俗话说，凡事预则立，不预则废。作为高中教师就要早早地准备好适合的教案课件。教案可以让学生们充分体会到学习的快乐，帮助高中教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。那么，你知道高中教案要怎么写呢？经过搜索和整理，小编为大家呈现“高二数学《函数、方程及不等式的关系》集体备课”，希望能为您提供更多的参考。

高二数学《函数、方程及不等式的关系》集体备课

高考要求
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法
重难点归纳
1二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法
y=ax2+bx+c;y=a(x－x1)(x－x2);y=a(x－x0)2+n
(2)当a0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M，最小值m,令x0=(p+q)
若－Ip,则f(p)=m,f(q)=M;
若p≤－Ix0,则f(－)=m,f(q)=M;
若x0≤－Iq,则f(p)=M,f(－)=m;
若－≥q,则f(p)=M,f(q)=m
2二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)·f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pIq)
3二次不等式转化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是
(－∞,α)∪［β,+∞a0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a0时，f(α)If(β)|α+||β+|,
当a0时，f(α)If(β)|α+||β+|;
(3)当a0时，二次不等式f(x)0在［p,q］恒成立
或
(4)f(x)0恒成立
典型题例示范讲解
例1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R)
(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；
(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围
命题意图本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力
知识依托解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合
错解分析由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”
技巧与方法利用方程思想巧妙转化
(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0
∴c20,∴Δ0,即两函数的图象交于不同的两点
(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵abc,a+b+c=0,a0,c0
∴a－a－cc,解得∈(－2,－)
∵的对称轴方程是
∈(－2,－)时，为减函数
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()
例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围
命题意图本题重点考查方程的根的分布问题
知识依托解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义
错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点
技巧与方法设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制
解(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
∴
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
(这里0－m1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)
例3已知对于x的所有实数值，二次函数f(x)=x2－4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程=|a－1|+2的根的取值范围
解由条件知Δ≤0,即(－4a）2－4(2a+12)≤0,∴－≤a≤2
(1)当－≤a＜1时，原方程化为
x=－a2+a+6,∵－a2+a+6=－(a－)2+
∴a=－时，xmin=,a=时，xmax=
∴≤x≤
(2)当1≤a≤2时，x=a2+3a+2=(a+)2－
∴当a=1时，xmin=6,当a=2时，xmax=12,∴6≤x≤12
综上所述,≤x≤12
学生巩固练习
1若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是()
A(－∞,2B－2,2C(－2,2D(－∞,－2)
2设二次函数f(x)=x2－x+a(a0),若f(m)0,则f(m－1)的值为()
A正数B负数C非负数D正数、负数和零都有可能
3已知二次函数f(x)=4x2－2(p－2)x－2p2－p+1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_________
4二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)If(1+2x－x2),则x的取值范围是_________
5已知实数t满足关系式(a0且a≠1)
(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；
(2)若x∈(0,2时，y有最小值8，求a和x的值
6如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围
7二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0,其中m0,求证
(1)pf()0;
(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解
8一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元
(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？
参考答案
1解析当a－2=0即a=2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a=2,当a－2≠0时，则a满足,解得－2＜a＜2,所以a的范围是－2＜a≤2
答案C
2解析∵f(x)=x2－x+a的对称轴为x=,且f(1)0,则f(0)0,而f(m)＜0,∴m∈(0,1),∴m－1＜0,∴f(m－1)0
答案A
3解析只需f(1)=－2p2－3p+90或f(－1)=－2p2+p+10即－3＜p＜或－＜p＜1∴p∈(－3,)
答案(－3，）
4解析由f(2+x)=f(2－x)知x=2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0
答案－2＜x＜0
5解(1）由loga得logat－3=logty－3logta
由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,?
∴logay=x2－3x+3，即y=a(x≠0)
(2)令u=x2－3x+3=(x－)2+(x≠0),则y=au
①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，
则u=(x－)2+在(0，2上应有最大值，但u在(0，2上不存在最大值
②若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2应有最小值
∴当x=时，umin=,ymin=
由=8得a=16∴所求a=16,x=
6解∵f(0)=10
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意
(2）当m0时，则解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}
7证明(1)
,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m0,所以，pf()＜0
(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r
①当p＜0时，由(1）知f()＜0
若r0,则f(0)0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解;
若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=0,
又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解
②当p＜0时同理可证
8解(1）设该厂的月获利为y,依题意得?
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45
∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－)2+16125
∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元，
∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元

精选阅读

不等式与不等关系

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。那么一篇好的高中教案要怎么才能写好呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“不等式与不等关系”，仅供参考，欢迎大家阅读。

§3.1不等式与不等关系（第2课时）
【学习目标】
1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；
2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；
3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
【学习重点】掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
【学习难点】利用不等式的性质证明简单的不等式。
一．知识归纳
1.性质：
2.请试着对上式的（6），（7）,(8)进行证明。

二．典例分析.
例1、已知求证：

例2、已知求的取值范围

例3、比较下列两个代数式值或者实数的大小。
（1）与（2）与
三．课堂检测
1.若a,b是任意实数，且ab,则（）
A．B．C．D．
2.设,则下列不等式中恒成立的是()
A．B．C．D．
3.若则的值为（）
A．大于0B．等于0C．小于0D．符号不能确定
4.设，则a与b的大小关系是（）
AabBabCa=bD与x的值有关
5.若2a3,-4b-3,则的取值范围是，的取值范围是.
6.当时，给出以下三个结论：①②③其中正确命题的序号是。
7.若则中最小的是。
8.已知2a3,-2b-1,求2a+b，3a-2b，ab，的取值范围

不等关系与不等式教案

教学设计
3．1.1不等关系与不等式
整体设计
教学分析
本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展．在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．
通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用．对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程．即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来．在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望．根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小．
在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系．要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识．
三维目标
1．在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系．
2．会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围．
3．通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美．
重点难点
教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围．
教学难点：准确比较两个代数式的大小．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课．
思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系．这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着．这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系？
2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗？
3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系？
4任意两个实数具有怎样的关系？用逻辑用语怎样表达这个关系？
活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．
教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系．在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容．
实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.
实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA＜xB.教师协助画出数轴草图如下图．
实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零．
实例4：两点之间线段最短．
实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.
实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢？学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系．那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子．如－7＜－5，3＋4＞1＋4,2x≤6，a＋2≥0,3≠4,0≤5等．
教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来．实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|＋|BC|＞|AB|，如下图．
|AB|＋|BC|＞|AC|、|AC|＋|BC|＞|AB|、|AB|＋|AC|＞|BC|.
|AB|－|BC|＜|AC|、|AC|－|BC|＜|AB|、|AB|－|AC|＜|BC|.交换被减数与减数的位置也可以．
实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的．但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.
对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论．
讨论结果：
(1)(2)略；(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大．
(4)对于任意两个实数a和b，在a＝b，a＞b，a＜b三种关系中有且仅有一种关系成立．用逻辑用语表达为：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.
应用示例
例1(教材本节例1和例2)
活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法．
点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.
变式训练
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是()
A．f(x)＞g(x)B．f(x)＝g(x)
C．f(x)＜g(x)D．随x值变化而变化
答案：A
解析：f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1＞0，∴f(x)＞g(x)．
2．已知x≠0，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．
解：由(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2.
∵x≠0，得x2＞0.从而(x2＋1)2＞x4＋x2＋1.

例2比较下列各组数的大小(a≠b)．
(1)a＋b2与21a＋1b(a＞0，b＞0)；
(2)a4－b4与4a3(a－b)．
活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定．本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点．
解：(1)a＋b2－21a＋1b＝a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b.
∵a＞0，b＞0且a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.∴a－b22a＋b＞0，即a＋b2＞21a＋1b.
(2)a4－b4－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b)
＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3－4a3)＝(a－b)[(a2b－a3)＋(ab2－a3)＋(b3－a3)]
＝－(a－b)2(3a2＋2ab＋b2)＝－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]．
∵2a2＋(a＋b)2≥0(当且仅当a＝b＝0时取等号)，
又a≠b，∴(a－b)2＞0,2a2＋(a＋b)2＞0.∴－(a－b)2[2a2＋(a＋b)2]＜0.
∴a4－b4＜4a3(a－b)．
点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.
变式训练
已知x＞y，且y≠0，比较xy与1的大小．
活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系．
解：xy－1＝x－yy.
∵x＞y，∴x－y＞0.
当y＜0时，x－yy＜0，即xy－1＜0.∴xy＜1；
当y＞0时，x－yy＞0，即xy－1＞0.∴xy＞1.
点评：当字母y取不同范围的值时，差xy－1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.

例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．
活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法．
解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a＜b，且ab≥10%，
由于a＋mb＋m－ab＝mb－abb＋m＞0，于是a＋mb＋m＞ab.又ab≥10%，
因此a＋mb＋m＞ab≥10%.
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．
点评：一般地，设a、b为正实数，且a＜b，m＞0，则a＋mb＋m＞ab.
变式训练
已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()
A．a1＋a8＞a4＋a5B．a1＋a8＜a4＋a5
C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8与a4＋a5大小不确定
答案：A
解析：(a1＋a8)－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－a1q3－a1q4
＝a1[(1－q3)－q4(1－q3)]＝a1(1－q)2(1＋q＋q2)(1＋q)(1＋q2)．
∵{an}各项都大于零，∴q＞0，即1＋q＞0.
又∵q≠1，∴(a1＋a8)－(a4＋a5)＞0，即a1＋a8＞a4＋a5.

知能训练
1．下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－1)；③x2＋y2＞2xy.其中恒成立的不等式的个数为()
A．3B．2C．1D．0
2．比较2x2＋5x＋9与x2＋5x＋6的大小．
答案：
1．C解析：∵②a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
③x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0.
∴只有①恒成立．
2．解：因为2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，
所以2x2＋5x＋9＞x2＋5x＋6.
课堂小结
1．教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法；从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中．
2．教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方．鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究．
作业
习题3—1A组3；习题3—1B组2.
设计感想
1．本节设计关注了教学方法的优化．经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式．各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动．也就是说，世上没有万能的教学方法．针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药．
2．本节设计注重了难度控制．不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点．作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响．
3．本节设计关注了学生思维能力的训练．训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线．采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化．变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升．
备课资料
备用习题
1．比较(x－3)2与(x－2)(x－4)的大小．
2．试判断下列各对整式的大小：(1)m2－2m＋5和－2m＋5；(2)a2－4a＋3和－4a＋1.
3．已知x＞0，求证：1＋x2＞1＋x.
4．若x＜y＜0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
5．设a＞0，b＞0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
参考答案：
1．解：∵(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)
＝1＞0，
∴(x－3)2＞(x－2)(x－4)．
2．解：(1)(m2－2m＋5)－(－2m＋5)
＝m2－2m＋5＋2m－5
＝m2.
∵m2≥0，∴(m2－2m＋5)－(－2m＋5)≥0.
∴m2－2m＋5≥－2m＋5.
(2)(a2－4a＋3)－(－4a＋1)
＝a2－4a＋3＋4a－1
＝a2＋2.
∵a2≥0，∴a2＋2≥2＞0.
∴a2－4a＋3＞－4a＋1.
3．证明：∵(1＋x2)2－(1＋x)2
＝1＋x＋x24－(x＋1)
＝x24，
又∵x＞0，∴x24＞0.
∴(1＋x2)2＞(1＋x)2.
由x＞0，得1＋x2＞1＋x.
4．解：(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]
＝－2xy(x－y)．
∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0.
∴－2xy(x－y)＞0.
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)．
5．解：∵aabbabba＝aa－bbb－a＝(ab)a－b，且a≠b，
当a＞b＞0时，ab＞1，a－b＞0，
则(ab)a－b＞1，于是aabb＞abba.
当b＞a＞0时，0＜ab＜1，a－b＜0.
则(ab)a－b＞1.
于是aabb＞abba.
综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb＞abba.

高二数学《不等式的解法举例》教案

俗话说，磨刀不误砍柴工。准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，帮助高中教师更好的完成实现教学目标。那么如何写好我们的高中教案呢？以下是小编为大家收集的“高二数学《不等式的解法举例》教案”希望对您的工作和生活有所帮助。

高二数学《不等式的解法举例》教案

教学目标
（1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式；（2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；（3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解；（4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想；（5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣．
教学建议一、知识结构本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为：
;;;二、重点、难点分析本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.三、教学建议(1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.(2)在研究不等式的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,启发学生运用换元思想将替换成,从而转化一元二次不等式组的求解.(3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“”中的两个不等式的解集间的交并关系，“”两个不等式的解集间的交并关系.(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“”.(5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.(6)分式不等式与高次不等式的等价原因,可以认为是不等式两端同乘以正数,不等号不改变方向所得;也可以认为是与符号相同所得.(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数(如分母是)时，应将其去掉，从而使不等式化简.(8)建议补充简单的无理不等式的解法,其中为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对的影响,即保证了,而却不能保证这一点,所以要分和两种情况进行讨论.(9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.教学设计示例分式不等式的解法教学目标1．掌握分式不等式向整式不等式的转化；
2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；
3．掌握分式不等式基本解法.教学重点难点重点是分式不等式解法
难点是分式不等式向整式不等式的转化教学方法启发式和引导式教具准备三角板、幻灯片教学过程1．复习回顾：前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法.2．讲授新课：例3解不等式＜0.分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x2－3x＋2）(x2－2x－3)＜0即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考≤0的等价变形.例4解不等式＞1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.解：原不等式等价变形为：－1＞0通分整理得：＞0等价变形为：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.3．课堂练习：课本P19练习1.补充：（1）≥0；（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.课堂小结通过本节学习，要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.课后作业习题6.43,4.板书设计●教学后记探究活动试一试用所学知识解下列不等式：（1）；（2）；（3）．答案：（1）原式观察这个不等式组，由于要求，同时要求，所以①式可以不解．∴原式如下图∴（2）分析当时，不等式两边平方，当时，在有意义的前提下恒成立．原式（Ⅰ）或（Ⅱ）由于同时满足（2）、（3）式，所以（1）式免解．∴（Ⅰ）式（Ⅱ）式．综合（Ⅰ）、（Ⅱ），得．（3）分析当时，不等式两边平方，当时，原式解集为．原式观察不等式组，设有可以免解的不等式．

《不等关系与不等式》教学反思

一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，使教师有一个简单易懂的教学思路。教案的内容要写些什么更好呢？下面的内容是小编为大家整理的《不等关系与不等式》教学反思，仅供参考，欢迎大家阅读。

《不等关系与不等式》教学反思

十月十一日早上，第三节课我上了公开课《不等关系与不等式》第一节。由于课间操的延迟，导致本节课准备的三个内容，只完成了其中的两个。

本节课内容虽说简单，就是不等关系的表示，两个数大小的比较，以及不等式的性质。其中后两个是重点，同时也是难点。但我教的对象，是高二年级基础最差的学生，所以对他们来时。刚脱离《数列》学习的苦海，又再次进入《不等式》的火海之中，对于他们来说一样是煎熬。

不等关系的表示掌握还算凑合，课本上的内容感觉也是一知半解，由于时间（课间操耽误了十分钟）紧的缘故，原本计划中的第六题我删除了，两位数的表示怕学生一时半会还难以理解。原本的两个实数比较大小，只是简单说了下依据，具体两个代数式比较大小例题也没来得及讲，学生的练习更谈不上。另一个重点不等式的性质，学生的理解也是一知半解，懵懵懂懂。遇到具体的应用，学生把刚才的性质又抛到九霄云外，凭空想象人云亦云，似乎根本与性质又联系不起来。不等式刚才强调了同向不等式可以相加不能相减，但如ab,cb-d，遇到负号不知道转化为减去一个数等于加上这个数的相反数，几乎全班学生都在纠结之中，不知如何去做;诸如ab0,cbd同样也在纠结之中，同正同向不等式刚才强调只能相乘不能相除，但遇到不同向，不同正就又不会转化。学生的现状真是让人崩溃，

课后同仁热评，感觉存在以下几个问题

1、《不等关系与不等式》教学后的总结反思的教学，强调不够，只是轻描淡写一语而过，没有具体说明二者的区别。

2、不等关系的表示何时用“大括号”何时用“或”没有说清楚，有的同学在做第四小题时，用逗号模棱两可。

3、同一习题演板人过多，显得凌乱。

4、学生的做题格式板书强调不够，学生做的不整齐，也没指出。

通过同仁的热议和自己的反思，感觉自己在备课上还下的不够，没有吃透学生，对学生基础薄弱视而不见，淡化了本该强调的内容；同时对学生存在的问题熟视无睹，没有指出存在的问题使他们及时纠正养成书写的规范。教学不仅仅是传授知识，对于他们好的学习习惯的养成也不可忽视。

文章来源：http://m.jab88.com/j/45377.html

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