【命题趋向】
1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有.
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意:
1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过设而不求,整体代入来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如an与Sn的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳.
5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果.
7.数列应用题将是命题的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【考点透视】
1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题.
4.数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决.
【例题解析】
考点1正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式.
典型例题
例1.(2006年广东卷)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆正三棱锥形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第2,3,4,…堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f(n)表示第n堆的乒乓球总数,则;(答案用n表示).
思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4,…推测出第n层的球数。
解答过程:显然.
第n堆最低层(第一层)的乒乓球数,,第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和,即
所以:
一名合格的教师要充分考虑学习的趣味性,教师要准备好教案,这是教师需要精心准备的。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。所以你在写教案时要注意些什么呢?为满足您的需求,小编特地编辑了“09年高考英语新题型阅读表达题的解题技巧”,仅供参考,欢迎大家阅读。
高考英语新题型阅读表达题的解题技巧
阅读表达题是2007年山东省出现的新题型。该题是一种综合性的题型,既考查学生的阅读理解能力,又考查书面表达能力,真可谓"一箭双雕"!同时,这类题目不但选材新颖、时代性强,而且体裁多样、结构严谨、层次分明,是一种不错的试题。然而,同学们对这一新题型却感到束手无策,不知从何下笔。针对这一情况,我们应在平时的训练中要不断总结做题方法,探索答题规律,掌握这类题目的解题技巧。下面让我们一起对这个新题型来个"庖丁解牛",全面剖析一下它的内部结构。
通过对近2年高考试题的研究,我们不难发现这类试题的设题题型有以下几种:主旨概括题、句子替换题、句子填空题、翻译句子题、封闭性问题和开放性问题等。为了易于掌握,我们分别进行分析。
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(结果用分数表示).
[考查目的]本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.
[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有种,左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以,将符合条件的长篇小说任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是种.所以,填.
例8.(2006年浙江卷)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.由甲,乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为,求n.
[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答](I)记取到的4个球全是红球为事件.
(II)记取到的4个球至多有1个红球为事件,取到的4个球只有1个红球为事件,取到的4个球全是白球为事件.
由题意,得
所以,,
化简,得解得,或(舍去),
故.
例9.(2007年全国I卷文)
某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.
(Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;
(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](Ⅰ)记表示事件:位顾客中至少位采用一次性付款,则表示事件:位顾客中无人采用一次性付款.
,.
(Ⅱ)记表示事件:位顾客每人购买件该商品,商场获得利润不超过元.
表示事件:购买该商品的位顾客中无人采用分期付款.
表示事件:购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款.
则.
,.
.
例10.(2006年北京卷)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;
(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)
[考查目的]本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.
[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,
则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.
(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率
p1=P(A·B·)P(·B·C)P(A··C)P(A·B·C)
=a×b×(1-c)(1-a)×b×ca×(1-b)×ca×b×c=abbcca-2abc.
应聘者用方案二考试通过的概率
p2=P(A·B)P(B·C)P(A·C)=×(a×bb×cc×a)=(abbcca)
(Ⅱ)p1-p2=abbcca-2abc-(abbcca)=(abbcca-3abc)
≥=.
∴p1≥p2
例11.(2007年陕西卷文)
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.(注:本小题结果可用分数表示)
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](Ⅰ)记该选手能正确回答第轮的问题的事件为,则,,,,
该选手进入第四轮才被淘汰的概率.
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地,设离散型随机变量可能取的值为,,……,,……,取每一个值(1,2,……)的概率P()=,则称下表.
…
…
PP1P2…
…
为随机变量的概率分布,简称的分布列.
由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:
(1),1,2,…;(2)…=1.
②常见的离散型随机变量的分布列:
(1)二项分布
次独立重复试验中,事件A发生的次数是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n,并且,其中,,随机变量的分布列如下:
01…
…P
…
称这样随机变量服从二项分布,记作,其中、为参数,并记:.
(2)几何分布
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量,表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量的概率分布为:
123…k…
Ppqp
…
…
例12.(2007年四川卷理)
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.
(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望.
(注:本小题结果可用分数表示)
[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.
[解答过程]解法一:(Ⅰ)记该选手能正确回答第轮的问题的事件为,则,,,
该选手被淘汰的概率
.
(Ⅱ)的可能值为,,
,
.
的分布列为
123
.
解法二:(Ⅰ)记该选手能正确回答第轮的问题的事件为,则,,.
该选手被淘汰的概率.
(Ⅱ)同解法一.
考点3离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
(1)离散型随机变量的数学期望:…;期望反映随机变量取值的平均水平.
⑵离散型随机变量的方差:……;
方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
⑶基本性质:;.
(4)若~B(n,p),则;D=npq(这里q=1-p);
如果随机变量服从几何分布,,则,D=其中q=1-p.
例14.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:
ε012η012
P
P
则比较两名工人的技术水平的高低为.
思路启迪:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.
解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:
,
;
工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:
,
由Eε=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但DεDη,可见乙的技术比较稳定.
小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.
例15.(2007年全国I理)
某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
12345
0.40.20.20.10.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
(Ⅰ)求事件:购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款的概率;
(Ⅱ)求的分布列及期望.
[考查目的]本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答过程](Ⅰ)由表示事件购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款.
知表示事件购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款
,.
(Ⅱ)的可能取值为元,元,元.
,
,
.
的分布列为
(元).
小结:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力.
例16.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分别是
A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25
解答过程:易得没有改变,=70,
而s2=[(x12x22…5021002…x482)-482]=75,
s′2=[(x12x22…802702…x482)-482]
=[(75×48482-1250011300)-482]
=75-=75-25=50.
答案:B
考点4抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.
2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).
3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.
总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.
当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.
总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距
典型例题
例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.
解答过程:A种型号的总体是,则样本容量n=.
例18.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为,那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同,若,则在第7组中抽取的号码是.
解答过程:第K组的号码为,,…,,当m=6时,第k组抽取的号的个位数字为mk的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3,所以抽取号码为63.
例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:
171163163166166168168160168165
171169167169151168170160168174
165168174159167156157164169180
176157162161158164163163167161
⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图.
思路启迪:确定组距与组数是解决总体中的个体取不同值较多这类问题的出发点.
解答过程:⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。确定组距为3,组数为10,列表如下:
⑵频率分布直方图如下:
小结:合理、科学地确定组距和组数,才能准确地制表及绘图,这是用样本的频率分布估计总体分布的基本功.
估计总体分布的基本功。
考点5正态分布与线性回归
1.正态分布的概念及主要性质
(1)正态分布的概念
如果连续型随机变量的概率密度函数为,x其中、为常数,并且0,则称服从正态分布,记为(,).
(2)期望E=μ,方差.
(3)正态分布的性质
正态曲线具有下列性质:
①曲线在x轴上方,并且关于直线x=μ对称.
②曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由μ确定;曲线的形状由确定,越大,曲线越矮胖;反之越高瘦.
(4)标准正态分布
当=0,=1时服从标准的正态分布,记作(0,1)
(5)两个重要的公式
①,②.
(6)与二者联系.
①若,则;
②若,则.
2.线性回归
简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法.
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型:确定性的函数关系和不确定的函数关系.不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循.回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.
具体说来,对n个样本数据(),(),…,(),其回归直线方程,或经验公式为:.其中,其中分别为||、||的平均数.
例20.如果随机变量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,则P(-1ξ≤1=等于()
A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)
C.Φ(2)-Φ(4)D.Φ(-4)-Φ(-2)
解答过程:对正态分布,μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P(-1ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).
答案:B
例21.将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d℃,液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ~N(d,0.52).
(1)若d=90°,则ξ89的概率为;
(2)若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99,则d至少是?(其中若η~N(0,1),则Φ(2)=P(η2)=0.9772,Φ(-2.327)=P(η-2.327)=0.01).
思路启迪:(1)要求P(ξ89)=F(89),
∵ξ~N(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是Φ(2),Φ(-2.327),故需转化为标准正态分布的数值.
(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p≥0.99,解d.
解答过程:(1)P(ξ89)=F(89)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.9772=0.0228.
(2)由已知d满足0.99≤P(ξ≥80),
即1-P(ξ80)≥1-0.01,∴P(ξ80)≤0.01.
∴Φ()≤0.01=Φ(-2.327).
∴≤-2.327.
∴d≤81.1635.
故d至少为81.1635.
小结:(1)若ξ~N(0,1),则η=~N(0,1).(2)标准正态分布的密度函数f(x)是偶函数,x0时,f(x)为增函数,x0时,f(x)为减函数.
例22.设,且总体密度曲线的函数表达式为:,x∈R.
(1)则μ,σ是;(2)则及的值是.
思路启迪:根据表示正态曲线函数的结构特征,对照已知函数求出μ和σ.利用一般正态总体与标准正态总体N(0,1)概率间的关系,将一般正态总体划归为标准正态总体来解决.
解答过程:⑴由于,根据一般正态分布的函数表达形式,可知μ=1,,故X~N(1,2).
.
又
.
小结:通过本例可以看出一般正态分布与标准正态分布间的内在关联.
例23.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身高ε~N(173,7)(单位:cm),则车门应设计的高度是(精确到1cm)?
思路启迪:由题意可知,求的是车门的最低高度,可设其为xcm,使其总体在不低于x的概率小于1%.
解答过程:设该地区公共汽车车门的最低高度应设为xcm,由题意,需使P(ε≥x)1%.
∵ε~N(173,7),∴。查表得,解得x179.16,即公共汽车门的高度至少应设计为180cm,可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
【专题训练与高考
文章来源:http://m.jab88.com/j/56858.html
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