七年级数学下册《整式的乘法》知识点归纳湘教版
第二章整式的乘法
1.同底数幂的乘法:a·a=a,底数不变,指数相加.
2.幂的乘方与积的乘方:(a)=a,底数不变,指数相乘;(ab)=ab,积的乘方等于各因式乘方的积.3.单项式的乘法:系数相乘,相同字母相乘,只在一个因式中含有的字母,连同指数写在积里.4.单项式与多项式的乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.5.多项式的乘法:(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.6.乘法公式:
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=a-b,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差;(2)完全平方公式:
①(a+b)=a+2ab+b,两个数和的平方,等于它们的平方和,加上它们的积的2倍;②(a-b)=a-2ab+b,两个数差的平方,等于它们的平方和,减去它们的积的2倍;※③(a+b-c)=a+b+c+2ab-2ac-2bc,略.7.配方:
p
(1)若二次三项式x+px+q是完全平方式,则有关系式:q;
2
※(2)二次三项式ax+bx+c经过配方,总可以变为a(x-h)+k的形式,利用a(x-h)+k①可以判断ax+bx+c值的符号;②当x=h时,可求出ax+bx+c的最大(或最小)值k.1
※(3)注意:x2x2.
xx
2
2
2
222
1
2
8.同底数幂的除法:a÷a=a,底数不变,指数相减.9.零指数与负指数公式:(1)a=1(a≠0);a=
-n
mnm-n
1
an
-5
(2)有了负指数,可用科学记数法记录小于1的数,例如:0.0000201=2.01×10.
,(a≠0).注意:0,0无意义;
0-2
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七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
第三章因式分解
1.因式分解
定义:把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫因式分解。即:多项式几个整式的积例:axbx
13131
x(ab)3
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形,是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法:
(1)提公因式法:
①定义:如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式:多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母,也可以是一个单项式
或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数
字母——取各项都含有的字母
指数——取相同字母的最低次幂
例:12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是
解析:从多项式的系数和字母两部分来考虑,系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部
3232
分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc,故多项式的公因式是2abc.
②提公因式的步骤第一步:找出公因式;
第二步:提公因式并确定另一个因式,提公因式时,可用原多项式除以公因式,所得商即是提公因式后剩
下的另一个因式。
注意:提取公因式后,对另一个因式要注意整理并化简,务必使因式最简。多项式中第一项有负号的,要
先提取符号。
2233
例1:把12ab18ab24ab分解因式.
解析:本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为6ab。
2233
解:12ab18ab24ab
6ab(2a3b4a2b2)
例2:把多项式3(x4)x(4x)分解因式
解析:由于4x(x4),多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项
式各项都含有公因式(x4),所以我们可以提取公因式(x4)后,再将多项式写成积的形式.解:3(x4)x(4x)=3(x4)x(x4)=(3x)(x4)
例3:把多项式x22x分解因式
解:x22x=(x22x)x(x2)(2)运用公式法
定义:把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a.逆用平方差公式:a2b2(ab)(ab)
b.逆用完全平方公式:a22abb2(ab)2
3
3
2
2
c.逆用立方和公式:ab(ab)(aabb(拓展))
d.逆用立方差公式:a3b3(ab)(a2abb2(拓展))
注意:①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法:主要从项数上看,若多项式是二项式可考虑平方差公式;若多项式是三项
式,可考虑完全平方公式。
例1:因式分解a214a49
2
解:a14a49=(a7)2
例2:因式分解a2a(bc)(bc)解:a2a(bc)(bc)=(abc)(3)分组分解法(拓展)
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解;例:把多项式abab1分解因式
解:abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1)②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.
22
例:将多项式a2ab1b因式分解
22
222
22
解:a2ab1b
=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)
2x(4)十字相乘法(形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式,可以考虑运用此种方法)
222
方法:常数项拆成两个因数p和q,这两数的和pq为一次项系数
x2(pq)xpq
x2(pq)xpq(xp)(xq)
例:分解因式x2x30分解因式x252x100补充点详解补充点详解
我们可以将-30分解成p×q的形式,我们可以将100分解成p×q的形式,使p+q=-1,p×q=-30,我们就有p=-6,使p+q=52,p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。q=50或q=2,p=50。
所以将多项式x2(pq)xpq可以分所以将多项式x2(pq)xpq可以分解为(xp)(xq)解为(xp)(xq)
x
x5
x2
-6
x50
x2x30(x6)(x5)
3.因式分解的一般步骤:
x252x100(x50)(x2)
如果多项式有公因式就先提公因式,没有公因式的多项式就考虑运用公式法;若是四项或四项以上的多项式,
通常采用分组分解法,最后运用十字相乘法分解因式。因此,可以概括为:“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意:因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止,否则就是不完全的因式分解,若题目没有明
确指出在哪个范围内因式分解,应该是指在有理数范围内因式分解,因此分解因式的结果,必须是几个整式的积的形式。一、例题解析
提公因式法
提取公因式:如果多项式的各项有公因式,一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法:
系数——取多项式各项系数的最大公约数;
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例1】分解因式:
⑴15aab
2n1
10abba(n为正整数)
2n
⑵4a2n1bm6an2bm1(m、n为大于1的自然数)
【巩固】分解因式:(xy)2n1(xz)(xy)2n2(yx)2n(yz),n为正整数.
【例2】先化简再求值,yxyxyxyx2,其中x2,y
2
求代数式的值:(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x),其中x.
3
1.2
22221
【例3】已知:bca2,求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值.
33333
公式法
平方差公式:a2b2(ab)(ab)
①公式左边形式上是一个二项式,且两项的符号相反;②每一项都可以化成某个数或式的平方形式;
③右边是这两个数或式的和与它们差的积,相当于两个一次二项式的积.完全平方公式:a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2①左边相当于一个二次三项式;
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式;
分解因式:x3(xyz)(yza)x2z(zxy)x2y(zxy)(xza).
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍,符号可正可负;
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方,其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式:
a3b3(ab)(a2abb2)a3b3(ab)(a2abb2)(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3a33a2b3ab2b3
七年级数学下册《相交线与平行线》知识点归纳湘教版
第四章相交线与平行线
一、知识网络结构
相交线
相交线垂线
同位角、内错角、同旁内角
平行线:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线__________________定义:__________判定1:同位角相等,两直线平行平行线及其判定平行线的判定判定2:内错角相等,两直线平行相交线与平行线判定3:同旁内角互补,两直线平行
的两直线平行判定4:平行于同一条直线
性质1:两直线平行,同位角相等性质2:两直线平行,内错角相等角互补平行线的性质性质3:两直线平行,同旁内
性质4:平行于同一条直线的两直线平行
命题、定理
平移
二、知识要点
1、在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:相交和平行,垂直是相交的一种特殊情况。2、在同一平面内,不相交的两条直线叫。如果两条直线只有如果两条直线没有公共点,称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。邻补角的性质:邻补角互补。如图1所示,与互为邻补角,
图1
与互为邻补角。+=180°;+=180°;+=180°;+=180°。
4、两条直线相交所构成的四个角中,一个角的两边分别是另一个角的两边的互为对顶角。对顶角的性质:对顶角相等。如图1所示,与互为对顶角。=;=。
5、两条直线相交所成的角中,如果有一个是时,称这两条直线互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示,当=90°时,⊥。
a
图2
垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
性质3:如图2所示,当a⊥b时,====90°。点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。6、同位角、内错角、同旁内角基本特征:
①在两条直线(被截线)的同一方,都在第三条直线(截线)的同一侧,这样的两个角叫同位角。图3中,共有对同位角:与是同位角;
图3
与是同位角;与是同位角;与是同位角。
②在两条直线(被截线)之间,并且在第三条直线(截线)的两侧,这样的两个角叫内错角。图3中,共有对内错角:与是内错角;与是内错角。
③在两条直线(被截线)的之间,都在第三条直线(截线)的同一旁,这样的两个角叫同旁内角。图3中,共有对同旁内角:与是同旁内角;与是同旁内角。7、平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等。如图4所示,如果a∥b,则=;=;=;=。
图4
性质2:两直线平行,内错角相等。如图4所示,如果a∥b,则=;=。性质3:两直线平行,同旁内角互补。如图4所示,如果a∥b,则+=180°;+=180°。
性质4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b,a∥c,则∥。8、平行线的判定:
图5
判定1:同位角相等,两直线平行。如图5所示,如果=或=或=或=,则a∥b。
判定2:内错角相等,两直线平行。如图5所示,如果=或=,则a∥b。判定3:同旁内角互补,两直线平行。如图5所示,如果+=180°;
+=180°,则a∥b。
判定4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a∥b,a∥c,则∥。
9、判断一件事情的语句叫。命题由和两部分组成,有和之分。如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫真命题;如果题设成立,那么结论不一定成立,这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的,这样的真命题叫定理,它可以作为继续推理的依据。10、平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。平移后,新图形与原图形的形状和大小完全相同。平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等;②对应线段相等;③对应角相等。
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