§2.3.２抛物线的几何性质（２）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：
抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
回顾抛物线的几何性质：
将基本公式用填空的形式巩固。
二、知识准备设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
或

二、例题讲解例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则，
又|OA|＝|OB|，所以
即
∵，∴．
由此可得，即线段AB关于x轴对称．
因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以
所以，

例2．过抛物线y＝的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．
解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）
⑴当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）
⑵当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0
则x1+x2=－4k；x1x2=－4；
∴＝
∴=＝4（1+k2）＝8
∴k＝±1
∴α＝45°或135°

圆锥曲线的弦长求法

二、例题讲解例3．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．
解：设与抛物线交于
由弦长公式
|AB|===3
则有
由
从而由于p0，解得
圆锥曲线的中点弦问题
三、巩固练习1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。
（答案：边长为8）
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程
分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，
故可设圆的方程为：，
又∵圆过点，
∴所求圆的方程为
3．已知抛物线,过点(4,1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为
解析:设直线与抛物线交点为则
,
4．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程
（答案：）

5．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程
（答案：或）
四、课后练习1．斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
解：如图，由抛物线的标准方程可知，
抛物线焦点的坐标为F(1，0)，
所以直线AB的方程为y=x-1①
与y2=4x②联立，解得：
将x1、x2的值代入方程①中，得
即A、B的坐标分别为
、

2．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程
（答案：）

3.已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程
（答案：）

4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程
答案：（1）；；
（2）直线过定点
（3）点的轨迹方程为
5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）

练习与测试：
1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（）
(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)
2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A)（2，4）(B)（2，±4）(C)（1，）(D)（1，±）
3．直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则()
A.4B.2C.D.
4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
5．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
6．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．

7．已知抛物线与直线相交于A、B两点,
①求证;;
②当的面积等于时,求的值.

测试题答案：
1．A2．D3．A4．x2＝±8y5．6．
7．解析(证明):设;
,由A,N,B共线
,又
--------------------------------------------------------------③
②由得

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抛物线的简单几何性质

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生能够在教学期间跟着互动起来，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么如何写好我们的教案呢？以下是小编为大家收集的“抛物线的简单几何性质”大家不妨来参考。希望您能喜欢！

2.3.2抛物线的简单几何性质
（一）教学目标：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.
（二）教学重点：抛物线的几何性质及其运用
（三）教学难点：抛物线几何性质的运用
（四）教学过程：
一、复习引入：（学生回顾并填表格）
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
图形

方程

焦点

准线

2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即.
不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为，左端为.（2）开口方向在x轴（或y轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号.
二、讲解新课：
类似研究双曲线的性质的过程，我们以为例来研究一下抛物线的简单几何性质：
1．范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：（学生通过对照完成下表）
标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率

注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离.
思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别）
三、例题讲解：
例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以，即
因此，所求的抛物线方程为．
将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得
x01234…
y022.83.54…
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长.
解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F（1，0），准线方程x=—1.
由题可知，直线AB的方程为y=x—1
代入抛物线方程y2=4x，整理得：x2—6x+1=0
解上述方程得x1=3+2,x2=3—2
分别代入直线方程得y1=2+2,y2=2—2
即A、B的坐标分别为（3+2，2+2），（3—2，2—2）
∴|AB|=
解法2：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1x2=1
∴|AB|=|x1—x2|
解法3：设A（x1,y1)、B(x2,y2),由抛物线定义可知，
|AF|等于点A到准线x=—1的距离|AA′|
即|AF|=|AA′|=x1+1
同理|BF|=|BB′|=x2+1
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8
点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。
变式训练：过抛物线的焦点作直线，交抛物线于,两点，若，求。
解：，，。
点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：或。
四、达标练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（）
（A）10（B）8（C）6（D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
3．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是______
4.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标.
参考答案：1.B2.B3.4.,M到轴距离的最小值为.
五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2、B2，则∠A2FB2等于.
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x（2）x2＝8y（3）x2＝－8y
2．90°3．x2＝±16y4．5．米
七、板书设计（略）

抛物线的简单几何性质（2）导学案

抛物线的简单几何性质（2）导学案
教学目标
1、掌握抛物线的几何性质；2、抛物线与直线的关系。
学习过程
一、课前准备复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（）
A、B、或
C、D、或
复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则
二、新课导学
★学习探究
探究：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
（1）这点到准线的距离为；
（2）焦点到准线的距离为；
（3）抛物线方程；
（4）这点的坐标是；
（5）此抛物线过焦点的最短的弦长为；
★典型例题
例1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。

例2（理）已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：（1）直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切；（2）直线与抛物线只有一个公共点时，它们可能相切，也可能相交。
★动手试一试
练习1直线与抛物线相较于A、B两点，求证：
练习2垂直于轴的直线交抛物线于A、B两点，且，求直线AB的方程。

三、总结提升
★学习小结
1、抛物线的几何性质；
2、抛物线与直线的关系。
★知识拓展
过抛物线的焦点F的直线交抛物线于M、N两点，则为
定值，其值为。
四、巩固练习
A组
1、过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|的最小值为（）
A．B．C．D．无法确定
2、抛物线的焦点到准线的距离是（）
A．B．5C．D．10
3、过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）
A．1条B．2条C．3条D．0条
4、若直线与抛物线交于A、B两点，则线段AB的中点坐标是
B组
1、求过，且与抛物线有一个公共点的直线方程。

2、在抛物线上求一点P，使得点P到直线的距离最短。

3、已知抛物线，过上一点，且与处的切线垂直的直线称为在点的法线。若在点的法线的斜率为，求点的坐标。

五、课后作业
1、已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于两点，，求抛物线的方程。
2、从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

《抛物线的简单性质》导学案

古人云，工欲善其事，必先利其器。作为教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助教师掌握上课时的教学节奏。写好一份优质的教案要怎么做呢？小编特地为大家精心收集和整理了“《抛物线的简单性质》导学案”，欢迎阅读，希望您能阅读并收藏。

2.2抛物线的简单性质
授课
时间第周星期第节课型讲授新课主备课人张梅
学习
目标依据抛物线图形及标准方程，概括出抛物线的简单性质.掌握性质与图形的对应关系，能依据性质画抛物线简图
重点难点重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是难点
学习
过程
与方
法自主学习
【回顾】抛物线的标准方程有：
阅读课本P74至75例5前，回答：标准方程中
①抛物线关于对称，其对称轴叫作抛物线的轴，抛物线只有对称轴
②抛物线的范围为
③抛物线的顶点
④抛物线的离心率是指，即e=
⑤抛物线的通径

2．阅读例5，完成表格：
抛物线方程焦点顶点

精讲互动：
⑴阅读P75《思考交流》自主完成

⑵自主完成课本P75练习

达标训练：
⑴抛物线上到直线的距离最小的点的坐标是（）

⑵抛物线的顶点是椭圆的中心，而焦点是椭圆的左焦点，求抛物线的方程

布置1求顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线上的抛物线方程
2过抛物线的焦点F作垂直于轴的直线，交抛物线于A、B两点，求以F为圆心，AB为直径的圆的方程

学习小结/教学
反思

高二数学抛物线及其几何性质学案练习题

§2.4.2抛物线及其几何性质(2)
一、知识要点
1.了解抛物线过焦点弦的简单性质；
2.在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化。
二、典型例题
例1.⑴设是抛物线上一点，为焦点，求的长；
⑵已知是过抛物线的焦点的直线与抛物线的两个交点，求证：。

例2.已知定点，抛物线上的动点到焦点的距离为，求的最小值，并确定取最小值时点的坐标。

例3.设过抛物线的焦点的一条直线和抛物线有两个交点，且两个交点的纵坐标为，求证：。

例4.已知直线为抛物线相交于点，求证：。

三、巩固练习
1.已知动圆的圆心在抛物线上，且与抛物线的准线相切，求证：圆必经过定点，并求出这个定点。

2.若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标是2，求线段的长。

3.已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，到焦点的距离是5，求的值及抛物线的标准方程、准线方程。

四、小结

五、课后作业
1.焦点为的抛物线的标准方程是；
2.顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上有一点到焦点的距离为5，则=；
3.已知抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是；
4.已知抛物线的弦垂直于轴，若，则焦点到直线的距离为；
5.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于，求线段的长。
6.已知是抛物线上三点，且它们到焦点的距离成等差数列，求证：。

7.直角三角形的三个顶点都在抛物线上，其中直角顶点为原点，所在直线的方程为，的面积为，求该抛物线的方程。

8.是抛物线上两点，且满足，其中为抛物线顶点，
求证：⑴两点的纵坐标乘积为定值；⑵直线恒过一定点。

订正栏：

文章来源：//m.jab88.com/j/44974.html

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