一名优秀负责的教师就要对每一位学生尽职尽责，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助授课经验少的高中教师教学。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？下面是小编为大家整理的“高三数学不等式的证明教案15”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

6.3不等式的证明I
一、明确复习目标
1．理解不等式的性质和证明;
2．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
二．建构知识网络
1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：
（1）比差法：步骤是：①作差；②分解因式或配方；③判断差式符号；
（2）比商法：要证ab且b0，只须证1。
说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行判断；
②证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必须确定两式的符号；
2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。
3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式,综合法是分析法的逆过程
4．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。
5.要掌握证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。
三、双基题目练练手
1.设0＜x＜1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是()
A.aB.bC.cD.不能确定
2.（2005春上海）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.设（0，+∞），则三个数，，的值（）
A.都大于2B.都小于2
C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2
4.对于满足0≤≤4的实数，使恒成立的的取值范围是．
5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+≥2.其中一定成立的是__________.
6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为____________.

◆简答:1-3.CAD;4.;5.①②;
6.设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2＞v＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1==.
∵v1－v2=－v2=－＜0，
∴v1＜v2.答案：v1＜v2
四、经典例题做一做
【例1】（1）已知a,b∈R,求证:a2+b2+1ab+a
（2）设求证
证明：（1）p=a2+b2+1-ab-a
=
=
显然p0∴得证

（2）证法一:左边-右边=
=
==∴原不等式成立。
证法二:左边0，右边0。
∴原不等式成立。
◆提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。
【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.
证明法一：（综合法）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）2＝0.
展开得ab+bc+ca=－，
∴ab+bc+ca≤0.
法二：（分析法）要证ab+bc+ca≤0，
∵a+b+c=0，
故只需证ab+bc+ca≤（a+b+c）2，
即证a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，
亦即证［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．
而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，
∴原不等式成立.
证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.
∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2
＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．
∴ab+bc+ca≤0.

【例3】已知的三边长为且为正数.求证:
证明一:分析法:要证
只需证
①
∵在ΔABC中,
∴①式成立,从而原不等式成立.
证明二:比较法:
证明二:因为为的三边长,所以
【例4】设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的两根x1、x2满足1＜x1＜x2＜.
（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1；
（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0＜.
证明：（1）令F（x）=f（x）－x，
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.
当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，
∴（x－x1）（x－x2）＞0.
又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，
即x＜f（x）.
又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，
∵0＜x＜x1＜x2＜，x1－x＞0，
1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，
∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.
综上，可知x＜f（x）＜x1.
（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2
对称轴为x=x0=－=,()
法2:由题意知x0=－.
∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，
即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，
∴x1+x2=－.
∴x0=－==.
又∵ax2＜1，∴x0＜=.
题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特别的关注,体会方法,积累经验.
【研讨.欣赏】已知a＞1，m＞0，求证：loga（a+m）＞loga+m（a+2m）.
证法1：
取对数得：lg(a+m)－lgalg(a+2m)－lg(a+m)＞0①
又lgalog(a+m)即②
①×②得:
即loga（a+m）＞loga+m（a+2m）
(常见形式logn(n+1)log(n+1)(n+2))

法2：loga（a+m）－log（a+m）（a+2m）
=－
=
∵a＞1，m＞0，
∴lga＞0，lg（a+2m）＞0，且lga≠lg（a+2m）.
∴lgalg（a+2m）＜［（）］2
=［］2＜［］2=lg2（a+m）.
∴＞0.
∴loga（a+m）＞log（a+λ）（a+2m）.
提炼方法:1.综合法,为什么想到用“”——感觉式子的结构特征;
2.比较法.把对数的积用均值不等式化为对数的和是一步关键的决择.
五．提炼总结以为师
1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用非常广泛，一定要熟练掌握.
步骤是：作差→变形(分解因式或配方)→判断符号.
对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必须弄清两式的符号.
2.对较复杂的不等式需要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.
3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也需要几种方法综合运用.
4.要熟练掌握均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。
同步练习6.3不等式的证明I
【选择题】
1.设x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，则()
A.x+y≤2+2B.x+y≥2+2
C.x+y≤（+1）2D.x+y≥（+1）2
2.若0ab且a+b=1，则四个数，b，2ab，a2+b2中最大的是()
A.B、bC、2abD、a2+b2
3.已知x0，f(x)=，则
A、f(x)≤2B、f(x)≥10C、f(x)≥6D、f(x)≤3
4.已知，（a2），则A
A、pqB、pqC、p≥qD、p≤q
【填空题】
5.要使不等式≤对所有正数x，y都成立，则k的最小值是_____
6.给出下列不等式,其中正确不等式的序号是_______
；
，
◆练习简答：1-4.BBCA；5.;6.(2)(3)
【解答题】
7.(1)已知a、b、x、y∈R+且＞，x＞y.求证：＞
(2)若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求证a+b≤2，ab≤1．jaB88.CoM

证明(1)法一.（作差比较法）
∵－=，
又＞且a、b∈R+，
∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.
∴＞0，即＞.
证法二：（分析法）
∵x、y、a、b∈R+，∴要证＞，
只需证明x（y+b）＞y（x+a），即证xb＞ya.
而由＞＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，
知xb＞ya显然成立.故原不等式成立.
(2)(作差比较法)
因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以
(a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0，
即(a+b)3≤23．
又a+b0,∴a+b≤2.又∵∴ab≤1.
8．己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明:
成等比数列，
都是正数，
9.设x0,y0且x≠y,求证
证明：由x0,y0且x≠y,要证明
只需即
只需
由条件,显然成立.∴原不等式成立
10.求证：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+ha＞b+hb.
证明：设S表示△ABC的面积，则
S=aha=bhb=absinC.
∴ha=bsinC，hb=asinC.
∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC
=（a－b）（1－sinC）.
∵C≠，∴1－sinC＞0.
∴（a－b）（1－sinC）＞0.
∴a+ha＞b+hb.
【探索题】已知x,y,z∈(0,1)且x+y+z=2,记u=xy+yz+zx,求证：
证明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx
==4,故。又
三式相加得
,两边加上得
∴u1,原不等式得证。

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不等式证明

题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
2．掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3．搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
如：；
④利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由题意得
证法一：（比较法）
，，
证法二：（放缩法）
，
证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）
证法四：（反证法）假设，
则
由a+b=1，得，于是有
所以，
这与矛盾
所以
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
证法六：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：
证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：
∴只需证，
即证，此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：
分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知
证明：（综合法），
例5已知
的单调区间；
(2)求证：
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结：
1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度
学生练习
1设，求证：
证明：
=
=
=
，则
故原不等式成立
点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：
（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明：
成等比数列，
都是正数，
点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数，当满足时，证明：对于任意实数都成立的充要条件是
证明：
（1）若，则
(2)当时，
故原命题成立
4．比较的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
证明：
7．若，求证ab与不能都大于
证明：假设ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求证：a+b
证明：假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13设都正数，求证：
证明：
，
14设且，求证：
证法1若，，
这与矛盾，
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？
解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（三）

高二数学教案：《不等式的证明》教学设计（三）

第四课时

教学目标

1．掌握分析法证明不等式；

2．理解分析法实质——执果索因；

3．提高证明不等式证法灵活性.

教学重点 分析法

教学难点 分析法实质的理解

教学方法 启发引导式

教学活动

（一）导入新课

（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评．

（学生活动）回答和思考教师提出的问题．

［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法．（板书课题）

设计意图：复习已学证明不等式的方法．指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，

激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式．

（二）新课讲授

【尝试探索、建立新知】

（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评．帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系．投影分析法证明不等式的概念．

（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知．

[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式．

［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立．就是分析法的逻辑关系．

[投影]分析法证明不等式的概念．（见课本）

设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究．建立新的知识；分析法证明不等式．培养学习创新意识．

【例题示范、学会应用】

（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题．

（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

（证法二正确，证法一错误．错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误．）

设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学．

【分析归纳、小结解法】

（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法．

（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．

1．分析法是证明不等式的一种常用基本方法．当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的．

2．用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式．

设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法．

（三）小结

（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

本节课主要学习了用分析法证明不等式．应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等．在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质．另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用．理解分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程．

设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

（四）布置作业

（五）课后点评

教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务．总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态．

本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合．在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化．教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括．在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法．

在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构．

作业答案：

说明 许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。

高三 数学 不等式 会考复习

不等式会考复习
知识提要
一、不等式性质
3、同向不等式可相加，不可相减：且，则；
4、正项同向不等式可相乘，不可相除：，且，则；
5、乘法法则：,则；
6、开方法则：，则；
7、倒数不等式：，或时，有；
时，；
8、函数

重要不等式
1、如果，那么（当且仅当时取“=”号）
2、如果是正数，那么（当且仅当时取“=”号）
3、若，则
（当且仅当时取“=”号）
4、若，则（当且仅当时取“=”号）
5、
二、不等式证明
比较法(作差法、作商法)、分析法、综合法(综合法—由因导果，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用综合法写出证明过程)、反证法、换元法(三角换元)、放缩法、函数法(利用函数单调性)等
三、不等式解法
1、含绝对值不等式的解法：
(1)、
(2)、
(3)、
2、含多个绝对值的不等式：零点区间讨论法
3、高次不等式：数轴标根法
4、分式不等式：整式不等式
；
；
四、绝对值不等式和含参不等式
1、含绝对值不等式的性质定理及推论定理:1、|a|-|b||a+b||a|+|b|
2、|a|-|b||a-b||a|+|b|
推论:|a1+a2+a3||a1|+|a2|+|a3|
2、含参不等式
针对参数进行正确地分类；分类讨论思想的运用
典例解读
1.设a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2三者的大小关系为_________

2.已知三个不等式：①ab＞0，②-ca＜-db，③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成___个正确的命题
3.已知正数x,y满足x+2y=1,求的最小值

4.若恒成立.则常数a的取值范围是___________

5.“a＞0且b＞0”是“”成立的()
(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件

6.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是()
(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地
(C)同时到达(D)不能判定

7.方程的解集是()
(A)(-1，0)∪(3，+∞)(B)(-∞，-1)∪(0，3)
(C)(-1，0)∪[3，+∞](D)(-∞，-1)∪[0，3]

8.不等式ax2-bx+c＞0的解集是(-1/2，2)，对于a、b、c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________

9.如果函数y＝log(1/3)(x2-2ax+a+2)的单调递增区间是(-∞，a)，那么实数a的取值范围是__________

10.解不等式：
12.设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围

13.在某两个正数x,y之间，若插入一个正数a,使x,a,y成等比数列；若另插入两个正数b,c,使x,b,c,y成等差数列，求证：(a+1)2≤(b+1)(c+1)

14.已知f(x)是偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f(2a2-3a+2)0的解集,求实数m,n
15.关于x的不等式(a+b)x+(2a-3b)<0>

16.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x>0,y>0,满足
(1)求f(1)的值；
(2)若f(2)=1，解不等式

高三数学不等式的性质教案14

第六章不等式总览
知识结构网络
6.1不等式的性质
一、明确复习目标
掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题
二．建构知识网络
1.比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：ab;ab;a=b；
；；．
以此可以比较两个数（式）的大小，——作差比较法．
或作商比较：a0时,；a0时,.
2．不等式的性质：
（1）对称性:，
证明：（比较法）
（2）传递性:，
（3）可加性:.
移项法则:
推论：同向不等式可加.
（4）可乘性:，
推论1：同向(正)可乘:
证明：（综合法）
推论2：可乘方(正):
(5)可开方(正):
证明：（反证法）
不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强
三、双基题目练练手
1.(2006春上海)若，则下列不等式成立的是()
A..B..C..D..
2.(2004北京）已知a、b、c满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（）
A．B．C．D．
3.对于实数，下命题正确的是()
A.若ab,则.B.若,则.
C.若,则.D.若ab0,dc0,则
4.（2004春北京）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
5.(2004辽宁)对于，给出下列四个不等式
①②
③④
其中成立的是_________

6.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，的由大到小的顺序是____________.
练习简答:1-4.CCCD;5.②与④;6.特殊值法,答案：＞＞＞
四、经典例题做一做
【例1】已知a2，b≤2a，c＝b-2a，
求c的取值范围．?
解：∵b≤2a
∴c=b-2a≤0,
∴b-4-2a=．
∴c的取值范围是：c≤0．?
【例2】设f(x)=ax2+bx,且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(－2)的取值范围
解：由已知1≤a－b≤2,①,2≤a+b≤4②
若将f(－2)=4a－2b用a－b与a+b,表示，则问题得解
设4a－2b=m(a－b)+n(a+b),(m,n为待定系数)
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得得：m=3,n=1
由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10
即5≤f(－2)≤10,
另法：由得
∴f(－2)=4a－2b=3f(－1)+f(1)……
◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a－2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释.
【例3】(1)设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，比较A与B的大小.
(2)设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.
解:(1)A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）
=x－n（x2n+1－x2n－1－x）
=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］
=x－n（x－1）（x2n－1－1）.
由x∈R+，x－n＞0，得
当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；
当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即
x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.
(2)∵0＜x＜1，所以
①当3a＞1，即a＞时，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|
=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］
=－3log3a（1－x2）.
∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.
②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］
=3log3a（1－x2）＞0.
综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.
◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号.
【例4】已知函数，，试比较与的大小．
解作差—
=
当时，得
=。
（2）当时，,所以
①当时，
得
=。
②当时，得
③当时，得
综上所述：当或时
=。
当且时
。
当且时
。

【研讨.欣赏】已知abc，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2
（1）证明：－；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
解：（1）abc，a+b+c=0,
∴
且a0，
∴1，
(2)(方法1)a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根为1，
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2=0(3ca+b+c=0)，∴x2=－1
∴x12－x1x2+x22=3
(方法2)x1+x2=－，x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－x1x2==1，
∴
∴x12－x1x2+x22=x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
五．提炼总结以为师
1.熟练掌握准确运用不等式的性质。
2.比较两数大小，一般用作差法。步骤：作差---变形(分解因式或配方)---判断符号
3.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.

同步练习6.1不等式的性质
【选择题】
1.(2006浙江)“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件
2．（2006江西）若,则不等式等价于（）
A.B.
C.D.
3.(2004湖北)若，则下列不等式①；②③；
④中，正确的不等式有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.“不等式a3+b3+c3≥3abc”成立的充要条件是()
A.a+b+c≥0B.a+b+c≥0,3abc≥0
C.a0,b0,c0D.a≥0,b≥0,c≥0
【填空题】
5.已知a＞2，b＞2，则a+b与ab的大小关系是__________.
6.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=则A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是____________.
简答.提示：1-4.ADBA;4.a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3abc(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]≥0,=a+b+c≥0
5.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.
6.取特殊值a=－，计算可得A=，B=，C=，D=.
∴D＜B＜A＜C.
【解答题】
7.设实数a,b,c满足①b+c＝6-4a+3a2,②c-b＝4-4a+a2，试确定a,b,c的大小关系.

解:∵c-b＝(a-2)2≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a2，∴b＝1+a2,∴b-a＝a2-a+1＝(a-)2+0,∴ba，从而c≥ba.?

8.已知函数f(x)=x3+x证明:
(1)f(x)是增函数;
(2)若a,b,c∈R,且,a+b0,b+c0,c+a0,则f(a)+f(b)+f(c)0.
证明:(1)设x1x2
f(x1)-f(x2)=x13+x1-x23-x2
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1)①
当x1,x2同号时,①=(x1-x2)[(x1-x2)2+3x1x2+1)]0
当x1,x2异号时,①=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2+1)]0
综上有f(x1)f(x2),故f(x)是增函数.
(2)∵f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.又a+b0即a-b
∴f(a)f(-b)=－f(b),即f(a)+f(b)0.
同理,f(b)+f(c)0,f(a)+f(c)0.
三式相加得2[f(a)+f(b)+f(c)]0,所以f(a)+f(b)+f(c)0成立.
9.在等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1＝b10，a3＝b30，a1≠a3.试比较下面两组数的大小.
(1)a2与b2.
(2)(2)a5与b5.
解:设an＝a1+(n-1)d,bn＝a1qn-1，依题意a1+2d＝a1q2,∴d＝a1q2-a1,
∴(1)a2-b2＝a1+d-a1q＝a1-a1q+a１q2-a１＝aq2-a1q+１＝a(q-1)2，
∵a1≠a3，∴a1≠a1+2d，即d≠0,q≠1,
∴a2-b2＝a１(q-1)20,∴a2b2.
(2)a5-b5＝a1+4d-a1q4＝a1-a1q4+2a1q2-2a1＝-a1q4+2a1q2-a1＝-a1(q2-1)20,∴a5b5.?

10.1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.
解：（1+logx3）－2logx2=logx.
当或
即0＜x＜1或x＞时，
有logx＞0，1+logx3＞2logx2.
当①或②时，logx＜0.
解①得无解，解②得1＜x＜，
即当1＜x＜时，有logx＜0，
1+logx3＜2logx2.
当x=1，即x=时，有logx=0.
∴1+logx3=2logx2.
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2；
当x=时，1+logx3=2logx2.
【探索题】x、y是正实数,记
A(x,y)=,B(x,y)=
(1)证明:A(x,y)≤B(x,y)
(2)是否存在常数C,使得A(x,y)≤C≤B(x,y)恒成立?证明你的结论.
证明:(1)B(x,y)－A(x,y)=
∴A(x,y)≤B(x,y).
(2)鉴于二式中关于x,y的轮换对称性,令x=y,得A(x,y)=B(x,y)=
下证A(x,y)≤≤B(x,y)
同理.
所以,存在正常数C=,使A(x,y)≤C≤B(x,y)成立.
(2)法2:(放缩法)

文章来源：http://m.jab88.com/j/56462.html

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