一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,高中教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以更好的帮助学生们打好基础,帮助高中教师提高自己的教学质量。你知道如何去写好一份优秀的高中教案呢?以下是小编为大家精心整理的“3.5等比数列的前n项和(第一课时)”,仅供参考,希望能为您提供参考!
3.5等比数列的前n项和(第一课时)
教学目的:
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
教学重点:等比数列的前n项和公式推导
教学难点:灵活应用公式解决有关问题
教学过程:
一、复习等比数列的通项公式,有关性质,及等比中项等概念。
二、引进课题,采用印度国际象棋发明者的故事,
即求①
用错项相消法推导结果,两边同乘以公比:
②
②-①:这是一个庞大的数字1.84×,
以小麦千粒重为40计算,则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。
三、一般公式推导:设①
乘以公比,②
①-②:,时:
时:
公式的推导方法二:
有等比数列的定义,
根据等比的性质,有
即(结论同上)
围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.
公式的推导方法三:
=
==
(结论同上)
注意:(1)和各已知三个可求第四个,
(2)注意求和公式中是,通项公式中是不要混淆,
(3)应用求和公式时,必要时应讨论的情况。
四、例1、求等比数列的前8项和.(P127,例一)——直接应用公式。
例2、某商场第1年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年增加10%,那么从第1年起,约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)(P127,例二)——应用题,且是公式逆用(求),要用对数算。
例3、求和:(x+(其中x≠0,x≠1,y≠1)(P127,例三)——简单的“分项法”。
例4、设数列为求此数列前项的和。
——用错项相消法,注意分两种情况讨论
例5、已知{}为等比数列,且=a,=b,(ab≠0),求.
——注意这是一道多级分类讨论题.一级分类:分两种情况讨论;时,要分
四、练习:
是等比数列,是其前n项和,数列()是否仍成等比数列?
提示:应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论,还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.
五、小结1.等比数列求和公式:当q=1时,
当时,或;
2.是等比数列的前n项和,
①当q=-1且k为偶数时,不是等比数列.
②当q≠-1或k为奇数时,仍成等比数列。
3.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数列的前n项和公式,并在应用中加深了对公式的认识.
六、作业:P129.习题3.51,2,3,4,5,6,7.
第3课时等比数列的前n项和
知能目标解读
1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法--错位相减法,并能用其思想方法求某类特殊数列的前n项和.
2.掌握等比数列前n项和公式以及性质,并能应用公式解决有关等比数列前n项的问题.在应用时,特别要注意q=1和q≠1这两种情况.
3.能够利用等比数列的前n项和公式解决有关的实际应用问题.
重点难点点拨
重点:掌握等比数列的求和公式,会用等比数列前n项和公式解决有关问题.
难点:研究等比数列的结构特点,推导等比数列的前n项和的公式及公式的灵活运用.
学习方法指导
1.等比数列的前n项和公式
(1)设等比数列{an},其首项为a1,公比为q,则其前n项和公式为
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q=1处.因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是不等于1,如果q可能等于1,则需分q=1和q≠1进行讨论.
(2)等比数列{an}中,当已知a1,q(q≠1),n时,用公式Sn=,当已知a1,q(q≠1),an时,用公式Sn=.
2.等比数列前n项和公式的推导
除课本上用错位相减法推导求和公式外,还可以用下面的方法推导.
(1)合比定理法
由等比数列的定义知:==…==q.
当q≠1时,=q,即=q.
故Sn==.
当q=1时,Sn=na1.
(2)拆项法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
当q≠1时,Sn==.
当q=1时,Sn=na1.
(3)利用关系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵当n≥2时,Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
当q≠1时,有Sn=,
当q=1时,Sn=na1.
注意:
(1)错位相减法,合比定理法,拆项法及an与Sn的关系的应用,在今后解题中要时常用到,要领会这些技巧.
(2)错位相减法适用于{an}为等差数列,{bn}为等比数列,求{anbn}的前n项和.
3.等比数列前n项和公式的应用
(1)衡量等比数列的量共有五个:a1,q,n,an,Sn.由方程组知识可知,解决等比数列问题时,这五个量中只要已知其中的任何三个,就可以求出其他两个量.
(2)公比q是否为1是考虑等比数列问题的重要因素,在求和时,注意分q=1和q≠1的讨论.
4.等比数列前n项和公式与函数的关系
(1)当公比q≠1时,令A=,则等比数列的前n项和公式可写成Sn=-Aqn+A的形式.由此可见,非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的,而指数式的系数与常数项互为相反数.
当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).
(2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是函数y=-Aqx+A图像上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图像是正比例函数y=a1x图像上的一群孤立的点.
知能自主梳理
1.等比数列前n项和公式
(1)等比数列{an}的前n项和为Sn,当公比q≠1时,Sn==;当q=1时,Sn=.
(2)推导等比数列前n项和公式的方法是.
2.公式特点
(1)若数列{an}的前n项和Sn=p(1-qn)(p为常数),且q≠0,q≠1,则数列{an}为.
(2)在等比数列的前n项和公式中共有a1,an,n,q,Sn五个量,在这五个量中知求.
[答案]1.(1)na1(2)错位相减法
2.(1)等比数列(2)三二
思路方法技巧
命题方向等比数列前n项和公式的应用
[例1]设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.
[分析]应用等比数列前n项和公式时,注意对公比q的讨论.
[解析]当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;
当q≠1时,=3a1q2,
因为a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
综上所述,公比q的值是1或-.
[说明](1)在等比数列中,对于a1,an,q,n,Sn五个量,已知其中三个量,可以求得其余两个量.
(2)等比数列前n项和问题,必须注意q是否等于1,如果不确定,应分q=1或q≠1两种情况讨论.
(3)等比数列前n项和公式中,当q≠1时,若已知a1,q,n利用Sn=来求;若已知a1,an,q,利用Sn=来求.
变式应用1在等比数列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
[解析]∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3,∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
将q=2代入①,得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命题方向等比数列前n项的性质
[例2]在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
[分析]利用等比数列前n项的性质求解.
[解析]∵{an}为等比数列,∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
[说明]等比数列连续等段的和若不为零时,则连续等段的和仍成等比数列.
变式应用2等比数列{an}中,S2=7,S6=91,求S4.
[解析]解法一:∵{an}为等比数列,∴S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,
∴(S4-7)2=7×(91-S4),解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二:∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
当q=时,a1=,
∴S4==28.
当q=-时,a1=-,
∴S4==28.
探索延拓创新
命题方向等比数列前n项和在实际问题中的应用
[例3]某公司实行股份制,一投资人年初入股a万元,年利率为25%,由于某种需要,从第二年起此投资人每年年初要从公司取出x万元.
(1)分别写出第一年年底,第二年年底,第三年年底此投资人在该公司中的资产本利和;
(2)写出第n年年底,此投资人的本利之和bn与n的关系式(不必证明);
(3)为实现第20年年底此投资人的本利和对于原始投资a万元恰好翻两番的目标,若a=395,则x的值应为多少?(在计算中可使用lg2≈0.3)
[解析](1)第一年年底本利和为a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和为(1.25a-x)+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和为(1.252a-1.25x-x)+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和为
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依题意,有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
设1.2520=t,∴lgt=20lg()=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
变式应用3某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房,银行货款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元?
[解析]第1次还款x元之后到第2次还款之日欠银行
20000(1+10%)-x=20000×1.1-x,
第2次还款x元后到第3次还款之日欠银行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次还款x元后,还欠银行20000×1.110-1.19x-1.18x-…-x,
依题意得,第10次还款后,欠款全部还清,故可得
20000×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0,
解得x=≈3255(元).
名师辨误做答
[例4]求数列1,a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n项和.
[误解]所求数列的前n项和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
[辨析]所给数列除首项外,每一项都与a有关,而条件中没有a的范围,故应对a进行讨论.
[正解]由于所给数列是在数列1,a,a2,a3,…中依次取出1项,2项,3项,4项,……的和所组成的数列.因而所求数列的前n项和中共含有原数列的前(1+2+…+n)项.所以Sn=1+a+a2+…+a.①当a=0时,Sn=1.②当a=1时,Sn=.③当a≠0且a≠1时,Sn=.
课堂巩固训练
一、选择题
1.等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=()
A.2B.4C.D.?
[答案]C
[解析]由题意得==.故选C.
2.等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为()?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
[答案]C
[解析]由题意可得,a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比数列{2n}的前n项和Sn=()
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
[答案]D?
[解析]等比数列{2n}的首项为2,公比为2.?
∴Sn===2n+1-2,故选D.
二、填空题
4.若数列{an}满足:a1=1,an+1=2an(n∈N+),则a5=;前8项的和S8=.(用数字作答)
[答案]16255?
[解析]考查等比数列的通项公式和前n项和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比数列{an}中,Sn表示前n项和,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=.
[答案]3?
[解析]∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
两式相减,得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答题
6.在等比数列{an}中,已知a6-a4=24,a3a5=64,求数列{an}的前8项和.
[解析]解法一:设数列{an}的公比为q,根据通项公式an=a1qn-1,由已知条件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
将a1q3=-8代入①式,得q2=-2,没有实数q满足此式,故舍去.?
将a1q3=8代入①式,得q2=4,∴q=±2.?
当q=2时,得a1=1,所以S8==255;?
当q=-2时,得a1=-1,所以S8==85.
解法二:因为{an}是等比数列,所以依题意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因为{an}是实数列,所以>0,?
故舍去a4=-8,而a4=8,a6=32,从而a5=±=±16.?
公比q的值为q==±2,?
当q=2时,a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
当q=-2时,a1=-1,a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
课后强化作业
一、选择题
1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为()
A.81B.120C.168D.192
[答案]B
[解析]公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a,则a=()
A.-4B.-1C.0D.1
[答案]B
[解析]设等比数列为{an},由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48,∴a=-1.
3.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于()?
A.31B.33C.35D.37
[答案]B
[解析]解法一:S5===1
∴a1=
∴S10===33,故选B.?
解法二:∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25=32
∴S10=a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比数列{an}中,公比q是整数,a1+a4=18,a2+a3=12,则此数列的前8项和为()
A.514B.513C.512D.510
[答案]D
a1+a1q3=18
[解析]由已知得,
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q为整数,∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a2a4=1,S3=7,则S5=()
A.B.C.D.
[答案]B
[解析]设公比为q,则q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去),?
∴a1==4.?
∴S5==8(1-)=.
6.在等比数列{an}(n∈N+)中,若a1=1,a4=,则该数列的前10项和为()
A.2-B.2-C.2-D.2-
[答案]B
[解析]∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2[1-()10]=2-,故选B.
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=3,S6=27,则此等比数列的公比q等于()
A.2B.-2C.D.-
[答案]A?
S3==3,①
[解析]
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故选A.
8.正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前10项和是()
A.65B.-65C.25D.-25
[答案]D
[解析]∵{an}为正项等比数列,a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10===-25.
二、填空题
9.等比数列,-1,3,…的前10项和为.
[答案]-
[解析]S10==-.
10.(2011北京文,12)在等比数列{an}中,若a1=,a4=4,则公比q=;a1+a2+…+an=.
[答案]2,2n-1-
[解析]本题主要考查等比数列的基本知识,利用等比数列的前n项和公式可解得.?
=q3==8,所以q=2,所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n为正奇数)?
11.已知数列{an}中,an=,则a9=.
2n-1(n为正偶数)
设数列{an}的前n项和为Sn,则S9=.
[答案]256377
[解析]a9=28=256,
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比数列{an}中,已知对于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,则a21+a22+…+a2n=.?
[答案]×4n-
[解析]∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
两式相减,得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答题
13.在等比数列{an}中,已知a3=1,S3=4,求a1与q.
S3==4
[解析](1)若q≠1,则,
a3=a1q2=1
从而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
(2)若q=1,则,∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
综上所述得,或.
a1=6a1=1
14.(2011大纲文科,17)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
[分析]设出公比根据条件列出关于a1与q的方程.求得a1与q可求得数列的通项公式和前n项和公式.?
[解析]设{an}的公比为q,由已知有:
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)当a1=3,q=2时,
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)当a1=2,q=3时,an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
综上,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知实数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{an}的前n项和记为Sn,证明:Sn128(n=1,2,3,…).
[解析](1)设等比数列{an}的公比为q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因为a4,a5+1,a6成等差数列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=()n-7.?
(2)证明:Sn==
=128[1-()n]128.
16.2011年暑期人才招聘会上,A、B两家公司分别开出了工资标准:
A公司B公司
第一年月工资为1500元,以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2000元,以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.
大学生王明被A、B两家公司同时录取,而王明只想选择一家连续工作10年,经过一番思考,他选择了A公司,你知道为什么吗?.
[解析]
A公司B公司
第一年月工资为1500元,以后每一年月工资比上一年月工资增加230元.第一年月工资为2000元,以后每一年月工资比上一年月工资增加5%.
王明的选择过程第n年月工资为an第n年月工资为bn
首项为1500,公差为230的等差数列首项为2000,公比为1+5%的等比数列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×[10×1500+×230]=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869
结论显然S10T10,故王明选择了A公司
一名优秀的教师就要对每一课堂负责,高中教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣,帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。怎么才能让高中教案写的更加全面呢?以下是小编为大家精心整理的“说课题目:等比数列的前n项和(第一课时)”,欢迎阅读,希望您能阅读并收藏。
说课题目:等比数列的前n项和(第一课时)(选自人教版高中数学第一册(上)第三章第五节)
一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.
2.从学生认知角度看
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错.
3.学情分析
教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.
4.重点、难点
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用.
教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用.
公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点.
二、目标分析
知识与技能目标:
理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础
上能初步应用公式解决与之有关的问题.
过程与方法目标:
通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转
化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.
情感与态度价值观:
通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之
间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.
三、过程分析
学生是认知的主体,设计教学过程必须遵循学生的认知规律,尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程,结合本节课的特点,我设计了如下的教学过程:
1.创设情境,提出问题
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求.西萨说:请给我棋盘的64个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格.国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊.为什么呢?
设计意图:设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点.
此时我问:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数.带着这样的问题,学生会动手算了起来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和.这时我对他们的这种思路给予肯定.
设计意图:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有悖学生的认知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍.同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔.
2.师生互动,探究问题
在肯定他们的思路后,我接着问:1,2,22,…,263是什么数列?有何特征?应归结为什么数学问题呢?
探讨1:,记为(1)式,注意观察每一项的特征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)
探讨2:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,(1)式两边同乘以2则有,记为(2)式.比较(1)(2)两式,你有什么发现?
设计意图:留出时间让学生充分地比较,等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机.
经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把两式相减,相同的项就消去了,得到:.老师指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以2呢?
设计意图:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不禁惊呼:真是太简洁了!让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心.
3.类比联想,解决问题
这时我再顺势引导学生将结论一般化,
这里,让学生自主完成,并喊一名学生上黑板,然后对个别学生进行指导.
设计意图:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到未知,步步深入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快和成就感.
对不对?这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列?此时sn=?(这里引导学生对q进行分类讨论,得出公式,同时为后面的例题教学打下基础.)
再次追问:结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把sn用a1、an、q表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)
设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知识的主动认识,从而进一步提高分析、类比和综合的能力.这一环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却有画龙点睛之妙用.
4.讨论交流,延伸拓展
在此基础上,我提出:探究等比数列前n项和公式,还有其它方法吗?我们知道,
那么我们能否利用这个关系而求出sn呢?根据等比数列的定义又有,能否联想到等比定理从而求出sn呢?设计意图:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到,这其实就是关于的一个递推式,递推数列有非常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源于课本,又高于课本,对学生的思维发展有促进作用.
5.变式训练,深化认识
首先,学生独立思考,自主解题,再请学生上台来幻灯演示他们的解答,其它同学进行评价,然后师生共同进行总结.
设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识和理解,通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形成.通过以上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞争意识.
6.例题讲解,形成技能
设计意图:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨,该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想.
7.总结归纳,加深理解
以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回答,然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结.
设计意图:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力.
8.故事结束,首尾呼应
最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×1019粒,大约7000亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道,大约是全世界一年粮食产量的459倍,显然国王兑现不了他的承诺.
设计意图:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服疲倦、继续积极思维.
9.课后作业,分层练习
必做:P129练习1、2、3、4
选作:
(2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少?设计意图:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让学有余力的学生有思考的空间.
四、教法分析
对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推导方法,理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系.在教学中,我采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.
利用多媒体辅助教学,直观地反映了教学内容,使学生思维活动得以充分展开,从而优化了教学过程,大大提高了课堂教学效率.
五、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究,使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和公式.错位相减:变加为减,等价转化;递推思想:纵横联系,揭示本质;等比定理:回归定义,自然朴实.学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想,培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性.同时通过精讲一题,发散一串的变式教学,使学生既巩固了知识,又形成了技能.在此基础上,通过民主和谐的课堂氛围,培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯,也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质.
文章来源:http://m.jab88.com/j/17936.html
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