1.2-1集合的基本关系
教学目的:了解集合之间的包含、相等关系的含义;理解子集、真子集的概念;能利用Venn图表达集合间的关系;了解与空集的含义。
教学重点:子集与空集的概念;用Venn图表达集合间的关系。
教学难点:弄清元素与子集、属于与包含之间的区别;
课型:新授课
教学过程:
一、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系,填以下空白:
(1)0N;(2)Q;(3)-1.5R
2、类比实数的大小关系,如57,2≤2,试想集合间是否有类似的“大小”关系呢?(宣布课题)
二、新课教学
1、集合与集合之间的“包含”关系;
A={1,2,3},B={1,2,3,4}
集合A是集合B的部分元素构成的集合,我们说集合B包含集合A;
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作:
读作:A包含于(iscontainedin)B,或B包含(contains)A
当集合A不包含于集合B时,记作AB
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系
2、集合与集合之间的“相等”关系;
,则中的元素是一样的,因此
即
练习
3、结论:任何一个集合是它本身的子集
4、真子集的概念
若集合,存在元素,则称集合A是集合B的真子集(propersubset)。
记作:AB(或BA)
读作:A真包含于B(或B真包含A)
举例(由学生举例,共同辨析)
5、规定:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
6、结论:,且,则
三、例题讲解
例1化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x5},并表示A、B的关系;
例2写出集合{0,1,2}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。
结论:集合A中元素的个数记为n,则它的子集的个数为:2n
真子集的个数:2n-1,非空真子集个数:2n-2(在后继学习中会对此结论加以证明)
四、课堂练习:P9练习题
五、归纳小结,强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种,可类比两个实数间的大小关系,同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法;
六、作业布置
1、书面作业:习题1.25个小题
2、提高作业:
○1已知集合,≥,且满足,求实数的取值范围。
○2设集合,
,试用Venn图表示它们之间的关系。
○2P10B组题
板书设计(略)
高一数学《同角三角函数的基本关系式》说课稿
各位评委、老师们,大家好!我是来自于XX中学的霍XX。
今天我说课的题目是人教A版必修四第一章第二节《同角三角函数的基本关系式》,下面我将从教材分析、学情分析、教法与学法、教学过程设计和教学效果反思五个方面来阐述我对这节课的教学认识和设计,敬请各位评委专家给予指正。
一.教材分析
1.教材的地位和作用
本节内容是整个三角函数知识的基础,也是整个三角函数部分的引入阶段,与上一节《任意角的三角函数》关系非常密切,在教材中起承上启下的作用。同时,它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
2.教学目标
知识目标:(1)掌握同角三角函数的基本关系式、变式及其推导方法及它们之间的联系?
(2)会运用同角三角函数的基本关系式及变式进行求值?
能力目标:牢固掌握同角三角函数的两个关系式,并能灵活运用于解题,提高学生分析、解决三角的思维
能力,培养学生观察发现能力,提高分析问题能力、逻辑推理能力?,增强数形结合的思想、创
新意识。
情感目标:让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,进一步培养良好的思维习惯。在问题提出
和解决的过程中,培养学生主动探究知识、合作交流的意识;在体验数学美的过程中激发学
生的学习兴趣。通过小组讨论活动,培养学生的团队协作意识。
3.教学重点与难点
(1)重点:同角三角函数的基本关系式推导及其应用
(2)难点:同角三角函数的基本关系式变式及灵活运用
二.学情分析
我所任教的学校是我县一所农村普通中学,大多数学生基础薄弱,对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是,大多数学生对数学的兴趣较高,比较喜欢数学,尤其是象本节课这样,内容比较基础,学生容易理解和掌握,相信学生能够积极配合,有比较不错的表现。
三.教法学法分析
1.教法分析
讲授法引导探究法、小组讨论法、讲练结合法等
2.学法分析
在学法上,我强调学生主体意识,以学生自主探究为主,让学生变被动的接受知识为主动的索取知识;通过观察、猜想、分析、归纳来推导出新知识,让学生主动参与到课堂教学中,体验成功的喜悦。
四.教学过程设计
1.复习导入引入新知
气象学家洛伦兹1963年提出一种观点:南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”,从蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索这件事从中我们还可以看出,一只蝴蝶与龙卷风看来是毫不相干的两种事物,却会有这样的联系,这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点。既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系!到底是什么关系呢?这就是这节课的课题。
为了解决这个课题,首先,让我们来共同回顾两个问题。
问题1:三角函数的定义是怎样的?
设计意图:温故知新,三角函数定义是推导关系式的基础理论。
问题2:角α终边与单位圆的交点P的坐标是什么?
设计意图:单位圆中推导公式会用到P点的坐标,P的坐标是此处数与形的交汇点。
2.动脑思考探索新知
学生自主探究:
Sin30°=cos30°=sin230°+cos230°=
Sin45°=cos45°=sin245°+cos245°=
Sin60°=cos60°=sin260°+cos260°=
tan30°=tan45°=tan60°=
==
设计意图:通过由特殊到一般的认知,使得学生易于总结规律,易于接受新知识
题目做完以后引导学生思考以下几个问题:
(1)你还能举出类似于题目形式的例子吗?
(2)从以上过程中,你能发现什么一般规律吗?你能用代数式表示这个规律吗?你能用语言叙述这个规律吗?
(3)你能证明自己所得到的规律吗?
设计意图:新课标强调学生的观察、思考、探索、推理,本题组通过设置问题串,使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示、并给出证明这一重要的数学探索过程。
学生会很容易的猜想到:sin2α+cos2α=1
证法1.以正弦线MP、余弦线OM和半径OP构成的直角三角形OMP中,OP=1,由勾股定理很容易得到:MP2+OM2=OP2=1因此x2+y2=1即sin2α+cos2α=1
由正切函数的定义很容易得到:
设计意图:采取教材上单位圆的数形结合法,让学生进一步体会数学是
数与形的有机结合。
证法2.用三角函数的定义证明
设计意图:给学生自主解决,并且学会对三角函数定义的灵活应用。
注意:
(1)“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在函数有意义的前提下)关系式都成立。
以下说法错误的是
A.sin24α+cos24α=1B.sin2(α+β)+cos2(α+β)=1
C.sin2+cos2=1D.sin2α+cos2β=1
设计意图:对这些易错点改成小题进行小组抢答,目的是通过错误尝试,深刻理解“同角”的含义
(2)sin2α是(sinα)2的简写,读作“sinα”的平方,不能将sin2α写成sinα2前者是α的正弦的平方,后
者是α的平方的正弦,两者是不同的,教学时应使学生弄清它们的区别,并能正确书写。
(3)掌握公式的变形。公式sin2α+cos2α=1可变形为cos2α=1-sin2α;sin2α=1-cos2α;
;。公式可变形为sinα=tanαcosα
(4)商数关系中注意限制条件。即cosα≠0,当α的终边与坐标轴重合时,公式
sin2α+cos2α=1也成立
3.巩固知识例题解析
因为我所任教的学生接受能力差,所以对本节例题分两节完成,这节课只完成例题6,关于利用关系式求值的问题
引例.已知sinα=-,α为第三象限的角,求α的余弦值、正切值。
设计意图:本题是对教材例题6的改编,根据我所任教的学生的实际情况,所以我选择增加了“α为第三象限的角”这个条件,这也为例题6的过渡增设了台阶,为例题6的完成降低例题难度。
例题6.已知sinα=-,求α的余弦值、正切值。
说明:提出此问题后,学生先自己思考,然后小组讨论,教师通过巡视,对有困难的同学做以下引导:对此问题需要进行讨论。讨论时,首先根据已知条件可以确定角α为第三或第四象限
的角,然后就α为第三象限的角或α为第四象限的角分别求出cosα和tanα。最后让学生在练习本上写出答案,用多媒体展示小组成果,由其他小组或老师作出点评。
设计意图:引导学生自主探索,亲自体验解题思路的形成过程,学会分析问题,解决问题的方法,培养学生分类讨论的思想。同时使本节课的难点得以突破。
例题巩固.已知tanα=3求的值。
设计意图:本题紧扣本节课的教学目标,通过例题的求解,让学生加深对关系式的融会贯通,突破本节课的难点。
4.运用知识强化练习
(1)已知cosα=-,且α是第二象限的角,求α的余弦值、正切值。
(2)已知tanα=-,求α的正弦值、余弦值。
设计意图:一个新知识的出现,要达到熟练运用的效果,仅仅了解是不够的,一定量的“重复”是有效的,也是必要的,所谓“温故而知新”、“熟才能生巧”。
5.归纳小结布置作业
以下内容均由学生总结,不到之处,由老师点拨补充,对表现好的同学适时表扬
知识方面:本节课从特殊角的三角函数值的计算、观察、找出规律,进而尝试用三角函数的定义推导出正弦函数,余弦函数和正切函数的关系,然后用单位圆、三角函数的定义给出证明,最终得到同角三角函数的两个基本关系式。又通过例题和课堂练习介绍了公式在求值、化简和证明等方面的应用,两个基本关系式是三角函数的基础,希望同学们加深理解,灵活运用。
思想方法:1、特殊-----一般-----证明
2、数形结合思想
分层作业A巩固题教科书第20页练习第1、2题
B选做题已知tanα=-3,求值(1)3sinαcosα
(2)3sin2α+5cos2α+2
(3)
设计意图:根据学生不同程度,布置分层作业,选做题让学有余力的学生适当加深,以满足他们学习的愿望,发展他们的数学才能。作业进一步反馈知识的掌握情况,进一步落实教学目标,也符合面向全体,分层教学和因材施教原则。
1.1.2集合间的基本关系
一、内容及其解析
(一)内容:集合间的基本关系。
(二)解析:本节课要学的内容有集合间的基本关系指的是集合间的包含和相等关系,其核心(或关键)是弄清楚集合中的元素之间的关系理解它关键就是分析清楚集合中的元素,学生已经学过了集合的含义与表示并且学习过实数间的大小关系。本节课的内容集合间的基本关系就是在此基础上的发展(或就是它的下位概念,就可以类比它,等等)(定起点)。由于它还与后续很多内容,比如圆锥曲线有思想方法上(都通过类比的想法来进行学习)联系,所以在本学科有着很重要的地位,是学习后面知识的基础,是本学科的核心内容。教学的重点是子集、真子集、等集和空集所以解决重点的关键是分析好集合间的关系、弄清楚集合中的元素。
二、目标及其解析
(一)教学目标
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集;
(2)在具体情境中,了解空集的含义;
(二)解析
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集就是指集合两个集合之间是子集、真子集还是相等,掌握相应的含义以及数学表示、数学记号,并不致混淆;;
(2)在具体情境中,了解空集的含义。就是指要掌握空集的含义,能分析给出的集合是否为空集;对关于空集的规定即空集是任何非空集合的子集,是任何非空集合的真子集要牢记。
三、问题诊断分析
在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是解题中对空集是任意集合的子集这一条件容易忽略,产生这一问题的原因是对这一新规定接受度不强.要解决这一问题,就是要依据实例反复操练,其中关键是师生的互动要到位.
四、教学过程设计
一、导入新课
实数有相等.大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢?
二、提出问题
问题1:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗?
(1);
(2)设A为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;
(3)设
(4).
问题2:同样是子集,会不会有差别呢?
(1)请看幻灯片上的例子,你能发现什么问题吗?
(2)这两种不同的情形该如何表述呢?
(3)学生回答,师生共同归纳出真子集和集合相等的数学定义及数学语言表述。
问题3:请看幻灯片上给出的几个集合,你能发现什么问题?
(1)这些集合有什么共同特征?
(2)你能举出更多的空集的例子吗?
(3)你认为空集和其它集合是什么关系?和非空集合又是什么关系
三.概念的巩固和应用
四.课堂目标检测
优化设计:随堂练习.
五.小结
1、集合之间的关系,子集,集合相等,真子集等概念;
2、Venn图的运用;
3、空集的定义和性质;
4、集合之间的基本关系的主要结论;
5、当一个集合有n个元素的时候,其子集有个,真子集有个,非空真子集有个。
文章来源:http://m.jab88.com/j/12968.html
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