充要条件与反证法●知识梳理
1.充分条件:如果pq,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
2.必要条件:如果qp,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
3.充要条件:如果既有pq,又有qp,记作pq,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
●点击双基
1.ac2bc2是ab成立的
A.充分而不必要条件B.充要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析:abac2bc2,如c=0.
答案:A
2.(2004年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析:命题甲:a·b=a·ca·(b-c)=0a=0或b=c.
命题乙:b=c,因而乙甲,但甲乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案:B
3.(2004年浙江,8)在△ABC中,A30°是sinA的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,A30°0sinA1sinA,sinA30°A150°
A30°.
∴A30°是sinA的必要不充分条件.
答案:B
4.若条件p:a4,q:5a6,则p是q的______________.
解析:a45a6,如a=7虽然满足a4,但显然a不满足5a6.
答案:必要不充分条件
5.(2005年春季上海,16)若a、b、c是常数,则a0且b2-4ac0是对任意x∈R,有ax2+bx+c0的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:若a0且b2-4ac0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c0.因此应选A.
答案:A
●典例剖析
【例1】使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x0B.x≥0
C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3
剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤-或x≥3,∴对于A当x=-时2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案:C
【例2】求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明:(1)必要性,即若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0.
∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根.
把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
证明:必要性:
(1)方程有一正根和一负根,等价于
a0.
(2)方程有两负根,等价于
0a≤1.
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a0或0a≤1.
充分性:由以上推理的可逆性,知当a0时方程有异号两根;当0a≤1时,方程有两负根.故a0或0a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案:a0或0a≤1.
【例3】下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
(1)x2=x+2是x=x2的充分条件;
(2)x2=x+2是x=x2的必要条件.
解:(1)x2=x+2是x=x2的充分条件是指x2=x+2x=x2.
但这里不成立,因为x=-1时,左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
x2=x+2x=x2=x.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
(2)x2=x+2是x=x2的必要条件是指x=x2x2=x+2.
但这里不成立,因为x=0时,左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x=x2=xx+2=x2.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x=x2的真值集合是{0,2},{-1,2}{0,2},而{0,2}{-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:依题意有pr,rs,sq,∴prsq.但由于rp,∴qp.
答案:A
2.(2003年北京高考题)cos2α=-是α=kπ+,k∈Z的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析:cos2α=-2α=2kπ±α=kπ±.
答案:A
3.(2005年海淀区第一学期期末练习)在△ABC中,AB是cosAcosB的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,ABcosAcosB(余弦函数单调性).
答案:C
4.命题A:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B:曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.
答案:充分不必要
5.(2004年北京,5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
A.a∈(-∞,1]B.a∈[2,+∞)
C.α∈[1,2]D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)
解析:∵f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2](-∞,a]或[1,2][a,+∞),即a≥2或a≤1.
答案:D
6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析:先根据前n项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证明其充分条件.
解:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·pn-1.
由于p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,则=p,即(p-1)·p=p(p+q),∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)·pn-1,=p(n≥2),
∴{an}是等比数列.
培养能力
7.(2004年湖南,9)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(UB)的充要条件是
A.m-1,n5B.m-1,n5
C.m-1,n5D.m-1,n5
解析:∵UB={(x,y)|nx+y},将P(2,3)分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.
答案:A
8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0,①
x2-4mx+4m2-4m-5=0.②
求使方程①②都有实根的充要条件.
解:方程①有实数根的充要条件是Δ1=(-4)2-16m≥0,即m≤1;
方程②有实数根的充要条件是Δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
∴方程①②都有实数根的充要条件是-≤m≤1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明:反证法:
假设三个方程中都没有两个相异实根,
则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.①
由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
探究创新
10.若x、y、z均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,则a、b、c中是否至少有一个大于零?请说明理由.
解:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∵π-30,且无论x、y、z为何实数,
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
∴a+b+c0.这与a+b+c≤0矛盾.因此,a、b、c中至少有一个大于0.
●思悟小结
1.要注意一些常用的结论否定形式,如至少有一个至多有一个都是的否定形式是一个也没有至少有两个不都是.
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
●教师下载中心
教学点睛
1.掌握常用反证法证题的题型,如含有至少有一个至多有一个等字眼多用反证法.
2.强调反证法的第一步,要与否命题分清.
3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
拓展题例
【例题】指出下列命题中,p是q的什么条件.
(1)p:0x3,q:|x-1|2;
(2)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
(3)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
解:(1)p:0x3,q:-1x3.
p是q的充分但不必要条件.
(2)pq,qp.p是q的必要但不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
评述:依集合的观点看,若AB,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
俗话说,磨刀不误砍柴工。教师要准备好教案,这是每个教师都不可缺少的。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣,减轻教师们在教学时的教学压力。怎么才能让教案写的更加全面呢?下面是小编精心收集整理,为您带来的《《前方》导学案-》,仅供参考,欢迎大家阅读。
《前方》导学案
【学习目标】
1、理解作者对人生之旅独特的哲学思考
2、初步掌握有关文本研习的评点方法。
【学习流程】
一、学习导入
毛泽东在少年时期有一首诗是这样写的,“孩儿立志出乡关,学不成名誓不还。埋骨何须桑梓地,人生无处不青山。”少年时的毛泽东胸怀大志,离家远走,求学四方,先后到过长沙、北京等地丰富了学识,成熟了思想,最终缔造了新中国,成就了他的丰功伟业。而这一切无不源自于最初的离家。其实千百年来,离家也正是人类的普遍行为。人们为什么要离家呢?离家之后的人生之旅是怎样的呢?学习《前方》也许你会有深深地思考。
二、背景知识
1、作者介绍。
曹文轩,1954年生,江苏盐城人。现任北京大学教授、现当代文学博士生导师,中国作家协会全国委员会委员。儿童文学委员会委员,中国作家协会鲁迅文学院客座教授。中国少年写作的积极倡导者、推动者。主要文学作品集有《忧郁的田园》、《红葫芦》、《蔷薇谷》、《追随永恒》、《三角地》等。长篇小说有《山羊不吃天堂草》、《草房子》、《红瓦黑瓦》、《根鸟》、《细米》等。有人评价他的作品是“追随永恒的力作”。2003年作家出版社出版《曹文轩文集》(9卷)作品大量被译介到国外,《红瓦黑瓦》、《草房子》以及一些短篇小说分别翻译为英、法、日、韩等文字。获省部级以上学术奖、文学奖30余种。其中有宋庆龄文学奖金奖、冰心文学大奖、国家图书奖、金鸡奖最佳编剧奖、中国电影华表奖、德黑兰国际电影节“金蝴蝶”奖、北京市文学艺术奖、中国台湾中国时报年度开卷奖、“好书大家评”年度最佳小说奖等奖项。
为什么他会有这么大的影响呢?因为他写了人类普遍关注的生活元素——美。
2、文学观点。
曹文轩反对文学过多地贴近生活,力图表现生活纯净的美。他创作的倾向就是对人类精神家园的构建。在这篇文章中有没有对精神家园的探寻呢?还是让我们来品读文章吧。
三、研习文本。
(一)阅读全文,给下列加点字注音。
迁徙()袭击() 按捺不住() 憔悴()
惶惑()温馨()水中之屑()抛锚()
(二)研习第一部分(1)
这是一篇根据印度摄影师拍摄的名叫《前方》的照片写成的摄影散文。摄影散文是一种新兴的文体,顾名思义,它是由摄影作品和文字构成的。成功的摄影散文不是对摄影作品呆板的解说,而是由图像本身引发的新的思考。《前方》,它的开篇引出一个什么话题呢?
无论归家还是远行,都与离家有关,“离家”正是本文要谈的话题。
(二)研习第二部分(2-7):对人类的离家进行叙述和分析。
1、为什么人有克制不住的离家的欲望?课文是作几个方面进行论述的?
明确:1、离家的习性与欲望没有寂灭2、外面世界的诱惑3、出自无奈4、前方对人的呼唤
2、为什么要描述动物大迁徙的宏大场面?
明确:能更直观地表现迁徙是习性,前方对动物的诱惑。
3、因为各种原因的离家最终的追求是什么?
明确:获得生命的快感,满足虚荣心;获得自由;为了一个梦想。
(三)研习第三部分(8-11):分析人类悲剧性的精神状态。
1、因为人们的离家远行,产生了“路”“车”“船”。思考,与先前相比,人类的离家变的是什么,不变的是什么?(8段)
明确:变的是离家的方式、手段、速度,不变的是离家的内涵。
2、为什么人类总要离家,总要赶路?(9段)
明确:是命运把人抛到了路上。
3、作者为什么说“人生实质上是一场苦旅”?人生苦旅苦在何处?用了哪些例子说明?
人生之路是不平坦的,有很多的坎坷,人除了受一路的皮肉之苦外,还要承受巨大的精神压力。这只是形象的说法,其实的说法只能是人的理想与现实之间不可能完全吻合,因而自然会产生了烦恼苦闷。因此,作者说我们不分彼此,都是苦旅者。境遇之苦,精神之苦。作者用钱中书的《围城》、丰子恺的散文描绘的场景加以说明。
4、第11段人的悲剧性实质分为那几个方面?
(1)总想到达目的地却总不能到达目的地。(2)人在“走向前方、到处流浪时,又时时刻刻地惦念着正在远去和久已不见的家、家园和家乡”。(3)“人无法还家。”(4)“即便是还了家,依然还在无家的感觉之中。”
5、《前方》表面上是写离家,实质着眼于归家。离家和归家之间到底是什么关系?
家是我们人生的出发点,而前方又时时刻刻召唤着我们,我们总是围绕着家进进出出。为了追求理想,我们离家;为了寻觅精神家园,我们又归家。在“离家”与“归家”的进出中,我们有了精神追求,寻觅着精神家园。
(四)最后一段话回扣摄影作品,怎么理解。
将要回家的,其实处在心灵的旷野;走向旷野的,远离了精神的家园。
(五)探究作者观点。
在人生的道路上,人们不仅需要物质上的家,更需要精神的家园。每一个人的内心都会不断地寻找这种精神家园,但这条道路和人类走向前方的道路都是漫无尽头的,因此,人类自然会产生一种无家可归的感觉,他们也在漫无尽头的路上,永远在不断寻找着精神家园。
你同意这种观点吗?对此你有什么看法?
明确:有人认为,这种观点可以让人们全面地关注人类的精神生活,总而让人类的精神生活不断丰富完善;有人认为,精神家园的无法寻找,让人类永远处于痛苦状态中,自寻烦恼,不可提倡。
【学习总结】
家--------------------------路---------------------------前方
┃┃┃
(精神家园)(人生之路)(未经历的人生)
【学习巩固】
一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划,作为教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点,帮助教师更好的完成实现教学目标。教案的内容要写些什么更好呢?小编为此仔细地整理了以下内容《《离骚》导学案》,供大家借鉴和使用,希望大家分享!
《离骚》导学案一名优秀的教师在每次教学前有自己的事先计划,高中教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以让学生更好的消化课堂内容,帮助授课经验少的高中教师教学。怎么才能让高中教案写的更加全面呢?以下是小编为大家收集的“《药》导学案”仅供您在工作和学习中参考。
《药》导学案文章来源:http://m.jab88.com/j/27944.html
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