古人云，工欲善其事，必先利其器。教师要准备好教案，这是教师工作中的一部分。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助教师缓解教学的压力，提高教学质量。那么，你知道教案要怎么写呢？下面的内容是小编为大家整理的不等式的证实1，仅供参考，欢迎大家阅读。

不等式的证实1教学目标
(1)理解证实不等式的三种方法:比较法、综合法和分析法的意义;
(2)把握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式;
(3)能灵活根据题目选择适当地证实方法来证不等式;
(4)能用不等式证实的方法解决一些实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力;
(6)通过不等式证实,培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力;
(7)通过组织学生对不等式证实方法的意义和应用的参与,培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
(一)教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点:不等式证实的主要方法的意义和应用;
难点:①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的;
②综合性问题选择适当的证实方法.
(1)不等式证实的意义
不等式的证实是要证实对于满足条件的所有数都成立(或都不成立),而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
(2)比较法证实不等式的分析
①在证实不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法.
②证实不等式的比较法,有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于,因此,证实,可转化为证实与之等价的.这种证法就是求差比较法.
由于当时,,因此,证实可以转化为证实与之等价的.这种证法就是求商比较法,使用求商比较法证实不等式时,一定要注重的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是:“作差——变形——断号”.
其中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.
变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差值是多少.
变形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等,为此,有时把差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式.或者变形为一个分式,或者变形为几个因式的积的形式等.总之.能够判定出差的符号是正或负即可.
④作商比较法的基本步骤是:“作商——变形——判定商式与1的大小关系”,需要注重的是,作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证实.
(3)综合法证实不等式的分析
①利用某些已经证实过的不等式和不等式的性质推倒出所要证实的不等式成立,这种证实方法通常叫做综合法.
②综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式出发,通过一系列的推出变换,推倒出求证的不等式.
③综合法证实不等式的逻辑关系是:
….
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
④利用综合法由因导果证实不等式,就要揭示出条件与结论之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系,在分析所证不等式左右两端的差异后,合理应用已知条件,进行有效的变换是证实不等式的关键.
(4)分析法证实不等式的分析
①从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证实方法就是分析法.
有时,我们也可以首先假定所要证实的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法,注重应强调“以上每一步都可逆”,并说出可逆的根据.
②分析法的思路是“执果导因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.
③用分析法证实不等式的逻辑关系是:
….
(已知)(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)
④分析法是教学中的一个难点,一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出使结论成立的“充分”条件,二是不易正确使用连接有关(分析推理)步骤的关键词.如“为了证实”“只需证实”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是证实不等式时一种常用的基本方法.当证实不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决.非凡对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.
(5)关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.
②在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件.即推理方向是:结论已知.
综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.即:已知结论.
③分析法的特点是:从“结论”探求“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.
综合法的特点是:从“已知”推出“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.
④各有其优缺点:
从寻求解题思路来看:分析法是执果索因,利于思考,方向明确,思路自然,有希望成功;综合法由因导果,往往枝节横生,不轻易达到所要证实的结论.
从书写表达过程而论:分析法叙述繁锁,文辞冗长;综合法形式简洁,条理清楚.
也就是说,分析法利于思考,综合法宜于表达.
⑤一般来说,对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,用分析法来书写又比较麻烦.因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证实,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.
(二)教法建议
①选择例题和习题要注重层次性.
不等式证实的三种方法主要是通过例题来说明的.教师在教学中要注重例题安排要由易到难,由简单到综合,层层深入,启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系.教师选择的练习题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当.
要坚持精讲精练的原则.通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系,对知识进行拓展、延伸,使学生沟通知识,有效地提高解题能力.
②在教学过程中,应通过精心设置的一个个问题,激发学生的求知欲,调动学生在课堂活动中积极参与.
通过学生参与教学活动,理解不等式证实方法的实质和几种证实方法的意义,通过练习积累经验,能够总结出比较法的实质是把实数的大小顺序通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小;复杂的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化,利用分析法能够把结论向条件靠拢,最终达到结合点,从而解决问题.
③学生素质较好的,教师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证实不等式的内容,但内容不易过多过难.
第一课时
教学目标
1.把握证实不等式的方法——比较法;
2.熟悉并把握比较法证实不等式的意义及基本步骤.
教学重点比较法的意义和基本步骤.
教学难点常见的变形技巧.
教学方法启发引导式.
教学过程
(-)导入新课
(教师活动)教师提问:根据前一节学过的知识,我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小?.
(学生活动)学生思考问题,找学生甲口答问题.
(学生甲回答:,,,)
[点评](待学生回答问题后)要比较两个实数与的大小,只要考察与的差值的符号就可以了,这种证实不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习:用比较法证实不等式.(板书课题)
设计意图:通过教师设置问题,引导学生回忆所学的知识,引出用比较法证实不等式,导入本节课学习的知识.
(二)新课讲授
尝试探索,建立新知
(教师活动)教师板书问题(证实不等式),写出一道例题的题目
[问题]求证
教师引导学生分析、思考,研究不等式的证实.
(学生活动)学生研究证实不等式,尝试完成问题.
(得出证实过程后)
[点评]
①通过确定差的符号,证实不等式的成立.这一方法,在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证实不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题,将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较,使问题简化.
③理论依据是:
④由,,知:要证实只要证;要证实这种证实不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图:帮助学生构建用比较法证实不等式的知识体系,培养学生化归的数学思想.
例题示范,学会应用
(教师活动)教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会解题过程中的一些常用技巧,并点评.
例1求证
(学生活动)学生在教师引导下,研究问题.与教师一道完成问题的论证.
[分析]由比较法证题的方法,先将不等式两边作差,得,将此式看作关于的二次函数,由配方法易知函数的最小值大干零,从而使问题获证.
证实:∵
=
=,
∴.
[点评]
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形,确定差的符号.
②作差后,式于符号不易确定,配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式,使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负,一般需要利用不等式的性质经过变形后,才能判定.
变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形,要灵活处理,例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2已知都是正数,并且,求证:
[分析]这是分式不等式的证实题,依比较法证题将其作差,确定差的符号,应通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符合,从而得证.
证实:
=
=.
因为都是正数,且,所以
.
∴.
即:
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形,由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质(若都是正数.
1.当时,
2.当时,.以后要记住.
设计意图:巩固用比较法证实不等式的知识,学会在用比较法证实不等式中,对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定和鼓励,对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.
[字幕]
练习:1.求证
2.已知,,,d都是正数,且,求证
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
设计意图,把握用比较法证实不等式,并会灵活运用配方法和通分法变形差式,确定差式符号.反馈课堂教学效果,调节课堂教学.
分析归纳、小结解法
(教学活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结用比较法证实不等式的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
比较法是证实不等式的一种最基本、重要的方法.用比较法证实不等式的步骤是:作差、变形、判定符号.要灵活把握配方法和通分法对差式进行恒等变形.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握用比较法证实不等式的方法.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识.
(学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
本节课学习了用比较法证实不等式,用比较法证实不等式的步骤中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.把握求差后对差式变形的常用方法:配方法和通分法.并在下节课继续学习对差式变形的常用方法.
设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
(四)布置作业
1.课本作业:P16.1,2,3.
2.思考题:已知,求证:
3.研究性题:设,,都是正数,且,求证:
设计意图,课本作业供学生巩固基础知识;思考题供学有余力的学生完成,培养其灵活把握用比较法证实不等式的能力;研究性题是为培养学生创新意识.
(五)课后点评
1.本节课是用比较法证实不等式的第一节课,在导入新课时,教师提出问题,让学生回忆所学知识中,是如何比较两个实数大小的,从而引入用比较法证实不等式.这样处理合情合理,顺理成章.
2.在建立新知过程中,教师引导学生分析研究证实不等式,使学生在尝试探索过程中形成用比较法证实不等式的感性熟悉.
3.例1,例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结,求差后对差式变形、并判定符号的方法,以及求差比较法的步骤.在这里如何对差式变形是难点,应着重解决.首先让学生明确变形目的,减少变形的盲目性;其次是总结变形时常用方法,有利于难点的突破.
4.本节课采用启发引导,讲练结合的授课方式,发挥教师主导作用,体现学生主体地位,学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成.教师通过启发诱导学生深入思考问题,培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
作业答实
思考题:,又,获证.

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不等式的证实3

一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收，帮助教师能够井然有序的进行教学。所以你在写教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“不等式的证实3”，仅供参考，希望能为您提供参考！

不等式的证实3第四课时
教学目标
1.把握分析法证实不等式;
2.理解分析法实质——执果索因;
3.提高证实不等式证法灵活性.
教学重点分析法
教学难点分析法实质的理解
教学方法启发引导式
教学活动
(一)导入新课
(教师活动)教师提出问题,待学生回答和思考后点评.
(学生活动)回答和思考教师提出的问题.
[问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证实方法?什么是比较法?什么是综合法?
[问题2]能否用比较法或综合法证实不等式:
[点评]在证实不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证实方法:分析法.(板书课题)
设计意图:复习已学证实不等式的方法.指出用比较法和综合法证实不等式的不足之处,
激发学生学习新的证实不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证实不等式.
(二)新课讲授
尝试探索、建立新知
(教师活动)教师讲解综合法证实不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助学生建立分析法证实不等式的知识体系.投影分析法证实不等式的概念.
(学生活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.
[讲解]综合法证实不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证实的不等式.
[问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证实的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?
[问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?
[问题3]说明要证实的不等式成立的理由是什么呢?
[点评]从要证实的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证实的结论成立.就是分析法的逻辑关系.
[投影]分析法证实不等式的概念.(见课本)
设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发学生积极思考、研究.建立新的知识;分析法证实不等式.培养学习创新意识.
例题示范、学会应用
(教师活动)教师板书或投影例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会用分析法证实不等式,并点评用分析法证实不等式必须注重的问题.
(学生活动)学生在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.
例1求证
[分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法.
证实:(见课本)
[点评]证实某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.此例中,我们很难想到从“”入手,因此,在不等式的证实中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证实途径,然后用综合法的形式写出证实过程,这是解决数学问题的一种重要思维方法,事实上,有些综合法的表述正是建立在分析法思考的基础上,分析法的优越性正体现在此.
例2已知:,求证:(用分析法)请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处?
[投影]证法一:因为,所以、去分母,化为,就是.由已知成立,所以求证的不等式成立.
证法二:欲证,因为
只需证,
即证,
即证
因为成立,所以成立.
(证法二正确,证法一错误.错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误.)
[点评]①用分析法证实不等式的逻辑关系是:
(结论)(步步寻找不等式成立的充分条件)(结论)
分析法是“执果索因”,它与综合法的证实过程(由因导果)恰恰相反.②用分析法证实时要注重书写格式.分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是:
要证命题B为真,
只需证实为真,从而有……
这只需证实为真,从而又有……
……
这只需证实A为真.
而已知A为真,故命题B必为真.
要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.
[投影]例3证实:通过水管放水,当流速相同时,假如水管截面(指横截面,下同)的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.
[分析]设未知数,列方程,因为当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为,则周长为的圆的半径为,截面积为;周长为的正方形边长为,截面积为,所以本题只需证实:
证实:(见课本)
设计意图:理解分析法与综合法的内在联系,说明分析法在证实不等式中的重要地位.掌
握分析法证实不等式,非凡重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活把握分析法的应用,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),请甲、乙两位同学板演,巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.
字幕练习1.求证
2.求证:
设计意图:把握用分析法证实不等式,反馈课堂效果,调节课堂教学.
分析归纳、小结解法
(教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小给用分析法证实不等式的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
1.分析法是证实不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,非凡是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.
2.用分析法证实不等式时,要正确运用不等式的性质逆找充分条件,注重分析法的证题格式.
设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,把握分析法证实不等式的方法.
(三)小结
(教师活动)教师小结本节课所学的知识.
(学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
本节课主要学习了用分析法证实不等式.应用分析法证实不等式时,把握一些常用技巧:
通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母,两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时,要注重遵循不等式的性质.另外还要适当把握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思考,而用综合法书写证实,或者分析法、综合法相结合,共同完成证实过程.
设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
(四)布置作业
1.课本作业:P174、5.
2.思考题:若,求证
3.研究性题:已知函数,,若、,且证实
设计意图:思考题供学有余力同学练习,研究性题供学生研究分析法证实有关问题.
(五)课后点评
教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程.本节课在形成分析法证实不等式认知结构中,教师提出问题或引导学生发现问题,然后开拓学生思路,启迪学生聪明,求得问题解决.一个问题解决后,及时地提出新问题,提高学生的思维层次,逐步由非凡到一般,由具体到抽象,由表面到本质,把学生的思维步步引向深入,直到完成本节课的教学任务.总之,本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始,到问题深化,始终处于积极主动状态.
本节课练中有讲,讲中有练,讲练结合.在讲与练的互相作用下,使学生的思维逐步深化.教师提出的问题和例题,先由学生自己研究,然后教师分析与概括.在教师讲解中,又不断让学生练习,力求在练习中加深理解,尽量改变课堂上教师包括办代替的做法.
在安排本节课教学内容时,按熟悉规律,由浅入深,由易及难,逐渐展开教学内容,让学生形成有序的知识结构.
作业答案:
思考题:
.因为,故,所以成立.
研究性题:令,,则:
,,
故原不等式等价于
由已知有.。所以上式等价于,即。所以又等价于.因为,上式成立,所以原不等式成立。
不等式的实际解释
题目:不等式:是正数,且,则。可以给出一个具有实际背景的解释:在溶液里加溶质则浓度增加,即个单位溶液中含有个单位的溶质,其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度,请你仿照此例,给出两个不等式的解释。
分析与解
1.先看问题中的不等式,建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好。我们知道假如同时增加相等的窗户面积和地板面积,那么住宅的条件变好。
设地板面积为平方米,窗户面积为平方米,若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米,住宅的采光条件变好了,即有
2.是正数,不等式可以推出,我们可以用混合溶液来解释:两个不同浓度的溶液混合后,其浓度介于混合前两溶液浓度之间。
3.电阻串并联。电阻值为、的电阻,串联电阻为,并联电阻为,串联电阻变大,并联电阻变小,因此有不等式,即
说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后,通过数学的运算演变得到的。反过来,把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用,值得大家关注。

不等式的性质1

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不等式的性质1教学目标
1.理解不等式的性质,把握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证实方法以及功能、运用;
2.把握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证实的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证实。
知识结构图
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证实及其应用,不等式的证实和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证实过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n1)
(n∈N,n1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,练习学生的推理能力.为今后证实不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:发现定理、定理证实、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证实定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证实思路;解决一些较简单的证实题.
第一课时
教学目标
1.把握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.把握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判定差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判定时引起注重,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.假如,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注重加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演

不等式的性质

作为优秀的教学工作者，在教学时能够胸有成竹，高中教师要准备好教案，这是高中教师的任务之一。教案可以更好的帮助学生们打好基础，帮助高中教师营造一个良好的教学氛围。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是由小编为大家整理的“不等式的性质”，供大家借鉴和使用，希望大家分享！

不等式的性质教学目标
1.理解不等式的性质,把握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并把握它们的证实方法以及功能、运用;
2.把握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证实的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证实。
知识结构图
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证实及其应用,不等式的证实和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判定它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证实过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n1)
(n∈N,n1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,练习学生的推理能力.为今后证实不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:解疑).主要思路是:教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:发现定理、定理证实、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证实定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证实思路;解决一些较简单的证实题.
第一课时
教学目标
1.把握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.把握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判定它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判定它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判定差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判定时引起注重,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,假如没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步把握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.假如,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:学生板演练习,老师讲评,并强调学生注重加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,把握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演

不等式证明

题目第六章不等式不等式的证明
高考要求
1．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；
2．掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围
3．搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤
4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
知识点归纳
不等式的证明方法
（1）比较法：作差比较：
作差比较的步骤：
①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和
③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小
（2）综合法：由因导果
（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
（4）反证法：正难则反
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的
放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③利用基本不等式，
如：；
④利用常用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度小）
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究
题型讲解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之
分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由题意得
证法一：（比较法）
，，
证法二：（放缩法）
，
证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）
证法二：（分析法）
因为显然成立，所以原不等式成立
点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）
证法四：（反证法）假设，
则
由a+b=1，得，于是有
所以，
这与矛盾
所以
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边
点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式
证法六：（均值换元法）∵，
所以可设，，
∴左边＝
＝右边
当且仅当t=0时，等号成立
点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元
证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）
设y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因为，所以，即
故
例3设实数x，y满足y+x2=0，0a1求证：
证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：
∴只需证，
即证，此式显然成立
∴原不等式成立
例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：
分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知
证明：（综合法），
例5已知
的单调区间；
(2)求证：
（3）若求证：
解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考知识又考能力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值
小结：
1．掌握好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点
2在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等
3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯
简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法
⑸换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题
⑹含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件
⑺有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度
学生练习
1设，求证：
证明：
=
=
=
，则
故原不等式成立
点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：
（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方
2己知都是正数，且成等比数列，
求证：
证明：
成等比数列，
都是正数，
点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段
3己知函数，当满足时，证明：对于任意实数都成立的充要条件是
证明：
（1）若，则
(2)当时，
故原命题成立
4．比较的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
证明：
7．若，求证ab与不能都大于
证明：假设ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求证：a+b
证明：假设a+b2则b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
与已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13设都正数，求证：
证明：
，
14设且，求证：
证法1若，，
这与矛盾，
同理可证
证法2由知
15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？
解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为
所以乙购的粮食价格低
说明“各次的粮食价格不同”，必须用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应该从式的特征联想到用基本不等式进行变换

课前后备注

文章来源：http://m.jab88.com/j/49743.html

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