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北师大版七年级数学下册第五章知识点：生活中的轴对称

一、轴对称图形

1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点：

（1）指一个图形；

（2）存在一条直线（对称轴）；

（3）图形被直线分成的两部分互相重合；

（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；

（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；

二、轴对称

1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应注意：

（1）有两个图形；

（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；

（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；

（4）对称轴是直线而不是线段；

三、角平分线的性质

1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

四、线段的垂直平分线

1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

五、等腰三角形

1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；

3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；

4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。

9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。

10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：

（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。

六、等边三角形

1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。

2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。

3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。

4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。

七、轴对称的性质

1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。

2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。

3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。

5、类似地，轴对称图形的性质有：

（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。

（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。

八、图案设计

1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。

2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤:

（1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；

（2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。

（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。

3、表达方式（以点M为例）：

（1）过点M作对称轴的垂线，垂足为A；

（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线的对称点。

（3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线的对称点M’.

4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：

（1）要有明确的设计意图；

（2）创意要新颖独特；

（3）设计出的图案要符合要求；

（4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。

5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。

6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。

九、镜面对称

1、镜面对称的有关性质：

（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的。因此，一个轴对称图形在镜子中的像仍是轴对称图形。

（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；

（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；

2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：

（1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。

（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。

3、像与物体到镜面的距离相等。

4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。

5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表示的，也有直接用钟表来表示的。在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解决。

精选阅读

北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案

每个老师需要在上课前弄好自己的教案课件，大家在认真准备自己的教案课件了吧。写好教案课件工作计划，才能规范的完成工作！你们会写一段优秀的教案课件吗？考虑到您的需要，小编特地编辑了“北师大版七年级下册数学《第5章生活中的轴对称》全章教案”，相信能对大家有所帮助。

第五章生活中的轴对称
教材简析
本章的主要内容有轴对称和轴对称图形的概念以及它们的区别、联系；简单的轴对称图形的性质；利用轴对称进行图案设计．
在对轴对称图象的初步认识的基础上，通过观察、认识、分析生活中的轴对称现象，研究轴对称及其基本性质，进而动手操作利用轴对称进行图案设计．
本章是中考的必考内容，主要考查轴对称、轴对称图形的识别、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定方法与性质，考查形式灵活多样，主要有选择题、填空题和解答题，难度不大．
教学指导
【本章重点】
1．轴对称图形的性质．
2．角平分线、线段垂直平分线及等腰三角形的性质．
【本章难点】
1．利用线段、角、等腰三角形的轴对称性解决简单的计算和书写推理的过程．
2．轴对称与轴对称图形的区别与联系．
3．利用轴对称的性质进行图案设计．
【本章思想方法】
1．体会分类讨论思想，如根据等腰三角形的特殊性，需分类讨论已知角是顶角还是底角，已知边是腰还是底边等．
2．体会转化思想，如在利用垂直平分线的性质定理求三角形的周长时，把三角形周长转化为已知线段的和．
课时计划
1轴对称现象1课时
2探索轴对称的性质1课时
3简单的轴对称图形3课时
4利用轴对称进行设计1课时
1轴对称现象
教学目标
一、基本目标
1．经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程，进一步积累数学活动经验和发展学生的空间观念．
2．理解轴对称图形和成轴对称的图形的定义，能够识别这些图形并能指出它们的对称轴．
3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．
二、重难点目标
【教学重点】
通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析，认识轴对称和轴对称图形，会找出简单的轴对称图形的对称轴．
【教学难点】
理解轴对称图形和轴对称的联系与区别．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P115～P117的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
2．如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴.
3．下列图形中是轴对称图形的有(B)
A．①②B．①④
C．②③D．③④
4．两个大小不同的圆可以组成如图中的五种图形，它们仍旧是轴对称图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么特点．
解：如图所示：
它们的对称轴均为经过两圆圆心的一条直线．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．
【互动探索】(引发学生思考)如何判断一个图形是否是轴对称图形？如何找轴对称图形的对称轴？
【解答】(1)(3)(5)(6)(9)不是轴对称图形；(2)(4)(8)有1条对称轴；(7)有4条对称轴；(10)有2条对称轴．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个图形是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，沿这条直线折叠，使它两旁的部分能够互相重合．
【例2】图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？
【互动探索】(引发学生思考)可用两个图形成轴对称的概念来解决．
【解答】图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称．
整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)两个图形成轴对称与轴对称图形的联系与区别：
两个图形成轴对称轴对称图形
联系操作方式相同：沿一条直线折叠
沿直线折叠后，直线两旁的图形能完全重合
可以相互转化：把成轴对称的两个图形看作一个整体，就可以得到一个轴对称图形；把轴对称图形两旁的部分分别看作两个图形，它们就是成轴对称的两个图形
区别成轴对称是对于两个图形而言轴对称图形是对于一个图形而言
两个图形分居一条直线两旁一个图形被直线分成两部分
折叠后，一个图形与另一个图形完全重合折叠后，图形的一部分与另一部分互相重合(即重合到自身上)
(2)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称是指两个图形之间的形状与位置的关系．
活动2巩固练习(学生独学)
1．誉为全国第三大露天碑林的浯溪碑林，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是(C)
2．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为书.
3．试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格．
正多边形的边数34567
对称轴的条数34567
根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．
解：如图：
4．观察图中的各种图形，说明哪些图形放在一起可形成轴对称．
解：根据轴对称图形的性质得出：(1)和(6)，(2)和(4)，(9)和(10)能形成轴对称图形．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】轴对称在数学计算中有巧妙的应用．如图1，现要计算长方形中六个数字的和，我们发现，把长方形沿对称轴l1对折，重合的数字均为4，故六个数字的和为34＝12；若沿对称轴l2对折，则六个数字的和可表示为42＋22＝12.受上面方法的启发，请快速计算正方形(图2)中各数字之和．
图1图2
【互动探索】利用轴对称图形对称位置上的两数相加和相等来进行简便计算．
【解答】如图所示，一条对角线上的数都是5，若把这条对角线所在直线当作对称轴，把正方形对折一下，对称位置上的两数之和均为10，这样正方形中各数字之和为1010＋55＝125.
【互动总结】(学生总结，老师点评)数形结合是初中数学的一种重要思想方法，在求一组有特殊规律的数字的和时，经常会用到对称的思想及其相关的知识．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
轴对称现象
练习设计
请完成本课时对应练习！
2探索轴对称的性质
教学目标
一、基本目标
1．经历探索轴对称性质的过程，积累数学活动经验，发展空间观念．
2．理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．
二、重难点目标
【教学重点】
探索并掌握轴对称的性质．
【教学难点】
运用轴对称的性质作图及利用轴对称的性质解决一些实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P118～P119的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．我们把沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角.
2．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
3．画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.
4．如图，五边形ABCDE是轴对称图形，线段AF所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．
解：相等的线段：AB＝AE，CB＝DE，CF＝DF；相等的角：B＝E，C＝D，BAF＝EAF，AFD＝AFC．
5．把如图所示的图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
解：如图所示：
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2cm，C＝95，则AE＝________，D＝________.
【互动探索】(引发学生思考)因为△ABC和△AED关于直线l对称，AB＝2cm，C＝95，所以AE＝AB＝2cm，D＝C＝95.
【答案】2cm95
【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类问题应先根据条件确定对应点，从而确定对应线段、对应角．
【例2】画出△ABC关于直线l的对称图形．
【互动探索】(引发学生思考)画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？
【解答】如图所示：
【互动总结】(学生总结，老师点评)画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，△ABC和△ABC关于直线l对称，若A＝50，C＝30，则B的度数为(D)
A．30B．50
C．90D．100
2．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，与对角线交于点Q，点P是直线MN上面一点，下列判断错误的是(D)
A．AQ＝BQB．AP＝BP
C．MAP＝MBPD．ANM＝NMB
3．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中BAD＝150，B＝40，则BCD的度数是(A)
A．130B．150
C．40D．65
4．如图，将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形．
解：如图所示：
5．如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度打击白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时1＝2，3＝4，并且2＋3＝90，4＋5＝90.如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角5＝30，那么1应该等于多少度才能保证黑球准确入袋？请说明理由．
解：1＝30才能保证黑球准确入袋．
理由如下：如图，因为5＝30，
所以7＝5＝30.
因为3＝4，
所以6＝7＝30，
所以2＝6＝30，
所以1＝2＝30.
即1＝30才能保证黑球准确入袋．
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上的点F处，若EFB＝60，则CFD＝()
A．20B．30
C．40D．50
【互动探索】根据图形翻折变换，得△ADE与△FDE关于直线DE成轴对称，所以△ADE≌△FDE，所以EFD＝EAD＝90.因为EFB＝60，所以CFD＝90－EFB＝30.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
3简单的轴对称图形
第1课时等腰三角形
教学目标
一、基本目标
1．经历探索等腰三角形和等边三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、两底角相等等性质．
2．能根据等腰三角形的性质解决一些简单的问题．
二、重难点目标
【教学重点】
等腰三角形、等边三角形的性质．
【教学难点】
等腰三角形、等边三角形的性质及探索过程．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P121～P122的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．等腰三角形的性质：
(1)等腰三角形是轴对称图形；
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称三线合一)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴；
(3)等腰三角形的两个底角相等.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC．
(1)因为ADBC，
所以BAD＝CAD，BD＝CD；
(2)因为AD是中线，
所以ADBC，BAD＝CAD；
(3)因为AD是角平分线，
所以ADBC，BD＝CD；
(4)因为AB＝AC，
所以B＝C.
3．完成教材P121想一想：
解：(1)等边三角形有三条对称轴，内角的平分线(各边上的中线、各边上的高)所在的直线为其对称轴．
(2)等边三角形的特征：①三条边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是60；②是轴对称图形；③具有等腰三角形的一切特征．
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC中各内角的度数．
【互动探索】(引发学生思考)设A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】因为AB＝AC，BD＝BC＝AD，
所以ABC＝C＝BDC，A＝ABD．
设A＝x，则ABC＝C＝BDC＝ABD＋A＝2x.
在△ABC中，因为A＋ABC＋C＝180，
所以x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.
所以在△ABC中，A＝36，ABC＝C＝72.
【互动总结】(学生总结，老师点评)当题中等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图，已知AB＝AC，BDAC于点D．求证：BAD＝2DBC．
【互动探索】(引发学生思考)由BAD＝2DBC，考虑作BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等证明结论．
【证明】过点A作AEBC于点E.
因为AB＝AC，AEBC，
所以BAD＝22.
因为BDAC于点D，
所以BDC＝90，
所以2＋C＝C＋DBC＝90，
所以DBC＝2，
所以BAD＝2DBC．
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)从要证的等式中角之间的数量关系，考虑利用等腰三角形三线合一作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．
活动2巩固练习(学生独学)
1．已知等腰三角形的一个角为80，则其顶角为(D)
A．20B．50或80
C．10D．20或80
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分BAC，则BD＝3cm.
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，A＝60，则BC＝5.
4．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：BM＝CM.
证明：因为AB＝AC，CN＝AC，
所以AB＝CN，N＝CAN.
又因为AB∥CN，
所以BAM＝N，
所以BAM＝CAM，
所以AM为BAC的平分线．
又因为AB＝AC，
所以AM为△ABC的边BC上的中线，
所以BM＝CM.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】已知△ABC是等腰三角形，且A＋B＝130，求A的度数．
【互动探索】要求A，需讨论A是等腰△ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．
【解答】分情况讨论：
当A为顶角时，则B＝C．
因为A＋B＋C＝180，A＋B＝130，
所以B＝C＝50，所以A＝80.
当C为顶角时，则A＝B．
因为A＋B＝130，所以A＝65.
当B为顶角时，则A＝C．
因为A＋B＋C＝180，A＋B＝130，
所以A＝C＝50.
综上所述，A的度数可以为80，65或50.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．本题易忽略讨论B是顶角还是底角．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
等腰三角形
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时线段的垂直平分线
教学目标
一、基本目标
1．探索并了解线段垂直平分线的有关性质，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
2．会用尺规作图作一条线段的垂直平分线．
3．经历探索简单图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．
二、重难点目标
【教学重点】
垂直平分线的有关性质．
【教学难点】
用尺规作图作线段的垂直平分线，并利用垂直平分线的性质解决一些实际问题．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P123～P124的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．
2．线段的垂直平分线的定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
3．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为(B)
A．6B．5
C．4D．3
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P124例1.
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，求BC的长．
【互动探索】(引发学生思考)DE垂直平分ABAD＝BD△DBC的周长为35cmBC＋AD＋CD＝35cm求出BC．
【解答】因为DE垂直平分AB，所以AD＝BD．
因为△DBC的周长为35cm，即BC＋BD＋CD＝35cm，
所以BC＋AD＋CD＝35cm.
又因为AC＝AD＋DC＝20cm，
所以BC＝35－20＝15(cm)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，CE＝4，△ABC的周长是25，则△ABD的周长为(C)
A．13B．15
C．17D．19
2．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D、E，B＝60，C＝25，则BAD为(B)
A．50B．70
C．75D．80
3．如图，在△ABC中，AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D．若△DBC的周长为35cm，则BC长为15cm.
4．如图，在Rt△ABC中，B＝90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知BAE＝10，求C的度数．
解：因为B＝90，BAE＝10，
所以BEA＝80.
因为ED是AC的垂直平分线，
所以AE＝EC，所以C＝EAC．
因为BAC＋B＋C＝180，BAC＝BAE＋EAC，
所以10＋EAC＋90＋C＝180.
所以C＝EAC＝40.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD．
【互动探索】(1)根据AD∥BC可知ADE＝ECF，再根据E是CD的中点可证得△ADE≌△FCE，从而根据全等三角形的性质得到结论；(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【证明】(1)因为AD∥BC，
所以ADE＝ECF.
因为E是CD的中点，
所以DE＝EC．
又因为AED＝CEF，
所以△ADE≌△FCE，
所以FC＝AD．
(2)因为△ADE≌△FCE，
所以AE＝EF，AD＝CF.
因为BEAE，
所以BE是线段AF的垂直平分线，
所以AB＝BF＝BC＋CF.
因为AD＝CF，
所以AB＝BC＋AD．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
【例4】如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．
【互动探索】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等作图．
【解答】如图，连结AB、AC，分别作出AB、AC的垂直平分线，两线的交点P就是供水站的位置．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了应用作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
线段的垂直平分线
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时角平分线的性质
教学目标
一、基本目标
1．经历探索角的轴对称性的过程，理解并掌握角平分线的有关性质，并能运用角平分线的性质解决一些实际问题．
2．掌握作已知角的平分线的尺规作图方法．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握角平分线的性质，会用尺规作已知角的平分线．
【教学难点】
角平分线的性质的应用．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P125～P126的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．
2．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3．如图，已知BG是ABC的平分线，DEAB于点E，DFBC于点F，DE＝6，则DF的长为(D)
A．2B．3
C．4D．6
4．如图，AD是△ABC中BAC的平分线，DEAB于点E，AC＝7，DE＝4，则△ADC的面积等于14.
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】详细过程见教材P126例2.
【例2】如图，在△ABC中，ACB＝90，BE平分ABC，DEAB于点D，如果AC＝3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CE，从而可知AE、AC、DE之间的数量关系．
【解答】AE＋DE＝AC＝3cm.理由如下：
因为ACB＝90，BE平分ABC，DEAB，
所以DE＝CE，
所以AC＝AE＋CE＝3cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
活动2巩固练习(学生独学)
1．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是(C)
A．OE是AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C、D到OE的距离不相等
D．AOE＝BOE
2．如图，在Rt△ACB中，C＝90，AD平分BAC，若BC＝16，BD＝10，则点D到AB的距离是(D)
A．9B．8
C．7D．6
3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为点A，交CD于点D．若AD＝8，则点P到BC的距离是4.
4．如图，已知BD是ABC的平分线，DEBC于点E，S△ABC＝36cm2，AB＝12cm，BC＝18cm，则DE的长为2.4cm.
教师点拨：过点D作DFAB于点F.根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD＋S△BCD列方程求解即可．
5．如图，BD是ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别为点M、N.试说明：PM＝PN.
证明：因为BD是ABC的平分线，
所以ABD＝CBD．
又因为AB＝BC，BD＝BD，
所以△ABD≌△CBD(SAS)，
所以ADB＝CDB，
即DB是ADC的平分线．
因为PMAD，PNCD，
所以PM＝PN.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，你能说出可供选择的地址有几处吗？
【互动探索】根据角平分线的性质，得货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
【解答】因为中转站要到三条公路的距离都相等，
所以货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点．
而外角平分线有3个交点，内角平分线有1个交点，
所以货物中转站可以供选择的地址有4个．
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
角的轴对称性
练习设计
请完成本课时对应练习！
4利用轴对称进行设计
教学目标
一、基本目标
1．经历观察、分析、作图、折叠等过程，进一步理解轴对称及其性质，发展空间观念．
2．能够利用轴对称进行一些图案设计．
3．欣赏中国民间剪纸艺术中的一些图案，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握有关轴对称图形画图的操作技能，并能利用图形之间的轴对称关系来设计轴对称图形．
【教学难点】
掌握有关画图的技能及设计轴对称图形．
教学过程
环节1自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P128～P129的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．轴对称的性质：在轴对称图形中，
(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
(2)对应线段相等，对应角相等.
2．如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的(A)
A．轴对称性B．蝴蝶效应
C．颜色鲜艳D．数形结合
3．下列有关安全提示的图案中，可以看作轴对称图形的是(C)
4．如图的四个图案都是轴对称图形，它们分别有着自己的含义，如图1可以代表针织品、联通；图2可以代表法律、公正；图3可以代表航海、坚固；图4可以代表邮政、友谊等．请你自己也来设计一个轴对称图形，并请说明你所设计的轴对称图形的含义．
解：答案不唯一，如图：
环节2合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】在33的正方形网格图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的△DEF.(每个33正方形网格图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种)
【互动探索】(引发学生思考)根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可．
【解答】如图，△DEF即为所求．(答案不唯一)
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．解题时注意：若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种．
活动2巩固练习(学生独学)
1．下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是(C)
2．如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有3种．
3．用四块如图1所示的是小正方形瓷砖拼成一个轴对称的大正方形图案(如图2)．请在图3、图4中分别给出两种不同的拼法，且使拼出的图案为轴对称图形．
解：如图所示：
活动3拓展延伸(学生对学)
【例2】观察设计：
(1)观察如图1～图4中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；
(2)在图5的网格中，设计一个新的图案，使该图案同时具有你在(1)中所写出的两个共同特征．(注意：新图案与如图1～图4的图案不能重合)
【互动探索】(1)利用已知图形的特征分别得出其共同的特征；(2)利用(1)所写的特征画出符合题意的图形即可．
【解答】(1)答案不唯一，如：所给的四个图案具有的共同特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案；④图案中不含钝角等．
(2)答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征均正确．例如：同时具备特征①、②的部分图案如图：
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握图形的特征是解题关键．
环节3课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！

北师大版七年级数学上册第五章期末复习知识点

学生们有一个生动有趣的课堂，离不开老师辛苦准备的教案，是时候写教案课件了。在写好了教案课件计划后，才能够使以后的工作更有目标性！你们会写多少教案课件范文呢？小编为此仔细地整理了以下内容《北师大版七年级数学上册第五章期末复习知识点》，仅供参考，欢迎大家阅读。

北师大版七年级数学上册第五章期末复习知识点
七上第五章一元一次方程
1.一元一次方程
1)概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
2）方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
3）等式的基本性质1:等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。
等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.
4)利用等式的基本性质解一元一次方程：利用等式的性质把方程ax+b=0(a≠0)进行变形，最后化为x=-b/a的形式，它一般先运用基本性质1，将ax+b=0变形为ax=-b，然后运用基本性质2，将ax=-b变形为x=-b/a即可。
2.求解一元一次方程
1）移项：方程中任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.(注意：移项要变号)
2)解一元一次方程的基本思想：根据等式的基本性质把一元一次方程化简为ax=b（a,b为常数，且a≠0）的形式，再得到方程的解为x=b/a.
3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1
3.列一元一次方程解应用题
步骤：审清题意、找出等量关系、设未知数、列一元一次方程、解一元一次方程、检验解的合理性、写出答案.

北师大版七年级数学上册第五章知识点整理

做好教案课件是老师上好课的前提，大家在用心的考虑自己的教案课件。在写好了教案课件计划后，才能更好的在接下来的工作轻装上阵！那么到底适合教案课件的范文有哪些？下面是小编帮大家编辑的《北师大版七年级数学上册第五章知识点整理》，仅供参考，欢迎大家阅读。

北师大版七年级数学上册第五章知识点整理

1.一元一次方程

1)概念：在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.

2）方程的解：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.

3）等式的基本性质1:等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。

等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.

4)利用等式的基本性质解一元一次方程：利用等式的性质把方程ax+b=0(a≠0)进行变形，最后化为x=-b/a的形式，它一般先运用基本性质1，将ax+b=0变形为ax=-b，然后运用基本性质2，将ax=-b变形为x=-b/a即可。

2.求解一元一次方程

1）移项：方程中任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.(注意：移项要变号)

2)解一元一次方程的基本思想：根据等式的基本性质把一元一次方程化简为ax=b（a,b为常数，且a≠0）的形式，再得到方程的解为x=b/a.

3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1

3.列一元一次方程解应用题

步骤：审清题意、找出等量关系、设未知数、列一元一次方程、解一元一次方程、检验解的合理性、写出答案.

七上第六章数据的收集与整理

1.数据的收集

1）方式：问卷调查、访谈、查阅资料、实地调查、试验、网上搜索等（根据具体情况合理地选择数据收集的方式）.

2）步骤：（1）明确调查的问题和目的；（2）确定调查对象；（3）选择调查方式；（4）设计调查问题；（5）展开调查；（6）收集并整理数据；（7）分析数据，得出结论.

2.普查和抽样调查

1）普查：对所有考察对象进行全面调查叫普查

优点：可以直接获得总体情况；

缺点：总体中个体数目较多时，普查的工作量较大.

2）总体：所要考察的对象的全体叫总体

个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体

1）抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查叫做抽样调查

优点：调查范围小，节省时间、人力、物力及财力

缺点：没有普查得到的结果准确

样本：从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个样本，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性.

3.数据的表示

1）扇形统计图

概念：用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小.

特点：（1）反映具体问题中的部分与总体的数量关系.

（2）只能得到各部分的百分比，得不到具体数量.

（3）在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比.

绘制扇形统计图的步骤：计算各部分占总体的百分比

计算各部分对应的扇形的圆心角的度数

画出扇形统计图，表上百分比

写出扇形统计图的名称

2)条形统计图：一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的项目，长方形的高表示其中一个项目的数据.

特点：能清楚地表示出每个项目的具体数据.

3）频数直方图

（1）频数：在数据统计中每个对象出现的次数称为频数

（2）注意：频数能反映每个对象出现的频繁程度；所有对象的频数之和等于数据总数.

（3）绘制频数直方图的步骤：计算所给数据的最大值与最小值的差；决定组距和组数；确定分点；列频数分布表；绘制频数直方图

（4）频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组，画在横轴上；纵轴（即长方形的高）表示各组数据的频数.

（5）频数直方图的优点：能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.

4）折线统计图：用折线的起伏表示数据的增减变化.

4.统计图的选择

条形统计图：清楚地表示每个项目的具体数目

折线统计图：清楚地反映事物的变化情况

扇形统计图：清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比

频数直方图:能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.

文章来源：http://m.jab88.com/j/24999.html

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