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八年级数学下册《分式》知识点

1、分式的概念【两个特征：形如第十六章《分式》知识点A、B均为整式】
下列是分式的是（）
A、2+x；B、第十六章《分式》知识点；C、；D、第十六章《分式》知识点.
2、分式有意义【条件：分母≠0】
分式第十六章《分式》知识点中自变量取值范围是（）
A、x≠﹣1；B、x=0；C、x第十六章《分式》知识点≠1；D、x.
3、分式值为零【两个条件：分子=0，分母≠0】
①若分式第十六章《分式》知识点的值为0．则x=．
②变式：若分式第十六章《分式》知识点的值为负数，则x.
4、分式的变形【观察已知分子或分母的变化，利用分式的基本性质】
①下列分式变形正确的是（）
A、第十六章《分式》知识点=第十六章《分式》知识点；B、第十六章《分式》知识点=第十六章《分式》知识点；C、第十六章《分式》知识点=第十六章《分式》知识点；D、第十六章《分式》知识点=第十六章《分式》知识点
②填空：第十六章《分式》知识点
③把分式第十六章《分式》知识点（其中x+y≠0）中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（）
A、扩大为原来的3倍；B、缩小为原来的第十六章《分式》知识点；C、扩大为原来的9倍；D、不变.
④不改变分式的值，使分式中的分子分母都化为整数，则第十六章《分式》知识点=.
⑤已知x+第十六章《分式》知识点=3，求第十六章《分式》知识点的值.
【解析】观察已知和所求分式的特征得：将分式倒数得x2+1+第十六章《分式》知识点=(x+第十六章《分式》知识点)2-1=32-1=8，
故原式=第十六章《分式》知识点.【本题关键：利用已知进行变形，将所求分式变形为与已知相关的式子】
⑥已知第十六章《分式》知识点（xyz≠0），求第十六章《分式》知识点的值.
【解析】利用参数k，设第十六章《分式》知识点=k，则x=3k，y=4k，z=5k，代入分式即可求值.
5、约分【利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式；能分解的多项式要先分解】
约分：①第十六章《分式》知识点；②第十六章《分式》知识点；③第十六章《分式》知识点.
6、最简分式【分子分母不能约分的分式】
分式：第十六章《分式》知识点，第十六章《分式》知识点，第十六章《分式》知识点，第十六章《分式》知识点，其中最简分式的个数是（）
A、1；B、2；C、3；D、4.
7、最简公分母【取法：①取系数的最小公倍数；②取所有的字母；③取字母的最大指数；④能分解的多项式先分解，将每个不能再分解的多项式当成一个字母，并取其最大指数】
分式第十六章《分式》知识点和第十六章《分式》知识点的最简公分母是（）
A、第十六章《分式》知识点；B、第十六章《分式》知识点；C、第十六章《分式》知识点；D、第十六章《分式》知识点
8、通分【找出最简公分母，再利用分式的基本性质变形】
通分：①第十六章《分式》知识点与第十六章《分式》知识点；②第十六章《分式》知识点与第十六章《分式》知识点.
9、分式的乘除【步骤：①除法先化为乘法：除以一个式等于乘以它的倒数，②乘法计算的实质是约分】
①计算：第十六章《分式》知识点·第十六章《分式》知识点=.
②化简求值：当x=1时，求分式第十六章《分式》知识点÷第十六章《分式》知识点·第十六章《分式》知识点的值.
③已知第十六章《分式》知识点，求第十六章《分式》知识点的值.
10、分式的加减【三种类型：①同分母相加减，分母不变，分子相加减；②分母是互为相反数，需先变成同分母，再相加减；③完全异分母，先通分化为同分母，再相加减】
①第十六章《分式》知识点—第十六章《分式》知识点；②第十六章《分式》知识点；③第十六章《分式》知识点—第十六章《分式》知识点；④第十六章《分式》知识点—第十六章《分式》知识点—2.
⑤化简：第十六章《分式》知识点【观察到分母有平方差的特征，故采用分步通分法】
11、分式的乘方【先确定符号，分子分母分别乘方】
①(第十六章《分式》知识点)3；②第十六章《分式》知识点÷第十六章《分式》知识点·(第十六章《分式》知识点)2.
12、分式的混合运算【①有括号先算括号，再按先乘方，再乘除、后加减的顺序；②可采用运算律简化运算】
①第十六章《分式》知识点·第十六章《分式》知识点第十六章《分式》知识点÷第十六章《分式》知识点；②（第十六章《分式》知识点）÷（第十六章《分式》知识点）.
③若实数x满足x2+2x-3=0，则(第十六章《分式》知识点)÷第十六章《分式》知识点的值为.
13、分式的应用
（1）列分式
①已知操场环形跑道一圈长400米，甲乙两人同时同地出发，沿跑道同向跑步，甲的速度为a米/秒，乙的速度为b米/秒（a＞b），甲的跑步超过乙一圈需秒.
②一辆货车送货上山并按原路下山，上山速度为a千米╱时，下山速度为b千米╱时，求货车上平均速度.
（2）比较大小
甲乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现在要求甲生产出168个零件，要求乙生产出144个零件，那么他们两人谁先完成任务？
【解析】显然，甲乙两人的生产效率都不清楚，故需设参数表示，即设乙每小时完成a个，则甲每小时完成(a+8)个，甲完成任务时间是第十六章《分式》知识点小时，乙完成任务时间是第十六章《分式》知识点小时.
显然谁先完成需分类讨论：【比较两个式子的大小有两种方法：求差法和求商法】
求差法基本思路：若甲-乙＞0，则甲＞乙；若甲-乙=0，则甲=乙；若甲-乙＜0，则甲＜乙.
求商法基本思路：若第十六章《分式》知识点＞1，则甲＞乙；若第十六章《分式》知识点=1，则甲=乙；若第十六章《分式》知识点＜1，则甲＜乙.
（3）分式的探究【裂项法】
观察下列等式是否成立：
①第十六章《分式》知识点
②第十六章《分式》知识点
③第十六章《分式》知识点
④以上等式若成立，请写出它们的规律：第十六章《分式》知识点.
⑤根据这个规律，化简第十六章《分式》知识点
14、零指数幂【第十六章《分式》知识点=1，注意条件是a≠0】
①比较大小：(-1)020170；
②若第十六章《分式》知识点=1，则a的值是.
【解析】分类讨论：①由第十六章《分式》知识点=1（a≠0），即a-2=0，得a=2；②由1n=1，即a=1.
15、负整数指数幂【负指数的实质是倒数，注意：倒数不改变符号，即第十六章《分式》知识点=(第十六章《分式》知识点)n=第十六章《分式》知识点】
①(第十六章《分式》知识点)-2008÷(-7)2008
②计算(a2b-2)3÷(2a-1b)-1，并把结果化为只含正整数指数幂的形式
③已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x2=1，|y|=2，求xa+b+(-cd)2018-y-2.
④计算：(π-3.14)0—|1-第十六章《分式》知识点|+(第十六章《分式》知识点)-1—(-1)2017.
⑤已知第十六章《分式》知识点=25，求第十六章《分式》知识点.
16、科学记数法【写为a×10n的形式，其中n为整数，1≤a＜10】
①20170000用科学记数法表示为.
②0.0000314用科学记数法表示为.
③2.1×10-5的原数是.
拓展：幂的探究
我们平常用的数是十进制数，如2639=2×103+6×102+3×10+9，表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0，1，2，3，…9，在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如二进制中(101)2=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5，那么二进制中的1101等于十进制的数______．
【解析】(1101)2=1×23+1×22+0×21+1=8+4+1=13.
17、分式方程的概念【特征：①分母含有未知数，②方程两边各式是分式或整式】
下列各式是分式方程的（）
A、第十六章《分式》知识点；B、第十六章《分式》知识点；C、第十六章《分式》知识点；D、第十六章《分式》知识点（m、n、b为常数）.
18、解分式方程【步骤：①去分母：方程两边同乘分母的最简公分母，将方程化为整式方程；②求解：解整式方程，得整式方程的解；③验根：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母=0，则该解是增根（所有解均为增根，则原分式方程无解），若最简公分母≠0，则该解是原分式方程的根】
解方程（1）第十六章《分式》知识点；（2）第十六章《分式》知识点—第十六章《分式》知识点=3；（3）第十六章《分式》知识点+第十六章《分式》知识点=第十六章《分式》知识点.
19、分式方程解的概念【满足原分式方程的根】
关于x的方程第十六章《分式》知识点=3的解是正数，则m的取值范围是.
【解析】先将分式方程化为整式方程2x+m=3x-6，解得x=m+6
由方程的解是正数，得m+6＞0，得m＞-6
但要注意：分母x-2≠0，得m+6-2≠0，得m≠-4
综合考虑得m＞-6且m≠-4
20、分式方程的增根【使得原分式方程分母为零的整式方程的解】
若关于x的方程第十六章《分式》知识点=第十六章《分式》知识点有增根，则增根x=，m=.
21、分式方程无解的情况【分两类：①所有解均为增根，②分式方程化为整式方程后，整式方程无解（未知数系数为0）】
若分式方程第十六章《分式》知识点+第十六章《分式》知识点=第十六章《分式》知识点无解，求a的值.
22、分式方程应用题
①某校初一年学生乘车到距学校40千米的社会实践基地进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到8分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍，求中巴车的速度．
②甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天，则可列方程为（）
A、＋＝1；B、10＋8＋x＝30；C、＋8(＋)＝1；D、(1－)＋x＝8.
③某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？
(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出．如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？jAB88.Com

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第三章分式

一、分式

1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式.

整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零.

2、整式和分式统称为有理式,即有:

3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分.

二、分式的乘除法

1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.

2、分式乘方,把分子、分母分别乘方.

逆向运用,当n为整数时,仍然有成立.

3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

三、分式的加减法

1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

2、分式的加减法:

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;

上述法则用式子表示是:

(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;

上述法则用式子表示是:

3、概念内涵:

通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.

四、分式方程

1、解分式方程的一般步骤:

①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

②解这个整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.

2、列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意;

②设未知数;

③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;

④解方程,并验根;

⑤写出答案.

八年级数学上册知识点归纳：分式的加减

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一、约分与通分：
1．约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分；
分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分。分式约分的根据是分式的基本性质，即分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
约分的方法和步骤包括：
（1）当分子、分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幂与系数的最大公约数的积；
（2）当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式。
2．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通。
分式通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫分式的通分。
（1）当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的所有不同字母的积；
（2）如果各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母；
（3）通分后的各分式的分母相同，通分后的各分式分别与原来的分式相等；
（4）通分和约分是两种截然不同的变形．约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言；约分是将一个分式化简，而通分是将一个分式化繁。
注意：
（1）分式的约分和通分都是依据分式的基本性质；
（2）分式的变号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）约分时，分子与分母不是乘积形式，不能约分．
3．求最简公分母的方法是：
（1）将各个分母分解因式；
（2）找各分母系数的最小公倍数；
（3）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（2）（3）的因式之积即为各分式的最简公分母（求最简公分母在分式的加减运算和解分式方程时起非常重要的作用）。
二、分式的运算：
1．分式的加减法法则：
（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加；
（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。
2．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
4．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。
5．对于分式化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值。
【分式的运算考点分析】
分式的运算通常是综合考查分式的加减、乘除、约分及分解因式等知识，是中考的重点。特别是化简求值已经成近两年中考的热点。题型既有选择、填空题，也有计算题。
【分式的运算知识点误区】
（1）互为相反数的因式约分时漏掉负号；
（2）通分时漏乘而出错；
（3）把通分与去分母混淆，本是通分，却把分式中的分母丢掉；
（4）计算顺序搞乱而出错。
【典型例题】

分式的四则运算
1.同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：a/c±b/c=(a±b)/c
2.异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。用字母表示为：a/b±c/d=(ad±cb)/bd
3.分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。用字母表示为：a/b*c/d=ac/bd
4.分式的除法法则：
(1).两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。a/b÷c/d=ad/bc
(2).除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b÷c/d=a/b*d/c
不论什么样的计算，其过程都是需要大家耐心和细心的。

八年级数学下册《分式与二次根式》知识点分析

八年级数学下册《分式与二次根式》知识点分析

1分式与分式方程
11指数的扩充
12分式和分式的基本性质
设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式
分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变
13分式的约分和通分
分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简
如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式
对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分
14分式的运算
15分式方程
方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程
2二次根式
21根式
在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根
含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式
22最简二次根式与同类根式
具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母
如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式
23二次根式的运算
24无理方程
根号里含有未知数的方程叫做无理方程

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