正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
——正弦函数
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)进一步熟悉单位圆中的正弦线;
(2)理解正弦诱导公式的推导过程;
(3)掌握正弦诱导公式的运用;
(4)能了解诱导公式之间的关系,能相互推导;
(5)理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性;
(6)能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、过程与方法
通过正弦线表示α,-α,π-α,π+α,2π-α,从而体会各正弦线之间的关系;或从正弦函数的图像中找出α,-α,π-α,π+α,2π-α,让学生从中发现正弦函数的诱导公式;通过正弦函数在R上的图像,让学生探索出正弦函数的性质;讲解例题,总结方法,巩固练习。
3、情感态度与价值观
通过本节的学习,培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:正弦函数的诱导公式,正弦函数的性质。
难点:诱导公式的灵活运用,正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上,运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系,引发学生探索出正弦函数的诱导公式;通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用;在正弦函数的图像中,直观判断出正弦函数的性质,并能上升到理性认识;理解掌握正弦函数的性质;以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:投影机、三角板
第一课时正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境,揭示课题】
在上一节课中,我们已经学习了任意角的正弦函数定义,以及终边相同的角的正弦函数值也相等,即sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z),这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°~360°的角的正弦函数值。如果还能把0°~360°间的角转化为锐角的正弦函数,那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
1.复习:(公式1)sin(360k+)=sin
2.对于任一0到360的角,有四种可能(其中为不大于90的非负角)
(以下设为任意角)
3.公式2:
设的终边与单位圆交于点P(x,y),则180+终边
与单位圆交于点P’(-x,-y),由正弦线可知:
sin(180+)=sin
4.公式3:
如图:在单位圆中作出α与-α角的终边,
同样可得:
sin()=sin,
5.公式4:由公式2和公式3可得:
sin(180)=sin[180+()]=sin()=sin,
同理可得:sin(180)=sin,
6.公式5:sin(360)=sin
【巩固深化,发展思维】
1.例题讲评
例1.求下列函数值
(1)sin(-1650);(2)sin(-15015’);(3)sin(-π)
解:(1)sin(-1650)=-sin1650=-sin(4×360+210)=-sin210
=-sin(180+30)=sin30=
(2)sin(-15015’)=-sin15015’=-sin(180-2945’)
=-sin2945’=-0.4962
(3)sin(-π)=sin(-2π+)=sin=
例2.化简:
解:(略,见教材P24)
2.学生练习
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
三、课后反思
余弦函数诱导公式教案(2)
§4正弦函数和余弦函数的定义域诱导公式
---余弦函数
一、教学目标:
1、知识与技能
(1)了解任意角的余弦函数概念;
(2)理解余弦函数的几何意义;
(3)掌握余弦函数的诱导公式;
(4)能利用五点作图法作出余弦函数在[0,2π]上的图像;
(5)熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质;
(6)能区别正、余弦函数之间的关系;
(7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法
类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础上,将三角函数定义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公式,自主探究出余弦函数的诱导公式;能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦函数的图像,并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
3、情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式,以及余弦函数的性质。
难点:余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的概念作比较,得出余弦函数的概念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y=cosx在[0,2π]上的图像,并由图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境,揭示课题】
在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sinα=。同样地,当我们把角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1.余弦函数的定义
在直角坐标系中,设任意角α与单位圆交于点P(a,b),
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数,记作:a=cosα(α∈R).
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示
为y=cosx(x∈R).
如图,有向线段OM称为角α的余弦线。
其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标(a,b),求出|OP|,记为r,则
角α的正弦和余弦分别为:sinα=,cosα=.
在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。
2.余弦函数的诱导公式
从右图不难看出,角α和角2π+α,2π-α,(-α)的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等;
角α和角π+α,π-α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数,
所以,它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式:
cos(2π+α)=cosα
cos(-α)=cosα
cos(2π-α)=cosα
cos(π+α)=-cosα
cos(π-α)=-cosα
请同学们观察右图,角α与角+α的正弦、余弦函数值有什么关
系?由图可知,Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(+α)
相等;点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(+α)互为相反数。我们可以得到:
sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα
问题与思考:验证公式sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα
以上公式统称为诱导公式,其中α可以是任意角。利用诱导公式,可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化,发展思维】
1.例题讲评
例1.已知角α的终边经过点P(2,-4)(如图),求角α的余弦
函数值。
解:∵x=2,y=-4,∴r=|OP|=2
∴cosα==
例2.如果将例1中点P的坐标改为(2t,-4t)(t≠0),那么怎样求角α的余弦函数值。
解:(提示:在r=|OP|=2|t|中,分t<0和t>0两种情况,见教材P31)
例3.求值:
(1)cos(2)cos(3)cos(-)
(4)cos(-1650°)(5)cos(-150°15’)
解:(1)cos=cos(2π-)=cos=
(2)cos=cos(π+)=-cos≈-0.9239
(3)、(4)、(5)略,见教材P33
例4.化简:
解:(略)
2.学生练习
二、归纳整理,整体认识
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
三、课后反思
余弦函数诱导公式教案(1)
余弦函数的概念和诱导公式
一、教学目标:
1、知识与技能:
(1)了解任意角的余弦函数概念;
(2)理解余弦函数的几何意义;
(3)掌握余弦函数的诱导公式;
(4)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、过程与方法:
类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础上,将三角函数定义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公式,自主探究出余弦函数的诱导公式。
3、情感态度与价值观:
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式。
难点:余弦函数的诱导公式运用。
三、学法与教法
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的概念作比较,得出余弦函数的概念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y=cosx在[0,2π]上的图像,并由图像直观得到其性质。教法:自主合作探究式
四、教学过程
(一)、创设情境,揭示课题
在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sinα=。同样地,当我们把角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本P30—P31.
(二)、探究新知
1.余弦函数的定义:在直角坐标系中,设任意角α与单位圆交于点P(a,b),
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数,记作:a=cosα(α∈R).
通常我们用x,y分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示
为y=cosx(x∈R).
如图,有向线段OM称为角α的余弦线。
其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标(a,b),求出|OP|,记为r,则
角α的正弦和余弦分别为:sinα=,cosα=.y
在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。
2.余弦函数的诱导公式
从右图不难看出,角α和角2π+α,2π-α,(-α)的终边x
与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等;
角α和角π+α,π-α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数,
所以,它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式:
cos(2π+α)=cosα
cos(-α)=cosα
cos(2π-α)=cosα
cos(π+α)=-cosα
cos(π-α)=-cosα
请同学们观察右图,角α与角+α的正弦、余弦函数值有什么关
系?由图可知,Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(+α)
相等;点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(+α)互为相反数。我们可以得到:
sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα
问题与思考:验证公式sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα
以上公式统称为诱导公式,其中α可以是任意角。利用诱导公式,可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
(三)、巩固深化,发展思维
1、例题探析
例1.已知角α的终边经过点P(2,-4)(如图),求角α的余弦
函数值。
解:∵x=2,y=-4,∴r=|OP|=2∴cosα==
例2.如果将例1中点P的坐标改为(2t,-4t)(t≠0),那么怎样求角α的余弦函数值。
解:(提示:在r=|OP|=2|t|中,分t<0和t>0两种情况)
例3.求值:(1)cos(2)cos(3)cos(-)
(4)cos(-1650°)(5)cos(-150°15’)
解:(1)cos=cos(2π-)=cos=
(2)cos=cos(π+)=-cos≈-0.9239
(3)、(4)、(5)略,见教材P33
例4.化简:。解:略
2、学生练习:教材P20的练习1、2、3
(四)、归纳整理,整体认识:
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些?
(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?
(五)、作业布置:略
五、教后反思:
正弦、余弦的诱导公式概念辨析
古人云,工欲善其事,必先利其器。作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助高中教师提高自己的教学质量。关于好的高中教案要怎么样去写呢?以下是小编为大家精心整理的“正弦、余弦的诱导公式概念辨析”,大家不妨来参考。希望您能喜欢!
正弦、余弦的诱导公式概念辨析
公式二:
sin(180+)=-sin
cos(180+)=-cos
用弧度制可表示如下:
sin(π+)=-sin
cos(π+)=-cos
它刻画了角180+与角的正弦值(或余弦值)之间的关系,这个关系是:以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值(或余弦值)与角的正弦值(或余弦值)是一对相反数.这是因为若设的终边与单位圆交于点P(x,y),则角终边的反向延长线,即180+角的终边与单位圆的交点必为P(-x,-y)(如图4-5-1).由正弦函数、余弦函数的定义,即可得sin=y,cos=x,
sin(180+)=-y,cos(180+)=-x,
∴sin(180+)=-sin,cos(180+)=-cos.
公式三:
sin(-)=-sin
cos(-)=cos
它说明角-与角的正弦值互为相反数,而它们的余弦值相等.这是因为,若没的终边与单位圆交于点P(x,y),则角-的终边与单位圆的交点必为P(x,-y)(如图4-5-2).由正弦函数、余弦函数的定义,即可得
sin=y,cos=x,
sin(-)=-y,cos(-)=x,
所以:sin(-)=-sin,cos(-)=cosα
公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义.根据点P的坐标准确地确定点P的坐标是关键,这里充分利用了对称的性质.事实上,在图1中,点P与点P关于原点对称,而在图2中,点P与点P关于x轴对称.直观的对称形象为我们准确写出P的坐标铺平了道路,体现了数形结合这一数学思想的优越性.
2.关于公式四和公式五
公式四是:sin(180-)=sin
cos(180-)=-cos
用弧度制可表示如下:sin(π-)=sin
cos(π-)=-cos
公式五是:sin(360-)=-sin
cos(360-)=cos
用弧度制可表示如下:sin(2π-)=-sin
cos(2π-)=cos
这两组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出(公式四可由公式二、三推出,公式五可由公式一、三推出),体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的推导并不难,然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的.
3.关于用一句话概括五组诱导公式的问题
五组诱导公式可概括为:+k360(k∈Z),-,180±,360-的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.
这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同;“把看成锐角”是指原本是任意角,这里只是把它视为锐角处理;“前面加上一个……符号”是指的同名函数值未必就是最后结果,前面还应添上一个符号(正号或负号,主要是负号,正号可省略),而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号.
教学时应注意讲清这句话中每一词语的含义,特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角.建议通过实例分析说明.
文章来源:http://m.jab88.com/j/5579.html
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