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28.2.3用解直角三角形解方位角、坡角的应用学案
一、新课导入
1.课题导入
情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
问题：怎样由方向角确定三角形的内角？
2.学习目标
（1）能根据方向角画出相应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.
（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.
3.学习重、难点
重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.
难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.
二、分层学习

第一层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P76例5.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：独立探索解题思路，然后同桌之间讨论，写出规范的解题过程.
（4）自学参考提纲：
①如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果取整数，参考数据：cos25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
a.根据已知在图中标出方向角：如图所示.
b.根据方向角得到三角形的内角：在△PAB中，∵海轮沿正南方向航行，∴∠A=65°，∠B=34°，PA=80
c.作高构造直角三角形：如图所示.
d.写出解答过程：
在Rt△APC中，PC=PAcos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505（nmile）.
在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=≈130（nmile）.
②如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？
解：过A作AE⊥BD于E.由题意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.
∴AE=ADsin60°=12×=(海里)＞8海里.
∴无触礁的危险.
2.自学：
结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：观察学生自学提纲的答题情况.
②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化：利用解直角三角形的知识解方向角问题的一般思路.

第一层次学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P77.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：先独立归纳利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路，然后对照课本P77的内容归纳，进行反思总结.
（4）自学参考提纲：
①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
a.将实际问题抽象为数学问题；b.根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
c.得到数学问题的答案；d.得到实际问题的答案.
②练习：如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE与CE的比，根据图中数据，求：
a.坡角α和β的度数；
b.斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).
2.自学：
学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：明了学生解答问题的情况.
②差异指导：根据学情进行相应指导.
（2）生助生：小组内互相交流、研讨.
4.强化
（1）坡度、坡角的含义及其关系，梯形问题的解题方法.
（2）在自学参考提纲第②题中，若补充条件“坝顶宽AD=4m”，你能求出坝底BC的长吗？
（3）利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路：
三、评价
1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入.

评价作业
一、基础巩固（70分）
1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）
A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°
2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为5m，则这两棵树在坡面上的距离AB为m．（结果保留根号）
3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，锐角B的正弦值sinB=，则这个菱形的面积为65.
4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).
解：∵i=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.
∴AB=≈9(m).
5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25nmile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.
解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,
AB=25×4=100.
在Rt△ABC中，BC=AB=50，AC=AB=50.
在Rt△ACP中，CP=AC=50.
∴BP=BC+CP=50(+1)(nmile).
二、综合应用（20分）
6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）.
解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BEtan30°=,BD=≈5.77(m).
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=°,
∴AF=CF=5.00,∴AC=CF=5≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=+3.40-5.00≈1.29(m).
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162nmile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32nmile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这一海域?
解：如图，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=AP=16(nmile).
∴PB＜16nmile.∴轮船有触礁危险.
假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=16,∴∠PAC=45°,∴α=15°.
∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这一海域.

相关知识

中考数学解直角三角形复习

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初三第一轮复习第34课时：解直角三角形

【知识梳理】

1.解直角三角形的依据(1)角的关系:两个锐角互余；(2)边的关系:勾股定理；(3)边角关系:锐角三角函数

2.解直角三角形的基本类型及解法：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．

3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决

【课前预习】

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，根据已知量，填出下列表中的未知量：

abc∠A∠B

630°

1045°

2、如图所示，在△ABC中，∠A=30°，，AC=，则AB=.

变式：若已知AB，如何求AC？

3、在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角65°，则大楼高约m.

（精确到1m，）

4、如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为1：，顶宽为3米，路基高为4米，

则坡角=°，腰AD=,路基的下底CD=．

5、如图所示，王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地m.

【解题指导】

例1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB.

（1）求tanB；（2）若DE=1，求CE的长.

例2如图34-4所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6m的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15m处要盖一栋高20m的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时.

（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

（2）若新楼的影子刚好部落在居民楼上，则两楼应相距多少米？

（结果保留整数，参考数据：）

例3某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图34-6所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1m的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比，求树高AB.（结果保留整数，参考数据）

例4一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长.

【巩固练习】

1、某坡面的坡度为1:，则坡角是_______度．

2、已知一斜坡的坡度为1:4，水平距离为20m，则该斜坡的垂直高度为．

3、河堤的横断面如图1所示，堤高BC是5m，迎水斜坡AB长13m，那么斜坡AB的坡度等于．

4、菱形在平面直角坐标系中的位置如图2所示,,则点的坐标为．

5、如图3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为.

6、如图,一巡逻艇航行至海面处时,得知其正北方向上处一渔船发生故障.已知港口处在处的北偏西方向上,距处20海里;处在A处的北偏东方向上,求之间的距离(结果精确到0.1海里)

【课后作业】班级姓名

一、必做题：

1、如图4,已知△ABC中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为cm.

2、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为米,则这个坡面的坡度为__________.

3、已知如图5,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为_____.

4、如图6,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△，使点与C重合，连结，则的值为.

5、如图7所示，在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）

(A)(B)(C)(D)

6、如图8，小明要测量河内岛B到河边公路l的距离，在A测得，在C测得，米，则岛B到公路l的距离为（）米．

(A)25(B)(C)(D)

7、如图9所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）．

(A)30海里(B)40海里(C)50海里(D)60海里

8、如图10，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）

(A)(B)(C)(D)

9、如图11，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．

（1）求出A，B两村之间的距离；

（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

10、如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=24m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.(1)求半径OD；(2)根据需要,水面要以每小时0.5m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？

11、如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（参考数据：，）

12、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．

二、选做题：

13、如图,某货船以每小时20海里的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经过16小时的航行到达.此时,接到气象部门的通知,一台风中心正以40海里每小时的速度由A向北偏西60o方向移动,距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.⑴B处是否会受到台风的影响？请说明理由.⑵为避免受到台风的影响，该船应在到达后多少小时内卸完货物？

14、如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

解直角三角形教学案

南沙初中初三数学教学案
教学内容：7.5解直角三角形
课型：新授课学生姓名：________
学习目标：
1、了解解直角三角形的概念，
2、能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。
教学过程：
一、情境
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断
倒下，树顶落在离数根24米处。问大树在折断之前高多少米?
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度
为＝，＋10＝36所以，大树在
折断之前的高为36米。
二、探索活动
1、定义教学：
任何一个三角形都有六个元素，______条边、_____个角，在直角三角形中，已知有一个角是_________，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。
像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。
思考：要解出直角三角形，至少需要除直角外的_____个元素，其中至少有一个是_____。
2．解直角三角形的所需的工具：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
其余5个元素之间有以下关系：
（1）两锐角互余：∠A＋∠B＝；
（2）三边满足勾股定理：a2＋b2＝；
（3）边与角关系：sinA＝cosB=，cosA＝sinB＝；tanA＝；tanB＝。
3．例题讲解
例1：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a=5，解这个直角三角形。

（2）Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=，解这个直角三角形。

例2、Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a+b=+3，解这个直角三角形。

例3、如图，圆O半径为10，求圆O的内接正五边形ABCDE的边长（精确到0.1）
（其中选用：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265）

三、板演练习：
1、已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，b=2，c=4，解这个直角三角形。

2、已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，a=5，解这个直角三角形。

3、求半径为12的圆的内接正八角形的边长和面积。

四、小结
五、课堂作业（见作业纸56）
南沙初中初三数学课堂作业（56）
（命题，校对：王猛）
班级__________姓名___________学号_________得分_________
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB=2，a=1，则b=________。
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°,b=2,则∠B＝______,c=________。
3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=2,b=2,则c=________，tanB=______。
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，=AB，则sinA=________,tanA=________.
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=2，BC=，则tan=________.
6、小华用一张直径为20cm的圆形纸片，剪出一个面积最大的正六边形，这个六边形的面积是_______cm2.
7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，解这个直角三角形。

8、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a=2,解这个直角三角形。

9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC+BA=+，求BC及tanA。

10、（09山西太原）如图，从热气球上测得两建筑物．底部的俯角分别为30°和．如果这时气球的高度为90米．且点．．在同一直线上，求建筑物．间的距离．

解直角三角形导学案(新湘教版)

湘教版九年级上册数学导学案
4.3解直角三角形
【学习目标】
1.理解解直角三角形的概念，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余和锐角三角函数解直角三角形.
2.知道直角三角形中五个元素的关系.
3.通过解直角三角形，进一步培养学生的数形结合分析能力，提高其解决问题的能力.
重点难点
重点：用锐角三角函数的知识解直角三角形.
难点：根据已知元素和所要求的末知元素，选择恰当的方法求解.
【预习导学】
自主预习教材P121—122完成下列问题：
1、如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
(1)直角三角形三条边的关系是：。
（2）直角三角形两个锐角的关系是：。
（3）直角三角形边和锐角的关系有：
、
2、如上图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A、∠B、∠Ｃ的对边分别记作a、b、c。
（1）若∠A=40°，b=3cm，则∠B=，a=，c=；
（2）若∠A=40°，a=3cm，则∠B=，b=，c=；
（3）若∠A=40°，c=3cm，则∠B=，a=，b=；
（4）若a=3cm，c=4cm，则b=，∠A==，∠B=；
【探究展示】
（一）合作探究
1.议一议：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
（1）给你一条边你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？

（2）给你一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？

（3）给你两个角你能把剩余的元素都求出来吗？为什么？

（4）给你两条边你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明.

（5）给你一条边和一个锐角你能把剩余的元素都求出来吗？怎样求？请画出图形分类说明，关键在哪里？

通过上面的分析总结得出：
在直角三角形中，除直角以外的5个元素（条边和个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有一个是），利用上述关系式，就可以求出其余的3个未知元素.

2.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠A＝30°，a=5，求∠B，b，c.
（1）题目中已知哪些条件？还要求那些元素？
（2）学生独立思考，自己解决.
（3）小组讨论一下各自的解题思路.
解：∠B＝90°-=90°-=
又∵tanB=∴b===
∵sinA=∴c===
总结：像这样，把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作.
（二）展示提升
1.在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，a=6cm,c=10cm,求b，∠A，∠B.

2.如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，cosA=，BC=5，试求AB的长.

【知识梳理】
1.什么叫解直角三角形？它的依据是什么？

2.解直角三角形有哪几种种情况？

【当堂检测】
1.在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠B=45°，b=3cm，求a，c的长度.

2.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，BE=2，求tan∠DBE的值.

3.如图，在△ABC中，已知∠Ｃ＝90°，sinA=，D为AC上一点，∠BDC=45°，DC=6，求AB的长.

4.如图，在△ABC中，∠AＣB＝90，∠A＝60，斜边上的高CD=，求∠B、AC、AB、BC。

【学后反思】
通过本节课的学习，
1.你学到了什么？
2.你还有什么样的困惑？
3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？

文章来源：http://m.jab88.com/j/68280.html

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