1.6.3直线与平面垂直的性质,平面与平面垂直的性质
一、教学目标
1、知识与技能:(1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理;(2)能运用性质定理解决一些简单问题;(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法:(1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;(2)性质定理的推理论证。
3、情态与价值:通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点:两个性质定理的证明。
三、学法与教法
1、学法:直观感知、操作确认,猜想与证明。2、教法:探究讨论法。
四、教学设计
(一)创设情景,揭示课题
问题:若一条直线与一个平面垂直,则可得到什么结论?若两条直线与同一个平面垂直呢?
让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让我们一起来观察、研探。(自然进入课题内容)
(二)研探新知
1、操作确认:观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间是有什么位置关系?(显然互相平行)然后进一步迁移活动:已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗?(一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?
图2.3-4图2.3-5
2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法,
然后师生互动共同完成该推理过程,最后归纳得出:垂直于同一个平面的两条直线平行。
(三)应用巩固
例子:课本P.74例4
做法:教师给出问题,学生思考探究、判断并说理由,教师最后评议。
(四)类比拓展,研探新知
类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线?
引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动,共同完成性质定理的确认与证明,并归纳性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
(五)巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β,点P在平面α内,过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系?(答:直线a必在平面α内)
思考2、已知平面α、β和直线a,若α⊥β,a⊥β,aα,则直线a与平面α具有什么位置关系?
(六)归纳小结,课后巩固
小结:(1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么?
(2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系?
作业:(1)求证:两条异面直线不能同时和一个平面垂直;
(2)求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
五、教后反思:
一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备,高中教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助高中教师提高自己的教学质量。写好一份优质的高中教案要怎么做呢?下面是小编帮大家编辑的《直线与平面垂直的判定(一)》,仅供参考,希望能为您提供参考!
一、教学目标
1.借助对图片、实例的观察,抽象概括出直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题,进一步培养学生的空间观念。
3.让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点
1.教学重点:操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
三、课前准备
1.教师准备:教学课件
2.学生自备:
三角形纸片、铁丝(代表直线)、纸板(代表平面)、三角板
四、教学过程设计
1.直线与平面垂直定义的建构
(1)动体的特征,对“线面垂直”有了一些初浅认识和感知,在高中阶段,创设情境
①请同学们观察图片,说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系?
②请把自己的数学书打开直立在桌面上,观察书脊与桌面的位置有什么关系?
③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
(2)观察归纳
①思考:一条直线与平面垂直时,这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系?
②多媒体演示:旗杆与它在地面上影子的位置变化。
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作:l⊥α.
直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足。
用符号语言表示为:
(3)辨析(完成下列练习):
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线就与这个平面垂直。
②若a⊥α,bα,则a⊥b。
在创设情境中,学生练习本上画图,教师针对学生出现的问题,如不直观、不标字母等加以强调,并指出这就叫直线与平面垂直,引出课题。
在多媒体演示时,先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2使学生明确旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。
在辨析问题中,解释“无数”与“任何”的不同,并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质,线线垂直与线面垂直可以相互转化,给出常用命题:
2.直线与平面垂直的判定定理的探究
(1)设置问题情境
提出问题:学校广场上树了一根新旗杆,现要检验它是否与地面垂直,你有什么好办法?
(2)折纸试验
如图,请同学们拿出准备好的一块(任意)三角形的纸片,我们一起来做一个实验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上,(BD、DC与桌面接触).观察并思考:
①折痕AD与桌面垂直吗?
②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
③多媒体演示翻折过程。
(3)归纳直线与平面垂直的判定定理
①思考:由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系,即AD⊥CD,AD⊥BD发生变化吗?由此你能得到什么结论?
②归纳出直线与平面垂直的判定定理。
定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
用符号语言表示为:
在讨论实际问题时,学生同桌合作进行试验(将铁丝当旗杆,桌面当地面)后交流方案,如用直角三角板量一次,量两次等。教师不作点评,说明完成下面的折纸试验后就有结论。
在折纸试验中,学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况,引导这两类学生进行交流,根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸,进而探究直线与平面垂直的条件,经过讨论交流,使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高,即AD⊥BC,翻折后折痕AD就与桌面垂直,再利用多媒体演示翻折过程,增强几何直观性。
在归纳直线与平面垂直的判定定理时,先让学生叙述结论,不完善的地方教师引导、补充完整,并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实,简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后,学生试用图形语言表述,练习本上画图,可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况(如图),教师加以说明,同时给出符号语言表述。
在理解直线与平面垂直的判定定理时,强调“两条”、“相交”缺一不可,并结合前面“检验旗杆与地面垂直”问题再进行确认。指出要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,这充分体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想。
3.直线与平面垂直的判定定理的初步应用
(1)尝试练习:
求证:与三角形的两条边同时垂直的直线必与第三条边垂直。
学生根据题意画图,将其转化为几何命题:不妨设
请三位同学板演,其余同学在练习本上完成,师生共同评析,明确运用线面垂直判定定理时的具体步骤,防止缺少条件,同时指出:这为证明“线线垂直”提供了一种方法。
(2)尝试练习:如图,有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有两条长10m的绳子,拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D。如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直.为什么?
本题需要通过计算得到线线垂直。学生练习本上完成后,对照课本P69例1,完善自己的解题步骤。
(3)尝试练习:如图,已知a∥b,a⊥α,求证:b⊥α。
此题有一定难度,教师引导学生分析思路,可利用线面垂直的定义证,也可用判定定理证,提示辅助线的添法,学生练习本上完成,对照课本P69例2,完善自己的解题步骤。
4.总结反思
(1)通过本节课的学习,你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?
(2)在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题?
(3)本节课你还有哪些问题?
学生发言,互相补充,教师点评,归纳出判断直线与平面垂直的方法,给出框图(投影展示),同时,说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法,强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路,并鼓励学生反思,大胆质疑,教师作好记录,以便查缺补漏。
5.布置作业
(1)如图,点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,O是对角线AC与BD的交点,且PA=PC,PB=PD.
求证:PO⊥平面ABCD
(2)课本P70练习2
(3)探究:如图,PA⊥圆O所在平面,AB是圆O的直径,C是圆周上一点,则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形?四棱锥呢?
【板书设计】
教学设计说明
在这次新课程数学教学内容中,立体几何不论从教材编排还是教学要求上都发生了很大变化,因而,我在本节课的处理上也作了相应调整,借助多媒体辅助教学,采用“引导—探究式”教学方法。整个教学过程遵循“直观感知—操作确认—归纳总结”的认知规律,注重发展学生的合情推理能力,降低几何证明的难度,同时,加强空间观念的培养,注重知识产生的过程性,具体体现在以下几个方面:
1.线面垂直的定义没有直接给出,而是让学生在对图形、实例的观察感知基础上,借助动画演示帮助学生概括得出,并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学生死记硬背概念,有利于理解数学概念的本质。
2.线面垂直的判定定理不易发现,在教学中,通过创设问题情境引起学生思考,安排折纸试验,讨论交流,给学生充分活动的时间与空间,帮助学生从自己的实践中获取知识。教师尽量少讲,学生能做的事就让他们自己去做,使学生更好的参与教学活动,展开思维,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣。
3.本节中教师不作例题示范,而是让学生先尝试完成,后讲评明晰。为更好地巩固判定定理,设置了有梯度的练习,其中练习(1)是补充题,是判定定理的最简单的运用。作业中增加了基础题(第1题)和开放性题目(第3题),这样,有助于培养学生的发散思维,使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系,发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。同时,在教学中,始终注重训练学生准确地进行三种语言(文字语言、图形语言和符号语言)的转换,培养运用图形语言进行交流的能力。
4.以问题讨论的方式进行小结,培养学生反思的习惯,鼓励学生对问题多质疑、多概括。
本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的,其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。
直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线(无一例外)都垂直来定义的,定义本身也表明了直线与平面垂直的意义,即如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线,这也可以看成是线线垂直的一个判定方法;直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的,即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了,它把原来定义中要求与任意一条(无限)垂直转化为只要与两条(有限)相交直线垂直就行了,概言之,线不在多,相交就行。直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外,还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面,这是直线与平面垂直判定的一种间接方法,也是十分重要的。
本节学习内容蕴含丰富的数学思想,即“空间问题转化为平面问题”,“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。
直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁,为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。
二、目标和目标解析
1.借助对实例、图片的观察,提炼直线与平面垂直的定义,并能正确理解直线与平面垂直的定义;
2.通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定理,并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题;
3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力,同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.
三、教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象(学生的客观现实)和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构(学生的数学现实),这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义,感悟直线与平面垂直的意义;以及如何从折纸试验中探究出直线与平面垂直的判定定理。
教学的重点是直线与平面垂直的定义和直线与平面垂直判定定理的探究;教学的难点是操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
四、学习行为分析
本节课安排在立体几何的初始阶段,是学生空间观念形成的关键时期,课堂上学生通过感知、观察、提炼直线与平面垂直的定义,进而通过辨析讨论,深化对定义的理解。进一步,在一个具体的数学问题情境中猜想直线与平面垂直的判定定理,并在教师的指导下,通过动手操作、观察分析、自主探索等活动,切身感受直线与平面垂直判定定理的形成过程,体会蕴涵在其中的思想方法。继而,通过课本例1的学习概括直线与平面垂直的几种常用判定方法。再通过练习与课后小结,使学生进一步加深对直线与平面垂直的判定定理的理解。
五、教学支持条件分析
观察和展示现实生活中的实例与图片,以直观感知直线与平面垂直的形象;准备三角形纸片,用于探究直线与平面垂直的判定定理;制作多媒体课件动态演示,以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。
六、教学过程设计
1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象
问题1:空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系?
设计意图:此问基于学生已有的数学现实,通过对已学相关知识的追忆,寻找新知识学习的“固着点”。
问题2:在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么?请举例说明。
设计意图:此问基于学生的客观现实,通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中一种特例:直线与平面垂直的初步形象,激起进一步探究直线与平面垂直的意义。
2.提炼直线与平面垂直的定义
问题3:你能给出直线和平面垂直的定义吗?回忆一下直线与直线垂直是如何定义的?
设计意图:两直线垂直有相交垂直和异面垂直,而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直,实质上是将空间问题转化为平面问题,让学生回忆直线与直线垂直的定义,旨在由此得到启发:用“平面化”的思想来思考问题,即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线,来定义这条直线与这个平面垂直?
问题4:结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义.
(1)阳光下,旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少?
(2)随着太阳的移动,影子BC的位置也会移动,而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
(3)旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么?
设计意图:第(1)与(2)两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直,第(3)问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直,在这里,主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。
(学生叙写定义,并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化)
思考:(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直?
(2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线?
(对问(1),在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示;对问(2)可引导学生给出符号语言表述:若,则)
设计意图:通过对问题(1)的辨析讨论,深化直线与平面垂直的概念。通过对问题(2)的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法。
通常定义可以作为判定依据,但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直,这给我们的判定带来困难,因为我们无法去一一检验。这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法。
3.探究直线与平面垂直的判定定理
创设情境猜想定理:某公司要安装一根8米高的旗杆,两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子,然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点(和旗杆脚不在同一直线上)。如果这两点都和旗杆脚距离6米,那么表明旗杆就和地面垂直了,你知道这是为什么吗?
设计意图:引导学生根据直观感知以及已有经验,进行合情推理,猜想判定定理。
师生活动:(折纸试验)请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三角形的顶点A翻折纸片,得到折痕AD(如图1),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)
问题5:(1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?
(组织学生动手操作、探究、确认)
设计意图:通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD是BC边上的高时,且B、D、C不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD才不偏不倚地站立着,即AD与桌面垂直(如图2),其它位置都不能使AD与桌面垂直。
问题6:在你翻折纸片的过程中,纸片的形状发生了变化,这是变的一面,那么不变的一面是什么呢?(可从线与线的关系考虑)如果我们把折痕抽象为直线,把BD、CD抽象为直线,把桌面抽象为平面(如图3),那么你认为保证直线与平面垂直的条件是什么?
对于两条相交直线必须在平面内这一点,教师可引导学生操作:将纸片绕直线AD(点D始终在桌面内)转动,使得直线CD、BD不在桌面所在平面内。问:直线AD现在还垂直于桌面所在平面吗?(此处引导学生认识到直线CD、BD都必须是平面内的直线)
设计意图:通过操作让学生认识到两条相交直线必须在平面内,从而更凸现出直线与平面垂直判定定理的核心词:平面内两条相交直线。
问题7:如果将图3中的两条相交直线、的位置改变一下,仍保证
,(如图4)你认为直线还垂直于平面吗?
设计意图:让学生明白要判定一条已知直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的。
根据试验,请你给出直线与平面垂直的判定方法。
(学生叙写判定定理,给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化)
问题8:(1)与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?
(2)你觉得定义与判定定理的共同点是什么?
设计意图:通过和直线与平面垂直定义的比较,让学生体会“无限转化为有限”的数学思想,通过寻找定义与判定定理的共同点,感悟和体会“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”的数学思想.
思考:现在,你知道两位工人是根据什么原理安装旗杆的吗?为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上?
如果安装完了,请你去检验旗杆与地面是否垂直,你有什么好方法?
设计意图:用学到手的知识解释实际生活中的问题,增强学生用数学的意识,同时通过提出“为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上?”(对该问题可引导学生用三角形纸片来验证),从而来深化对直线与平面垂直判定定理的理解。
4.直线与平面垂直判定定理的应用
如图5,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,请列举与平面ABCD垂直的直线。并说明这些直线有怎样的位置关系?
思考:如图6,已知,则吗?请说明理由。
(分别用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的定义证明;并让学生用语言叙述:如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面)
设计意图:这个例题给出了判断直线和平面垂直的一个常用的命题,这个命题体现了平行关系与垂直关系之间的联系。
练习:如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,K是AC的中点。
求证:AC⊥平面VKB
思考:
(1)在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC,求证:VB⊥AC;
(2)在⑴中,若E、F分别是AB、BC的中点,试判断EF与平面VKB的位置关系;
(3)在⑵的条件下,有人说“VB⊥AC,VB⊥EF,∴VB⊥平面ABC”,对吗?
设计意图:例2重在对直线与平面垂直判定定理的应用.变式(1)在例2的基础上,应用了直线与平面垂直的意义;变式(2)是对例1判定方法的应用;变式(3)的判断在于进一步巩固直线与平面垂直的判定定理。3个小题环环相扣,汇集了本节课的学习内容,突出了知识间内在联系和融会贯通。
5.小结回授
(1)本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法?试用自己理解的语言叙述。
(2)直线与平面垂直的判定定理中体现了哪些数学思想方法?
设计意图:以问题讨论的方式进行小结,培养学生反思的习惯,鼓励学生运用自己理解的语言对问题进行质疑和概括。
七、目标检测设计
1.课本P73探究:如图2.3-7,直四棱柱A1B1C1D1-ABCD(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)中,底面四边形ABCD满足什么条件时,A1C⊥B1D1.
2.如图,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,写出图中所有的直角三角形。
3.课本P74练习2
设计意图:第1题是本节教材中的一道探究题,主要运用直线与平面垂直的意义与判定定理;第2题也是活用直线与平面垂直的意义与判定定理,前两题重在检测本节课的知识与技能目标,检测运用知识解决问题的能力;第3题通过学生探索,培养学生观察——分析——归纳和综合运用知识的能力。
文章来源:http://m.jab88.com/j/13000.html
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