一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，准备好一份优秀的教案往往是必不可少的。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师更好的完成实现教学目标。那么一篇好的教案要怎么才能写好呢？考虑到您的需要，小编特地编辑了“2018人教A版高中数学必修4.1平面向量数量积的物理背景及其含义讲义”，欢迎您阅读和收藏，并分享给身边的朋友！

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
预习课本P103～105，思考并完成以下问题
(1)怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？
(2)向量b在a方向上的投影怎么计算？数量积的几何意义是什么？
(3)向量数量积的性质有哪些？
(4)向量数量积的运算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的数量积的定义
(1)两个非零向量的数量积：
已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ
定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ
记法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量与任一向量的数量积：
规定：零向量与任一向量的数量积均为0.
[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
2．向量的数量积的几何意义
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.
(2)数量积的几何意义：
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.
(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
3．向量数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥ba·b＝0.
(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|，
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，则a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，则a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a与b的夹角为60°，则a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，则a与b的夹角为()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，则a·b＝________；
(2)若a∥b，则a·b＝________；
(3)若a⊥b，则a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量数量积的运算

[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．

(2)如图，正三角形ABC的边长为2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法
运算．

[活学活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
与向量的模有关的问题

[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
[解析](1)令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
从而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．

[活学活用]
已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.

两个向量的夹角和垂直
题点一：求两向量的夹角
1．(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：选C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
题点二：证明两向量垂直
2．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
证明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
题点三：利用夹角和垂直求参数
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：选B∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.

求向量a与b夹角的思路
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．

层级一学业水平达标
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：选B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：选C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：选B∵＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
6．给出以下命题：
①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；
③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
其中，正确命题的序号是________．
解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．
答案：③
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的
夹角．
解：因为|e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
层级二应试能力达标
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为π3，则向量m＝a－4b的模为()
A．2B．23
C．6D．12
解析：选B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：选D法一：因为cosA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故选D.
法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故选D.

3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因为|a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，则|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：选C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如图，作＝＝a，
＝b，则＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夹角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化简即得
2t2＋15t＋70，解得－7t－12.
当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，
但此时夹角不是钝角，
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ0，λ＝－14，t＝－142.
∴所求实数t的取值范围是
－7，－142∪－142，－12.

相关知识

平面向量的数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
二．教学目标
1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；
3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点
重点：1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。
难点：平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细
五、教学方法
1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1．学生的学习准备：预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
（三）合作探究，精讲点拨
探究一：数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W=|F||S|cosα。
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符号

例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求.
解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴＝｜｜｜｜cos0°＝3×6×1＝18；
若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，
∴＝０；
③当与的夹角是60°时，有
＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.
变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。

探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
期望学生回答：数量积等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cos的乘积。

3.研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。

探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：
比较︱︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？
预测：学生可能会提出以下猜想：
①=
②（）=()
③（+）=+
（2）、分析猜想：
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。
（3）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：（+2）（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4

=-72
评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2

（四）反思总结，当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。
设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）
（五）发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用
设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计

十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和

几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
临清三中数学组编写人：王晓燕审稿人：刘桂江李怀奎
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

课前预习学案
一、预习目标：
预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；
二、预习内容：
1.平面向量数量积（内积）的定义：
2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
3．“投影”的概念：作图
4.向量的数量积的几何意义：
5．两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
1e=e=
2=
设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.
e=e=
3当与同向时，=当与反向时，=特别的=||2或
4cos=
5||≤||||

三、提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标
1说出平面向量的数量积及其几何意义；
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义
二、学习过程
创设问题情景，引出新课
1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义
探究一：
数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
2、明晰数量积的定义
（1）数量积的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量︱︱︱︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定义说明：
①记法“”中间的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。
（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

（4）学生讨论，并完成下表：
的范围
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符号

例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求.
解：
变式：
.对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.

探究二：研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念：
如图，我们把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
记做：OB1=︱││︱cos
2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

3.研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质：

探究三：探究数量积的运算性质
1、提出问题6：比较︱︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？

2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律
（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？

（2）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,与的夹角为60°，求（+2）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？
解：

变式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2

（三）反思总结

(四)当堂检测

1.已知||=5，||=4，与的夹角θ=120o，求.

2.已知||=6，||=4，与的夹角为60o求(+2)(-3)
.
3.已知||=3，||=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.

4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求.

5.已知||=1，||=，(1)若∥，求；(2)若、的夹角为６０°，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.

6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.

课后练习与提高
1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（）
A.60°B.30°C.135°D.４５°
2.已知||=2，||=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（）
A.2B.2C.6D.12
3.已知、是非零向量，则||=||是(+)与(-)垂直的（）
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件?
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知向量、的夹角为，||=2，||=1，则|+||-|=.
5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么=.
6.已知⊥、c与、的夹角均为60°，且||=1，||=2，|c|=3，则(+2-c)２＝______.

参考答案：
1.D2.B3.A
4.5.1446.11

高二数学平面向量数量积的物理背景及含义

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
（1）两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
（2）两向量共线的判定
（3）练习
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（C）
A.6B.5C.7D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）?
A.-3B.-1C.1D.3
（4）力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，
则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）.
并规定0向量与任何向量的数量积为0.
探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=bca=c
如右图：ab=|a||b|cos=|b||OA|，bc=|b||c|cos=|b||OA|
ab=bc但ac
(5)在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是(ab)ca(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
2．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；
当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；
当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，
1、abab=0
2、当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|.
特别的aa=|a|2或|ab|≤|a||b|cos=
探究：平面向量数量积的运算律
1．交换律：ab=ba
证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba
2．数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)
证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，
若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，
a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos.
3．分配律：(a+b)c=ac+bc
在平面内取一点O，作=a，=b，=c，∵a+b（即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2
∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2，∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc
说明：（1）一般地，(ａｂ)с≠ａ（ｂс）
（2）ａс＝ｂс，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａс＋ａｄ＋ｂс＋ｂｄ
三、讲解范例：
例1．证明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
例2．已知|a|=12，|b|=9，，求与的夹角。
例3．已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求：（1）(a+2b)(a-3b).（2）|a+b|与|a-b|.
（利用）
例4．已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
四、课堂练习：
1．P106面1、2、3题。
2．下列叙述不正确的是（）
A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律D.ab是一个实数
3．|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（）
A.平行B.垂直C.夹角为D.不平行也不垂直
4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a与b的夹角.
五、小结：
1．平面向量的数量积及其几何意义；
2．平面向量数量积的重要性质及运算律；
3．向量垂直的条件.
六、作业：《习案》作业二十三。

2018人教A版高中数学必修42．3.4平面向量共线的坐标表示讲义

2．3.4平面向量共线的坐标表示
预习课本P98～100，思考并完成以下问题
如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？
[新知初探]
平面向量共线的坐标表示
前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a、b(b≠0)共线

[点睛](1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；
(2)当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0a∥b.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.()
(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．()
答案：(1)√(2)√
2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，则与a＋b共线的向量可以是()
A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)
答案：C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，则x等于()
A．－12B.12C．－2D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________．
答案：73，0
向量共线的判定

[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()
A.12B.13C．1D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.
法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12.
[答案]A
(2)[解]＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共线．
又＝－2，∴，方向相反．
综上，与共线且方向相反．
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活学活用]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－13，此时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．
∴k＝－13时，ka＋b与a－3b平行且方向相反．
三点共线问题

[典例](1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点
共线？
[解](1)证明：∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝32，即与共线．
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.

有关三点共线问题的解题策略
(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；
(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．
[活学活用]
设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又与方向相同，所以x＝2.
此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．
向量共线在几何中的应用

题点一：两直线平行判断
1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，
设||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形，
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.

题点二：几何形状的判断
2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴与共线．
＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴与不共线．
∴四边形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝5＝||，即BC＝AD.
故四边形ABCD是等腰梯形．
题点三：求交点坐标
3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．
解：法一：设＝t＝t(4,4)
＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝34.∴＝(3,3)．
∴P点坐标为(3,3)．
法二：设P(x，y)，
则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共线，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共线，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②组成的方程组，得x＝3，y＝3，
∴点P的坐标为(3,3)．

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
层级一学业水平达标
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析：选BA中向量e1为零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故选B.
2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为()
A．－23B.32
C.23D．－32
解析：选C根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.
3．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()
A．(2,1)B．(－6，－3)
C．(－1,2)D．(－4，－8)
解析：选D＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()
A．－3B．2
C．4D．－6

解析：选D因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．设a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，则锐角α为()
A．30°B．60°
C．45°D．75°
解析：选A∵a∥b，
∴32×13－tanαcosα＝0，
即sinα＝12，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝13，＝13，求证：∥.
证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，
依题意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝13，∴(x1＋1，y1)＝13(2,2)．
∴点E的坐标为－13，23.
同理点F的坐标为73，0，＝83，－23.
又83×(－1)－4×－23＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)．
(1)求a＋b；
(2)若a与m平行，求实数λ的值．
解：(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因为a＝(2,1)，且a与m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
层级二应试能力达标
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
解析：选C因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()
A．13B．－13
C．9D．－9
解析：选DA，B，C三点共线，
∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．

4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，
①若这个平行四边形为ABCD，
则＝，∴D(－3，－5)；
②若这个平行四边形为ACDB，
则＝，∴D(5，－5)；
③若这个平行四边形为ACBD，
则＝，∴D(1,5)．
综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为________．
解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
解析：若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线．
∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠12.
答案：m≠12
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a与b之间的数量关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)若A，B，C三点共线，则与共线．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，
∴点C的坐标为(5，－3)．
8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．
解：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝47，
∴＝47＝207，167，
∴P的坐标为277，167.

高中数学必修四2.4平面向量的数量积小结导学案

2.4平面向量的数量积小结
【学习目标】
1.理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的夹角
已知两个________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
__________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab＝__________.可见，ab是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
数量积的记号是ab，不能写成a×b，也不能写成ab.
向量数量积满足下列运算律：
①ab＝__________(交换律)
②(a＋b)c＝__________(分配律)
③(λa)b＝__________＝a(λb)(数乘结合律)．
3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性质几何表示坐标表示
定义ab＝|a||b|cos〈a，b〉ab＝a1b1＋a2b2
模aa＝|a|2或|a|＝aa
|a|＝a21＋a22

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)|AB→|＝

a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＝0
夹角cos〈a，b〉＝ab|a||b|(|a||b|≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22

|ab|与|a||b|的关系|ab|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22

对点练习：
1．已知下列各式：
①|a|2＝a2；②ab|a|2＝ba；③(ab)2＝a2b2；
④(a－b)2＝a2－2ab＋b2，其中正确的有()．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．设向量a＝(1,0)，b＝12，12，则下列结论中正确的是()．
A．|a|＝|b|B．ab＝22
C．a∥bD．a－b与b垂直
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(bc)a等于()．
A．(26，－78)B．(－28，－42)
C．－52D．－78
4．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为π3，则|a＋b|＝__________.

5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是__________．

【合作探究】
典例精析：
一、平面向量数量积的运算
例1、（1)在等边△ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求AB→BC→，|CD→|；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)(2a＋3b)和|a＋2b|.

变式练习：
如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则CA→AB→＝________.

规律总结：
向量数量积的运算与实数运算不同：
(1)若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但ab＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由ab＝ac及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|ab|＝|a||b|，但对于向量a，b，却有|ab|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
二、两平面向量的夹角与垂直
例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．
规律总结：
1．数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系．
变式练习：
已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求实数m，n的值．

三、求平面向量的模
例3、（1）设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝__________.
（2）已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

规律总结：
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝aa；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.
变式练习：
已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．

四、平面向量的应用
例4、已知向量OA→＝a＝(cosα，sinα)，OB→＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC→＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若OB→OC→|OC→|＝1，OA→OC→|OC→|＝32，求△OAB的面积S.

变式练习：
△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝1213.
(1)求AB→AC→；
(2)若c－b＝1，求a的值．

【课堂小结】

【当堂达标】
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()．
A．x＝－12B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→CP→＝－2，则λ＝()．
A．13B．23C．43D．2
3．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．
4．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|ab|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C共线λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则a＋b与a－b的夹角为90°；
④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°.
以上命题中，错误命题的序号是__________．

【课时作业】
1.已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝()
A.13B.23C.15D.4
2．已知a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是()
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
3.已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为()
A.－8B.－6C.8D.6
4.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．
5.已知向量a，b满足|2a＋b|＝7，且a⊥b，则|2a－b|＝________.
6.在△ABC中，∠A＝90°，且AB→BC→＝－1，则边c的长为________．
7、已知a=(4,2)，（1）求与a垂直的单位向量；
（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量

8、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。
【延伸探究】
已知平面上三点A，B，C，向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．

文章来源：http://m.jab88.com/j/28560.html

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