经验告诉我们，成功是留给有准备的人。作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生们能够在上课时充分理解所教内容，帮助高中教师能够井然有序的进行教学。您知道高中教案应该要怎么下笔吗？为满足您的需求，小编特地编辑了“几种不同增长的函数模型教案（2课时）”，但愿对您的学习工作带来帮助。

几种不同增长的函数模型（两课时）

一、教学目的

1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；

2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；

3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；

4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。

二、教学重点、难点

重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。

三、教学过程

第一课时

1、复习引入

师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？

生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；……

师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。

2、新课

（用幻灯片展示例题）

假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

1）每天回报40元；

2）第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

3）第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）

教师提示：

1）、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？（回报的累积值）。

2）、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？

教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。

设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？

教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。

利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据。

通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。

由上面的分析可见：投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？

3）、（幻灯片展示例题2）

设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？

教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。

让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。

教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。

3、小结：

一般地，对指数函数、幂函数和对数函数，在（0，+∞）上，尽管指数函数y=ax(a1)、对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xa(a0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，指数函数y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y=xa(a0)，而对数函数y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxaax。

第二课时

1、复习引入

通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助，。我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在面对实际问题时，能通过自己建立函数模型来解决问题。2、新课

1、（用幻灯片展示例题3）

教师引导学生读图，弄懂题意，由学生写出解题过程。

课堂练习：P128第1、3题。

小结：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，提高读图能力非常重要。分段函数也是刻画现实问题的一个重要的函数模型。

2、（展示例题4）

教师引导学生根据收集到的数据，作出散点图，通过观察图象判定问题所适合的函数模型，利用计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程。

课堂练习：P123第1题。

教师小结指出：用已知的函数模型来刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知函数模型的条件会有所不同，所以，必须对模型进行修正。

3、（用幻灯片展示例题5）

让学生集体讨论，寻求相应的函数模型，并作出解答。

教师小结：所收集到的数据中，规律性很明显的问题，可直接找出与之对应的函数模型进行解答。

4、（用幻灯片展示例题6）

观察散点图，教师引导学生分析，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，可考虑用y=a·bx这一函数模型来近似刻画这一地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。

课堂练习：P133B组第3题。

小结：应用函数模型解决实际问题的基本过程：

①确定函数模型；

②利用数据表格，函数图象讨论模型；

③体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。

作业：P127第4、5题

扩展阅读

几类不同增长的函数模型

§3.2.1几类不同增长的函数模型(1)
学习目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
课前准备（预习教材P95~P98，找出疑惑之处）
阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
典型例题
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？

反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.
问：其中哪个模型能符合公司的要求？

反思：
①此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

②根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

练1.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a0且a≠1)．有以下叙述
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为所经过的时间分别是，则.
其中所有正确的叙述是.
练2.经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量(万件)近似地满足关系．
写出明年第个月这种商品需求量(万件)与月份的函数关系式.

课堂小结
1.两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2.几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3.应用建模（函数模型）；
知识拓展
解决应用题的一般程序：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
学习评价
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.
A．B.y=2C.y=2D.y=2x
2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
3.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（）.
A.y=20-2x（x≤10）B.y=20-2x（x10）C.y=20-2x（5≤x≤10）D.y=20-2x（5x10）
4.某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成.
5.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有台计算机被感染.（用式子表示）
课后作业
1.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售.这样，仍可获得25%的纯利.求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

2.某书店对学生实行促销优惠购书活动，规定一次所购书的定价总额：①如不超过20元，则不予优惠；②如超过20元但不超过50元，则按实价给予9折优惠；③如超过50元，其中少于50元包括50元的部分按②给予优惠，超过50元的部分给予8折优惠．
（1）试求一次购书的实际付款y元与所购书的定价总额x元的函数关系；
（2）现在一学生两次去购书，分别付款16.8元和42.3元，若他一次购买同样的书，则应付款多少？比原来分两次购书优惠多少？
§3.2.1几类不同增长的函数模型(2)
学习目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.
旧知提示（预习教材P98~P101，找出疑惑之处）
复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省.
复习2：三个变量随自变量的变化情况如下表：
1357911
y15135625171536456633
y2529245218919685177149
y356.16.616.957.207.40
其中呈对数型函数变化的变量是________，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.
合作探究
探究：幂、指、对函数的增长差异
问题：幂函数、指数函数、对数函数在区间上的单调性如何？增长有差异吗？

实验：函数，，，试计算：
12345678
y1
y2
y3011.5822.322.582.813
由表中的数据，你能得到什么结论？

思考：大小关系是如何的？增长差异？
结论：在区间上，尽管，和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度．而的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数.已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
小结：待定系数法求解函数模型；优选模型.
练1.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为.
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.
练2.某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格.经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数.
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

课堂小结
直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.
知识拓展
在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法.它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域.中国数学家华罗庚在推广优选方法的理论研究和开发研究工作中付出巨大贡献.
学习评价
1.某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y与时间x的函数图象大致是（）.
2.下列函数中随增大而增大速度最快的是（）.
A．B．C．D．
3.根据三个函数给出以下命题：
（1）在其定义域上都是增函数；
（2）的增长速度始终不变；（3）的增长速度越来越快；
（4）的增长速度越来越快；（5）的增长速度越来越慢。
其中正确的命题个数为（）.
A.2B.3C.4D.5
4.当的大小关系是.

5.某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点是____件(即生产多少件以上自产合算)

课外作业
1.下列函数关系中，可以看着是指数型函数（模型的是（）.
A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B.我国人口年自然增长率为1﹪，这样我国人口总数随年份的变化关系
C.如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D.信件的邮资与其重量间的函数关系
2.用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）.
A．3B．4C．6D．12
3.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a（0.5）x+b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为_________．
4.某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价为5元，该店推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯；
（2）按总价的92%付款.
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干（不少于4个），若需茶杯个，付款数为y（元），试分别建立两种优惠办法中y与的函数关系，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算.

几类不同增长的函数模型教学设计

教学设计
3.2.1几类不同增长的函数模型
整体设计
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．
三维目标
1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．
3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣．
重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．
教学难点：应用函数模型解决简单问题．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
作者：林大华
导入新课
思路1．(事例导入)
一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？
解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.012n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105m，g(20)＝2m.
也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．
思路2．(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数．
(2)正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数．
(3)某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数．
(4)分别用表格、图象表示上述函数．
(5)指出它们属于哪种函数模型．
(6)讨论它们的单调性．
(7)比较它们的增长差异．
(8)另外还有哪种函数模型与对数函数相关．
活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．
(1)总价等于单价与数量的积．
(2)面积等于边长的平方．
(3)由特殊到一般，先求出经过1年、2年…
(4)列表画出函数图象．
(5)引导学生回忆学过的函数模型．
(6)结合函数表格与图象讨论它们的单调性．
(7)让学生自己比较并体会．
(8)其他与对数函数有关的函数模型．
讨论结果：(1)y＝x.
(2)y＝x2.
(3)y＝(1＋5%)x.
(4)如下表
x123456
y＝x123456
y＝x2149162536
y＝(1＋5%)x1.051.101.161.221.281.34
它们的图象分别为图1，图2，图3.
图1图2图3
(5)它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝kax＋b(指数型)．
(6)从表格和图象得出它们都为增函数．
(7)在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．
(8)另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．
应用示例
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.
x/天方案一方案二方案三
y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元
140100.4
240020100.80.4
340030101.60.8
440040103.21.6
540050106.43.2
6400601012.86.4
7400701025.612.8
8400801051.225.6
94009010102.451.2
1040010010204.8102.4
…………………
3040030010214748364.8107374182.4
再作出三个函数的图象(图4)．
图4
由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：
因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．
针对上例可以思考下面问题：
①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数．
②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？
③由此得出怎样的结论．
答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数．
②让我们体会每天回报数的增长变化．
③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.
变式训练
某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么
(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；
(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
(3)求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；
(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算．
思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据．(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大．
解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)．
(2)图象如图5所示．
图5
(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同．
(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算．
另解：当y1＝200时有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；
当y2＝200时有0.6x＝200，x2＝10003.显然375＞10003，
∴选用“全球通”更合算．
点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图6)．
图6
观察函数的图象，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
下面通过计算确认上述判断．
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．
对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；
对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；
对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．
再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有yx＝log7x＋1x≤0.25成立．
图7
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图7)，由函数图象可知它是递减的，因此
f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以当x∈[10,1000]时，log7x＋1x＜0.25.
说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.
综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求.
变式训练
市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx%(其中k为正实数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．
(1)当k＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？
(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．
解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为
y＝a(1＋x%)b(1－kx%)＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]．
(1)取k＝12，y＝ab10000－12x2＋50x＋10000，
所以x＝50，
即商品价格上涨50%，y最大为98ab.
(2)因为y＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]，
此二次函数的开口向下，对称轴为x＝50(1－k)k，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集内增大时，y也增大．
所以50(1－k)k＞0，解得0＜k＜1.
点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.
知能训练
光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．(lg3≈0.4771)
解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k＝0.9k；
光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)0.9k＝0.92k；
光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)0.92k＝0.93k；
光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.
∴y＝0.9xk(x∈N*)．
(2)由题意：0.9xk＜k3.∴0.9x＜13.
两边取以10为底的对数，xlg0.9＜lg13.
∵lg0.9＜0，∴x＞lg13lg0.9.
∵lg13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴xmin＝11.
∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．
拓展提升
某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图8所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；
③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
哪些说法是正确的？
图8
解：①说法正确．
∵关系为指数函数，
∴可设y＝ax(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.
∴a＝2，即底数为2.
②∵25＝32＞30，∴说法正确．
③∵指数函数增长速度越来越快，
∴说法不正确．
④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．
⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．
课堂小结
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．
答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．
作业
课本习题3.2A组1,2.
设计感想
本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材．
第2课时
作者：张建国
导入新课
思路1．(情境导入)
国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．
思路2．(直接导入)
我们知道，对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．
推进新课
新知探究
提出问题
(1)在区间(0，＋∞)上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.
(2)列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.
(3)结合函数的图象找出其交点坐标.
(4)请在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.
(5)由以上问题你能得出怎样的结论？
讨论结果：
(1)在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为增函数．
(2)见下表与图9.
x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…
y＝2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…
y＝x20.040.3611.963.244.846.76911.56…
y＝log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…
图9
(3)从图象看出y＝log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y＝2x的图象与y＝x2的图象有交点．
(4)不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．
(5)我们在更大的范围内列表作函数图象(图10)，
x012345678…
y＝2x1248163264128256…
y＝x201491625364964…
图10
容易看出：y＝2x的图象与y＝x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.
但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示．
x01020304050607080…
y＝2x110241.05E＋061.07E＋091.10E＋121.13E＋151.15E＋181.18E＋211.21E＋24…
y＝x2010040090016002500360049006400…
图11
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
同样地，对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
综上所述，尽管对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.虽然幂函数y＝xn(n＞0)增长快于对数函数y＝logax(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．
应用示例
例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．而每月所获利润＝卖报收入的总价－付给报社的总价．卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20×0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10×0.30×250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10×0.05×(x－250)．付给报社的总价为30×0.20x.
解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为
y＝20×0.30x＋10×0.30×250＋10×0.05×(x－250)－30×0.20x＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元．
图12
例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？
解：(1)依题意，得y＝6t，0≤t≤1，－23t＋203，1t≤10.
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－23t1＋203＝4，t1＝4.因而第二次服药应在11：00；
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有－23t2＋203－23(t2－4)＋203＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00；
设第四次服药在第一次后t3小时(t3＞10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，－23(t3－4)＋203－23(t3－9)＋203＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.
变式训练
通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生接受概念的能力[f(x)的值愈大，表示接受的能力愈强]，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分钟)，可有以下的公式：
(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，
知当x＝10时，[f(x)]max＝f(10)＝59；
当10＜x≤16时，f(x)＝59；当16＜x≤30时，f(x)＝－3x＋107，
知f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，
∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强．
点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.
知能训练
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图13(2)的抛物线段表示．
(1)写出图13(1)表示的市场售价与时间的函数关系P＝f(t)；
写出图13(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(1)(2)
图13
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正．
解：(1)由图13(1)可得市场售价与时间的函数关系为f(t)＝300－t，0≤t≤200，2t－300，200t≤300.
由图13(2)可得种植成本与时间的函数关系为g(t)＝1200(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，
则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)．
即h(t)＝－1200t2＋12t＋1752，0≤t≤200，－1200t2＋72t－10252，200t≤300.
当0≤t≤200时，配方整理，得h(t)＝－1200(t－50)2＋100，
所以当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理，得h(t)＝－1200(t－350)2＋100，
所以当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上的最大值87.5.
综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
点评：本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
拓展提升
探究内容
①在函数应用中如何利用图象求解析式．
②分段函数解析式的求法．
③函数应用中的最大值、最小值问题．
举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图14(1)、图14(2)、图14(3)所示．其中图14(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图14(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图14(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
图14
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6300万元？
分析：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．
2．在t∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．
3．回忆函数最值的求法．
解：(1)f(t)＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30t≤40，
g(t)＝－320t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件A产品销售利润h(t)＝3t，0≤t≤20，60，20t≤40.
该公司的日销售利润
当0≤t≤20时，F(t)＝3t(－320t2＋8t)，先判断其单调性．
设0≤t1＜t2≤20，
则F(t1)－F(t2)＝3t1(－320t21＋8t1)－3t2(－320t22＋8t2)＜0.
∴F(t)在区间[0,20]上为增函数．
∴F(t)max＝F(20)＝6000＜6300.
当20＜t≤30时，
令60(－320t2＋8t)＞6300，
则703＜t＜30；
当30＜t≤40时，F(t)＝60(－320t2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300，
故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6300万元．
点评：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．
2．在t∈[0,40]上，有几个分界点，t＝20，t＝30两点把区间分为三段．
3．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．
课堂小结
本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．
作业
课本习题3.2A组3,4.
设计感想
本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．
备课资料
【备选例题】
【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－1160(x－40)2＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－159160(60－x)2＋1192(60－x)万元．
问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
解：在实施规划前，由题设P＝－1160(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．
则10年的总利润为W1＝100×10＝1000(万元)．
实施规划后的前5年中，由题设P＝－1160(x－40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝7958(万元)．
前5年的利润和为7958×5＝39758(万元)．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为
W2＝－1160(x－40)2＋100×5＋－159160x2＋1192x×5
＝－5(x－30)2＋4950.
当x＝30时，(W2)max＝4950(万元)．
从而10年的总利润为39758＋4950(万元)．
∵39758＋4950＞1000，
∴该规划方案有极大实施价值．

§3.2.1几类不同增长的函数模型学案

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要精心准备好合适的教案。教案可以让学生更容易听懂所讲的内容，帮助高中教师提高自己的教学质量。高中教案的内容具体要怎样写呢？下面的内容是小编为大家整理的§3.2.1几类不同增长的函数模型学案，希望能为您提供更多的参考。

§3.2.1几类不同增长的函数模型学案
课前预习学案
一、预习目标
对于基本的实际问题能抽象出数学模型。
二、预习内容
（预习教材P95~P98，找出疑惑之处）
阅读：澳大利亚兔子数“爆炸”
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；
2.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；
3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.
学习重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
学习难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。
二、学习过程
典型例题
例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？

反思：
①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？

②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.
变式训练1某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？
例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
；；.
问：其中哪个模型能符合公司的要求？

反思：
①此例涉及了哪几类函数模型？本例实质如何？

②根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？

变式训练2
经市场调查分析知，某地明年从年初开始的前个月，对某种商品需求总量(万件)近似地满足关系
．
写出明年第个月这种商品需求量(万件)与月份的函数关系式.

四、反思总结
解决应用题的一般程序：
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
③解模：求解数学模型，得出数学结论；
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
五、当堂达标：课本108页2题

课后练习与提高
1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.
A．B.y=2C.y=2D.y=2x
2.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
3.一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，它的解析式为（）.
A.y=20-2x（x≤10）B.y=20-2x（x10）
C.y=20-2x（5≤x≤10）D.y=20-2x（5x10）
4.某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成.
5.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：(t≥0，a0且a≠1)．有以下叙述
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为所经过的时间分别是，则.
其中所有正确的叙述是.

6.某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售.这样，仍可获得25%的纯利.求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系.

整合函数模型教案

第三章单元小结（二）

（一）教学目标
1．知识与技能.
整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法.进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能.
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系.
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识能力
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合.在整合知识中构建体系，在综合练习中提升能力.
（四）教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
回顾反思构建体系1．函数模型及其应用章文知识网络.
2．知识梳理
（1）常见函数模型
①直线模型
即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等，其增长特点是直线上升（x的系数k＞1），通过图象可以直观地认识它.
②指数函数模型
能用指数函数表示的函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”.
③对数函数模型
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢.对数增大在现实生活中也有广泛的应用.
④幂函数模型
能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型.幂函数模型中最常见的是二次函数y=x2的模型，它的应用最为广泛.
（2）函数模型的选择和建立
①根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型.
②建立数学模型的三关
a．事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；
b．文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；
c．数理关：在构建数学模型中，对已有的数学知识进行检索，从而认定或构建相应数学问题.

1．题生合作，绘制网络图.
2．学生回顾口述知识要点，老师总结，归纳进行知识疏理.整理知识培养归纳能力.
师生共同回顾，再现知识与方法.

经典例题
例1某工厂生产某产品所需要的费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P=1000+5x+，Q=a+，若生产出的产品能够全部卖掉，且在产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a，b的值.

例2某地投资建印染厂，为了保护环境，需制定治污方案.甲方案为永久性治污方案，需一次投入100万元；乙方案为分期治污方案，需每月投资5万元，若投资额以月利润1%的复利计算，试比较投产几个月后甲方案与乙方案的优势.(必须时可用以下数据：lg1.010=0.0043，lg1.253=0.0980，lg1.250=0.0969，lg1.235=0.0917)
注：1+q+q2+…+qn=.

例3为了估计上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示.
年序最大积雪深度
x(cm)
灌溉面积
y(公顷)

115.228.6
210.421.1
321.240.5
418.636.6
526.449.8
623.445.0
713.529.2
816.734.1
924.045.8
1019.136.9
（1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；
（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；
（3）根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm，可以灌溉土地多少公顷？例1解析：根据题意得利润函数解析式为：
.
依题意得，
解得.
【评析】已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，最后结合其实际意义作出解答.
例2解析：设经过x个月后，甲、乙两方案总的本息分别为y，z，则y=100(1+1%)x
z=5[1+(1+1%)+(1+1%)2+…+(1+1%)x–1]
=.
设100(1+1%)x＜500(1.01x–1)，则1.01x＞,
两边取常用对数得，
x＞
故工厂投产23个月后，甲方案优于乙方案，投产1至22个月乙方案优于甲方案.
【评析】不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产生活中很多实际问题.
常见的函数模型有：
（1）一次函数型模型：y=kx+b(k≠0)；
（2）二次函数型模型：y=ax2+bx+c(a≠0)；
（3）指数函数型模型：y=abx+c；
（4）对数函数型模型：y=mlogax+n；
（5）幂函数型模型：y=axn+b.
例3：【解析】（1）利用计算机几何画板软件，描点如图甲.
（2）从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx.
取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y=a+bx，得，用计算器可得a≈2.4，b≈1.8.
这样，我们得到一个函数模型；y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系.
（3）由y=2.4+1.8×25，求得y=47.4，即当积雪深度为25cm时，可以灌溉土地47.4公顷.
【评析】拟合函数模型解决实际问题要根据数据特点作函数点图，然后选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程.
备选例题
例3我国农业科学家研究玉米的生长阶段与植株高度的函数关系的例子，这里我们再进一步研究此例，引导大家学习建立数学模型的方法.
下表给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据：
生长阶段12345678910111213141516
植株高度(cm)0.670.851.281.752.272.753.694.716.367.739.9112.7516.5520.127.3532.55
生长阶段171819202122232425262728293031
植株高度(cm)37.5544.7553.3871.6183.8997.46112.73135.12153.6160.32167.05174.9177.87180.19180.79
（1）作出函数图象，近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系；
（2）利用得出的关系式列表；
（3）与表中实际数据比较，说出关系式给出的一些信息.
【解】（1）作出函数图形，如图所示.函数的图形近似于“S”形.
以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图象，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相象.
下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式.
假设指数函数为y=aebx，
并且通过点（2，0.85）和（23，112.73）.把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得
a=0.534，b=0.233.
因此，用指数函数近似得到的关系式为
y=f(x)=0.534e0.233x.
（2）由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：
生长阶段
x12345678910111213
植株高度
f(x)0.670.851.071.361.712.162.733.444.345.486.928.7411.03
生长阶段
x141516171819202122232425
植株高度
f(x)13.9317.5822.228.0235.3744.6656.3771.1689.84113.41143.17180.73
（3）从表中我们可以清楚地看出.第1到第6个生长阶段与实际得到的数据相差很小，后面除第23生长阶段外的其它生长阶段数据相差较大.
这个指数函数在玉米生长后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符.
要得到效果更好的关系式，我们需要更多的数学知识.
人们在实际生活中发现生物种群的增长也有类似玉米株高生长的“S”形曲线.如SARS（非典型肺炎）病的传播，时间与病例数的关系，科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数：y=.
这类函数称为Logistic模型.
对于玉米生长的这组数据，也可以建立Logistic模型，玉米的整个生长过程近似于函数
y=.
Logistic模型在现实生活中有很多应用.例如，它可以预测生物生长状况，这对我们了解生物生长发育情况，控制和预防疾病都有很大的帮助.

文章来源：http://m.jab88.com/j/18571.html

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