古人云,工欲善其事,必先利其器。教师要准备好教案,这是教师的任务之一。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容,帮助教师提高自己的教学质量。所以你在写教案时要注意些什么呢?为了让您在使用时更加简单方便,下面是小编整理的“点到直线的距离”,但愿对您的学习工作带来帮助。
3.3.3点到直线的距离
(一)教学目标
1.知识与技能
理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线距离公式.
2.过程和方法
会用点到直线距离公式求解两平行线距离.
3.情感和价值
认识事物之间在一定条件下的转化,用联系的观点看问题.
(二)教学重点、难点
教学重点:点到直线的距离公式.
教学难点:点到直线距离公式的理解与应用.
(三)教学方法
学导式
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算?能否用两点间距离公式进行推导?设置情境导入新课
概念形成1.点到直线距离公式
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为
推导过程
方案一:
设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点斜式写出直线PQ的方程,并由l与PQ的方程求出点Q的坐标:由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点P到直线l的距离为d.
此方法虽思路自然,但运算较繁,下面我们探讨另一种方法.(1)教师提出问题
已知P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢?
学生自由讨论
(2)数形结合,分析问题,提出解决方案.
把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长,即点到点的距离.
画出图形,分析任务,理清思路,解决问题.寻找最佳方案,附方案二.
方案二:设A≠0,B≠0,这时l与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交l于点R(x1,y0);作y轴的平行线,交l于点S(x0,y2),
由
得
所以
由三角形面积公式可知d|RS|=|PR||PS|.
所以
可证明,当A=0时仍适用.
这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.通过这种转化,培养学生“化归”的思想方法.
应用举例例1求点P=(–1,2)到直线3x=2的距离.
解:
例2已知点A(1,3),B(3,1),C(–1,0),求三角形ABC的面积.学生分析求解,老师板书
例2解:设AB边上的高为h,则
AB边上的高h就是点C到AB的距离.
AB边所在直线方程为
即x+y–4=0.
点C到x+y–4=0的距离为h
,
因此,
通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.
概念深化2.两平行线间的距离d
已知l1:Ax+By+C1=0
l2:Ax+By+C2=0
证明:设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点,则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为
.
又Ax0+By0+C2=0
即Ax0+By0=–C2,
∴教师提问:
能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢?
学生交流后回答.
再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.
应用举例例3求两平行线
l1:2x+3y–8=0
l2:2x+3y–10=0的距离.
解法一:在直线l1上取一点P(4,0),因为l1∥l2,所以P到l2的距离等于l1与l2的距离,于是
解法二:直接由公式
课堂练习:已知一直线被两平行线3x+4y–7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3,且该直线过点(2,3),求该直线方程.在教师的引导下,学生分析思路,再由学生上台板书.开拓学生思维,培养学生解题能力.
归纳总结小结:点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.老师和学生共同总结——交流——完善培养学生归纳、概括能力,构建知识网络.
课后作业布置作业
见习案3.3的第三课时独立完成巩固深化
备选例题
例1求过点M(–2,1)且与A(–1,2),B(3,0)两点距离相等的直线的方程.
解法一:当直线斜率不存在时,直线为x=–2,它到A、B两点距离不相等.
所以可设直线方程为:y–1=k(x+2)即kx–y+2k+1=0.
由,
解得k=0或.
故所求的直线方程为y–1=0或x+2y=0.
解法二:由平面几何知识:l∥AB或l过AB的中点.
若l∥AB且,则l的方程为x+2y=0.
若l过AB的中点N(1,1)则直线的方程为y=1.
所以所求直线方程为y–1=0或x+2y=0.
例2(1)求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程.
(2)两平行直线3x+4y–1=0与6x+8y+3=0关于直线l对称,求l的方程.
【解析】(1)当所求直线与直线2x+11y+16=0平行时,可设直线方程为2x+11y+C=0
由P点到两直线的距离相等,即
,所以C=–38.
所求直线的方程为2x+11y–38=0.
(2)依题可知直线l的方程为:6x+8y+C=0.
则它到直线6x+8y–2=0的距离,
到直线6x+8y+3=0的距离为
所以d1=d2即,所以.
即l的方程为:.
例3等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y–6=0上,顶点A的坐标是(1,–2).求边AB、AC所在直线方程.
【解析】已知BC的斜率为,因为BC⊥AC
所以直线AC的斜率为,从而方程
即3x–2y–7=0
又点A(1,–2)到直线BC:2x+3y–6=0的距离为,
且.
由于点B在直线2x+3y–6=0上,可设,
且点B到直线AC的距离为
所以或,所以或
所以或
所以直线AB的方程为或
即x–5y–11=0或5x+y–3=0
所以AC的直线方程为:3x–2y–7=0
AB的直线方程为:x–5y–11=0或5x+y–3=0.
俗话说,磨刀不误砍柴工。作为教师就需要提前准备好适合自己的教案。教案可以让学生更好的消化课堂内容,帮助授课经验少的教师教学。教案的内容要写些什么更好呢?以下是小编收集整理的“点到直线的距离教案2”,但愿对您的学习工作带来帮助。
教学目标:高一数学教案:《直线的一般式方程》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能
(1)明确直线方程一般式的形式特征;
(2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距;
(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、过程与方法
学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3、情态与价值观
(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;
(2)用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点:
1、重点:直线方程的一般式。
2、难点:对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学设想
问 题
设计意图
师生活动
1、(1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗?
(2)每一个关于的二元一次方程(A,B不同时为0)都表示一条直线吗?
使学生理解直线和二元一次方程的关系。
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题(1),即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题(2),教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线,只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论,即当时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生去变形判断,得出结论:
关于的二元一次方程,它都表示一条直线。
教师概括指出:由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示;同时,任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于的二元一次方程(A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式(general form).
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点?
使学生理解直线方程的一般式的与其他形
学生通过对比、讨论,发现直线方程的一般式与其他形式的直线方程的一个不同点是:
问 题
设计意图
师生活动
式的不同点。
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表示与轴垂直的直线。
3、在方程中,A,B,C为何值时,方程表示的直线
(1)平行于轴;(2)平行于轴;(3)与轴重合;(4)与重合。
使学生理解二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响。
教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索得到问题的答案。
4、例5的教学
已知直线经过点A(6,-4),斜率为,求直线的点斜式和一般式方程。
使学生体会把直线方程的点斜式转化为一般式,把握直线方程一般式的特点。
学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出:对于直线方程的一般式,一般作如下约定:一般按含项、含项、常数项顺序排列;项的系数为正;,的系数和常数项一般不出现分数;无特加要时,求直线方程的结果写成一般式。
5、例6的教学
把直线的一般式方程化成斜截式,求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距,并画出图形。
使学生体会直线方程的一般式化为斜截式,和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。
先由学生思考解答,并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式,求直线的斜率和截距的方法:把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在轴上的截距。求直线与轴的截距,即求直线与轴交点的横坐标,为此可在方程中令=0,解出值,即为与直线与轴的截距。
在直角坐标系中画直线时,通常找出直线下两个坐标轴的交点。
6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系?直线与二元一次方程的解之间有什么关系?
使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系,体会直解坐标系把直线与方程联系起来。
学生阅读教材第105页,从中获得对问题的理解。
7、课堂练习
第105练习第2题和第3(2)
巩固所学知识和方法。
学生独立完成,教师检查、评价。
问 题
设计意图
师生活动
8、小结
使学生对直线方程的理解有一个整体的认识。
(1)请学生写出直线方程常见的几种形式,并说明它们之间的关系。
(2)比较各种直线方程的形式特点和适用范围。
(3)求直线方程应具有多少个条件?
(4)学习本节用到了哪些数学思想方法?
9、布置作业
第106页习题3.2第10题和第11题。
巩固课堂上所学的知识和方法。
学生课后独立思考完成。
文章来源:http://m.jab88.com/j/107535.html
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