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中考数学专题6列方程(组)解应用题
【前言】在中考中,有一类题目说难不难,说不难又难,有的时候三两下就有了思路,有的时候苦思冥想很久也没有想法,这就是列方程或方程组解应用题。方程可以说是初中数学当中最重要的部分,所以也是中考中必考内容。从近年来的中考来看,结合时事热点考的比较多,所以还需要考生有一些生活经验。实际考试中,这类题目几乎要么得全分,要么一分不得,但是也就那么几种题型,所以考生只需多练多掌握各个题类,总结出一些定式,就可以从容应对了。
第一部分真题精讲
【例1】“家电下乡”农民得实惠,根据“家电下乡”的有关政策:农户每购买一件家电,国家将按每件家电售价的补贴给农户,小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机,他从乡政府领到了390元被贴款,若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元,问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元?
【思路分析】首先仔细看题,明确说明彩电售价比洗衣机售价高1000,那么一方面可以设一个未知数彩电为x,那么洗衣机自然就可以用x-1000表示,另一方面也可以直接设两个未知数彩电x和洗衣机y,利用高1000的条件制造等量关系。其次说补贴是售价的13%,而又明确给出小明的爷爷领到了390元,所以这390元就是售价的补贴。于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程组。这一题要把握的就是两个等量关系,一个是售价差等于1000,另一个是售价的13%等于补贴。于是可以得出答案。
【解析】(列方程组解)
解:设一台彩电的售价为元,一台洗衣机的售价为元.
根据题意得:
解得
答:一台彩电售价2000元,一台洗衣机售价1000元.
【例2】某采摘农场计划种植两种草莓共6亩,根据表格信息,解答下列问题:
项目品种AB
年亩产(单位:千克)12002000
采摘价格(单位:元/千克)6040
(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为元,那么两种草莓各种多少亩?
(2)若要求种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半,那么种植种草莓多少亩时,可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多?
【思路分析】本题依然是通过方程表达总量去解决。总收入就是A的亩产乘以价格加上B的亩产乘以价格,列出方程即可。至于第二问则是先根据“种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半”列出不等式,求出A种草莓的范围,然后列出函数式来看在范围内总收入最大值是多少。
【解析】
解:设该农场种植种草莓亩,种草莓亩
依题意,得:…………2分
解得:,
(2)由,解得
设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元,则:
∴当时,有最大值为464000
答:(l)种草莓种植2.5亩,种草莓种植3.5亩.
(2)若种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半,那么种植种草莓2亩时,可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.
【例3】2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开.从某地到哥本哈根,若乘飞机需要3小时,若乘汽车需要9小时.这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克,飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克,分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量.
【思路分析】本题比较简单,但是涉及了时事热点,看似复杂,实际一分析就发现等量非常好找。一个是单独排放量之和等于70,另一个是排放总量之差等于54.于是可以列方程组求解。
【解析】
解:设乘飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是x千克和y千克.
依题意,得
解得
答:飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克
【例4】某中学拟组织九年级师生外出.下面是年级组长李老师和小芳同学有关租车问题的对话:
李老师:“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用,60座客车每辆每天的租金比45座客车每辆每天的租金多200元.”
小芳:“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车外出参观,一天的租金共计5000元.”
根据以上对话,求客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元?
【思路分析】本题两句话就是两个等式,第一句话的等式两边就是租金的差价,第二句话的两边是总租金的和。本题虽然也比较简单,但是随时可能有变化的空间。例如说八年级师生一共有xx人,问怎样租车最经济。那么依然是做一个函数然后看函数的最小值。这种思路中考中也会比较容易考到,大家可以多发散思考一下。
【解析】
解:设客运公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为元和元.
由题意,列方程组
解之得
答:客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元
【例5】《喜羊羊与灰太狼》是一部中、小学生都喜欢看的动画片,某企业获得了羊公仔和狼公仔的生产专利.该企业每天生产两种公仔共450只,两种公仔的成本和售价如下表所示.如果设每天生产羊公仔x只,每天共获利y元.
(1)求出y与x之间的函数关系及自变量x的取值范围;
(2)如果该企业每天投入的成本不超过10000元,那么要每天获利最多,应生产羊公仔和狼公仔各多少只?
类别成本(元/只)售价(元/只)
羊公仔2023
狼公仔3035
【思路分析】本题是刚刚火热出炉的二模题,结合了社会的热点动画片来设立问题。虽然是应用题,但是却涉及了函数的思想,造成了一定的困扰。分析本题首先需要清楚“获利”这个概念,就是售价减成本再乘以数量。其中,每天生产的数量是定值450,所以狼公仔就要用羊公仔数去表示,然后合理列出函数表达式。第二问夹杂进了不等式,需要判断出x的范围上限和下限分别代表什麽意思,尤其是明白一次函数的单调性。
【解析】
解:(1)根据题意,得=(23-20)+(35-30)(450-),
即=-2+2250.
自变量x的取值范围是0≤x≤450且x为整数.
(2)由题意,得20+30(450-)≤10000.
解得≥350.
由(1)得350≤x≤450.
∵随的增大而减小,
∴当=350时,值最大.
最大=-2×350+2250=1550.
∴450-350=100.
答:要每天获利最多,企业应每天生产羊公仔350只,狼公仔100只.
【总结】列方程解应用题作为必考内容,难度一般都不会很大。但是这类问题的特点是冗余信息多,干扰思考。例如动辄来个知识背景介绍,或者模拟情景对话,简单说就是废话非常多。所以作为考生来说,碰到此类问题,第一步就是要从废话中提取有用信息,然后设元,将废话转化为数学元素。第二步就是提取题目中的等量信息。一般来讲,等量信息无非分两种,一个是个体的关系,如例5中的狼羊公仔数量和,以及不同客车的租金差;另一部分就是总体的关系,例如总收入,总支出之类的。顺风逆风问题似乎近年来很少考到,大多是和钱有关的事情(笑)。所以需要考生关注“总和”“比…少”“比…的几倍多”这种字眼,分析出等量关系去列出方程。具体操作来看,笔者比较倾向于非函数问题列二元方程去算,例如例1的解法,这样的好处是比较直观,在较为复杂的等式中如果一直用某个未知数的关系去表示另一个未知数容易造成等式过于冗长,容易出错。
第二部分发散思考
【思考1】改革开放30年来,我国的文化事业得到了长足发展,以公共图书馆和博物馆为例,1978年全国两馆共约有1550个,至2008年已发展到约4650个.2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个,博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍.2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个?
【思路分析】本题看起来数字很多,什么1978,1550,4650,2008等等等等,但是年份都是多余的信息。仔细分析有用信息就是两馆和,两馆分别的增长量。于是设78年的两馆数量求解。但是注意的是最后题目问的是2008年的数量,所以不要忘记算一下再作答。
【思考2】将进价为40元的商品按50元售出时,能卖出500个,经市场调查得知,该商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为了赚取8000元的利润,售价应定为多少元?
【思路分析】本题也是和钱有关的题目,但是列出来的方程式一个一元二次方程,所以需要仔细对“每涨价1,销售量减10”这个关系进行分析。所以直接设涨价为x最为合适,利用8000元的总利润列出方程求解即可。
【思考3】北京市实施交通管理新措施以来,全市公共交通客运量显著增加.据统计,2008年10月11日到2009年2月28日期间,地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次,地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次.在此期间,地面
公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次?
【思路分析】中考原题,正如在上面总结中所说,这类问题一定要关注“总和”,“比xxx几倍少/多”这种字眼。本题来说既然求各为多少万人次,直接设两个元。然后利用一次总和,利用一次倍差关系,轻松列出两个方程构成方程组求解。
【思考4】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地,每辆汽车能装8吨甲种苹果,或10吨乙种苹果,或11吨丙种苹果.公司规定每辆车只能装同一种苹果,而且必须满载.已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨,且每种苹果不少于一车.
(1)设用x辆车装甲种苹果,y辆车装乙种苹果,求y与x之间的函数关系式,并写
出自变量x的取值范围;
(2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示:
苹果品种甲乙丙
每吨苹果所获利润(万元)0.220.210.2
设此次运输的利润为W(万元),问:如何安排车辆分配方案才能使运输利润W
最大,并求出最大利润.
【思路分析】本题虽然是设函数的问题,但是利用“共”100吨这个关系列出包含x,y的函数即可。第二问则是在第一问的基础上继续建立函数,化简后利用第一问的自变量范围求最小值。细心把握题中信息就可以了。
第三部分思考题解析
【思考1解析】
解:设1978年全国有公共图书馆x个,博物馆y个
由题意,得
解得(有些同学没看清问题就直接写这个上去了,丢分很可惜)
则,.
答:2008年全国有公共图书馆2650个,博物馆2000个.
【思考2解析】
解:设涨价x元,则售价为(50+x)元.
依题意,列方程,得
(50+x-40)(500-10x)=8000.
整理,得
x2-40x+300=0,
解得
x1=10,x2=30.
答:售价应定为60或80元.
【思考3解析】
设轨道交通日均客运量为万人次,地面公交日均客运量为万人次.
依题意,得
解得
答:轨道交通日均客运量为353万人次,地面公交日均客运量为1343万人次.
【思考4解析】
(1)∵,
∴y与x之间的函数关系式为.
∵y≥1,解得x≤3.
∵x≥1,≥1,且x是正整数,
∴自变量x的取值范围是x=1或x=2或x=3.
(2).
因为W随x的增大而减小,所以x取1时,可获得最大利润,
此时(万元).
获得最大运输利润的方案为:用1辆车装甲种苹果,用7辆车装乙种苹果,2辆车装丙种苹果.
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《列方程解应用题一》教案设计
教学目标:
知识与技能:使学生初步理解“方程的解”与“解方程”的含义以及“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。
过程与方法:利用等式的性质解简易方程。
情感、态度与价值观:关注由具体到一般的抽象概括过程,培养学生的代数思想。
教学重点:理解“方程的解”和“解方程”之间的联系和区别。
教学难点:理解形如a±x=b的方程原理,掌握正确的解方程格式及检验方法。
教学方法:创设情境;观察、猜想、验证.
教学准备:多媒体。
教学过程
一、情境导入
谈话:同学们,咱们玩一个猜一猜的游戏好吗?出示一个盒子,让学生猜一猜里面可能有几个球呢?(学生思考后会说,可以是任意数。)
教师继续通过多媒体补充条件,并出示教材第67页例1情境图。
问:从图上你知道了哪些信息?
引导学生看图回答:盒子里的球和外面的3个球,一共是9个。
并用等式表示:x+3=9(教师板书)
二、互动新授
1.先让学生回忆等式的性质,再思考用等式的性质来求出x的值。
学生思考、交流,并尝试说一说自己的想法。
2.教师通过天平帮助学生理解。
出示教材第67页第一个天平图,让学生观察并说一说。
长方体盒子代表未知的x个球,每个小正方体代表一个球。则天平左边是x+3个球,右边是9个球,天平平衡,也就是列式:x+3=9。
观察:把左边拿掉3个球,要使天平仍然保持平衡要怎么办?
(右边也要拿掉3个球。)
追问:怎样用算式表示?学生交流,汇报:x+3-3=9-3
x=6
质疑:为什么两边都要减3呢?你是根据什么来求的?
(根据等式的性质:等式的两边减去同一个数,左右两边仍然相等。)
你们的想法对吗?出示第3个天平图,证实学生的想法是对的。
3.师小结:刚才我们计算出的x=6,这就是使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。也就是说,x=6就是方程x+3=9的解。求方程解的过程叫做解方程。(板书:方程的解解方程)
4.引导:谁来说一说,方程的解和解方程有什么区别?学生自主看课本学习,可能会初步知道,求出的x的值是方程的解;求解的过程就是解方程。
师引导学生小结:“方程的解”中的“解”的意思,是指能使方程左右两边相等的未知数的值,它是一个数值;而“解方程”中的“解”的意思,是指求方程的解的过程,是一个计算过程。
5.验算:x=6是不是正确答案呢?我们怎么来检验一下?
引导学生自主思考,并在小组内交流自己的想法。
通过学生的回答小结:可以把x=6的值代入方程的左边算一算,看看是不是等于方程的右边。
即:方程左边=x+3
=6+8
=9
=方程右边
让学生尝试验算,并注意指导书写。
6.出示教材第68页例2情境图。
让学生观察图,理解图意并用等式表示出来:3x=18
引导学生:通过刚才解方程的经验尝试解决这个题。
学生自主尝试解决,教师巡视指导。
汇报解题过程:等式的两边同时除以3,解得x=6。
根据学生的回答,师板书:3x=18
3x÷3=18÷3
x=6
质疑:你是根据什么来解答的?
引导小结:根据等式的性质:等式两边同时乘或除以一个不为O的数,左右两边仍然相等。
让学生尝试检验计算结果是否正确。
7.出示教材第68页例3,并让学生尝试解答。
由于此题是“a-x”类型,有些学生在做题时可能会出现困难,不知道怎么做。有些学生可能会在等号两边同时加上“x”,但x在等号的右边,不会继续做了。
教师可以引导学生思考,根据等式的性质,只要等式的两边同时加或减相等的数或式子,左右两边仍然相等,那么我们可以同时加上“x”。
通过计算让学生发现,等号左边只剩下“20”,而右边是“9+x”。
继续引导学生思考:20和9+x相等,可以把它们的位置交换,继续解题。学生继续完成答题,汇报。根据汇报板书:
20-x=9请学生自主尝试检验:
8.讨论:解方程需要注意什么?让学生自主说一说,再汇报。
小结:根据等式的性质来解方程,解方程时要先写“解”,等号要对齐,解出结果后要检验。
三、巩固拓展
1.完成教材第67页“做一做”第1、2题。
2.完成教材第68页“做一做”第1、2题。学生自主计算解答,并集体订正答案。
四、课堂小结。师:这节课你学会了什么知识?有哪些收获?
每个老师不可缺少的课件是教案课件,规划教案课件的时刻悄悄来临了。将教案课件的工作计划制定好,新的工作才会如鱼得水!你们会写一段适合教案课件的范文吗?考虑到您的需要,小编特地编辑了“中考数学经典复习高分技巧”,仅供参考,欢迎大家阅读。
中考数学经典复习高分技巧
1、预习方法的指导。
学生往往不善于预习,也不知道预习起什么作用,预习仅是流于形式,草草看一遍,看不出问题和疑点。在预习时应做到:
一粗读,先粗略浏览教材的有关内容,掌握本节知识的概貌。
二细读,对重要概念、公式、法则、定理反复阅读、体会、思考,注意知识的形成过程,对难以理解的概念作出记号,以便带着疑问去听课。
方法上可采用随课预习或单元预习。
2、听课方法的指导。
要处理好“听”、“思”、“记”的关系
“听”:(1)听每节课的学习要求;(2)听知识引人及知识形成过程;(3)听懂重点、难点剖析(尤其是预习中的疑点);(4)听例题解法的思路和数学思想方法的体现;(5)听好课后小结。
“思”是指思维:(1)多思、勤思,随听随思;(2)深思,善于大胆提出问题;(3)善思,由听和观察去联想、猜想、归纳;(4)树立批判意识,学会反思。可以说“听”是“思”的基储关键,“思”是“听”的深化,是学习方法的核心和本质的内容,会思维才会学习。、
“记”是指课堂笔记。一般记笔记方法,通常是教师黑板上写什么学生就抄什么,往往是用“记”代替“听”和“思”。有的笔记虽然记得很全,但收效甚微。(1)记笔记服从听讲,要掌握记录时机;(2)记要点、记疑问、记解题思路和方法;(3)记小结、记课后思考题。
3、深后复习巩固及完成作业方法的指导。
课后往往容易急于完成书面作业,忽视必要的巩固、记忆、复习。以致出现照例题模仿、套公式解题的现象,造成为交作业而做作业,起不到作业的练习巩固、深化理解知识的应有作用。
要求每天先阅读教材,结合笔记记录的重点、难点,回顾课堂讲授的知识、方法,同时记忆公式、定理(记忆方法有类比记忆、联想记忆、直观记忆等)。然后独立完成作业,解题后再反思。(1)如何将文字语言转化为符号语言;(2)如何将推理思考过程用文字书写表达;(3)正确地由条件画出图形。
4、小结或总结方法的指导。
要做到一看:看书、看笔记、看习题,通过看,回忆、熟悉所学内容;
二列:列出相关的知识点,标出重点、难点,列出各知识点之间的关系,这相当于写出总结要点;
三做:在此基础上有目的、有重点、有选择地解一些各种档次、类型的习题,通过解题再反馈,发现问题、解决问题。最后归纳出体现所学知识的各种题型及解题方法。应该说学会总结是数学学习的最高层次。
数学打好基础很重要五点建议提高初中数学成绩
(1)细心地发掘概念和公式很多同学对概念和公式不够重视,这类问题反映在三个方面:
一是,对概念的理解只是停留在文字表面,对概念的特殊情况重视不够。例如,在代数式的概念(用字母或数字表示的式子是代数式)中,很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。
二是,对概念和公式一味的死记硬背,缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。
三是,一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心,又怎能够在题目中熟练应用呢?
建议是:
(1)更细心一点(观察特例),更深入一点(了解它在题目中的常见考点),更熟练一点(无论它以什么面目出现,我们都能够应用自如)。
(2)总结相似的类型题目,当你会总结题目,对所做的题目会分类,知道自己能够解决哪些题型,掌握了哪些常见的解题方法,还有哪些类型题不会做时,你才真正的掌握了这门学科的窍门,才能真正的做到“任它千变万化,我自岿然不动”。
这个问题如果解决不好,同学们会发现,有一部分同学天天做题,可成绩不升反降。其原因就是,他们天天都在做重复的工作,很多相似的题目反复做,需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之,不会的题目还是不会,会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握,弄的一团糟。我的建议是:“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。
(3)收集自己的典型错误和不会的题目,最难面对的就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。有两个重要的目的:一是,将所学的知识点和技巧,在实际的题目中演练。另外一个就是,找出自己的不足,然后弥补它。这个不足,也包括两个方面,容易犯的错误和完全不会的内容。但现实情况是,只追求做题的数量,草草的应付作业了事,而不追求解决出现的问题,更谈不上收集错误。之所以建议大家收集自己的典型错误和不会的题目,是因为,一旦你做了这件事,你就会发现,过去你认为自己有很多的小毛病,现在发现原来就是这一个反复在出现;过去你认为自己有很多问题都不懂,现在发现原来就这几个关键点没有解决。建议是:做题就像挖金矿,每一道错题都是一块金矿,只有发掘、冶炼,才会有收获。
(4)就不懂的问题,积极提问、讨论发现了不懂的问题,积极向他人请教。这是很平常的道理。但就是这一点,很多同学都做不到。原因可能有两个方面:一是,对该问题的重视不够,不求甚解;二是,不好意思,怕问老师被训,问同学被同学瞧不起。抱着这样的心态,
学习任何东西都不可能学好。“闭门造车”只会让你的问题越来越多。知识本身是有连贯性的,前面的知识不清楚,学到后面时,会更难理解。这些问题积累到一定程度,就会造成你对该学科慢慢失去兴趣。直到无法赶上步伐。
讨论是一种非常好的学习方法。一个比较难的题目,经过与同学讨论,你可能就会获得很好的灵感,从对方那里学到好的方法和技巧。需要注意的是,讨论的对象最好是与自己水平相当的同学,这样有利于大家相互学习。建议是:“勤学”是基础,“好问”是关键。
(5)注重实战(考试)经验的培养考试本身就是一门学问。有些同学平时成绩很好,上课老师一提问,什么都会。课下做题也都会。可一到考试,成绩就不理想。出现这种情况,有两个主要原因:一是考试心态不不好,容易紧张;二是考试时间紧,总是不能在规定的时间内完成。心态不好,一方面要自己注意调整,但同时也需要经历大型考试来锻炼。每次考试,大家都要寻找一种适合自己的调整方法,久而久之,逐步适应考试节奏。做题速度慢的问题,需要同学们在平时的做题中解决。自己平时做作业可以给自己限定时间,逐步提高效率。另外,在实际考试中,也要考虑每部分的完成时间,避免出现不必要的慌乱。建议是:把“做作业”当成考试,把“考试”当成做作业。
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