本节课的教学中，教师将学习的主动权交给学生，课堂始终在学生自主探索、合作交流的气氛中进行，如在得出反比例函数的性质时，就在小组内进行了广泛交流，由学生自己去探索，去发现新知识，这样可以激发学生求知的欲望，达到事半功倍的目的。同时教师也主动的参与进去，把自己也当成了教室里的一员，真正体现了新课程的理念。

教学反思：

本节课由于在课前进行了大量的准备工作，包括对教材的钻研、教学内容的设计、多媒体课件的制作、学生学情的了解，因此在教学中比较顺利，对重难点内容也有效的进行了突破，尤其是电脑的引入，极大的调动了学生的学习积极性。学生由于成了课堂的主人，所以在课堂上保持了高涨的热情，因此这堂课的效果也较好。

文章来源：http://m.jab88.com/j/59679.html

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