一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。关于好的高中教案要怎么样去写呢？小编特地为大家精心收集和整理了“函数的综合问题”，但愿对您的学习工作带来帮助。

2.12函数的综合问题

●知识梳理
函数的综合应用主要体现在以下几方面：
1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.
2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.
3.函数与实际应用问题的综合.
●点击双基
1.已知函数f（x）=lg（2x－b）（b为常数），若x∈［1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则
A.b≤1B.b＜1C.b≥1D.b=1
解析：当x∈［1，+∞）时，f（x）≥0，从而2x－b≥1，即b≤2x－1.而x∈［1，+∞）时，2x－1单调增加，
∴b≤2－1=1.
答案：A
2.若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式|f（x+1）－1|＜2的解集是___________________.
解析：由|f（x+1）－1|＜2得－2＜f（x+1）－1＜2，即－1＜f（x+1）＜3.
又f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过点A（0，3），B（3，－1），
∴f（3）＜f（x+1）＜f（0）.
∴0＜x+1＜3，－1＜x＜2.
答案：（－1，2）
●典例剖析
【例1】取第一象限内的点P1（x1，y1），P2（x2，y2），使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x（x＞0）的关系为
A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上
C.点P1在l的下方，P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方
剖析：x1=+1=，x2=1+=，y1=1×=，y2=，∵y1＜x1，y2＜x2，
∴P1、P2都在l的下方.
答案：D
【例2】已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x－1），求f（2002）的值.
解：由g（x）=f（x－1），x∈R，得f（x）=g（x+1）.又f（－x）=f（x），g（－x）=－g（x），
故有f（x）=f（－x）=g（－x+1）=－g（x－1）=－f（x－2）=－f（2－x）=－g（3－x）=
g（x－3）=f（x－4），也即f（x+4）=f（x），x∈R.
∴f（x）为周期函数，其周期T=4.
∴f（2002）=f（4×500＋2）＝f（2）=0.
评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】函数f（x）=（m＞0），x1、x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=.
（1）求m的值；
（2）数列{an}，已知an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），求an.
解：（1）由f（x1）+f（x2）=，得+=，
∴4+4+2m=［4+m（4+4）+m2］.
∵x1+x2=1，∴（2－m）（4+4）=（m－2）2.
∴4+4=2－m或2－m=0.
∵4+4≥2=2=4，
而m＞0时2－m＜2，∴4+4≠2－m.
∴m=2.
（2）∵an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），∴an=f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（0）.
∴2an=［f（0）+f（1）］+［f（）+f（）］+…+［f（1）+f（0）］=++…+=.
∴an=.
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数.
（2）证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.
∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数.
（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3×（－2）=－6，f（－3）=－f（3）=6.从而最大值是6，最小值是－6.
深化拓展
对于任意实数x、y，定义运算x*y=ax+by+cxy，其中a、b、c是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数m，使得对于任意实数x，都有x*m=x，试求m的值.
提示：由1*2=3，2*3=4，得
∴b=2+2c，a=－1－6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x对于任意实数x恒成立，
∴∴b=0=2+2c.
∴c=－1.∴（－1－6c）+cm=1.
∴－1+6－m=1.∴m=4.
答案：4.
●闯关训练
夯实基础
1.已知y=f（x）在定义域［1，3］上为单调减函数，值域为［4，7］，若它存在反函数，则反函数在其定义域上
A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7
C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3
解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f－1（x）的值域是［1，3］.
答案：C
2.关于x的方程|x2－4x+3|－a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是___________________.
解析：作函数y=|x2－4x+3|的图象，如下图.
由图象知直线y=1与y=|x2－4x+3|的图象有三个交点，即方程|x2－4x+3|=1也就是方程|x2－4x+3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.
答案：1
3.若存在常数p＞0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px－）（x∈R），则f（x）的一个正周期为__________.
解析：由f（px）=f（px－），
令px=u，f（u）=f（u－）=f［（u+）－］，∴T=或的整数倍.
答案：（或的整数倍）
4.已知关于x的方程sin2x－2sinx－a=0有实数解，求a的取值范围.
解：a=sin2x－2sinx=（sinx－1）2－1.
∵－1≤sinx≤1，∴0≤（sinx－1）2≤4.
∴a的范围是［－1，3］.
5.记函数f（x）=的定义域为A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a＜1）的定义域为B.
（1）求A；
（2）若BA，求实数a的取值范围.
解：（1）由2－≥0，得≥0，
∴x＜－1或x≥1，即A=（－∞，－1）∪［1，+∞）.
（2）由（x－a－1）（2a－x）＞0，得（x－a－1）（x－2a）＜0.
∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=（2a，a+1）.
∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2.
而a＜1，∴≤a＜1或a≤－2.
故当BA时，实数a的取值范围是（－∞，－2］∪［，1）.
培养能力
6.（理）已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b≥0，c∈R）.
若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.
解：设符合条件的f（x）存在，
∵函数图象的对称轴是x=－，
又b≥0，∴－≤0.
①当－＜－≤0，即0≤b＜1时，
函数x=－有最小值－1，则
或（舍去）.
②当－1＜－≤－，即1≤b＜2时，则
（舍去）或（舍去）.
③当－≤－1，即b≥2时，函数在［－1，0］上单调递增，则解得
综上所述，符合条件的函数有两个，
f（x）=x2－1或f（x）=x2+2x.
（文）已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b≥0，c∈R）.
若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.
解：∵函数图象的对称轴是
x=－，又b≥0，∴－≤－.
设符合条件的f（x）存在，
①当－≤－1时，即b≥1时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则
②当－1＜－≤－，即0≤b＜1时，则
（舍去）.
综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.
7.已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+.设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.
（1）求a的值.
（2）问：|PM||PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.
解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=.
（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM||PN|=1，即|PM||PN|为定值，这个值为1.
（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）.
∵PM与直线y=x垂直，∴kPM1=－1，即=－1.解得t=（x0+y0）.
又y0=x0+，∴t=x0+.
∴S△OPM=+，S△OPN=x02+.
∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=（x02+）+≥1+.
当且仅当x0=1时，等号成立.
此时四边形OMPN的面积有最小值1+.
探究创新
8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）.
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1.
解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4－2x，高为x，
∴V1=（4－2x）2x=4（x3－4x2+4x）（0＜x＜2）.
∴V1′=4（3x2－8x+4）.
令V1′=0，得x1=，x2=2（舍去）.
而V1′=12（x－）（x－2），
又当x＜时，V1′＞0；当＜x＜2时，V1′＜0，
∴当x=时，V1取最大值.
（2）重新设计方案如下：
如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器.
新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1.
故第二种方案符合要求.
●思悟小结
1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.
2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.
●教师下载中心
教学点睛
数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法，应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.
拓展题例
【例1】设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有＞0.
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
（2）解不等式f（x－）＜f（x－）；
（3）记P={x|y=f（x－c）}，Q={x|y=f（x－c2）}，且P∩Q=，求c的取值范围.
解：设－1≤x1＜x2≤1，则x1－x2≠0，
∴＞0.
∵x1－x2＜0，∴f（x1）+f（－x2）＜0.
∴f（x1）＜－f（－x2）.
又f（x）是奇函数，∴f（－x2）=－f（x2）.
∴f（x1）＜f（x2）.
∴f（x）是增函数.
（1）∵a＞b，∴f（a）＞f（b）.
（2）由f（x－）＜f（x－），得
∴－≤x≤.
∴不等式的解集为{x|－≤x≤}.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q=，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
【例2】已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称.
（1）求f（x）的解析式；
（2）（文）若g（x）=f（x）x+ax，且g（x）在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.
（理）若g（x）=f（x）+，且g（x）在区间（0，2］上为减函数，求实数a的取值范围.
解：（1）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（－x，2－y）在h（x）的图象上.
∴2－y=－x++2.
∴y=x+，即f（x）=x+.
（2）（文）g（x）=（x+）x+ax，
即g（x）=x2+ax+1.
g（x）在（0，2］上递减－≥2，
∴a≤－4.
（理）g（x）=x+.
∵g′（x）=1－，g（x）在（0，2］上递减，
∴1－≤0在x∈（0，2］时恒成立，
即a≥x2－1在x∈（0，2］时恒成立.
∵x∈（0，2］时，（x2－1）max=3，
∴a≥3.
【例3】在4月份（共30天），有一新款服装投放某专卖店销售，日销售量（单位：件）f（n）关于时间n（1≤n≤30，n∈N*）的函数关系如下图所示，其中函数f（n）图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.
（1）求f（n）的表达式，及前m天的销售总数；
（2）按规律，当该专卖店销售总数超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由.
解：（1）由图形知，当1≤n≤m且n∈N*时，f（n）=5n－3.
由f（m）=57，得m=12.
∴f（n）=
前12天的销售总量为
5（1+2+3+…+12）－3×12=354件.
（2）第13天的销售量为f（13）=－3×13+93=54件，而354+54＞400，
∴从第14天开始销售总量超过400件，即开始流行.
设第n天的日销售量开始低于30件（12＜n≤30），即f（n）=－3n+93＜30，解得n＞21.
∴从第22天开始日销售量低于30件，
即流行时间为14号至21号.
∴该服装流行时间不超过10天.

相关推荐

实际问题的函数建模

俗话说，磨刀不误砍柴工。教师要准备好教案，这是教师需要精心准备的。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师能够井然有序的进行教学。关于好的教案要怎么样去写呢？下面的内容是小编为大家整理的实际问题的函数建模，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

【必修1】第四章
第二节实际问题的函数建模（1）
实际问题的函数刻画
学时:1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本页
2.回答问题：
（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？
（2）层次间有什么联系？
（3）怎样用数学知识刻画实际问题（怎样解答应用题）？
（4）本节的重点，难点是什么？
3.完成页练习.
4.小结.
二、方法指导
1.读题是解决实际问题的重要环节，一般的实际问题的叙述都比较长，需要逐字逐句地把问题看懂，这是建立数学模型的前提
2.同学们应注意在解决问题时应选择适当的函数模型进行拟合实现问题解决
3.同学们学习过程中应了解一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，分段函数等函数模型．
【思考引导】
一、提问题
1.为什么要用函数来刻画实际问题？

2.用函数来刻画应用题应注意哪些问题，具体步骤是什么?

二、变题目
1．某种细菌在培养过程中,每15分种分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由1个繁殖成4096个需经过()
小时小时小时小时
2.一根弹簧,挂重100N的重物时,伸长20cm,当挂重150N的重物时,弹簧长()
3.今有一组数据如下表
1.99345.16.12
1.54.047.51218.01
则选取拟合函数时,最好选()
4.一等要三角形的周长是20,则其底边长关于其腰长的函数关系式是____________________
5.下表显示出函数值随自变量变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是()
45678910
15171921232527
一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型
6.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30天)里,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,设每天从报社买进的报纸数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点每天最多可赚多少元?

7.某桶装水经营部每天房租,工作人员工资等固定成本为200元,每桶水进价为5元,销售单价与日销售量的关系如下表:
销售单价(元)6789101112
日销售量(桶)480440400360320280240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利润是多少?
【总结引导】
1.本节课的重点是了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．
2.数学建模与传统应用题的区别：题设不同，过程不同，结论不同．
3.实际问题的函数刻画主要有以下步骤:
(1)_____________________,审清题意.
(2)设_________________________,表示题目中的有关量.
(3)根据题目中的等量关系用相关的符号来建立_____________,并用函数的观点解答问题
4.常用的一些实际生产,生活中的等量关系如下:
(1)利润=_________________;
(2)矩形的面积=_______________;
(3)平均增长率=________________.

【拓展引导】
1.一种商品连续两次降价后,现又想通过两次提价恢复原价,你知道每次应提价多少吗?

2.某服装公司从2007年1月份开始投产，前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件和1.36万件。由于产品质地优良，款式新颖，前几个月的产品销售情况较好，为使销售部在接受订单时不至于过多或过少，需要预测以后几个月的产量。现有两个函数模型可用于模拟产品的产量y与月份x的关系：（其中a,b,m,n,p均为常数），选用那个模型更能合理预测以后几个月的产量？
参考答案
【思考引导】
一．提问题
1.把复杂的文字语言转化到我们熟悉的数字，符号语言上来，从而利用所学知识解决实际问题．
2.①认真读题，缜密审题②引进数学符号，建立数学模型
【变题目】
1.C2.D3.C
4．5.A
6.每天从应从报社卖400份,获得利润最大,每天可赚1170元
7.每桶水的价格为11.5元时.利润最大为1490元
【总结引导】
3.(1)认真读题(2)有关数学符号(3)函数关系
4.(1)收入-支出(2)长宽(3)
【拓展引导】
（１）（或11.11%）
（2）设，将点（1，1），（2，1.2），（3，1.3）分别代入，有，解之得
所以
则，与实际产量差距为0.01
综上所述，选用较合理。

实际问题的函数刻画

普通高中课程标准实验教科书[北师版]–必修1
第四章函数应用
§4.2.1实际问题的函数刻画（学案）
【学习目标】
１.知识技能：
（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。
（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。
（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。
２.过程与方法：
（１）通过实际问题情境，了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。
（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养解决实际问题的能力。
３.情感、态度与价值观：
（１）体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。
（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。
（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。
【学习重点】常用简单函数模型的应用。
【学习难点】实际问题的函数刻画化归。
【学法指导】利用多媒体教学手段，根据教师的引导启发，同学们之间的交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。
【课前预习】阅读教科书P137~P139，尝试完成以下两题：
1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10％．求利润与礼品价格”之间的函数关系．
2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a1，a2，…，an表示出a．
【课堂互动】
[课堂引入]
有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起来，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。
问题：自然界一个种群的数量增加有无规律？能否用数学的方法来刻画，怎么刻画？
[活动过程1]
问题1当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化．表4—2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么?
表4—2
环境温度/（℃）410203038
代谢率／4185J／（hm2）60444040．554
分析:
（1）该问题中反映的信息中有哪些量?
（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系?
（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎
样的规律）?
（4）上述规律有什么现实指导意义？
[活动过程2]
问题2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去厂200000元，生产每件上艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义，
（1）该问题中反映的信息中有哪些量?
（2）这几个量之间存在怎样的依赖关系?

[活动过程3]
问题3如图4—7，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站．现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺没专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度?
解:

[课堂小结]：本节课我们通过几例实际问题，体会到了用一次函数（分段）模型来刻画实际问题的方法，明白数形结合法是研究函数性质，解决实际问题的有效方法
问题1：当环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，通过对实验数据的分析，它可以确定由环境温度值到人体代谢率各数值的一个函数，通过对这个函数的学习，我们体会到用函数能够刻画（社会的）人的代谢率与温度（自然的）的关系。
问题2：总成本C，单位成本P，销售收入R，利润L都是产量x的函数。
问题3：用“以直代曲”的办法，可确定电缆总长度的函数。
通过以上实例可以看出函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型在刻画现实问题中具有广泛的应用。小到一个人的成长过程，大到一个国家的人口增长；小到一架飞机的飞行路线，大到天体的运动轨迹；小到冰块的温度变化过程，大到全球温度的变暖，都可利用函数进行刻画和研究。
[课堂练习]
1．某市有甲乙两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务都很好，但收费方式不同。甲家每张球台每小时5元，乙家按月计费，一个月中30小时（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分，每张球台每小时2元。某人准备下个月从这两家中的一家租一张球台，开展活动。其活动时间不少于15小时，也不超过40小时；设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）。
（1）写出f（x）和g（x）的解析式。
（2）假设你和你的同伴想去该人处进行乒乓球训练，按时间来算，你们该怎样选择，费用比较低？
提示：①利用f（x）=g（x）解方程得出x；
②在同一坐标系中利用函数图象相交，直接观察、分析、概括。

[达标检测]
1．电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示，（其中MN//CD）

（1）分别求出方案A、B应付话费（元）与通话时间X（分钟）的函数表达式f（x）和g（x）。
（2）假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由。

2．Ａ、Ｂ两城相距１００km，在两地之间距Ａ城xkm处Ｄ建一核电站给Ａ、Ｂ两城供电，为得让城市安全，核电站距城市距离不得少于１０km。已知供电费用与供电距离得平方和和供电量之积成正比，比例系数x＝０.２５。若Ａ城供电量为２０亿度／月，Ｂ城为１０亿度／月，把月供电总费用y表示成x的函数，并求出定义域，并回答，应将电站建在何处，月供电总费用最低？

函数与应用问题

数学必修1：函数的应用举例
【要点导学】
1、数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等.
2、数学模型方法
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
3、求解实际问题的基本步骤
以函数为数学模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面，主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：

⑴审题：通过阅读，理解关键词的意义，明确变量和常量，理顺数量关系，弄清题意，明白问题讲的是什么.
⑵建模：将文字语言转换成数学语言，用数学式子表达数量关系，利用数学知识建立相应的数学模型.
⑶求模：求解数学模型，得到数学结论.
⑷还原：将用数学方法得到的结论，回归实际，还原为实际问题的意义.
4、本节课的函数应用是指利用函数知识求解实际问题.
【范例精析】
例1要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径
不允许小于600.如果某段铁路两端相距156，弧所对的圆心
角小于180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围(精确到1m).
思路剖析先以弓形的高为自变量，半径R为函数，建
立R关于的函数关系式，然后再利用圆弧半径不小于600得
到关于的不等式，求出的范围.
解题示范如图，设圆弧的半径OA=OB=R,
圆弧弓形的高CD=,0R.
在RtΔBOD中，DB=78，OD=R-，
则，∴，
依题意R≥600，即≥600，
∴≥0，
解得≤5.1或≥1194.9,
又R,∴,∴≥1194.9应舍去.
答：圆弧弓形的高的允许值范围是（单位：米）.
回顾反思如何依题意寻找关于的不等式，是求解本题的关键，这里要抓住两方面：一是圆弧半径不小于600，二是R.其中“R”是几何图形的性质所需要的，在解题时要善于挖掘题设条件中的隐含条件.
例2大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12以上温度一定，保持在-55oC.
（1）当地球表面大气的温度是oC时，在的上空为oC,求、、间的函数关系式；
（2）问当地表的温度是29oC时，3上空的温度是多少？
思路剖析用待定系数法确定温度随高度变化的函数关系.
解题示范（1）由题设知，可设-=，即=+.
依题意，当=12时，=-55，
∴-55=+12，解得=-，
∴当时，.
又当时，.
∴所求的函数关系式为
（2）当=29,=3时，
=29-(55+29)=8，
即3上空的温度为8oC.
答：所求的关系式为，在3上空的温度是8oC.
回顾反思1、在求解本题时，要抓住“上升到12为止温度的降低大体上与升高的距离成正比”这句关键性的话，它表达了两层意思：一是温度的降低与升高的距离成正比；二是“温度的降低与升高的距离成正比”的前提是“上升到12为止”，故函数的定义域为.
2、数学模型中的自变量的取值范围，一方面要使数学关系式有意义，另一方面还必须满足实际问题的意义.
例31980年我国人均收入255美元，若到2000年人民生活达到小康水平，即人均收入为817美元，则年平均增长率是多少？若不低于此增长率递增，则到2010年人均收入至少多少美元？
思路剖析按平均增长率可求得逐年的人均收入，通过解方程可计算平均增长率.
解题示范设年平均增长率为，则
1981年人均收入为255，
1982年人均收入为255,
……
2000年人均收入为255，
依题意，得255=817，
∴=，
用计算器算得=0.06=6%.
设2010年人均收入为美元，则=255(1+6%)30,
用计算器算得=1464（美元）.
答：年平均增长率为6%，到2010年人均收入至少为1464美元.
回顾反思在实际问题中，常常遇到有关平均增长率（如复利、人口增长率、产值增长率等）的问题，求解与平均增长率有关的实际应用问题时，常要用到公式，其中N表示原来产值的基础数，为平均增长率，表示对应于时间的产值，此公式称作复利公式，要掌握它的推导过程和实际应用.当表示增长率时，0；当表示折旧率时，0.
例4某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可选用二次函数或(,,为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由.
思路剖析先利用待定系数法求出两个函数的解析式，再进行比较.
解题示范设二次函数为.
由已知得，
∴.
对于函数，
由已知得，
∴.
当=4时，；
.
∴，，
∴，
∴选用函数作模拟函数较好.
回顾反思本题中，要弄清选择哪个函数作为模拟函数“较好”的依据是什么？看分别与四月份该产品的实际产量1.37万件的误差哪个小.
例5已知某商品的价格每上涨%，销售的数量就减少%，其中为正常数.
(1)当时，该商品的价格上涨多少时，就能使销售的总金额最大？
(2)若适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围.
思路剖析销售总金额=商品定价销售数量.
解题示范(1)设商品原定价为，卖出的数量为，则当价格上涨%时，
商品的定价为，销售数量为，
∴销售总金额为，
即.
当时，
∴当=50时，.
即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大.
(2)∵二次函数在上递增，在上递减，
∴要使适当地涨价，能使销售总金额增加，即当0时,为增函数，则须且只需满足
，
解得01.
回顾反思在求解第二问时要注意两点：一是要理解“适当地涨价，能使销售总金额增加”在数学中的含义是什么？它表示当0时,为增函数，由此得到二次函数顶点的横坐标需满足的条件；二是不要把“销售总金额增加”错误地理解为“销售总金额比原来增加”，以致产生下面的错误解法：
令，得，∴，
∴，∴.
尽管答案一致，但纯属偶然.
【能力训练】
一、选择题
1、我国工农业总产值从1980年到2000年的20年间实现了翻两番的目标，若平均每年的增长率为，则（）
A、=4B、=2C、=3D、=4
2、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低.若每隔5年计算机的价格降低，现在价格为8100元的计算机经过15年，其价格可降为（）
A、300元B、900元C、2400元D、3600元
3、某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为（）
A、PB、P12C、(1+P)12D、(1+P)12-1
4、某商品零售价2002年比2001年上涨25%，欲控制2003年比2001年只上涨10%，则2003年应比2002年降价（）
A、15%B、12%C、10%D、5%
5、一名退休职工每年获得一份医疗保障金，金额与他工作的年数的平方根成正比，如果多工作年，他的保障金会比原有的多元；如果多工作年，他的保障金会比原来的多元，那么他每年的保障金（用表示）是（）
A、B、C、D、
二、填空题
6、有一块长为20厘米,宽为12厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.则盒子的容积V与的函数关系式是.
7、以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的ΔPAB的面积S与高PD=之间的函数关系式是
8、储油303的油桶，每分钟流出3的油，则桶内剩余油量Q（3）以流出时间为自变量的函数的定义域为
9、A、B两地相距160（A地在B地的正北方向），甲从A地以80/s的速度向B行驶，乙从B地向正东方向以60/s的速度行驶.若甲、乙同时出发，则它们之间的最小距离为
10、“中华人民共和国个人所得税法”规定，薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：
全月应纳税所得额税率
不超过500元的部分5％
超过500元至2000元部分10％
…………
则每月工资为1900元的工人每月应纳税款元.
三、解答题
11、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大？并求出最大利润.
12、一根均匀的轻质弹簧，已知在600N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100N的拉力作用下，长度为0.55,在300N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？
13、如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP，设AP=
（1）写出AP+2PM关于的函数关系式；
（2）求此函数的最值.
14、在底边BC=60,高AD=40的△ABC中作内接矩形MNPQ.设矩形的面积为S，MN=，写出S与之间的函数关系式，并求其定义域和值域.
15、某林场现有木材300003,如果每年平均增长5%，问大约经过多少年木材可以增加到400003?
【素质提高】
16、某房地产公司要在荒地ABCDE（如图）上划出
一块长方形的地面修建一座公寓楼.问如何设计才能使
公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积.
17、在测量某物理量的过程当中，因仪器和观察
的误差，使得次测量分别得到共个数
据.我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”是
这样一个量：与其它近似值比较，与各数据的平方和最小.依此规定，从推出的值.
18、某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间（小时，且规定早上6点时）的函数关系为W=100.水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空），又不会使水溢出？
2.6函数的应用举例
1、D2、C3、D4、B5、D6、7、8、[0，40]9、10、8511、售价定为12元时可获最大利润160元12、0.5013、（1）；（2）当时，当时14、，定义域为{|060}，值域为{S|0S≤600}15、6年16、与AE平行的长方形的一边长为时，公寓楼的地面面积最大为17、18、第4级

高考数学圆锥曲线的综合问题复习教案

§9.8圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系：
将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交点个数：
①当a＝0或a≠0，⊿＝0时,曲线和直线只有一个交点；②当a≠0,⊿0时,曲线和直线有两个交点；③当⊿0时,曲线和直线没有交点。
(2)弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★
重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法；理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为.
点拨：设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，结合图形，，当共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
[例1]设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）
A．[－，]B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析]易知抛物线的准线与x轴的交点为Q(－2,0)，
于是，可设过点Q(－2,0)的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得，应选C.
【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1.（09摸底）已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),直线与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线的方程；(2)求m的取值范围.
[解析]（1）设圆上的动点为压缩后对应的点为，则，
代入圆的方程得曲线C的方程：
（2）∵直线平行于OM，且在y轴上的截距为m,又,
∴直线的方程为.由,得
∵直线与椭圆交于A、B两个不同点，∴
解得.∴m的取值范围是.
题型2：与弦中点有关的问题
[例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
[解析](Ⅰ)设，
因为,所以化简得:
(Ⅱ)设
当直线⊥x轴时,的方程为,则,它的中点不是N,不合题意
设直线的方程为将代入得
…………(1)…………(2)
(1)－(2)整理得:
直线的方程为即所求直线的方程为
解法二:当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.故设直线的方程为,
将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入(1)式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程。
[解析]设弦所在直线与椭圆交于两点，则
，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
3.已知直线y＝－x＋1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y＝0上，求此椭圆的离心率
[解析]设，AB的中点为,
代入椭圆方程得，,两式相减,得.
AB的中点为在直线上，，
，而
题型3：与弦长有关的问题
[例3](山东泰州市联考)已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？

【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△面积的最大值取得的条件
[解析]（1）将代入得，
由△可知，弦长AB，解得；
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，即，即位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4.(山东省济南市高三统一考试)
已知椭圆与直线相交于两点．
（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦的长度；
[解析]（1）由已知得：，∴
所以椭圆方程为：
（2），由，得
∴∴
（文）已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．
（文）解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．设，，
联立得．则．
所以．
故线段DE的长为．
考点2：对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
【新题导练】
[例4]若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M交椭圆＝1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程．
[解析]，设，则
又，，两式相减得：，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
所以直线l的方程为：8x－9y＋25＝0.
5.已知抛物线y2＝2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
求证：点A、B关于x轴对称；
[解析]设，，，
，即，
，，，故点A、B关于x轴对称
6.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围.
[解析]（1）当时，曲线上不存在关于直线对称的两点．
（2）当k≠0时，设抛物线y2＝4x上关于直线对称的两点，AB的中点为，则直线直线的斜率为直线，可设
代入y2＝4x得
，
在直线y＝kx＋3上，，
代入得即,又恒成立，所以－1＜k＜0．
综合（1）（2），k的取值范围是（－1，0）
考点3圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
[解析]由，得
由，得此时
由，得，∴
即，故由，得
∴由得，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【新题导练】
7.已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。

[解析]由，设
，
，，解得或
又或
8.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
[解析]设，，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为，
将它代入得
由得即
，
将代入得
当且仅当即时取等号，此时，
所以，点M为或时，到y轴的最短距离最小，最小值为．
9.直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，直线过点P（－2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
[解析]由消去y得：
解得
设M（x0，y0）则
三点共线
令上为减函数.
10.已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求的最小值；
（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值为
（2）最大值为10＋|BC|＝；最小值为10－|BC|＝．
考点4定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6]已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明：设知
同理
①当，
从而有设PQ的中点为，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y＝x2－2m2x－(2m2＋1)(m∈R)，则抛物线C恒过定点
[解析](－1,0)[令x＝－1得y＝0]
12.试证明双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
[解析]双曲线上任意一点为，
它到两渐近线的距离之积
考点6曲线与方程
题型：用几种基本方法求轨迹方程
[例7]已知抛物线C：y2＝4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
［解析］由抛物线y2＝4x,得焦点F(1,0),准线x＝－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|＝e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2＝x－1(x＞1)
[名师指引]求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
【新题导练】
13.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是.
[解析][相关点法]
14.过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
[解析]右焦点（2，0），设
得，，直线l的斜率
又,,两式相减得,
把，，代入上式得
15.已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；
[解析]（1）由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，
点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．
16.(广东实验中学)已知圆C:.
(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.
(3)若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.
解析（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意……1分
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即…2分
设圆心到此直线的距离为，则，得
∴，，………4分故所求直线方程为3x－4y＋5＝0
综上所述，所求直线为3x－4y＋5＝0或x＝1……………5分
(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0,0)
∵，∴即，………7分
又∵，∴…………9分
直线m//y轴，所以，,∴点的轨迹方程是()……10分
（3）设Q坐标为(x,y)，，，……11分
又()可得：
.………13分
…………14分
★课后训练★
基础巩固训练
1.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示
（A）焦点在x轴上的椭圆（B）焦点在y轴上的椭圆
（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线
1.[解析]B.由知，
2.已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（）
（A）12（B）24（C）48（D）与椭圆有关
2.[解析]C[由椭圆的对称性可知];
3.已知点F（，直线，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（）
A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线
3.[解析]D.[MB＝MF]
4.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条.
4.[解析]3；垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
5.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是．
5.[解析]≤;
6.若双曲线与圆有公共点，则实数的取值范围为.
6.[解析][]
综合提高训练
7.已知抛物线的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为
7.[解析]12x—23y—2＝0记住结论：
8.已知椭圆，直线l到原点的距离为求证：直线l与椭圆必有两上交点.
8.[解析]证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：
不妨取代入曲线E的方程得：
即G（，），H（，－）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：
由题意知：
由
∴直线l与椭圆E交于两点,综上，直线l必与椭圆E交于两点
9.求过椭圆内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．
9.［解析］解：设动弦PQ的方程为，设P（），Q（），M（），则：①②
①－②得：
当时，
由题意知，即③
③式与联立消去k，得④
当时，k不存在，此时，，也满足④．
故弦PQ的中点M的轨迹方程为：
10.已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．
10.[解析]直线的方程为，将，
得:．
设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，
则又，
∴．
∵，∴．
解得．
11.过抛物线的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2＋2y2＝2相交，求k的取值范围．
11.解析：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为
由得2分
∴故
由，解得k≥1
由得8分
由，解得k23因此1≤k23
∴k的取值范围是[，－1]∪[1，]
12.在直角坐标平面内，已知两点A（－2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。
（Ⅰ）证明|PA|＋|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；

12.解：）连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常数）。
又|PA|＋|PB||AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a＝6，2c＝4，∴椭圆方程为

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