一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,作为高中教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容,帮助高中教师更好的完成实现教学目标。高中教案的内容要写些什么更好呢?为此,小编从网络上为大家精心整理了《抛物线及其标准方程教案》,仅供参考,欢迎大家阅读。
设计说明:学生在初中学习二次函数时知道二次函数的图象是一个抛物线,在物理的学习中也接触过抛物线(物体的运动轨迹)。因而对抛物线的认识比对前面学习的两种圆锥曲线椭圆和双曲线更多。所以学生学起来会轻松。但是要注意的是,现在所学的抛物线是方程的曲线而不是函数的图象。本节内容是在学习了椭圆和双曲线的基础上,利用圆锥曲线的第二定义统一进行展开的,因而对于抛物线的系统学习具有双重的目标性。2.3.1抛物线及其标准方程
一、教学目标
1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程
2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程
3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择)
四、教学过程
(一)复习旧知
在初中,我们学习过了二次函数,知道二次函数的图象是一条抛物线
例如:(1),(2)的图象(展示两个函数图象):
(二)讲授新课
1.课题引入
在实际生活中,我们也有许多的抛物线模型,例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线?它具有怎样的几何特征?它的方程是什么呢?
这就是我们今天要研究的内容.(板书:课题§2.4.1抛物线及其标准方程)
2.抛物线的定义
信息技术应用(课堂中展示画图过程)
先看一个实验:
如图:点F是定点,是不经过点F的定直线,H是上任意一点,过点H作,线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M满足的几何条件吗?(学生观察画图过程,并讨论)
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线的距离相等。(也可以用几何画板度量|MH|,|MF|的值)
(定义引入):
我们把平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线.(板书)
思考?若F在上呢?(学生思考、讨论、画图)
此时退化为过F点且与直线垂直的一条直线.
3.抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道,抛物线上的点满足到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?
要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系.
问题设焦点F到准线的距离为,你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程?按照你建立直角坐标系的方案,求抛物线的方程.
(引导学生分组讨论,回答,并不断补充常见的几种建系方法,叫学生应用投影仪展示计算结果)
123
注意:1.标准方程必须出来,此表格在黑板上板书。
2.若出现比较复杂建系方案,可以以引入的字母参数较多为由,先排除计算
3.强调P的意义。
4.教师说明曲线方程与方程的曲线:从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标都满足方程,以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等,即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.
(选择标准方程)
师:观察4(3)个建系方案及其对应的方程,你认为哪种建系方案使方程更简单?
(学生选择,说明1.对称轴2.焦点3.方程无常数项,顶点在原点)
推导过程:取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l交于K,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,如右图所示,则有F(,0),l的方程为x=—.
设动点M(x,y),由抛物线定义得:
化简得y2=2px(p>0)
师:我们把方程叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是,准线方程是。
师:在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中,选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程,对于抛物线,当我们选择如图三种建立坐标系的方法,我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程:
(学生分前两排,中间两排,后面两排三组分别计算三种情况,一起填充表格)
图形标准方程焦点坐标准线方程
y2=2px(p>0)
(,0)
x=—
y2=—2px(p>0)
(—,0)
x=
x2=2py(p>0)
(0,)
y=—
x2=—2py(p>0)
(0,—)
y=
(三)例题讲解
例1(1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程,
(2)已知抛物线的焦点是,求它的标准方程.
解:(1)∵抛物线方程为y2=6x
∴p=3,则焦点坐标是(,0),准线方程是x=—.
(2)∵焦点在y轴的负半轴上,且=2,∴p=4
则所求抛物线的标准方程是:x2=—8y.
变式训练1:
(1)已知抛物线的准线方程是x=—,求它的标准方程.
(2)已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.
解(1)∵焦点是F(0,3),∴抛物线开口向上,且=3,则p=6
∴所求抛物线方程是x2=12y
(2)∵抛物线方程是2y2+5x=0,即y2=—x,∴p=[高考学习网XK]
则焦点坐标是F(—,0),准线方程是x=
例2点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
解:如右图所示,设点M的坐标为(x,y)
由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线.
∵=4,∴p=8
因为焦点在x轴的正半轴上,所以点M的轨迹方程为y2=16x.
变式训练2:
在抛物线y2=2x上求一点P,使P到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小.
解:如下图所示,设抛物线的点P到准线的距离为|PQ|
由抛物线定义可知:|PF|=|PQ|
∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|
显然当P、Q、A三点共线时,|PQ|+|PA|最小.
∵A(3,2),可设P(x0,2)代入y2=2x得x0=2
故点P的坐标为(2,2).
(四)小结
1、抛物线的定义;
2、抛物线的四种标准方程;
3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.
(五)课后练习
§2.3.1抛物线及其标准方程
【学情分析】:
学生已经学习过椭圆和双曲线,掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征,建立适当的直角坐标系,求椭圆和双曲线标准方程的过程。
【教学目标】:
(1)知识与技能:
掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念;能根据抛物线标准方程求焦距和焦点,初步掌握求抛物线标准方程的方法。
(2)过程与方法:
在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中,提高学生学习能力。
(3)情感、态度与价值观:
培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
【教学重点】:
抛物线的定义和抛物线的标准方程。
【教学难点】:
(1)抛物线标准方程的推导;
(2)利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
【课前准备】:
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】:
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入抛物线的定义
1.椭圆的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数()的点的轨迹.
2.双曲线的定义:平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数()的点的轨迹.
3.思考:与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹,当0<e<1时是椭圆,当e1时是双曲线.那么,当e=1时它是什么曲线呢?
抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法,让学生了解抛物线的形成,从而理解并掌握抛物线的定义。
二、建立抛物线的标准方程如图,建立直角坐标系xOy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.
设,则焦点F的坐标为(,0),准线的方程为.
设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d.
由抛物线的定义,抛物线就是点的集合
.
∵;d=.
∴.
化简得:.
注:叫做抛物线的标准方程.它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴,坐标是,准线方程是.
探究:
抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表。
根据抛物线的定义,让学生逐步填空,推出抛物线的标准方程。
通过填空,让学生牢固掌握抛物线的标准方程。
三、例题讲解例1求适合下列条件的抛物线的标准方程
(1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0。
分析:根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可,注意标准方程的形式。
解:(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0),则将点(-3,2)方程得或。
∴所求的抛物线方程为
(2)令x=0,由方程x-2y-4=0的y=-2.
∴抛物线的焦点为F(0,-2).
设抛物线方程为x2=2py。则由得,
∴所求的抛物线方程为x2=-8y
或令y=0由x-2y-4=0得x=4,
∴抛物线焦点为F(4,0).
设抛物线方程为y2=2px。则由得,
∴所求的抛物线方程为y2=16x
注意:本题是用待定系数法来解的,要注意解题方法与技巧。
例2已知抛物线的标准方程,求焦点坐标和准线方程。(1)y2=6x;(2)y=ax2.
分析:先写成标准方程,再求焦点坐标和准线方程。
解:(1)由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是
(2)将抛物线方程化为标准方程,则焦点坐标为,准线方程为
例3已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值。
分析:解本题的基本思路有两个,其一设抛物线方程,利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5,列出关于m、p的方程组,解关于m、p的方程组;其二利用抛物线的定义,得点M到准线的距离为5,直接得p的关系式,求出p的值。为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。
解:(方法一)设抛物线方程为y2=-2px(p0),则焦点,由题设可得,解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为
(方法二)由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为5,∵M的坐标为(-3,m),∴,∴p=4,故所求的抛物线方程为y2=-8x,m的值为
四、巩固练习1.选择:
⑴若抛物线y2=2px(p0)上横坐标为-6的点到焦点
的距离是10,则焦点到准线的距离是(B)
A、4B、8C、16D、32
⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于(B)
A.10B.8C.6D.4
⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时,M点的坐标是(C)
A.B.C.D.
2.填空:
⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是;
⑵抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a),则点M到准线的距离是_a_,点M的横坐标是.
四、巩固练习
3.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.
线的标准方程是x2=-8y.
4.已知点M与点F(4,0)的距离比它到直线L:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程。
分析:根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以F为焦点,直线x+4=0为准线的抛物线。
又由焦点位置可得,所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。
解:如图8-20所示,设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F(4,0)的距离比它到直线L:x+5=0的距离小1”,就是“点M与点F(4,0)的距离等于它到直线L:x+4=0的距离”,根据抛物线的定义可知,动点M的轨迹是以F为焦点M,直线x+4=0为准线的抛物线,且
∴所求的抛物线方程为y2=16x.围绕抛物线标准方程练习,让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。
五、课后练习1.(浙江)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=(B)
(A)(B)(C)(D)1
2.(上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线(B)
(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条
(C)有无穷多条(D)不存在
3.抛物线上一点的纵坐标为4,则点与抛物线焦点的距离为(D)
(A)2(B)3(C)4(D)5
4.(江苏卷)抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(B)
(A)(B)(C)(D)0
5.求经过点A(2,-3)的抛物线的标准方程:
分析:抛物线的标准方程中只有一个参数p,因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求出p值就可以写出其方程,但要注意两解的情况
解:经过点A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式:
y2=2px或x2=-2py.(如图)
点A(2,-3)坐标代入,即9=4p,得2p=
点A(2,-3)坐标代入x2=-2py,即4=6p,得2p=
∴所求抛物线的标准方程是
y2=x或x2=-y
6.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
分析:画出示意图2-14可知原条件M点到F(4,0)和到x=-4距离相等,由抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,x=-4为准线的抛物线.所求方程是y2=16x.
根据学生情况分层布置作业。
练习与测试:(说明:题目6个(以上)——其中基础题4个,难题2个;每个题目应该附有详细解答)
1.选择题
(1)已知抛物线方程为y=ax2(a>0),则其准线方程为(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)抛物线(m≠0)的焦点坐标是(B)
(A)(0,)或(0,)
(B)(0,)
(C)(0,)或(0,)
(D)(0,)
(3)焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线标准方程是(C)
(A)y2=16x或x2=16y(B)y2=16x或x2=12y
(C)x2=-12y或y2=16x(D)x2=16y或y2=-12x
2.根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)过点(-3,4)
(2)过焦点且与x轴垂直的弦长是16
解:(1)或
(2)y2=±16x
3.点M到点(0,8)的距离比它到直线y=-7的距离大1,求M点的轨迹方程.
解:x2=32y
4.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程。
分析:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求。
解:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,
则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,
则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y。
变题:(1)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)外切,求动圆圆心M的轨迹方程。
(2)已知动圆M与y轴相切,且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)相切,求动圆圆心M的轨迹方程。
解:(1)当x0时,y=0;当x≥0时,y2=4ax。
(2)本题可分外切时,当x0时,y=0;当x≥0时,y2=4ax。内切时当x≥0时,y=0(x≠a);当x0时,y2=4ax。
一位优秀的教师不打无准备之仗,会提前做好准备,作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让讲的知识能够轻松被学生吸收,帮助教师更好的完成实现教学目标。怎么才能让教案写的更加全面呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“抛物线及其标准方程的教学案例2”,相信能对大家有所帮助。
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