古人云，工欲善其事，必先利其器。教师在教学前就要准备好教案，做好充分的准备。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师有计划有步骤有质量的完成教学任务。教案的内容要写些什么更好呢？下面是由小编为大家整理的“第一章集合与简易逻辑章末总结”，供您参考，希望能够帮助到大家。

第一章集合与简易逻辑章末总结

一、本章数学思想方法

1、分类讨论思想

（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。

（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。

（3）分类讨论要注意的几点：

(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；

(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；

(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；

(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。

【例1】已知三元素集，且A=B，求x与y的值。

【解】∵0∈B，A=B，∴0∈A。又集合为3元素集，

∴x≠xy,∴x≠0．又0∈B，y∈B,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y

这时，，∴|x|=x2．则x=0(舍去)x=±1

当x=1时，A={1，1，0}舍去；当x=－1时，A={－1，1，0}，B={0，1，－1}满足A=B，∴x=y=－1．

【点评】此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论．

【例2】解不等式

分析将定义区域，划分为三段，x－9，－9≤x≤，x分别讨论．

解(1)当x－9时，－(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，2x－11＞0．x＞，与x＜－9矛盾，原不等式无解；

(2)当－9≤x≤时，(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，得x＞，∴＜x≤

(3)当x＞时，(x＋9)－(3x－4)＋2＞0得x＜，∴＜x＜

综上可得原不等式解集为{x│＜x＜}

【点评】例2中绝对值的存在是解题的一大障碍，因此必须去掉绝对值；如何去掉绝对值呢?须对问题的定义域划分区间，分类讨论，才能去掉绝对值符号，这正是解这个问题分类讨论的原因．分点的确定、划分区间至关重要，它是分类讨论解题关键一环．

2、数形结合思想

数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法．纵观历年高考试题。以数形结合的思想方法巧妙运用解决的问题比比皆是．

认清集合的特征，准确地转化为图形关系，借助图形使问题直观、具体、准确地得到解决，因此处理集合问题要重视数形结合思想方法的运用(如数轴、几何图形、文氏图等)．

【例3】设全集为U，在下列条件中，是BA的充要条件的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

（1）（2）（3）（4）

解析本题可以利用文氏图，化抽象为直观，从而化难为易，选D．

U

A

B

【例4】已知，

，且，求实数a的取值范围．

解：方程组有解

圆与直线有公共点

≤≤≤

故的取值范围是

【点评】将集合之间的运算转化为图形之间的运算，将集合语言转化为图形语言，然后用代数的方法解决．

3、集合思想：

集合问题与函数、方程、不等式以及与整个中学数学知识有关，要正确运用集合的思想将问题相互转化，特别是数与形、代数与几何之间的转化．

【例5】已知，，求的充要条件．

【解】考虑的充要条件是方程组

至少有一个实数解，即至少有一个非负根，

由△≥0得a≤5，又因为上述方程有两个负根的充要条件是且，即

且，解得a－3，于是这个方程至少有一个非负根的a的取值范围是－3≤a≤5，此即为所求的充要条件．

【点评】本题从正面求的充要条件比较困难，故首先将集合问题转化为方程的问题，然后用补集思想来加以解决．

二、课堂小结：

本章包括两个互相关联又相对独立的内容：集合、简易逻辑，这两个内容都是中学数学的基础．高考命题热点之一是集合，主要考查以下两方面：一是对集合基本概念的认识和理解的水平，如集合的表示法，元素与集合的关系，集合与集合的关系，集合的运算；第二是考查对集合知识的应用水平，如求不等式和不等式组的解集，列不等式或不等式组，解决相关问题．在考查集合知识的同时突出考查准确使用数学语言的能力和用数形结合的思想解决问题的能力．

高考命题热点之二是简易逻辑，主要考查两方面：一是命题的四种形式及原命题与逆否命题的等价性，二是充要条件的判定．在考查命题知识的同时主要考查命题转换、逻辑推理和分析问题的能力．

三、作业：《威州中学课时作业》

四、课后记：

延伸阅读

第一章集合与简易逻辑小结

教学目的：

⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．

⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．

教学重点：

1.有关集合的基本概念;

2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件

【高考评析】

集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．

【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．

【数学思想】

1、等价转化的数学思想；2、求补集的思想；

3、分类思想；4、数形结合思想．

【解题规律】1、如何解决与集合的运算有关的问题:

1)对所给的集合进行尽可能的化简；

2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；

3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．

2．如何解决与简易逻辑有关的问题：

1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；

2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题

二、基本知识点：

集合：

1、集合中的元素属性：

（1）（2）（3）

2、常用数集符号：NZQR

3、子集：数学表达式

4、补集：数学表达式

5、交集：数学表达式

6、并集：数学表达式

7、空集：它的性质（1）（2）

8、如果一个集合A有n个元素（CradA=n）,那么它有个个子集，

个非空真子集

注意：（1）元素与集合间的关系用符号表示；

（2）集合与集合间的关系用符号表示

解不等式：

1、绝对值不等式的解法：

（1）公式法：|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)

(2)几何法

(3)定义法（利用定义打开绝对值）

(4)两边平方

2、一元二次不等式或的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集

对应的图形

不等式

△0

△=0

△0

3、分式、高次不等式的解法：

4、一元二次方程实根分布：

简易逻辑：

1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q”)；p且q(记作“p∧q”)；非p(记作“┑q”)

3、“或”、“且”、“非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与P的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：若P则q；逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p

(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题)

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真

②、原命题为真，它的否命题不一定为真

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真

6、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出(与已知、公理、定理…)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法

7、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件

判断两条件间的关系技巧：

（1）（2）

注意：（1）复合命题的三种形式与假言命题中的四种命题的区别

（2）复合命题中的“p或q”与假言命题中的“若p则q”它们的“P”的区别

三、巩固训练

（一）、选择题：

1、下列关系式中不正确的是（）

A0B0C0D0

2、下列语句为命题是（）

A等腰三角形B对顶角相等C≥0D0是自然数吗？

3、命题“方程|x|=1的解是x=±1”中，使用逻辑联结词的情况是（）

A使用了逻辑联结词“或”B使用了逻辑联结词“且”

C使用了逻辑联结词“非”D没有使用逻辑联结词

4、不等式的解集为（）

ABCD

5、不全为0的充要条件是（）

A都不是0B最多有一个是0

C只有一个是0D中至少有一个不是0

6、≥（）

A充分而不必要条件B必要而不充分条件

C充分必要条件D即不充分也不必要条件

7、如果命题则

A即不充分也不必要条件B必要而不充分条件

C充分而不必要条件D充要条件

8、至少有一个负的实根的充要条件是（）

ABCD

（二）、填空题：

9、不等式的解集是则＝＝

10、分式不等式的解集为：_______________.

11、命题“”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有____个.

12、设A=，B=，若AB，则的取值范围是________.

（三）、解答题：

13、解下列不等式

①

②

③||

④()

14、利用反证法证明：

15、已知一元二次不等式对一切实数都成立，求的取值范围

16、已知集合A=，求实数的取值范围（表示正实数集合）

第一章集合与简易逻辑1

第一章集合与简易逻辑

第一教时

教材：集合的概念

目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。

过程：

一、引言：（实例）用到过的“正数的集合”、“负数的集合”

如：2x-13x2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。

如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

如：自然数的集合0，1，2，3，……

如：高一（5）全体同学组成的集合。

结论：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

常用数集及其记法：

1．非负整数集（即自然数集）记作：N

2．正整数集N*或N+

3．整数集Z

4．有理数集Q

5．实数集R

集合的三要素：1。元素的确定性；2。元素的互异性；3。元素的无序性

（例子略）

三、关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A记作aA，相反，a不属于集A记作aA（或aA）

例：见P4—5中例

四、练习P5略

五、集合的表示方法：列举法与描述法

1．列举法：把集合中的元素一一列举出来。

例：由方程x2-1=0的所有解组成的集合可表示为{-1，1}

例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合可表示为{1，3，5，7，9}

2．描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例{不是直角三角形的三角形}再见P6例

②数学式子描述法：例不等式x-32的解集是{xR|x-32}或{x|x-32}或{x:x-32}再见P6例

六、集合的分类

1．有限集含有有限个元素的集合

2．无限集含有无限个元素的集合例题略

3．空集不含任何元素的集合F

七、用图形表示集合P6略

八、练习P6

小结：概念、符号、分类、表示法

九、作业P7习题1.1

第一章“集合与简易逻辑”教材分析

第一章“集合与简易逻辑”教材分析

本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．

逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分．

在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点．

本章共编排了8小节，教学时间约需22课时：

11集合

约2课时

12子集、全集、补集

约2课时

13交集、并集

约2课时

14绝对值不等式的解法

约2课时

15一元二次不等式的解法

约4课时

16逻辑联结词

约2课时

17四种命题

约2课时

18充分条件与必要条件

约2课时

小结与复习

约4课时

说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素．

一内容与要求

大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节．

第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料．

这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表述数学问题，并且可以使学生运用集合的观点研究、处理数学问题，这里，起重要作用的就是有关集合的基本概念．

这一大节的难点是有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系．学生是从本章才正式开始学习集合知识的，这部分包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能造成学生学习的障碍．

第二大节是“简易逻辑”．学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法．接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．

这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．

这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断．初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程．

根据《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》的规定，本章的教学要求是：

⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．

⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．

二本章的特点

⒈注意初中与高中的衔接

近年来，在与本章有关的内容上，按照教学大纲，初中的教学要求有哪些变化呢？

先看有关集合的部分．初中适当渗透一些集合思想，这一点基本没有变化．此外，初中去掉了一元二次不等式与绝对值不等式的内容．

再看有关逻辑的部分．1996年以前的初中毕业生，应该达到以下要求：⑴了解命题的概念；⑵初步掌握逆命题和逆定理的概念，能正确叙述题设与结论都是简单命题的命题的逆命题，了解正确命题的逆命题的逆命题不一定正确；⑶了解四种命题及其相互关系；⑷理解用反证法证明命题的思路，能用反证法证明一些比较简单的几何题．从1996年起，对于高一新生，初中的要求又有进一步调整．上述⑵改为：了解逆命题和逆定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题．⑶删去．⑷改为：了解反证法．

基于以上情况，考虑到学习高中数学的需要，新教材一方面补充了一些必要的知识点，例如关于一元二次不等式与绝对值不等式的解法；另一方面对一些初中相对薄弱的内容，适当予以加强，例如关于反证法等．

例如，关于交集、并集的概念，教科书先从图形表示入手，让学生有一个直观的认识，然后给出定义，再用实例加以说明，并且，引出概念的图形也只是采用了一种简明的形式，而没有画出全部可能出现的情况．

又如，本章是对比初中学过的一元一次不等式，并且借助二次函数的图象，讲述一元二次不等式解法的．

⒉重视集合与逻辑在中学数学学习中的应用

本章是高中数学的基础，学习本章，主要目的是为了理解后续章节出现的集合与逻辑语言，会用集合与逻辑语言描述学习中遇到的数学问题，进而解决这些问题．像对一些性质、定理的理解，对函数的定义域、值域的描述，对推理方法的掌握，等等．

本章在集合与逻辑内容的编排上，既考虑到知识的系统性，又照顾到学生的可接受性，并且始终围绕着集合与逻辑在中学数学学习中的应用这一基本出发点．

在集合这部分，有关集合运算的内容，就注意在解方程和不等式方面的应用，在数学概念的分类方面的应用．

在逻辑这部分，有关命题的内容，突出的是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解和对复合命题真值的认识，而不过多地涉及对一个语句是不是命题的判断．此外，像关于复合命题的否定，对近期学习影响不大，学生学习又比较困难，本章基本未涉及．

为了帮助学生理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”，教科书中介绍了“或门电路”、“与门电路”，这是两个应用的实例．实际上，计算机的“智能”装置就是以数学逻辑为基础进行设计的

三教学中应注意的问题

⒈教学要求的把握要适时、适度

本章是高中数学的起始章，适当地把握本章的教学要求是教学中应该重视的问题．

集合与逻辑的初步知识是高中数学的基础知识，学习这些内容，主要是为今后进一步学习其他知识作基本语言、基本方法的准备，相应地，对知识系统性、严谨性的要求一定要适度．

学习有关集合的初步知识，其目的主要在于应用．具体说，就是在学习其他知识时，能读懂其中的简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问题时，能根据需要，运用集合语言进行表述．在安排训练时，要把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题．集合有关性质的证明，一般不要求学生掌握．有些可能混淆但在实际问题中并不多见的关系，就不必故意编排在一起，让学生去一一进行辨析．

本章安排的是集合与逻辑的初步知识，这些知识的讲述，是以初中数学的内容为基础的．从引出有关知识的实例，到具体应用的问题，基本都属于初中数学的范围，这种局限自然会对有关知识的理解和掌握造成一定影响．随着后续章节的学习，对集合与逻辑知识的应用将越来越广泛和深入，相应地，对集合与逻辑知识理解和掌握的水平也就越来越高了．因此，本章的教学要求，应该避免一步到位．

关于含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真值表，在开始时，教学重点还是借助三个真值表，加深对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的了解，而不必急于让学生掌握对一般复合命题的真假的判断．

关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．

⒉提高集合与逻辑的教学效益

目前高中数学教学的一个突出问题是教学效益不高．具体表现在：一方面，学生用在数学上的时间比较多，像与美国比，是美国学生的好几倍；另一方面，学生在考试中表现良好，但创造性能力和应用能力有一定欠缺，个性发展也存在着不足之处．

为了后续章节的学习，在本章必须给学生打下适当的集合与逻辑基础，限于学生的预备知识与接受能力，在本章又不能过多地追求理论的完整，只有处理好这个关系，才能提高教学效益．因此，在实际教学时，一定要抓住重点．怎样把握本章的教学重点呢？一是要有助于对初中数学的理解，二是要能为高中数学的学习扫除障碍．换句话说，学习集合与逻辑，要着眼于用集合与逻辑的知识解决数学学习中的问题，而不要在概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力．像逻辑中有不少问题，在学术界内部都有争论，在高一数学课上，就完全没有必要去涉及了．

⒊使用数学符号要规范

本章教材有不少集合与逻辑的数学符号，这些符号的采用，依据的是新的国家标准，其中有些符号与原教科书不同，在教学时应该注意．

第一章集合与简易逻辑(高中数学竞赛标准教材)

第一章集合与简易逻辑

一、基础知识
定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。
定义2子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
定义3交集，
定义4并集，
定义5补集，若称为A在I中的补集。
定义6差集，。
定义7集合记作开区间，集合
记作闭区间，R记作
定理1集合的性质：对任意集合A，B，C，有：
（1）（2）；
（3）（4）
【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即
（3）若，则或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
定理3乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。
例1设，求证：
（1）；
（2）；
（3）若，则
[证明]（1）因为，且，所以
（2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以
（3）设，则
（因为）。
2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则A=B。
例2设A，B是两个集合，又设集合M满足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先证，若，因为，所以，所以；
再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以
综上，
3．分类讨论思想的应用。
例3，若，求
【解】依题设，，再由解得或，
因为，所以，所以，所以或2，所以或3。
因为，所以，若，则，即，若，则或，解得
综上所述，或；或。
4．计数原理的应用。
例4集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，求有序集合对（A，B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。
【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；AB，BA，中的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个。
（2）I的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。
【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为C1A与A，并设，则，从而可以在个子集中再添加，与已知矛盾，所以。综上，。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4容斥原理；用表示集合A的元素个数，则
，需要xy此结论可以推广到个集合的情况，即
定义8集合的划分：若，且，则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】记，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的数有个。
例7S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。
例8求所有自然数，使得存在实数满足：
【解】当时，；当时，；当时，。下证当时，不存在满足条件。
令，则
所以必存在某两个下标，使得，所以或，即，所以或，。
（ⅰ）若，考虑，有或，即，设，则，导致矛盾，故只有
考虑，有或，即，设，则，推出矛盾，设，则，又推出矛盾，所以故当时，不存在满足条件的实数。
（ⅱ）若，考虑，有或，即，这时，推出矛盾，故。考虑，有或，即=3，于是，矛盾。因此，所以，这又矛盾，所以只有，所以。故当时，不存在满足条件的实数。
例9设A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三个数，B中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值。
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次，则必有。若不然，数出现次（），则在出现的所有中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，}，其中，为满足题意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
20个中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以。当时，如下20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}，{1，2，4，12，14}，{1，2，5，15，16}，{1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}，{1，3，6，12，15}，{1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}，{2，3，4，13，15}，{2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}，{2，4，6，7，11}，{2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}。
例10集合{1，2，…，3n}可以划分成个互不相交的三元集合，其中，求满足条件的最小正整数
【解】设其中第个三元集为则1+2+…+
所以。当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5。
三、基础训练题
1．给定三元集合，则实数的取值范围是___________。
2．若集合中只有一个元素，则=___________。
3．集合的非空真子集有___________个。
4．已知集合，若，则由满足条件的实数组成的集合P=___________。
5．已知，且，则常数的取值范围是___________。
6．若非空集合S满足，且若，则，那么符合要求的集合S有___________个。
7．集合之间的关系是___________。
8．若集合，其中，且，若，则A中元素之和是___________。
9．集合，且，则满足条件的值构成的集合为___________。
10．集合，则
___________。
11．已知S是由实数构成的集合，且满足1））若，则。如果，S中至少含有多少个元素？说明理由。
12．已知，又C为单元素集合，求实数的取值范围。
四、高考水平训练题
1．已知集合，且A=B，则___________，___________。

2．
，则___________。
3．已知集合，当时，实数的取值范围是___________。
4．若实数为常数，且___________。
5．集合，若，则___________。
6．集合，则中的最小元素是___________。
7．集合，且A=B，则___________。
8．已知集合，且，则的取值范围是___________。
9．设集合，问：是否存在，使得，并证明你的结论。
10．集合A和B各含有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下列条件的集合C的个数：1）且C中含有3个元素；2）。
11．判断以下命题是否正确：设A，B是平面上两个点集，，若对任何，都有，则必有，证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1．已知集合，则实数的取值范围是___________。
2．集合的子集B满足：对任意的，则集合B中元素个数的最大值是___________。
3．已知集合，其中，且，若P=Q，则实数___________。
4．已知集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则___________。
5．集合，集合，则集合M与N的关系是___________。
6．设集合，集合A满足：，且当时，，则A中元素最多有___________个。
7．非空集合，≤则使成立的所有的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相异）的并集,则满足条件的有序三元组（A，B，C）个数是___________。
9．已知集合，问：当取何值时，为恰有2个元素的集合？说明理由，若改为3个元素集合，结论如何？
10．求集合B和C，使得，并且C的元素乘积等于B的元素和。
11．S是Q的子集且满足：若，则恰有一个成立，并且若，则，试确定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干个五元子集满足：S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中，问：至多有多少个五元子集？
六、联赛二试水平训练题
1．是三个非空整数集，已知对于1，2，3的任意一个排列，如果，，则。求证：中必有两个相等。
2．求证：集合{1，2，…，1989}可以划分为117个互不相交的子集，使得（1）每个恰有17个元素；（2）每个中各元素之和相同。
3．某人写了封信，同时写了个信封，然后将信任意装入信封，问：每封信都装错的情况有多少种？
4．设是20个两两不同的整数，且整合中有201个不同的元素，求集合中不同元素个数的最小可能值。
5．设S是由个人组成的集合。求证：其中必定有两个人，他们的公共朋友的个数为偶数。
6．对于整数，求出最小的整数，使得对于任何正整数，集合的任一个元子集中，均有至少3个两两互质的元素。
7．设集合S={1，2，…，50}，求最小自然数，使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b，满足。
8．集合，试作出X的三元子集族，满足：
（1）X的任意一个二元子集至少被族中的一个三元子集包含；
（2）。
9．设集合，求最小的正整数，使得对A的任意一个14-分划，一定存在某个集合，在中有两个元素a和b满足。

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