一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助高中教师在教学期间更好的掌握节奏。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？下面是小编为大家整理的“空间距离”，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体空间距离
高考要求
1理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念
2会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离
知识点归纳
1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离
即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离
结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短
2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．
3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线
4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；
5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；
6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度
说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离
7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)
8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：
（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线
（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段
（3）两个平行平面的公垂线段都相等
（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长
9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离
10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求
10用向量法求距离的公式：
⑴异面直线之间的距离：
，其中
⑵直线与平面之间的距离：
，其中是平面的法向量
⑶两平行平面之间的距离：
，其中是平面的法向量
⑷点A到平面的距离：
，其中，是平面的法向量
另法：点平面
则
⑸点A到直线的距离：
，其中，是直线的方向向量
⑹两平行直线之间的距离：
，其中，是的方向向量
题型讲解
例1设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离
解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
设平面ABC的法向量=（x，y，z），
则=0，=0，
∴
即
令z=－2，则=（3，2，－2）
∴由点到平面的距离公式：
===
∴点D到平面ABC的距离为
解法二：设平面ABC的方程为：
将A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐标代入，得
，
取B＝2，则平面ABC的法向量=(A,B,C)=（3，2，－2）
又因为
∴由点到平面的距离公式：
===
∴点D到平面ABC的距离为
点评：求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉
例2如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点
求：（1）与所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离
解：建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
则由中点坐标公式得P（，0，）、Q（，，0）
（1）∴=（－，0，），=（，－，－a），
=（－）×+0+×（－a）=－a2，
且||=a，||=a
∴cos〈，〉===－
故得两向量所成的角为150°
（2）设=（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即||=1，⊥平面EFB，∴⊥，⊥
又=（－a，a，0），=（0，a，－a），
即有，
取，则
∵=（，0，）
∴设所求距离为d，则=a
（3）设=（x1，y1，z1）是两异面直线的公垂线的方向向量，
则由=（－，0，），=（，－，－a），得
取＝－1，则
而=（0，a，0）设所求距离为m，
则=a
例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离
分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题
解：建立空间直角坐标系（如图），则B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0）B1（0，0，1），
则
设与都垂直的向量为，
则由和
得，
异面直线BD与B1C的距离：
小结：
1用向量求点到平面的距离的步骤为：先确定平面的法向量，再求该点与平面内一点的连线在法向量上的射影长即得也就是若是平面的法向量，为平面内的一点，则点到平面的距离为：
2求异面直线的距离方法很多，但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若是与异面直线都垂直的向量，点，则异面直线与之间的距离：
3两平面间的距离一般转化为点到平面或线到面的距离来求解
学生练习
1ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为
ABCD1
解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求易证CE=1∴选D
答案：D
2在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是
A13B11C9D7
解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外心
∴OA===5
∴PO==11为所求∴选B
答案：B
3在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是
AaBaCaDa
解析：A到面MBD的距离由等积变形可得
VA—MBD=VB—AMD易求d=a

答案：D
4平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么点P到平面α的距离是
ABCD
解析：cos∠POM=cos∠POHcos∠MOH，
∴=cos∠POH∴cos∠POH=∴sin∠POH=
∴PH=POsin∠POH=3×=
答案：A
5正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是
AaBaCaDa
解析：连结A1E、BE，过E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH=a
答案：D
6A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______
解析：CD=
答案：5或
7设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________
解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD∴AD是PA与BC的公垂线易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=
答案：
8已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE=__________
解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6由面面平行的性质定理可得=，∴=，即=∴DE=25
答案：625
9已知正方体ABCD—A1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点
（1）证明：截面C1EAF⊥平面ABC1
（2）求点B到截面C1EAF的距离
（1）证明：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EF∥B1C，直线B1C⊥BC1且B1C⊥AB，则直线B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1
（2）解：在平面ABC1内，过B作BH，使BH⊥AC1，H为垂足，则BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH===
另法：建立坐标系(略)
10已知直线l上有两定点A、B，线段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC与BD成120°角，求AB与CD间的距离

解法一：在面ABC内过B作BE⊥l于B，且BE=AC，则ABEC为矩形
∴AB∥CE
∴AB∥平面CDE
则AB与CD的距离即为B到DE的距离
过B作BF⊥DE于F，易求BF=a
解法二：建系如图，则A（0，0，b），C（－a，a，a），D（a，0，0），
设AB与CD的公垂线的一个方向向量=（x，y，z），
利用=0，=0，
求出，则d==a
课前后备注

扩展阅读

空间两点间的距离公式

2.3.2空间两点间的距离公式
一、教学目标：通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
二、教学重点、难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
三、教学方法：学导式
四、教学过程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想

先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式

问题问题设计意图师生活动
在平面上任意两点A，B之间距离的公式为|AB|=，那么对于空间中任意两点A，B之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？通过类比，充分发挥学生的联想能力。师：、只需引导学生大胆猜测，是否正确无关紧要。
生：踊跃回答
（2）空间中任意一点P到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]从特殊的情况入手，化解难度师：为了验证一下同学们的猜想，我们来看比较特殊的情况，引导学生用勾股定理来完成
学生：在教师的指导下作答
得出

问题问题设计意图师生活动
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上，学生可以通过类比在平面直角坐标系中，方程表示原点或圆，得到知识上的升华，提高学习的兴趣。师：注意引导类比平面直角坐标系中，方程表示的图形，让学生有种回归感。
生：猜想说出理由

（4）如果是空间中任意一点到点之间的距离公式会是怎样呢？
[2]人的认知是从特殊情况到一般情况的
师生：一起推导，但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论：
五、教后反思：

§3.2.2空间角与距离的计算举例

§3.2.2空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。
【教学目标】：
（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
【教学难点】：
将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．两个向量的数量积如何运算？
2．向量的模与向量的数量积是什么关系？
3．向量的加法法则。为探索新知识做准备.
二、探究与练习
一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
二、例题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设
化为向量问题
依据向量的加法法则，
进行向量运算
回到图形问题
这个晶体的对角线的长是棱长的倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
分析:
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
分析:
∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离点面距离向量的模回归图形
解：
练习:
如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
a和b,CD的长为c,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值
解：如图
化为向量问题
根据向量的加法法则
进行向量运算

设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。
因此

回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为

思考：
（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？
分析：
∴可算出AB的长。
（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为.
（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
分析：二面角平面角向量的夹角回归图形
解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，在平面AC内作CF⊥AB于F。
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
练习：
（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。
2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。
让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。

这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.
及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。

例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。

三、小结1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
2．面面距离点面距离向量的模回归图形
二面角平面角向量的夹角回归图形
反思归纳
四、作业课本P112第2、4题。

练习与测试：
（基础题）
1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
答：C。
2．如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点。那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
答：B。
3，把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为）
A．90°B．60°C，45°D．30°
答：C。
4，已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为．
答：或。
（中等题）
5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，
这条线段与这个二面角的棱所成的角为。
答：
6，棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且．
（Ⅰ）求直线与平面所成的角的三角函数值；
（Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：．
解：（1）连BP，则角APB为直线与平面所成的角，
（2）
所以

高三数学第一轮复习讲义空间的距离

高三数学第一轮复习讲义

空间的距离

一．复习目标：

1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．

二．知识要点：

1．点到平面的距离：．

2．直线到平面的距离：．

3．两个平面的距离：．

4．异面直线间的距离：．

三．课前预习：

1．在中，，所在平面外一点到三顶点的距离都是，则到平面的距离是（）

2．在四面体中，两两垂直，是面内一点，到三个面的距离分别是，则到的距离是（）

3．已知矩形所在平面，，，则到的距离为，到的距离为．4．已知二面角为，平面内一点到平面的距离为，则到平面的距离为．

四．例题分析：例1．已知二面角为，点和分别在平面和平面内，点在棱上，，（1）求证：；（2）求点到平面的距离；（3）设是线段上的一点，直线与平面所成的角为，求的长（1）证明：作于，连接，∵，，∴，∴，平面，平面，∴．解：（2）作于，∵平面，∴，∴，是点到平面的距离，由（1）知，∴．∴点到平面的距离为．（2）连接，∵，与平面所成的角为，，，∴，∵，，为正三角形，是中点，∴是中点，∴．小结：求点到平面的距离关键是寻找点到的垂线段．例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设，

则，，，，

∵分别是，与的中点，∴，∵是的重心，，∴，，

，∵平面，得，且与平面所成角，，

，，（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，∵平面，到平面的距离等于．

小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．例3．已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，（1）证明:为异面直线的公垂线；（2）求点到平面的距离．解：（1）以分别为轴建立坐标系，则，，，，，，，∴，∴为异面直线的公垂线．（2）设是平面的法向量，∵，∴，，，点到平面的距离．小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．

五．课后作业：班级学号姓名

1．已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（）

2．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）

3．四面体的棱长都是，两点分别在棱上，则与的最短距离是（）

4．已知二面角为，角，，则到平面的距离为．

5．已知长方体中，，那么直线到平面的距离是．

6．如图，已知是边长为的正方形，分别是的中点，，，（1）求证：；（2）求点到面的距离．
7．在棱长为1的正方体中，（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的距离；（4）求直线到的距离．

《点到直线的距离》教案

俗话说，凡事预则立，不预则废。教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，让教师能够快速的解决各种教学问题。那么，你知道教案要怎么写呢？为此，小编从网络上为大家精心整理了《《点到直线的距离》教案》，欢迎大家与身边的朋友分享吧！

一.教学目标
1.教材分析
⑴教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书(必修·人民教育出版社)第二册(上),“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用.
⑵地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识.对“点到直线的距离”的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用.
2.学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力.根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点,本课采用类比发现式教学法.
3.教学目标
依据上面的教材分析和学情分析,制定如下教学目标.
⑴知识技能
①理解点到直线的距离公式的推导过程;
②掌握点到直线的距离公式;
③掌握点到直线的距离公式的应用.
⑵数学思考
①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程,渗透算法的思想;
②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程,培养学生的数学阅读能力;
③通过灵活应用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.
⑶解决问题
①通过问题获得数学知识,经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程;
②由探索点到直线的距离,推广到探索点到直线的距离的过程,使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法.
⑷情感态度
结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学生的学习兴趣.

文章来源：http://m.jab88.com/j/38131.html

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