高三数学知识点:空间几何体
一、柱、锥、台、球的结构特征
结构特征
图例
棱柱
(1)两底面相互平行,其余各面都是平行四边形;
(2)侧棱平行且相等.
圆柱
(1)两底面相互平行;(2)侧面的母线平行于圆柱的轴;
(3)是以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱锥
(1)底面是多边形,各侧面均是三角形;
(2)各侧面有一个公共顶点.
圆锥
(1)底面是圆;(2)是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱台
(1)两底面相互平行;(2)是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分.
圆台
(1)两底面相互平行;
(2)是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分.
球
(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.
二、简单组合体的结构特征
三、空间几何体的三视图
定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下)
注:
正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
四、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点:
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。
五、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,h为斜高,l为母线)
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
(4)球体的表面积和体积公式:
高三数学知识点:点线面的位置关系
一、平面
①面的概念:A.描述性说明;B.平面是无限伸展的;
②平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC。
③点与平面的关系:点A在平面α内,记作A∈α;点A不在平面α内,记作Aα;
点与直线的关系:点A的直线l上,记作:A∈l;点A在直线外,记作Al;
直线与平面的关系:直线l在平面α内,记作l∈α;直线l不在平面α内,记作lα。
二、平面公理
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
公理1的作用:检验桌面是否平;判断直线是否在平面内
公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据
公理3的作用:
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
三、空间直线与直线之间的位置关系
①异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质:既不平行,又不相交。
③异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线
④异面直线所成角:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a’∥a,b’∥b,则把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。
说明:
(1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理
(2)在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关。
②求异面直线所成角步骤:
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角
C、利用三角形来求角
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。
四、空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
直线不在平面内(直线在平面外):相交(只有一个公共点);平行(没有公共点)
三种位置关系的符号表示:aαa∩α=Aa∥α
[要点]1.函数y=f(x)具有奇偶性的必要条件是它的定义域是关于原点对称的区间,否则就是非奇非偶函数;2.如果函数y=f(x)的定义域是关于原点对称的区间,则奇函数f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0;偶函数f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0.3.在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;4.研究函数的单调性,首先必须弄清它的定义域;5.判断函数单调性的基本方法是:用定义,比较法(三种)和下列结论:①在公共定义域内,有限个增函数之和仍是增函数,有限个减函数之和仍是减函数;②设y=f(x)是定义区间内的正值单调函数,则在定义区间内,f2(x)与f(x)具有相同的单调性;③在定义区间内,两个正值增函数的乘积仍是增函数;④函数u=u(x)是x的增(减)函数,y=f(u)是u的增(减)函数,则y=f[u(x)]是x的增函数.
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高三数学下册《函数》知识点
1.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
(3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期为2的周期函数;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a0,a≠1,b0,n∈R+);
(2)logaN=(a0,a≠1,b0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)alogaN=N(a0,a≠1,N0);
8.判断对应是否为映射时,抓住两点:
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。
10.对于反函数,应掌握以下一些结论:
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合
二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12.依据单调性
利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;
13.恒成立问题的处理方法
(1)分离参数法;
(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
练习题:
1.设集合M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则M∪N=()
A.{0}B.{0,2}
C.{-2,0}D.{-2,0,2}
解析M={x|x(x+2)=0.,x∈R}={0,-2},N={x|x(x-2)=0,x∈R}={0,2},所以M∪N={-2,0,2}.
答案D
2.设f:x→|x|是集合A到集合B的映射,若A={-2,0,2},则A∩B=()
A.{0}B.{2}
C.{0,2}D.{-2,0}
解析依题意,得B={0,2},∴A∩B={0,2}.
答案C
3.f(x)是定义在R上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点在函数f(x)图象上的是()
A.(3,-2)B.(3,2)
C.(-3,-2)D.(2,-3)
解析∵f(x)是奇函数,∴f(-3)=-f(3).
又f(-3)=2,∴f(3)=-2,∴点(3,-2)在函数f(x)的图象上.
答案A
文章来源:http://m.jab88.com/j/56899.html
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