§3.1.3导数的几何意义
【学情分析】:
上一节课已经学习了导数定义,以及运用导数的定义来求导数。
【教学目标】:
1.了解曲线的切线的概念
2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法.
3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程
【教学重点】:
理解曲线在一点处的切线的定义,以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景.导数的几何意义及“数形结合,以直代曲”的思想方法.
【教学难点】:
发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
(1)复习引入圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线
曲线的切线
如图,设曲线c是函数的图象,点是曲线c上一点作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的切线
为课题引入作铺垫.
如图,设曲线c是函数的图象,点是曲线c上一点作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的切线
(2)讲解导数的几何意义2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法:
因为曲线c是给定的,根据解析几何中直线的点斜是方程的知识,只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为,切线PT的倾斜角为,既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线,所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即
tan=
我们可以从运动的角度来得到切线,所以可以用极限来定义切线,以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线,也可以求出它在某一点处的切线了.
3.说明:(1)是函数对自变量在范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线上点()及点)的割线斜率.
(2)导数是函数在点的处瞬时变化率,它反映的函数在点处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线上点()处的切线的斜率因此,如果在点可导,则曲线在点()处的切线方程为
指导学生理解导数的几何意义,可以讨论
(3)讲解范例例1、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率,以及切线的方程.
解:k=
∴切线的斜率为2.
切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
例2、求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1,4)处的切线方程.
解:k=
∴切线的方程为y-4=5(x-1),
即y=5x-1
例3、求曲线f(x)=x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角.
分析:要求切线的倾斜角,也要先求切线的斜率,再根据斜率k=tana,求出倾斜角a.
解:∵tana=
通过例子,更深入理解导数的概念
∵a∈[0,π,∴a=π.
∴切线的倾斜角为π.
(4)课堂小结导数的几何意义,怎么求曲线的切线。
补充题目:
1.导数的本质是什么?请写数学表达式。导数的本质是函数在处的即:
2.函数平均变化率的几何意义是什么,请在函数图像中画出来。
3.导数的几何意义是什么?导数的几何意义是
4.在函数的图像上,(1)用图形来体现导数,
的几何意义,并用数学语言表述出来。(2)请描述、比较曲线在.
附近增(减)以及增(减)快慢的情况。在附近呢?
(说明:要求学生动脑(审题),动手(画切线),动口(讨论、描述运动员的运动状态),体会利用导数的几何意义解释实际问题,渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。)
5.如图表示人体血管中的药物浓度(单位:)随时间(单位:)变化的函数图像,根据图像,估计(min)时,血管中药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)
0.20.40.60.8
药物浓度的
瞬时变化率
(说明:要求学生动脑(审题),动手(画切线),动口(说出如何估计切线斜率),进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题,渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。)
(以上几题可以让学生在课堂上完成)
6.求下列曲线在指定点处的切线斜率.
(1)y=-+2,x=2处(2)y=,x=0处.
答案:(1)k=-12,(2)k=-1
7.已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.
解:(1)k=
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1)即y=4x-2
8.求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线方程.
解:k=
∴切线方程是y-5=-4(x+2),即y=-4x-3.
2.2.2导数的几何意义
(一)复习引入
1、函数的平均变化率:
已知函数,是其定义域内不同的两点,
记
则函数在区间的平均变化率
为
2、曲线的割线AB的斜率:
由此可知:曲线割线的斜率就是函数的平均变化率。
3、函数在一点处的导数定义:
函数在点处的导数就是函数在点的瞬时变化率:记作:
(二)讲授新课
1、创设情境:
问题:平面几何中我们怎样判断直线是否是圆的切线?
学生回答:与圆只有一个公共点的直线就叫做圆的切线
教师提问:能否将它推广为一般的曲线的切线定义?
教师引导学生举出反例如下:
教师举反例如下:
因此,对于一般曲线,必须重新寻求曲线的切线定义。
引例:(看大屏幕)
2、曲线在一点处的切线定义:
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,
这条直线AD叫做此曲线在点A的切线。
教师导语:我们如何确定切线的方程?由直线方程的点斜式知,已知一点坐标,只需求切线的斜率。
那如何求切线的斜率呢?
引例:(看大屏幕):
3、导数的几何意义:
曲线在点的切线的斜率等于
注:点是曲线上的点
(三)例题精讲
例1、求抛物线过点(1,1)的切线方程。
解:因为
所以抛物线过点(1,1)的切线的斜率为2
由直线方程的点斜式,得切线方程为
练习题:求双曲线过点(2,)的切线方程。
答案提示:
例2、求抛物线过点(,6)的切线方程。
由于点(,6)不在抛物线上,可设该切线过抛物线上的点(,)
因为
所以该切线的斜率为,
又因为此切线过点(,6)和点(,)
所以
因此过切点(2,4),(3,9)切线方程分别为:即
(四)小结:
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤:(可让学生归纳)
①求出函数在点处的导数
②得切线方程
注:点是曲线上的点
(五)板书:
作为优秀的教学工作者,在教学时能够胸有成竹,高中教师在教学前就要准备好教案,做好充分的准备。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,帮助高中教师更好的完成实现教学目标。关于好的高中教案要怎么样去写呢?下面是小编精心为您整理的“复数的几何意义”,供大家参考,希望能帮助到有需要的朋友。
3.1.2复数的几何意义
【教学目标】
1.理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义并掌握复数模的计算方法
3、理解共轭复数的概念,了解共轭复数的简单性质
【教学重难点】
复数与从原点出发的向量的对应关系
【教学过程】
一、复习回顾
(1)复数集是实数集与虚数集的
(2)实数集与纯虚数集的交集是
(3)纯虚数集是虚数集的
(4)设复数集C为全集,那么实数集的补集是
(5)a,b.c.d∈R,a+bi=c+di
(6)a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件
二、学生活动
1、阅读课本相关内容,并完成下面题目
(1)、复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是的
(2)、叫做复平面,x轴叫做,y轴叫做
实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外,虚轴上的点都表示
(3)、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
复数复平面内的点平面向量
(4)、共轭复数
(5)、复数z=a+bi(a、b∈R)的模
2、学生分组讨论
(1)复数与从原点出发的向量的是如何对应的?
(2)复数的几何意义你是怎样理解的?
(3)复数的模与向量的模有什么联系?
(4)你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗?
3、练习
(1)、在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:
4,3+i,-1+4i,-3-2i,-i
(2)、已知复数=3-4i,=,试比较它们模的大小。
(3)、若复数Z=4a+3ai(a0),则其模长为
(4)满足|z|=1(z∈R)的z值有几个?满足|z|=1(z∈C)的z值有几个?这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形?其轨迹方程是什么?
三、归纳总结、提升拓展
例1.(2007年辽宁卷)若,则复数在复平面内所对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
1、复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点,求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.
例3.设Z为纯虚数,且,求复数
四、反馈训练、巩固落实
1、判断正误
(1)实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数
(2)若|z1|=|z2|,则z1=z2
(3)若|z1|=z1,则z10
2、()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
3、已知a,判断z=所对应的点在第几象限
4、设Z为纯虚数,且|z+2|=|4-3i|,求复数
《复数的几何意义》预习案
一、学习目标:
1.理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.掌握复数几何意义及复数模的计算方法
3、理解共轭复数的概念,了解共轭复数的简单性质
二、学习重点:复数与从原点出发的向量的对应关系.
三、自学过程:
1、复习回顾
(1)复数集是实数集与虚数集的
(2)实数集与纯虚数集的交集是
(3)纯虚数集是虚数集的
(4)设复数集C为全集,那么实数集的补集是
(5)a,b.c.d∈R,a+bi=c+di
(6)a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件
2、预习看课本60-61页,完成下面题目。
(1)复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是的
(2)叫做复平面,x轴叫做,y轴叫做
实轴上的点都表示虚轴上的点除原点外,虚轴上的点都表示
(3)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
复数复平面内的点平面向量
(4)共轭复数
(5)复数z=a+bi(a、b∈R)的模
3、自主练习
(1)、在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:
4,2+i,-1+3i,3-2i,-i
(2)、已知复数=3+4i,=,试比较它们模的大小。
(2)、若复数Z=3a-4ai(a0),则其模长为
(3)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个?满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形?其轨迹方程是什么?
(4)设Z∈C,满足23的点Z的集合是什么图形?
已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,实数m的值为_____________________.
例1.(2007年辽宁卷)若,则复数在复平面内所对应的点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
四:变式训练
1.已知复平面上正方形的三个顶点是A(1,2)、B(-2,1)、C(-1,-2),求它的第四个顶点D对应的复数.
五、小结:
当堂检测:
复数的几何意义学案
一、学习目标:
1.理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.掌握复数几何意义及复数模的计算方法
3、理解共轭复数的概念,了解共轭复数的简单性质
二、学习重点:复数与从原点出发的向量的对应关系.
三、学习过程:
一、
1、预习课本说明复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系的
叫做复平面,x轴叫做,y轴叫做
实轴上的点都表示
虚轴上的点除原点外,虚轴上的点都表示。
巩固练习:在复平面内的原点(0,0)表示实轴上的点(2,0)表示,虚轴上的点(0,-1)表示,虚轴上的点(0,5)表示非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(-2,3)表示的复数是,z=-5-3i对应的点(-5,-3)在第象限
2、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
复数复平面内的点平面向量
3、共轭复数
4、复数z=a+bi(a、b∈R)的模
二、讲解范例:
例1已知复数
对应的点在第一象限,则实数m的取值范围
例2复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点,求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.
例3.设且满足下列条件,在复平面内,复数z对应的点Z的集合是什么图形?
1)
2)
3)Z的实部和虚部相等
例4.设Z为纯虚数,且,求复数
研究性学习:复数为实数的充要条件
五、小结:
当堂检测
1、判断
(1)实轴上的点都表示实数,虚轴上的点都表示纯虚数
(2)若|z1|=|z2|,则z1=z2
(3)若|z1|=z1,则z10
2、()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
3、已知a,判断z=所对应的点在第几象限?
文章来源:http://m.jab88.com/j/111685.html
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