作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。那么如何写好我们的高中教案呢？小编经过搜集和处理，为您提供高考数学（理科）一轮复习基本不等式及其应用学案有答案，供您参考，希望能够帮助到大家。

学案36基本不等式及其应用

导学目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
自主梳理
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：____________.
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥____(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．
(4)a＋b22____a2＋b22.
3．算术平均数与几何平均数
设a0，b0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________.
4．利用基本不等式求最值问题
已知x0，y0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．
自我检测
1．“ab0”是“aba2＋b22”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2011南平月考)已知函数f(x)＝12x，a、b∈(0，＋∞)，A＝fa＋b2，B＝f(ab)，C＝f2aba＋b，则A、B、C的大小关系是()
A．A≤B≤CB．A≤C≤B
C．B≤C≤AD．C≤B≤A
3．下列函数中，最小值为4的函数是()
A．y＝x＋4x
B．y＝sinx＋4sinx(0xπ)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
4．(2011大连月考)设函数f(x)＝2x＋1x－1(x0)，则f(x)有最________值为________．
5．(2010山东)若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围为________________．
探究点一利用基本不等式求最值
例1(1)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；
(2)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

变式迁移1(2011重庆)已知a0，b0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()
A.72B．4
C.92D．5
探究点二基本不等式在证明不等式中的应用
例2已知a0，b0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋1b)≥9.

变式迁移2已知x0，y0，z0.
求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.

探究点三基本不等式的实际应用
例3(2011镇江模拟)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)

变式迁移3(2011广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；a＋b2≥ab成立的条件是a，b∈R＋；ba＋ab≥2成立的条件是ab0，即a，b同号．
2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．
3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋bx，当a0，b0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a0，b0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a0，b0时函数在－ba，0，0，ba上是减函数，在－∞，－ba，ba，＋∞上是增函数；当a0，b0时，可作如下变形：y＝－－ax＋－bx来解决最值问题．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()
A．8B．4C．1D.14
2．(2011鞍山月考)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()
A．2B．4C．6D．8
3．已知a0，b0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()
A．2B．22C．4D．5
4．一批货物随17列货车从A市以akm/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400km，为了安全，两列车之间的距离不得小于a202km，那么这批货物全部运到B市，最快需要()
A．6hB．8hC．10hD．12h
5．(2011宁波月考)设x，y满足约束条件3x－y－6≤0x－y＋2≥0x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为()
A.256B.83C.113D．4
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．
7．(2011江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)已知0x43，求x(4－3x)的最大值；
(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．

10．(12分)(2011长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝920vv2＋3v＋1600(v0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？JAB88.cOM

11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．

学案36基本不等式及其应用
自主梳理
1．(1)a0，b0(2)a＝b2.(1)2ab(2)2(4)≤
3.a＋b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4.(1)x＝y小2p(2)x＝y大p24
自我检测
1．A2.A3.C
4．大－22－15.[15，＋∞)
课堂活动区
例1解题导引基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．
解(1)∵x0，y0，1x＋9y＝1，
∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y
＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16.
当且仅当yx＝9xy时，上式等号成立，又1x＋9y＝1，
∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(2)∵x54，∴5－4x0.
y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3
≤－25－4x15－4x＋3＝1，
当且仅当5－4x＝15－4x，
即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴2y＋8x＝1.
∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy
＝10＋24yx＋xy
≥10＋2×2×4yxxy＝18，
当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
变式迁移1C[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.
∴1a＋4b＝(1a＋4b)(a＋b2)＝52＋(2ab＋b2a)≥52＋22abb2a＝92(当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝1a＋4b的最小值为92.]
例2解题导引“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．
在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．
证明方法一因为a0，b0，a＋b＝1，
所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba.
同理1＋1b＝2＋ab.
所以(1＋1a)(1＋1b)＝(2＋ba)(2＋ab)
＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.
所以(1＋1a)(1＋1b)≥9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．
方法二(1＋1a)(1＋1b)＝1＋1a＋1b＋1ab
＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，
因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤(a＋b2)2＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，
因此(1＋1a)(1＋1b)≥1＋8＝9(当且仅当a＝b＝12时等号成立)．
变式迁移2证明∵x0，y0，z0，
∴yx＋zx≥2yzx0，
xy＋zy≥2xzy0，
xz＋yz≥2xyz0.
∴yx＋zxxy＋zyxz＋yz
≥8yzxzxyxyz＝8.
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
所以(yx＋zx)(xy＋zy)(xz＋yz)≥8.
例3解题导引1.用基本不等式解应用题的思维程序为：
由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．
解(1)依题意得
y＝(560＋48x)＋2160×100002000x
＝560＋48x＋10800x(x≥10，x∈N*)．
(2)∵x0，∴48x＋10800x
≥248×10800＝1440，
当且仅当48x＝10800x，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元)．
答当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．
变式迁移3解(1)由题意可设3－x＝kt＋1，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－2t＋1.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝323－2t＋1＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为
150%323－2t＋1＋3＋12t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝－t2＋98t＋352t＋1(t≥0)．
(2)y＝－t2＋98t＋352t＋1＝50－t＋12＋32t＋1
≤50－2t＋12×32t＋1＝50－216＝42(万元)，
当且仅当t＋12＝32t＋1，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．
课后练习区
1．B[因为3a3b＝3，所以a＋b＝1，
1a＋1b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab
≥2＋2baab＝4，当且仅当ba＝ab即a＝b＝12时，“＝”成立．]
2．B[不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1≥9，
∴a≥2或a≤－4(舍去)．
∴正实数a的最小值为4.]
3．C[因为1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab
＝21ab＋ab≥4，当且仅当1a＝1b且1ab＝ab，
即a＝b＝1时，取“＝”号．]
4．B[第一列货车到达B市的时间为400ah，由于两列货车的间距不得小于a202km，所以第17列货车到达时间为400a＋16a202a＝400a＋16a400≥8，当且仅当400a＝16a400，即a＝100km/h时成立，所以最快需要8h．]
5．A
6．18
解析由x0，y0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，
即(xy)2－22xy－6≥0，
∴(xy－32)(xy＋2)≥0.
又∵xy0，∴xy≥32，即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7．4
解析过原点的直线与f(x)＝2x交于P、Q两点，则直线的斜率k0，设直线方程为y＝kx，由y＝kx，y＝2x，得x＝2k，y＝2k或x＝－2k，y＝－2k，
∴P(2k，2k)，Q(－2k，－2k)或P(－2k，－2k)，Q(2k，2k)．
∴|PQ|＝2k＋2k2＋2k＋2k2
＝22k＋1k≥4.
8．(－∞，22－1)
解析由f(x)0得32x－(k＋1)3x＋20，解得k＋13x＋23x，而3x＋23x≥22，∴k＋122，k22－1.
9．解(1)∵0x43，∴03x4.
∴x(4－3x)＝13(3x)(4－3x)≤133x＋4－3x22＝43，(4分)
当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，“＝”成立．
∴当x＝23时，x(4－3x)的最大值为43.(6分)
(2)已知点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥22x4y＝22x＋2y＝223＝42.
(10分)
当且仅当2x＝4y，x＋2y＝3，即x＝32，y＝34时，“＝”成立．
∴当x＝32，y＝34时，2x＋4y的最小值为42.
(12分)
10．解(1)y＝920vv2＋3v＋1600＝920v＋1600v＋3≤
9202v×1600v＋3＝92083≈11.08.(4分)
当v＝1600v，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分)
(2)据题意有920vv2＋3v＋1600≥10，(8分)
化简得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
(12分)
11．解(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]
＝6x2－6x.(6分)
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝1x(6x2－6x＋600)＋1.5×400＝600x＋6x＋594.(9分)
∴y≥2600x6x＋594＝714，(12分)
当且仅当600x＝6x，即x＝10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元．(14分)

延伸阅读

《基本不等式及其应用》教学反思

《基本不等式及其应用》教学反思

本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用。基本不等式是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.

本堂课借助多媒体及教学软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果。整堂课主要采用“问题——思考——剖析——证明——应用”的流程，让学生通过思考问题、以及几何图形中面积或线段关系进一步验证相应的结论，然后再证明两个基本不等式，最后再运用基本不等式解决实际问题及求最值。

在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件。在教学过程中，尽管借助辨误的方式让学生初步领会基本不等式成立的三个限制条件在解决最值问题中的作用，但是学生依然会忽视限制条件，尤其是忘记检验等号取到时应满足的充要条件，因此，基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）将在第二课时重点学习与掌握。

在教学过程中始终“关注学生的思维发展”，通过对相应例题的变式思考，培养学生自行探索、解决问题的能力。但是，由于学生刚刚接触基本不等式，对于其结构特点比较陌生，当遇到符合相应结构特点的关系式时，暂时想不到运用基本不等式解题，这时可以放手让学生采用其它方法尝试，然后引导学生运用基本不等式解题，对比体现其优点，加深学生对于基本不等式运用的真实体验。

通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解类比代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想，逐步实现从知识结构的学习层次向能力水平的提高层次进行一定的转变与提升。

基本不等式

教案课件是老师上课中很重要的一个课件，大家应该要写教案课件了。只有制定教案课件工作计划，新的工作才会如鱼得水！你们会写适合教案课件的范文吗？小编特地为您收集整理“基本不等式”，仅供您在工作和学习中参考。

第04讲：基本不等式
高考《考试大纲》的要求：
①了解基本不等式的证明过程
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
（一）基础知识回顾：
1.定理1.如果a,b,那么，（当且仅当_______时，等号成立）.
2.定理2（基本不等式）：如果a,b0,那么______________（当且仅当_______时，等号成立）.
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3.基本不等式的几何意义是：_________不小于_________.如图

4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”）
即:（1）和、积中的每一个数都必须是正数；
（2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，；
简记为：和定积最_____，积定和最______.
（3）只有等号能够成立时，才有最值。
（二）例题分析：
例1．（2006陕西文）设x、y为正数，则有(x+y)(1x＋4y)的最小值为（）
A．15B．12C．9D．6

例2．函数的值域是_________________________.

例3（2001江西、陕西、天津文,全国文、理）设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？

（三）基础训练：
1.设且则必有()
(A)(B)
(C)(D)

2.（2004湖南理）设a＞0,b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）
（A）≥4（B）≥
（C）≥（D）≥
3.（2001春招北京、内蒙、安徽文、理）若为实数，且，则的最小值是（）
（A）18（B）6（C）（D）

4.已知a,b,下列不等式中不正确的是（）
（A）（B）
（C）（D）
5．（2005福建文）下列结论正确的是（）
A．当B．
C．的最小值为2D．当无最大值

6.已知两个正实数满足关系式,则的最大值是_____________.

7.若且则中最小的一个是__________.

8.（2005北京春招文、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

（四）拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东）若,P=,Q=,R=,则（）
（A）RPQ（B）PQR（C）QPR（D）PRQ

2．若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。
参考答案
第04讲：基本不等式
（二）例题分析：例1．C；例2．；
例3解：设画面高为xcm，宽为λxcm，则λx2=4840．
设纸张面积为S，有S=(x＋16)(λx＋10)=λx2＋(16λ＋10)x＋160，
将代入上式，得．
当时，即时，S取得最小值．
此时，高：，宽：．
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．
（三）基础训练：1.B；2.B；3.B；4.B5．B；6.2;7.
8.解：（Ⅰ）依题意，
（Ⅱ）由条件得
整理得v2－89v+16000,即（v－25）（v－64）0,解得25v64.
答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．

（四）拓展训练：1.B;
2．解：因为a、b是正数，所以，即，
法一：令，则，由ab=a+b+3≥2+3，得，（t0）
解得t≥3,即，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令，则由ab=a+b+3可知a+b+3=，得，（x0）
整理得，又x0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.

答：ab与a+b的取值范围分别是与。

高考数学（理科）一轮复习不等式的概念与性质学案（带答案）

第七章不等式、推理与证明
学案33不等式的概念与性质
导学目标：1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质，会应用不等式的性质解决与范围有关的问题．
自主梳理
1．不等关系
不等关系与等量关系一样，也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在．不等关系可分为常量与________间的不等关系(如30)，变量与________间的不等关系(如x5)，函数与________之间的不等关系(如x2＋1≥2x)等．
2．不等式
用________(如“”“”“≤”“≥”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式，其中用“”或“”连接的不等式叫做严格不等式；用“≤”“≥”连接的不等式叫做非严格不等式．不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母，不等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母，不等式都不能成立)．
3．两个实数大小的比较
(1)作差法：设a，b∈R，则aba－b0，aba－b0，这是比较两个实数大小和运用比较法的依据．
(2)作商法：依据：设a0，b0，则ab__________，
abab1.
4．不等式的性质
(1)对称性：ab________；
(2)传递性：ab，bc________；
(3)加法性质：ab________；
推论：ab，cd________；
(4)乘法性质：ab，c0________；
推论：ab0，cd0________；
(5)乘方性质：ab0________________________；
(6)开方性质：ab0________________________；
(7)倒数性质：ab，ab0________________.
自我检测
1．(2011大纲全国)下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是()
A．ab＋1B．ab－1
C．a2b2D．a3b3
2．若a，b是任意实数，且ab，则()
A．a2b2B.ba1
C．lg(a－b)0D.12a12b
3．(2011青岛模拟)设a0，b0，则以下不等式中不一定成立的是()
A．ab＋ba≥2
B．ln(ab＋1)0
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D．a3＋b3≥2ab2
4．(2011上海)若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()
A．a2＋b22abB．a＋b≥2ab
C.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2
5．(2010安徽)若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.
探究点一数与式的大小比较

例1(1)设xy0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
(2)已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n2时，比较cn与an＋bn的大小．

变式迁移1已知a2，b2，试比较a＋b与ab的大小．

探究点二不等式性质的简单应用

例2下面的推理过程
abacbccdbcbdacbdadbc，其中错误之处的个数是()
A．0B．1C．2D．3
变式迁移2(2011许昌月考)若ab0，则下列不等式中不成立的是()
A.1a1bB.1a－b1a
C．|a||b|D．a2b2
探究点三求字母或代数式范围问题
例3(1)已知12a60,15b36，求a－b及ab的取值范围．
(2)设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

变式迁移3(1)已知－π2≤α≤π2，0≤β≤π，则2α－β2的范围为________．
(2)(2010辽宁)已知－1x＋y4且2x－y3，则z＝2x－3y的取值范围为________．(答案用区间表示)
1．数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差(或作商)比较法；二是直接应用不等式的性质或基本不等式；三是利用函数的单调性．在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中等价转化是关键．
2．由M1f1(a，b)N1和M2f2(a，b)N2，求g(a，b)的取值范围，固然要将已知两个不等式相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大．这时可以用所谓的“线性相关值”，令g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)，用恒等关系求出待定系数p，q，于是一次相加，便可求到所需要的范围．
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011开封调研)已知a、b、c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()
A．abacB．c(b－a)0
C．cb2ab2D．ac(a－c)0
2．若ab0，则下列不等式中恒成立的是()
A．bab＋1a＋1B．a＋1ab＋1b
C．a＋1bb＋1aD.2a＋ba＋2bab
3．(2011金华模拟)已知ab，则下列不等式一定成立的是()
A．lgalgbB．a2b2
C.1a1bD．2a2b
4．(2011舟山七校联考)若ab0，则下列结论中正确的是()
A.1a1b和1|a|1|b|均不能成立
B.1a－b1b和1|a|1|b|均不能成立
C．不等式1a－b1a和a＋1b2b＋1a2均不能成立
D．不等式1|a|1|b|和a＋1b2b＋1a2均不能成立
5．已知三个不等式：ab0，bc－ad0，ca－db0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()
A．0B．1C．2D．3
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若xy1，且0a1，则①axay；②logaxlogay；③x－ay－a；④logxalogya.
其中不成立的个数是________．
7．(2011东莞月考)当a0b，cd0时，给出以下三个结论：①adbc；②a＋c2b＋d2；③b－cd－c.其中正确命题的序号是________．
8．已知－π2≤αβ≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是______________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011阳江月考)已知a＋b0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b.

10．(12分)比较aabb与abba(a，b为不相等的正数)的大小．

11．(14分)已知a0，a2－2ab＋c2＝0，bca2.试比较a，b，c的大小．

学案33不等式的概念与性质
自主梳理
1．常量常量函数2.不等号3.(2)ab14.(1)ba(2)ac(3)a＋cb＋ca＋cb＋d(4)acbcacbd(5)anbn(n∈N且n≥2)(6)nanb(n∈N且n≥2)
(7)1a1b
自我检测
1．A2.D3.D4.D
5．①③⑤
课堂活动区
例1解题导引比较大小有两种基本方法：
(1)作差法步骤：作差——变形——判断差的符号．作商法的步骤：作商——变形——判断商与1的大小．(2)两种方法的关键是变形．常用的变形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等价转化为易于比较大小的两个代数式来达到目的．
解(1)方法一(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
∵xy0，∴xy0，x－y0.
∴－2xy(x－y)0.
∴(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)．
方法二∵xy0，
∴x－y0，x2y2，x＋y0.
∴(x2＋y2)(x－y)0，(x2－y2)(x＋y)0.
∴0x2＋y2x－yx2－y2x＋y＝x2＋y2x2＋y2＋2xy1.
∴(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)．
(2)∵a，b，c∈{正实数}，∴an，bn，cn0.
而an＋bncn＝acn＋bcn.
∵a2＋b2＝c2，则ac2＋bc2＝1，
∴0ac1,0bc1.
∵n∈N，n2，
∴acnac2，bcnbc2.
∴an＋bncn＝acn＋bcna2＋b2c2＝1.
∴an＋bncn.
变式迁移1解方法一(作差法)
ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1，
∵a2，b2，∴a－11，b－11.
∴(a－1)(b－1)－10.
∴ab－(a＋b)0.
∴aba＋b.
方法二(作商法)∵a＋bab＝1b＋1a，
且a2，b2，∴1a12，1b12.
∴1b＋1a12＋12＝1.
∴a＋bab1.又∵ab40，∴a＋bab.
例2D[由abacbc，cdbcbd都是对不等式两边同乘一实数，只有当该实数为正数时，不等号才不改变方向，故这两步都错误；由于不等式具有传递性，所以得出acbd是正确的，由acbdadbc是对不等式acbd两边同除cd，由于不知cd的正、负，故这一步也是错误的．]
变式迁移2B[∵ab0，∴ab0.
取倒数，则有1a1b，选项A正确．
∵ab0，∴|a||b|和a2b2两个不等式均成立，选项C、D正确．
对于B，1a－b－1a＝baa－b，
又∵ab0，∴a－b0.∴baa－b0，
即1a－b1a.∴选项B不成立．]
例3解题导引第(2)题中，由于f(x)＝ax2＋bx，所以f(－2)、f(－1)和f(1)都是关于a，b的代数式，由于已知f(－1)、f(1)的范围，因此利用待定系数法表示出f(－2)，通过等式两边a、b系数相等求出待定系数，然后通过f(－1)、f(1)的范围求出f(－2)的范围．本题也可用线性规划求解，即已知条件可化为1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，求的是z＝4a－2b的范围．
解(1)∵15b36，∴－36－b－15.
∴12－36a－b60－15，即－24a－b45.
又1361b115，∴1236ab6015.
∴13ab4.
(2)方法一由f－1＝a－bf1＝a＋b，
得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1].
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
方法二设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
∴m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10，
∴f(－2)的取值范围是[5,10]．
变式迁移3(1)[－3π2，π](2)(3,8)
解析(1)由－π2≤α≤π2
－π≤2α≤π，
由0≤β≤π－π2≤－β2≤0，
两不等式相加得：－3π2≤2α－β2≤π.
所以2α－β2的范围为－3π2，π.
(2)设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，对应系数相等，
则λ＋μ＝2λ－μ＝－3λ＝－12，μ＝52，
从而2x－3y＝－12(x＋y)＋52(x－y)∈(3,8)．
课后练习区
1．A[由cba，且ac0，知a0，c0，但b的符号不确定，b可能为0，故C错误．
由bcabac，b可能为0，故A正确．
bab－a0又c0c(b－a)0，故B错误．
aca－c0又ac0ac(a－c)0，故D错误．]
2．C[∵ab0，∴ab0，∴1b1a.
∴a＋1bb＋1a.故选C.]
3．D[只有指数函数y＝2x在R上为增函数，所以D正确．而A、C显然不是对于一切实数都成立的，B的等价条件是|a||b|，显然也错误．]
4．D[∵ab0，∴a－b0.1a－b－1b＝2b－aa－bb，2b－a的正负不确定，即1a－b1b有可能成立；又∵ab0，
∴|a||b|0，则有1|a|1|b|，即1|a|1|b|不成立．]
5．D[①由ab0，bc－ad0，即bcad，
得cadb，即ca－db0；
②由ab0，ca－db0，即cadb，
得bcad，即bc－ad0；
③由bc－ad0，ca－db0，
即bc－adab0，得ab0；
故可组成3个正确的命题．]
6．3
解析∵xy1,0a1，∴axay，logaxlogay，
故①成立，②不成立．
∵xaya0，∴x－ay－a，③不成立．
又logaxlogay0，∴1logax1logay.
即logxalogya，∴④也不成立．
7．①②
解析∵ad0，bc0，∴adbc，故①正确；
又∵cd0，∴c2d20.
由已知ab，同向不等式相加得a＋c2b＋d2，故②正确；
对于结论③，d－c0，b－c的正、负不确定，故③不正确．
8.－π2，π2－π2，0
解析∵－π2≤απ2，－π2β≤π2，
∴－πα＋βπ，∴－π2α＋β2π2.
∵－π2≤－βπ2，
∴－π≤α－βπ，∴－π2≤α－β2π2.
又∵α－β0，∴－π2≤α－β20.
9．解ab2＋ba2－1a＋1b＝a－bb2＋b－aa2
＝(a－b)1b2－1a2＝a＋ba－b2a2b2.(6分)
∵a＋b0，(a－b)2≥0，∴a＋ba－b2a2b2≥0.
∴ab2＋ba2≥1a＋1b.(12分)
10．解aabbabba＝aa－bbb－a＝aba－b，(4分)
当ab0时，ab1，a－b0，
∴aba－b1；(8分)
当0ab时，ab1，a－b0，
∴aba－b1.(11分)
综上所述，当a，b为不相等的正数时，总有aabbabba.
(12分)
11．解∵bca20，∴b，c同号．(2分)
又a2＋c20，a0，∴b＝a2＋c22a0.
∴c0.(4分)
由(a－c)2＝2ab－2ac＝2a(b－c)≥0，
∴b－c≥0.(6分)
当b－c0，即bc时，
由b＝a2＋c22abca2a2＋c22aca2(a－c)(2a2＋ac＋c2)0.
∵a0，b0，c0，∴2a2＋ac＋c20.
∴a－c0，即ac，则acb.(10分)
当b－c＝0，即b＝c时，
∵bca2，∴b2a2，即b≠a.
又∵a2－2ab＋c2＝(a－b)2＝0a＝b与a≠b矛盾，
∴b－c≠0.综上，可知acb.(14分)

高考数学（理科）一轮复习一元二次不等式及其解法学案含答案

学案34一元二次不等式及其解法

导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
自主梳理
1．一元二次不等式的定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．
2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系

判别式
Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0
二次函数
y＝ax2＋bx
＋c(a0)
的图象

一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a0)的根有两相异实根
x1,2＝
－b±b2－4ac2a
(x1x2)有两相等实根
x1＝x2
＝________没有实根
一元二
次不等
式ax2
＋bx＋
c0
的解集a0{x|xx1，
或xx2}{x|x≠____}______
a0{x|x1xx2}________
自我检测
1．(2011广州模拟)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a0的解集是R，q：－1a0，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x0，则不等式f(x)f(1)的解集是()
A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)
3．已知不等式x2－2x－30的解集为A，不等式x2＋x－60的解集是B，不等式x2＋ax＋b0的解集是A∩B，那么a＋b等于()
A．－3B．1C．－1D．3
4．(2011厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()
5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋40恒成立，则m的取值范围为________________.
探究点一一元二次不等式的解法
例1解下列不等式：
(1)－x2＋2x－230；

(2)9x2－6x＋1≥0.

变式迁移1解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋30；
(2)－3x2－2x＋8≤0；
(3)8x－1≥16x2.

探究点二含参数的一元二次不等式的解法
例2已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a0.

变式迁移2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.

探究点三一元二次不等式恒成立问题
例3(2011巢湖月考)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

变式迁移3(1)关于x的不等式4x＋mx2－2x＋32对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
(2)若不等式x2＋px4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
转化与化归思想的应用
例(12分)已知不等式ax2＋bx＋c0的解集为(α，β)，且0αβ，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．
【答题模板】
解由已知不等式的解集为(α，β)可得a0，
∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系可得ba＝－α＋β0，①ca＝αβ0.②[4分]
∵a0，∴由②得c0，[5分]
则cx2＋bx＋a0可化为x2＋bcx＋ac0.[6分]
①÷②，得bc＝－α＋βαβ＝－1α＋1β0，由②得ac＝1αβ＝1α1β0，
∴1α、1β为方程x2＋bcx＋ac＝0的两根．[10分]
∵0αβ，∴不等式cx2＋bx＋a0的解集为{x|x1β或x1α}．[12分]
【突破思维障碍】
由ax2＋bx＋c0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a0，要求cx2＋bx＋a0的解集首先需要判断二次项系数c的正负，由方程根与系数关系知ca＝αβ0，因a0，∴c0，从而知道cx2＋bx＋a0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c、b、a，需对不等式cx2＋bx＋a0两边同除c或a，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．
1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．
2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．
3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ＝b2－4ac0；ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ＝b2－4ac0.
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝的定义域是()
A．[－2，－1)∪(1，2]B．[－2，－1]∪(1，2)
C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)
2．(2010抚顺模拟)已知集合P＝{x|x＋1x－10}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的()
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．(2011银川模拟)已知集合M＝{x|x2－2008x－20090}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2009，2010]，则()
A．a＝2009，b＝－2010B．a＝－2009，b＝2010
C．a＝2009，b＝2010D．a＝－2009，b＝－2010
4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()
A．m1B．m－1
C．m－1311D．m1或m－1311
5．(创新题)已知a1a2a30，则使得(1－aix)21(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是()
A.0，1a1B.0，2a1
C.0，1a3D.0，2a3
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在R上定义运算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x＋a)1对任意实数x恒成立，则a的取值范围为________．
7．已知函数f(x)＝log2x，x0，x2，x≤0，则满足f(x)1的x的取值范围为______________．
8．(2011泉州月考)
已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)1的解集为__________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)解关于x的不等式x－ax－a20(a∈R)．

10．(12分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x|－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a0的解集．

11．(14分)(2011烟台月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．

学案34一元二次不等式及其解法
自主梳理
1．22.－b2a－b2aR
自我检测
1．C2.A3.A4.D
5．(－∞，－5]
解析记f(x)＝x2＋mx＋4，根据题意得
Δ＝m2－160，f1≤0，f2≤0，解得m≤－5.
课堂活动区
例1解题导引解一元二次不等式的一般步骤
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c0(a0)，ax2＋bx＋c0(a0)．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．
解(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋20，
因为30，且方程3x2－6x＋2＝0的解是
x1＝1－33，x2＝1＋33，
所以原不等式的解集是{x|1－33x1＋33}．
(2)∵不等式9x2－6x＋1≥0，
其相应方程9x2－6x＋1＝0，
Δ＝(－6)2－4×9＝0，
∴上述方程有两相等实根x＝13，
结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图象知，原不等式的解集为R.
变式迁移1解(1)∵不等式2x2＋4x＋30可转化为
2(x＋1)2＋10，而2(x＋1)2＋10，
∴2x2＋4x＋30的解集为.
(2)两边都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，
因为30，且方程3x2＋2x－8＝0的解是
x1＝－2，x2＝43，
所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[43，＋∞)．
(3)原不等式可转化为16x2－8x＋1≤0，
即(4x－1)2≤0，
∴原不等式的解集为{14}．
例2解题导引(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．
(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解．
(1)a＝0时，解为x0.
(2)a0时，Δ＝4－4a2.
①当Δ0，即0a1时，
方程ax2－2x＋a＝0的两根为1±1－a2a，
∴不等式的解集为{x|1－1－a2ax1＋1－a2a}．
②当Δ＝0，即a＝1时，x∈；
③当Δ0，即a1时，x∈.
(3)当a0时，
①Δ0，即－1a0时，
不等式的解集为{x|x1＋1－a2a或x1－1－a2a}．
②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为(x＋1)20，
∴解为x∈R且x≠－1.
③Δ0，即a－1时，x∈R.
综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为；
当0a1时，解集为
{x|1－1－a2ax1＋1－a2a}；
当a＝0时，解集为{x|x0}；
当－1a0时，解集为
{x|x1＋1－a2a或x1－1－a2a}；
当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a－1时，解集为{x|x∈R}．
变式迁移2解①当a＝0时，解得x1.
②当a0时，原不等式变形为(x－1a)(x－1)0，
∴a1时，解得1ax1；
a＝1时，解得x∈；
0a1时，解得1x1a.
③当a0时，原不等式变形为(x－1a)(x－1)0，
∵1a1，∴解不等式可得x1a或x1.
综上所述，当a0时，不等式解集为(－∞，1a)∪(1，＋∞)；
当a＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；
当0a1时，不等式解集为(1，1a)；
当a＝1时，不等式解集为；
当a1时，不等式解集为(1a，1)．
例3解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．
解方法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得－3≤a－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
方法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，
得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ0，a－1，g－1≥0.
解得－3≤a≤1.
变式迁移3解(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋20，
∴不等式4x＋mx2－2x＋32同解于4x＋m2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m0.
要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m0对任意实数x恒成立．
∴Δ0，即64－8(6－m)0，
整理并解得m－2.
∴实数m的取值范围为(－∞，－2)．
(2)∵x2＋px4x＋p－3，
∴(x－1)p＋x2－4x＋30.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则要使它对0≤p≤4均有g(p)0，
只要有g00g40.
∴x3或x－1.
∴实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
课后练习区
1．A[由已知有(x2－1)≥0，
∴x2－10，x2－1≤1.∴x1或x－1，－2≤x≤2.
∴－2≤x－1或1x≤2.]
2．D[化简得P＝{x－1，或x1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之间不存在包含关系，
所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要条件．]
3．D[化简得M＝{x|x－1或x2009}，
由M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．
所以b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即a＝－2009.]
4．C[当m＝－1时，不等式变为2x－60，即x3，不符合题意．
当m≠－1时，由题意知
m＋10，Δ＝m－12－4m＋1×3m－10，
化简，得m＋10，11m2＋2m－130，
解得m－1311.]
5．B[(1－aix)21，即a2ix2－2aix0，
即aix(aix－2)0，由于ai0，这个不等式可以化为
xx－2ai0，即0x2ai，若对每个都成立，则2ai应最小，
即ai应最大，也即是0x2a1.]
6．(－12，32)
解析由题意知，(x－a)(x＋a)1
(x－a)(1－x－a)1
x2－x－(a2－a－1)0.
因上式对x∈R都成立，
所以Δ＝1＋4(a2－a－1)0，
即4a2－4a－30.所以－12a32.
7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析当x0时，由log2x1，得x2；
当x≤0时，由x21，得x－1.
综上可知，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
8．(2,3)∪(－3，－2)
解析由导函数图象知当x0时，f′(x)0，
即f(x)在(－∞，0)上为增函数；
当x0时，f′(x)0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
故不等式f(x2－6)1等价于f(x2－6)f(－2)或f(x2－6)f(3)，即－2x2－6≤0或0≤x2－63，
解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．
9．解x－ax－a20(x－a)(x－a2)0，(2分)
①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为；(4分)
②当a0或a1时，aa2，此时axa2；(7分)
③当0a1时，aa2，此时a2xa.(10分)
综上，当a0或a1时，原不等式的解集为{x|axa2}；
当0a1时，原不等式的解集为{x|a2xa}；
当a＝0或a＝1时，原不等式解集为.(12分)
10．解由ax2＋bx＋c≥0的解集为
x|－13≤x≤2，知a0，(3分)
又－13×2＝ca0，则c0.
又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，(6分)
∴－ba＝53，即ba＝－53.
又∵ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.(8分)
∴不等式cx2＋bx＋a0变为－23ax2＋－53ax＋a0，
即2ax2＋5ax－3a0.
又∵a0，∴2x2＋5x－30，
∴所求不等式的解集为x|－3x12.(12分)
11．解(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
∴－6≤a≤2.(4分)
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：
①如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，
有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分)
②如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，
但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即Δ≥0，x＝－a2－2，g－2≥0，
即a2－43－a≥0，－a2－2，4－2a＋3－a≥0a≥2或a≤－6，a4，a≤73，
解之，得a∈.(10分)
③如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，
但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a22，g2≥0，
即a2－43－a≥0，－a22，4＋2a＋3－a≥0a≥2或a≤－6，a－4，a≥－7
－7≤a≤－6.(13分)
综合①②③，得a∈[－7,2]．(14分)

文章来源：http://m.jab88.com/j/56449.html

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