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2015届高考数学教材知识点复习函数的定义域和值域导学案

古人云,工欲善其事,必先利其器。高中教师要准备好教案,这是高中教师的任务之一。教案可以让上课时的教学氛围非常活跃,帮助高中教师缓解教学的压力,提高教学质量。所以你在写高中教案时要注意些什么呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《2015届高考数学教材知识点复习函数的定义域和值域导学案》,相信您能找到对自己有用的内容。

【学习目标】
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域.
2.了解简单的分段函数,并能简单应用.
预习案
1.函数的定义域
(1)求定义域的步骤:
①写出使函数式有意义的不等式(组);②解不等式(组);③写出函数定义域.(注意用区间或集合的形式写出)
(2)函数f(x)=x0的定义域为;
(3)指数函数的定义域为;对数函数的定义域为.
2.函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a0时,值域为;当a0时,值域为.
(3)y=kx(k≠0)的值域是.(4)y=ax(a0且a≠1)的值域是.
(5)y=logax(a0且a≠1)的值域是.
【预习自测】
1.函数y=1log2x-2的定义域是()
A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)

2.若函数y=f(x)的定义域是,则函数g(x)=f2xx-1的定义域是()
A.B.D.(0,1)
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3.函数y=log0.3(x2+4x+5)的值域为________.

4.函数y=x2+3x2+2的值域为________.
探究案
题型一函数的定义域
例1.(1)函数y=1log0.5x-1的定义域为.
(2)函数y=1logax-1(a0且a≠1)的定义域为.

(3)函数f(x)=x+2x2lg|x|-x的定义域为

探究1.求函数y=25-x2+lgcosx的定义域.

例2.(1)已知y=f(x)的定义域为,求y=f(3x-1)的定义域.
(2)已知y=f(log2x)的定义域为,求y=f(x)的定义域.

探究2.(1)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为

(2)若函数f(2x)的定义域是,则f(log2x)的定义域为.

题型二函数的值域
例3.求下列函数的值域:
(1)y=1-x21+x2;(2)y=-2x2+x+3;(3)y=x+1x+1;
(4)y=x-1-2x;(5)y=x+4-x2;(6)y=|x+1|+|x-2|.

探究3.(1).函数的值域为()
A.(-∞,12]B.[12,1]C.[12,1)D.[12,+∞)

(2)函数y=2-sinx2+sinx的值域是.

(3)函数y=x2+x+1x+1的值域为.
题型三定义域与值域的应用
例4.已知函数f(x)=lg.
(1)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围;

(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.

探究4.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6,x∈R.
(1)若函数的值域为

我的学习总结:
(1)我对知识的总结.
(2)我对数学思想及方法的总结

相关知识

高一数学下册《函数定义域值域》知识点讲解


高一数学下册《函数定义域值域》知识点讲解

定义域:

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域。

值域:

名称定义:

函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

常用的求值域的方法:

(1)化归法

(2)图象法(数形结合)

(3)函数单调性法

(4)配方法

(5)换元法

(6)反函数法(逆求法)

(7)判别式法

(8)复合函数法

(9)三角代换法

(10)基本不等式法等

关于函数值域误区:

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。

练习题:

例:已知f(x+1)=xsup2;+1,f(x+1)的定义域为[0,2],求f(x)解析式和定义域

设x+1=t,则;x=t-1,那么用t表示自变量f的函数为:(也就是把x=t-1代入f(x+1)=xsup2;+1中)

f(t)=f(x+1)=(t-1)sup2;+1

=tsup2;-2t+1+1

=tsup2;-2t+2

所以,f(t)=tsup2;-2t+2,则f(x)=xsup2;-2x+2

或者用这样的方法——更直观:

令f(x+1)=xsup2;+1中的x=x-1,这样就更直观了,把x=x-1代入f(x+1)=xsup2;+1,那么:

f(x)=f[(x-1)+1]=(x-1)sup2;+1

=xsup2;-2x+1+1

=xsup2;-2x+2

所以,f(x)=xsup2;-2x+2

而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同,才是相同的函数,

由t=x+1,f(x+1)的定义域为[0,2],可知道:t∈[1,3]

f(x)=xsup2;-2x+2的定义域为:x∈[1,3]

综上所述,f(x)=xsup2;-2x+2(x∈[1,3]

映射函数定义域值域


一种特殊的对应:映射

(1)(2)(3)(4)
1.对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有一个(或几个)元素与此相对应。

2.对应的形式:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④)

3.映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。

4.注意映射是有方向性的。

5.符号:f:AB集合A到集合B的映射。

6.讲解:象与原象定义。

再举例:1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法则:乘2加1是映射
2A=N+B={0,1}法则:B中的元素x除以2得的余数是映射
3A=ZB=N*法则:求绝对值不是映射(A中没有象)
4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法则:f:ab=(a1)2是映射

一一映射

观察上面的例图(2)得出两个特点:
1对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象(单射)
2集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象(满射)
即集合B中的每一个元素都有原象。

从映射的观点定义函数(近代定义):
1函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f:AB这里A,B非空。
2A:定义域,原象的集合
B:值域,象的集合(C)其中CB
f:对应法则xAyB
3函数符号:y=f(x)——y是x的函数,简记f(x)

函数的三要素:对应法则、定义域、值域
只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数。

例:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么?
1.解:不是同一函数,定义域不同
2。解:不是同一函数,定义域不同
3。解:不是同一函数,值域不同
4.解:是同一函数
5.解:不是同一函数,定义域、值域都不同

关于复合函数
设f(x)=2x3g(x)=x2+2则称f[g(x)](或g[f(x)])为复合函数。
f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11
例:已知:f(x)=x2x+3求:f()f(x+1)
解:f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3

1.函数定义域的求法

分式中的分母不为零;

偶次方根下的数(或式)大于或等于零;

指数式的底数大于零且不等于一;

对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。

正切函数

余切函数

反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理)

函数y=arcsinx的定义域是[-1,1],值域是,

函数y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π],

函数y=arctgx的定义域是R,值域是,

函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).

注意,

1.复合函数的定义域。
如:已知函数的定义域为(1,3),则函数的定义域。

2.函数的定义域为,函数的定义域为,
则函数的定义域为,解不等式,最后结果才是

3.这里最容易犯错的地方在这里:
已知函数的定义域为(1,3),求函数的定义域;或者说,已知函数的定义域为(3,4),
则函数的定义域为______?

2.函数值域的求法
函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,
对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧.

(1)、直接观察法
对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,
其值域可通过观察直接得到。
例求函数的值域

(2)、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数的值域。

(3)、根判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简
如:

4、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数值域。
,分母不等于0,即

5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数,,的值域。

10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例求函数的值域

多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,
首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,
一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

高一数学上册重要知识点:函数定义域函数值域


高一数学上册重要知识点:函数定义域函数值域

定义域

(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”。

定义域与值域


第二十七教时
教材:正弦函数、余弦函数的性质之——定义域与值域
目的:要求学生掌握正、余弦函数的定义域与值域,尤其能灵活运用有界性求函数的最值和值域。
过程:一、复习:正弦和余弦函数图象的作法

二、研究性质:
1.定义域:y=sinx,y=cosx的定义域为R
2.值域:
1引导回忆单位圆中的三角函数线,结论:|sinx|≤1,|cosx|≤1(有界性)
再看正弦函数线(图象)验证上述结论
∴y=sinx,y=cosx的值域为[-1,1]
2对于y=sinx当且仅当x=2k+kZ时ymax=1
当且仅当时x=2k-kZ时ymin=-1
对于y=cosx当且仅当x=2kkZ时ymax=1
当且仅当x=2k+kZ时ymin=-1
3.观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知
当2kx(2k+1)(kZ)时y=sinx0
当(2k-1)x2k(kZ)时y=sinx0
当2k-x2k+(kZ)时y=cosx0
当2k+x2k+(kZ)时y=cosx0
三、例题:
例一(P53例二)略
例二直接写出下列函数的定义域、值域:
1y=2y=
解:1当x2k-kZ时函数有意义,值域:[+∞]
2x[2k+,2k+](kZ)时有意义,值域[0,]
例三求下列函数的最值:
1y=sin(3x+)-12y=sin2x-4sinx+53y=
解:1当3x+=2k+即x=(kZ)时ymax=0
当3x+=2k-即x=(kZ)时ymin=-2
2y=(sinx-2)2+1∴当x=2k-kZ时ymax=10
当x=2k-kZ时ymin=2
3y=-1+当x=2k+kZ时ymax=2
当x=2kkZ时ymin=
例四、函数y=ksinx+b的最大值为2,最小值为-4,求k,b的值。
解:当k0时
当k0时(矛盾舍去)
∴k=3b=-1
例五、求下列函数的定义域:
1y=2y=lg(2sinx+1)+3y=
解:1∵3cosx-1-2cos2x≥0∴≤cosx≤1
∴定义域为:[2k-,2k+](kZ)
2
∴定义域为:
3∵cos(sinx)≥0∴2k-≤x≤2k+(kZ)
∵-1≤sinx≤1∴xR≤y≤1
四、小结:正弦、余弦函数的定义域、值域
五、作业:P56练习4P57-58习题4.82、9

文章来源:http://m.jab88.com/j/52170.html

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