一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，作为高中教师就要好好准备好一份教案课件。教案可以让学生能够听懂教师所讲的内容，使高中教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编精心收集整理，为您带来的《2012届高考数学总复习推理与证明考点专项教案》，仅供参考，大家一起来看看吧。

推理与证明
【专题测试】
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数在[0，1]上量大值与最小值的和为3，则的值为
（A）（B）2（C）3（D）5
2．下面说法正确的有
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
3．已知是等比数列，，且，则=
（A）6（B）12（C）18（D）24
4．在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形
1361015
则第个三角形数为
（A）（B）（C）（D）
5．命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是
（A）大前提错误（B）小前提错误（C）推理形式错误（D）以上都不是
6．有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m+n的值为
（A）3（B）7（C）8（D）11

7．已知是R上的偶函数，对任意的都有成立，若，则
（A）2007（B）2（C）1（D）0
8．已知函数，若，则
（A）（B）（C）（D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
9．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第三2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图方式固定摆放，从第二层开始每层小球的小球自然垒放在下一层之上，第堆的第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则=__________；=_________（用表示）

10．如图（1）有面积关系，则图（2）有体积关系_______________
图1图2

11．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格140元，另一种是每袋24千克，价格120元，在满足需要的条件下，最少要花费___________元.
12．若，则=_____________.
三、解答题：(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
13．已知、，求证：.

14．设满足且，，求证：是周期函数.

15.设函数的定义域为D，若存在使成立，则称以（，）为坐标的点是函数的图象上的“稳定点”，（1）若函数的图象上有且仅有两个相异的“稳定点”，试求实数取值范围；（2）已知定义在实数集R上的奇函数存在有限个“稳定点”，求证：必有奇数个“稳定点”.

16．已知数列{an}满足
（1）求证：{an}为等比数列；
（2）记为数列{bn}的前n项和，那么：
①当a=2时，求Tn；
②当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.

一、选择题
题号12345678
答案BCＣBAＣDB
二、填空题
9.10,10.11.50012.500
三、解答题
13.略．作差。
14．解：若
否则，令
令
所以为周期函数。
15.
16．（1）当n≥2时，
整理得
所以{an}是公比为a的等比数列.（4分）
（2）
①当a=2时，
两式相减，得
（9分）
②因为－1＜a＜1，所以：当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.
当
所以
所以当
当
故存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有

延伸阅读

2015届高考数学（文科）一轮总复习算法初步、推理与证明、复数

教案课件是老师需要精心准备的，大家在仔细设想教案课件了。只有写好教案课件计划，这对我们接下来发展有着重要的意义！你们会写一段优秀的教案课件吗？下面是小编为大家整理的“2015届高考数学（文科）一轮总复习算法初步、推理与证明、复数”，供大家参考，希望能帮助到有需要的朋友。

第十二篇算法初步、推理与证明、复数
第1讲算法的含义及流程图
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2013新课标全国Ⅰ卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s的范围为________．
解析作出分段函数s＝
3t，－1≤t＜1，－t2＋4t，1≤t≤3的图象(图略)，可知函数s在[－1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减，s(－1)＝－3，s(2)＝4，s(3)＝3，
∴t∈[－1,3]时，s∈[－3,4]．
答案[－3,4]
2．(2013北京卷)执行如图所示的流程图，输出的S值为________．
解析初始条件i＝0，S＝1，逐次计算结果是S＝23，i＝1；S＝1321，i＝2，此时满足输出条件，故输出S＝1321.
答案1321
3．按照下面的算法进行操作：
S1x←2.35
S2y←Int(x)
S3Printy
最后输出的结果是________．
解析Int(x)表示不大于x的最大整数．
答案2
4．下面伪代码的结果为________．
A←1
A←A＋2
A←A＋3
A←A＋4
A←A＋5
Print“A＝”，A
END
解析计算1＋2＋3＋4＋5的值．该伪代码是1＋2＋3＋4＋5＝15.
答案15
5．(2013福建卷改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法，如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为________．
解析第一次运行，S＝1，k＝2；第二次运行，S＝3，k＝3；第三次运行，S＝7，k＝4；第四次运行，S＝15，k＝4.
答案4

第5题图第6题图
6．(2013湖南卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．
解析第一次循环，a＝1＋2＝3，第二次循环，a＝3＋2＝5，第三次循环，a＝5＋2＝7，第四次循环，a＝7＋2＝9＞8，满足条件，输出a＝9.
答案9
7．(2013江苏卷)如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．
解析第一次循环：a＝8，n＝2；第二次循环：a＝26，n＝3.
答案3

8．如下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是________．
Readx
Ifx3Then
y←2x
Else
Ifx3Then
y←x2－1
Else
y←2
EndIf
EndIf
Printy
答案求下列函数当自变量输入值为x时的函数值f(x)，其中f(x)＝2x，x32，x＝3x2－1，x3
9．(2014临沂一模)某流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是________．
解析第一次循环，S＝20＝1，k＝1；第二次循环，S＝1＋21＝3，k＝2；第三次循环，S＝3＋23＝11，k＝3；第四次循环，S＝11＋211，k＝4；第五次循环S＝11＋211≤100不成立，输出k＝4.
答案4
10．(2014枣庄模拟)如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是________．
解析本算法计算的是S＝1＋2＋22＋…＋2A，即S＝1－2A＋11－2＝2A＋1－1，由2A＋1－1＝31得2A＋1＝32，解得A＝4，则A＋1＝5时，条件不成立，所以M＝4.
答案4
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014南通调研)根据如图的算法，输出的结果是________．
S←0
ForIFrom1to10
S←S＋I
EndFor
PrintS
End
解析S＝1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55.
答案55
2．(2014泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________．
a←1
b←2
I←2
WhileI≤6
a←a＋b
b←a＋b
I←I＋2
EndWhile
Printb
解析流程图的执行如下：
a11＋2＝33＋5＝88＋13＝21
b23＋2＝58＋5＝1321＋13＝34
I22＋2＝44＋2＝66＋2＝8
当I＝8时，b＝34，退出循环．
答案34
3．(2013辽宁卷)执行如图所示的流程图，若输入n＝8，则输出S＝________.
解析S＝S＋1i2－1的意义在于对1i2－1求和．
因为1i2－1＝121i－1－1i＋1，同时注意i＝i＋2，所以所求的S＝1211－13＋13－15＋…＋17－19＝49.
答案49
第3题图第4题图
4．(2013湖北卷)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法．若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.
解析i＝1，A＝2，B＝1→i＝2，A＝4，B＝2→i＝3，A＝8，B＝6→i＝4，A＝16，B＝24，满足A＜B，输出i＝4.
答案4
5．(2014淄博二模)执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是________．
解析由a≥b得x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.所以当x≤1时，由a＝x2＝8，解得x＝－8＝－22.若x＞1，由b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－22.
答案2或－22

6．(2014丽水模拟)依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的流程图，并编写了相应的算法．已知小张家共有4口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位：元)是________．
解析当n＝4时，S＝5＋1.2×(4－3)＝6.2.
答案6.2

2012届高考数学考点提纲双曲线专项复习

作为杰出的教学工作者，能够保证教课的顺利开展，作为高中教师就要在上课前做好适合自己的教案。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助高中教师掌握上课时的教学节奏。那么，你知道高中教案要怎么写呢？下面是小编帮大家编辑的《2012届高考数学考点提纲双曲线专项复习》，大家不妨来参考。希望您能喜欢！

双曲线（一）
【学习目标】
1、掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程；
2、知道它的简单几何性质。
【自主学习】
1．双曲线的定义
(1)平面内与两定点F1，F2的常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．
注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是．
②2a＞|F1F2|时，P点轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程
(1)标准方程：，焦点在轴上；
，焦点在轴上．其中：a0，b0，．
(2)双曲线的标准方程的统一形式：
3．双曲线的几何性质(对进行讨论)
(1)范围：，．
(2)对称性：对称轴方程为；对称中心为．
(3)顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长为，虚轴长为，渐近线方程为．
(4)离心率=，且，
【课前热身】：
1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为.
2、课标文数[2011安徽卷]双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()
A．2B．22C．4D．42
3、课标文数[2011江西卷]若双曲线y216－x2m＝1的离心率e＝2，则m＝________
4、课标文数[2011北京卷]已知双曲线x2－y2b2＝1(b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.
例题分析：
例1：求符合下列条件的双曲线的标准方程
（1）经过点A(2，)、B(3，-2)

（2）经过点（3，），离心率e=。

例2．已知：双曲线的方程是16x2－9y2＝144
(1)、求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐进线方程；
(2)、设F和F是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上且=32，
求FPF的大小。

【当堂检测】
1、过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是.

2、已知-=1的离心率为2，焦点与椭圆+=1的焦点相同，求双曲线的方程。

3、设F和F是双曲线x2－＝1的左右焦点，点P在双曲线上且3=4，求PFF的面积。

4、已知动圆M与圆C：（+4）+=2外切，与圆C:（-4）+=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。

【小结】

2012届高考地理考点知识城市专项复习教案

一名爱岗敬业的教师要充分考虑学生的理解性，高中教师要准备好教案，这是高中教师需要精心准备的。教案可以让学生更好地进入课堂环境中来，帮助高中教师提高自己的教学质量。所以你在写高中教案时要注意些什么呢？下面是小编为大家整理的“2012届高考地理考点知识城市专项复习教案”，希望能对您有所帮助，请收藏。

小专题23城市课后练习2

1、当今世界有五大都市圈：纽约都市圈、北美五大湖都市圈、东京都市圈、巴黎大都市圈、伦敦都市圈。如下图所示，据此回答下列问题。

（1）世界五大都市圈共同的发展条件是（）多选

A．附近矿产资源丰富B．气候条件优越C．交通便利D．均有河流流经E．历史悠久

（2）现今，世界五大都市圈出现的城市问题主要有。

（3）目前长江三角洲已经具备冲刺世界第六大都市圈的实力。长江三角洲冲击世界第六大都市圈的劣势在于（）

A．没有起主导作用的中心城市B．服务范围有限，经济腹地不大

C．圈内人口规模较小，市场狭小D．城市间有机联系和协作程度不足

2、读某城市规划略图，回答(1)～(2)题。

(1)N地为该城市规划预留地，最适宜建

A．客货物流区B．高新技术区C．旅游度假区D．金融商业区

(2)某大型跨国零售企业欲在该市投资建设—大型超市，最合理的选择是

A．①处B．②处C．③处D．④处

3、读“西安市人口地域圈层结构图”及表格资料，回答(1)～(2)题。

(1)西安市人口分布变化的特点是

①市中心区人口减少②市中心区人口密度加大③外圈人口低速增长④内圈和中圈人口密度增长缓慢⑤外圈人口密度快速增加⑥内圈和中圈人口快速增长

A.①②⑤B.②④⑥C.①③⑥D.③④⑤

西安市各圈层人口数量及人口密度的净变表（1982～2000年）

圈层[净增减人口比例（%）净增减人口密度（人/km2）

1982～1990年1990～2000年1982～1990年1990～2000年

市中心区－13.09－12.06－3100－2776

内圈25.9730.6623333754

中圈20.2952.763921334

外圈1.582.761223

(2)根据人口分布变化的特点，目前形成西安市主要住宅区的是

A.市中心区和外圈B.市中心区和内圈C.中圈和外圈D.内圈和中圈

4、下图为“欧洲西部某城市地租等值线示意图”(地租值为abc)，读图完成下列问题。

（1）图中地租值的变化主要受的影响，受此影响各功能分区空间分布大体

呈状。a等值线以内的地区，从事活动的人愿意支付的地租最高。

（2）p点地租(高于或低于)b，试分析造成该地地租变化的可能原因。

（3）若该市规划在甲、乙两个卫星城镇中，一个发展房地产业，一个发展钢铁工业，你认为甲城镇应发展，乙城镇应发展。这样决策的理由是什么?

5、下图为某县1963年设县开始到1975年时的城市简图，读图回答(1)～(3)题。

(1)将县设置在该地区的原因是

A、该地为水陆交通枢纽的地区B、地形平坦、水运便利、有充足的水源

C、有丰富的石油资源D、有丰富的水能资源

(2)该地的水运码头十分优良，几十年来没有淤积现象，其原因可能是

A、该河段位于三峡峡谷地区，水流湍急

B、由于地转偏向力的影响，河流向右偏，冲积北岸所致

C、由于地转偏向力的影响，河流向左偏，冲积北岸所致

D、处于河流的凹岸，河水冲刷严重

(3)化肥厂的原料—石油通过管道输送到车间是十分合适的一种设计方案，但下列关于其优点的叙述中有一项是不正确的是

A、设备投资小，灵活性好B、石油不外漏、损耗小

C、连续性强、可以昼夜不停的运输，运量很大D、平稳安全，管理方便

6、城市的迅速发展会改变土地利用方式，并对自然环境要素产生不同程度的影响。下图中A、B、C、D可能是大城市、小城市或郊区。读图回答(1)～(2)题。

(1)A、B、C、D中最有可能是郊区的是

A．AB．BC．CD．D

(2)图中区域要建设一卫星城，最合适的位置是

A．甲B．乙C．丙D．丁

7、读广东某区域图，回答问题：

（1）该地区在“十一五”规划中，为促进经济发展，加快城市化进程，拟设立一个建制镇。镇驻地应设在居民点（填代号），理由是。

（2）根据当地的自然及社会经济条件，试述该地区经济发展方向。

8、下图是我国华北某城镇信息，回答(1)～(2)题。

(1)图中字母代表的土地利用类型有工业区、住宅区、商业区、小麦种植区、花卉区，其中表示商业区以及花卉区的是

A．a和eB．a和dC．b和dD．b和c

(2)根据地租水平的高低，综合考虑交通、环保等因素，印染厂、水果批发市场、豪华宾馆依次选择在（河流自东向西流）

A．①④⑤B．③④⑤C．①⑤④D．①②⑤

9、某房地产商欲开发某城市中EF沿线房地产，预先调查了沿线地价，图中正确反映EF沿线地价变化的曲线是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

10、城市是人类对自然改造最强烈的地方,城市聚落对经济的发展和分布具有巨大的影响。读某城市发展阶段图，完成(1)～(2)题。

(1)Ⅱ阶段，城市不会发生的现象有

A．交通问题得以缓解B．与周边地区温差增大

C．工业污染日益严重D．农业用地不断减少

(2)下图中能正确反映上图Ⅱ阶段城市人口密度与距离市中心的远近两者之间关系的是

11、下图反映了某地区不同年份的城镇总面积及其与城镇总人口的关系。从图中可知

A．该地区的城市人口密度基本稳定

B．2000年以后该地区的城镇总人口增长缓慢

C．该地区的城市人口密度在下降

D．2000年以后该地区的城镇总面积增长缓慢

12、下图反映了某市居民购物平均出行距离。结合所学知识分析可知

A．该市的家用电器商店比普通服装商店少

B．该市的家用电器商店的服务范围比日常用品商店小

C．该市蔬菜食品商店的数目最少

D．该市的普通服装商店比家用电器商店等级高

13、读某城市规划图，回答(1)～(2)题。

(1)N地为该城市规划预留地，最适宜布局

A.客货物流区　B.高新技术区C.旅游度假区　D.金融商业区

(2)某大型跨国零售企业欲在该市投资建设一大型超市，最合理的选择是

A.①处B.②处C.③处D.④处

14、下图为我国华北地区某城市1980年和2009年城市功能区分布图．比较两幅图，回答有关问题。

(1)试评价1980年钢铁机械工业区的区位。

(2)为预防或解决城市化过程中出现的问题，该城市采取的措施有哪些?

(3)根据图中信息，城市化和交通运输条件的改善对农业的影响表现在

(4)2009年，行政文教区C以北的广大区域(B区周围)最有可能成为。

A．高级住宅区B．中心商务区C．工业园D．低级住宅区

15、读下图，回答有关问题。

(1)反映城市空间分布的变化的是图，其形态特征是如何演变的？

(2)反映城市内部空间结构的演变的是图。

(3)A、B图反映的是的两种表现形式：A是，B是。

(4)B图中①工业区形成的原因可能是。

16、下图是商业、工业、居住和农业等四种活动的付租能力随距离递减示意图，下列叙述正确的是

A．活动A的区位有不断向城市外缘移动的趋势

B．活动B是城市中最广泛的土地利用方式

C．活动C受自然条件影响较大

D．活动D对交通的依赖性较大，往往安排在市中心

17、下图表示我国某乡村聚落地理环境示意图。据此回答1～2题。

（1）．该聚落最有可能位于我国四大地理分区中的（）

A．青藏高原YB．西北地区C．南方地区D．北方地区

（2）．根据图中信息，该聚落与自然环境关系叙述错误的是（）

A．该聚落建在丘陵北坡地带，多地形雨，坡状尖顶利于排水

B．聚落顺应地势特点修建，便于排水

C．位置临近河流，便于取、排水和出行

D．多植被覆盖，利于保持水土、调节气候

1、答案：（1）BC（2）城市过分集中，人口稠密，地价过高，不利于城市的进一步发展；还出现大气、水、噪声、垃圾等环境污染、交通拥挤、绿地面积小等问题（3）D

2、答案：B点拨：N地临近大学城和科研所，最适宜建高新技术区。

答案：A点拨：大型零售企业应该选择交通便利、临近消费市场地区，①处位于城市比较居中地区，交通便利，南部和东部为居民消费区

3、答案：C点拨：通过表格分析。

答案：D点拨：内圈和中圈人口快速增长，所以目前形成西安市主要住宅区的是内圈和中圈。

4、（1）距离市中心远近同心圆商业

（2）高于城市环线与公路干线交汇处等

（3）房地产业钢铁工业甲城镇位于西南风（西风带）的上风方向，适宜布局住宅区；乙城镇布局钢铁工业，对城区大气污染小。

5、答案：B点拨：这里不是水陆交通线交叉点，所以不是水陆交通枢纽的地区；这里地处长江中游平原，临长江，所以说地形平坦、水运便利、有充足的水源，但没有丰富的能源；这里没有石油资源。

答案：D点拨：该县位于长江北岸，属于河流的凹岸，河水冲刷严重，没有大量泥沙沉积。

答案：A点拨：管道运输设备投资大，灵活性差。

6、答案：B点拨：郊区比城市气温低，A、B、C、D中夏季午后气温最低的是B。

答案：A点拨：卫星城应该布局在城市热力环流范围之外。

7、答案：（1）D村地形相对开阔和平坦；位于河流交汇处；临河临海，有铁路通过，水陆交通便利；处多个居民点中间位置，方便与其他居民点联系。

（2）利用光热充足、降水充沛的气候资源优势和低山、丘陵地形发展立体农业；利用临海以及陆地河流、水库等水域面积广优势，发展海洋捕捞和海水、淡水养殖；利用临近发达地区和交通便利的区位优势，大力发展蔬菜、水果生产、农副产品加工；利用劳动力充足和地价较低、交通便利优势吸引外商投资建厂，兴建现代工业区；利用依山傍海景色优美和交通便捷优势，发展生态旅游。

8、答案：B点拨：根据市中心各类用地付租水平和经济地租曲线斜率，可以判断，从a到e分别为：商业区、住宅区、工业区、花卉区、小麦种植区。

答案：A点拨：印染厂有水污染，应布局在河流下游，故①处为印染厂；水果批发市场占地广，运输量大，并且要求交通便利，应布局在城市边缘，靠近主要交通线地方，故④处为水果批发市场；豪华宾馆满足人们到城市中心商务区或商业区的需求，必须布局在市中心，故⑤处为豪华宾馆。

9、答案：C点拨：市中心地价最高，向两侧波状下降。

10、答案：C点拨：工业区得到了合理布局，工业污染日益减轻。

答案：A点拨：Ⅱ阶段，城市中心为商业区，居住人口减少，从市中心向外分别为商业区、住宅区和工业区布局，人口密度住宅区最大，分别向市中心和郊区减小。

11、答案：C点拨：城镇人口密度必须经过计算，2000年城镇人口密度为850/1000=0.85,2005年城镇人口密度为1000/3000=0.33,故C对。

12、答案：A点拨：购物距离越近，说明商店经营的商品越普遍，级别越低，该类商店服务范围越小，数目越多。家用电器商店服务范围大，级别高，数目少。

13、答案：B点拨：本题考查的是高技术工业的区位因素。高技术工业要求交通便捷、科技发达，环境优美。N地靠近大学和科研院所，科技水平高，靠近高速公路，交通便利，靠近绿地、湖泊等，环境质量好，适宜建设高技术工业。

答案：A点拨：大型超市属于商业中心，要求靠近居民区，即消费市场，靠近市中心，交通便利，消费者多

14、答案：(1)铁路运输条件较好；位于铁矿区附近；冬季严重污染城市大气环境(2)加强道路建设，修建高速公路；建设中央广场和森林公园；建设居民小区，将重污染工业迁向西南郊区。(3)菜地和饲养厂的规模扩大，并布置于交通便利的地区(4)A

点拨：本题综合考查了工业、农业、城市功能区的区位因素和城市化问题。

15、答案：(1)A从点状分布逐渐发展为网格状(2)B(3)城市化城市数量不断增加城市规模不断扩大(4)接近主要交通干线，保护环境

16答案：B点拨：在市中心地租从高到低顺序排列的分别是：商业、住宅、工业和农业用地。工业区C的区位有不断向城市外缘移动的趋势；住宅区B是城市中最广泛的土地利用方式；农业活动D受自然条件影响较大；商业活动A对交通的依赖性较大，往往安排在市中心。

高三理科数学推理与证明总复习教学案

第十四章推理与证明

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考试要求重难点击命题展望
1.了解合情推理的含义.
2.能利用归纳与类比等进行简单的推理.
3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
4.了解演绎推理的重要性.
5.掌握演绎推理的基本模式：“三段论”.
6.能运用演绎推理进行简单的推理.
7.了解演绎推理、合情推理的联系与区别.
8.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.
9.了解分析法与综合法的思维过程、特点.
10.了解反证法是间接证明的一种基本方法及反证法的思维过程、特点.
11.了解数学归纳法的原理.
12.能用数学归纳法证明一些简单的与自然数有关的数学命题.本章重点：1.利用归纳与类比进行推理；2.利用“三段论”进行推理与证明；3.运用直接证明(分析法、综合法)与间接证明(反证法)的方法证明一些简单的命题；4.数学归纳法的基本思想与证明步骤；运用数学归纳法证明与自然数n(n∈N*)有关的数学命题.
本章难点：1.利用归纳与类比的推理来发现结论并形成猜想命题；2.根据综合法、分析法及反证法的思维过程与特点选取适当的证明方法证明命题；3.理解数学归纳法的思维实质，特别是在第二个步骤要根据归纳假设进行推理与证明.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.本章要求考生通过对已有知识的回顾与总结，进一步体会直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等数学思维过程以及合情推理、演绎推理之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法.
本章是新课程考纲中新增的内容，考查的范围宽，内容多，涉及数学知识的方方面面，与旧考纲相比，增加了合情推理等知识点，这为创新性试题的命制提供了空间.

知识网络

14.1合情推理与演绎推理

典例精析
题型一运用归纳推理发现一般性结论
【例1】通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.
左边＝(sinαcos60°－cosαsin60°)2＋sin2α＋(sinαcos60°＋cosαsin60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右边.
【点拨】先猜后证是一种常见题型；归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”(周期性).
【变式训练1】设直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有a＋b＜c＋h成立，某同学通过类比得到如下四个结论：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正确结论的序号是；
进一步类比得到的一般结论是.
【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).
题型二运用类比推理拓展新知识
【例2】请用类比推理完成下表：
平面空间
三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的面积等于任意一边的长度与这边上的高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一
三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半
【解析】本题由已知的前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象.
由以上分析可知：
故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一.
本题结论可以用等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明，此处从略.
【点拨】类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论.一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：
平面空间
点线
线面
圆球
三角形三棱锥
角二面角
面积体积
周长表面积
……
【变式训练2】面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k，则＝；(2)类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝K，则＝.
【解析】2Sk；3VK.
题型三运用“三段论”进行演绎推理
【例3】已知函数f(x)＝lnax－x－ax(a≠0).
(1)求此函数的单调区间及最值；
(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥lnenn！.
【解析】(1)由题意f′(x)＝x－ax2.
当a＞0时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
此时函数在(0，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，
fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值.
当a＜0时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)，
此时函数在(－∞，a)上是减函数，在(a,0)上是增函数，
fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值.
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝lnx－x－1x≥f(1)＝0，
故1x≥1－lnx＝lnex，
取x＝1,2,3，…，n，则1＋12＋13＋…＋1n≥lne＋lne2＋…＋lnen＝lnenn！.
【点拨】演绎推理是推理证明的主要途径，而“三段论”是演绎推理的一种重要的推理形式，在高考中以证明题出现的频率较大.
【变式训练3】已知函数f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx－1x＋1(e是自然对数的底数)，
(1)若对任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求满足条件的最大整数k的值；
(2)求证：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*).
【解析】(1)由条件得到f(1)＜2＜2k＜2ln2＋1＜3，猜测最大整数k＝2，
现在证明＜x＋1对任意x＞0恒成立：
＜x＋1等价于2－3x＋1＜ln(x＋1)ln(x＋1)＋3x＋1＞2，
设h(x)＝ln(x＋1)＋3x＋1，则h′(x)＝1x＋1－3(x＋1)2＝x－2(x＋1)2.
故x∈(0,2)时，h′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，h′(x)＞0.
所以对任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln3＋1＞2，即＜x＋1对任意x＞0恒成立，
所以整数k的最大值为2.
(2)由(1)得到不等式2－3x＋1＜ln(x＋1)，
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n＋1)]＝2n－3[11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1＞2n－3，
所以原不等式成立.
总结提高
合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发；那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.

14.2直接证明与间接证明

典例精析
题型一运用综合法证明
【例1】设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋1ab≥8.
【证明】因为a＋b＝1，
所以1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝1＋ba＋1＋ab＋a＋bab≥2＋＋a＋b(a＋b2)2＝2＋2＋4＝8，当且仅当a＝b＝12时等号成立.
【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.
【变式训练1】设a，b，c＞0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
【证明】因为a，b，c＞0，根据基本不等式，
有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.
三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).
即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
题型二运用分析法证明
【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求证：I2＜4S.
【证明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，
故要证I2＜4S，只需证a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.
欲证上式，只需证a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，
即证(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，
只需证三括号中的式子均为负值即可，
即证a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，
即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，
显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.
故I2＜4S.
【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.
(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.
【变式训练2】已知a＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.
【证明】要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，
只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.
因为a＞0，故只要证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，
即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，
从而只要证2a2＋1a2≥2(a＋1a)，
只要证4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，
而该不等式显然成立，故原不等式成立.
题型三运用反证法证明
【例3】若x，y都是正实数，且x＋y＞2.求证：1＋xy＜2或1＋yx＜2中至少有一个成立.
【证明】假设1＋xy＜2和1＋yx＜2都不成立.则1＋xy≥2，1＋yx≥2同时成立.
因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2相矛盾.
因此1＋xy＜2与1＋yx＜2中至少有一个成立.
【点拨】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题；③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.
【变式训练3】已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0；x2＋(a－1)x＋a2＝0；x2＋2ax－2a＝0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
【解析】假设三个方程均无实根，则有
由(4a)2－4(－4a＋3)＜0，得4a2＋4a－3＜0，即－32＜a＜12；
由(a－1)2－4a2＜0，得(a＋1)(3a－1)＞0，即a＜－1或a＞13；
由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.
以上三部分取交集得M＝{a|－32＜a＜－1}，则三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为RM，即{a|a≤－32或a≥－1}.
总结提高
分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐；综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“pq”与逆否命题“qp”是等价的，而反证法是相当于由“q”推出“p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等.

14.3数学归纳法

典例精析
题型一用数学归纳法证明恒等式
【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.
【解析】假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立.
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
解方程组解得
证明如下：
当n＝1时，显然成立；
假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；
则当n＝k＋1时，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝13k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝13(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝13(k＋1)[2(k＋1)2＋1].
因此存在a＝13，b＝2，c＝1，使等式对一切n∈N*都成立.
【点拨】用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n＝k到n＝k＋1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.
【变式训练1】用数学归纳法证明：
当n∈N*时，11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1)＝n2n＋1.
【证明】(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，
左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，
则当n＝k＋1时，
11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)
＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12k＋3＝k＋12(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.
题型二用数学归纳法证明整除性问题
【例2】已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，是否存在自然数m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【解析】由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.
(1)当n＝1时，结论显然成立；
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)＝(2k＋7)3k＋9能被36整除.
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(2k＋9)3k＋1＋9＝3[(2k＋7)3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由假设知3[(2k＋7)3k＋9]能被36整除，又3k－1－1是偶数，
故18(3k－1－1)也能被36整除.即n＝k＋1时结论也成立.
故由(1)(2)可知，对任意正整数n都有f(n)能被36整除.
由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.
【点拨】与正整数n有关的整除性问题也可考虑用数学归纳法证明.在证明n＝k＋1结论也成立时，要注意“凑形”，即凑出归纳假设的形式，以便于充分利用归纳假设的条件.
【变式训练2】求证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
【证明】方法一：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.
由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋98k＋99－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，
所以n＝k＋1时命题也成立.
根据①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.
方法二：①当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得
f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，所以n＝k＋1时命题也成立.
根据①②可知，对任意的n∈N*，命题都成立.
题型三数学归纳法在函数、数列、不等式证明中的运用
【例3】(2009山东)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求证：对任意的n∈N*，不等式b1＋1b1
b2＋1b2…bn＋1bn＞n＋1成立.
【解析】(1)因为点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，
所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数).
当n＝1时，a1＝S1＝b＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1.
又数列{an}为等比数列，故r＝－1且公比为b.
(2)当b＝2时，an＝2n－1，
所以bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n(n∈N*)，
所以bn＋1bn＝2n＋12n，
于是要证明的不等式为3254…2n＋12n＞n＋1对任意的n∈N*成立.
下面用数学归纳法证明.
当n＝1时，32＞2显然成立.
假设当n＝k时不等式成立，即3254…2k＋12k＞k＋1.
则当n＝k＋1时，3254…2k＋12k2k＋32k＋2＞k＋12k＋32k＋2＝k＋1(2k＋32k＋2)2＝(2k＋3)24(k＋1)
＝[2(k＋1)＋1]24(k＋1)＝4(k＋1)2＋4(k＋1)＋14(k＋1)＝(k＋1)＋1＋14(k＋1)＞(k＋1)＋1，
即当n＝k＋1时不等式成立，所以原不等式对任意n∈N*成立.
【点拨】运用归纳推理得到的结论不一定正确，需进行证明.用数学归纳法证明不等式时必须要利用归纳假设的条件，并且灵活运用放缩法、基本不等式等数学方法.
【变式训练3】设函数f(x)＝ex－1＋ax(a∈R).
(1)若函数f(x)在x＝1处有极值，且函数g(x)＝f(x)＋b在(0，＋∞)上有零点，求b的最大值；
(2)若f(x)在(1,2)上为单调函数，求实数a的取值范围；
(3)在(1)的条件下，数列{an}中a1＝1，an＋1＝f(an)－f′(an)，求|an＋1－an|的最小值.
【解析】(1)f′(x)＝ex－1－ax2，又函数f(x)在x＝1处有极值，
所以f′(1)＝0，即a＝1，经检验符合题意.
g′(x)＝ex－1－1x2，当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x＝1时，g′(x)＝0，当x∈(1，＋∞)时g′(x)＞0，g(x)为增函数.
所以g(x)在x＝1时取得极小值g(1)＝2＋b，依题意g(1)≤0，所以b≤－2，
所以b的最大值为－2.
(2)f′(x)＝ex－1－ax2，
当f(x)在(1,2)上单调递增时，ex－1－ax2≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex－1，
令h(x)＝x2，则h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上单调递增，
所以h(x)在[1,2]上的最小值为h(1)＝1，所以a≤1；
当f(x)在[1,2]上单调递减时，同理a≥x2ex－1，
h(x)＝x2ex－1在[1,2]上的最大值为h(2)＝4e，所以a≥4e.
综上实数a的取值范围为a≤1或a≥4e.
(3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝1x＋1x2，因此an＋1＝1an＋1a2n，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2.用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，a3＝34，a4＝289，结论成立；
②设n＝k，k∈N*时结论成立，即0＜a2k＋1＜1，a2k＋2＞2，
则n＝k＋1时，a2k＋3＝1a2k＋2＋1a22k＋2＜12＋12＝1，
所以0＜a2k＋3＜1，a2k＋4＝1a2k＋3＋1a22k＋3＞1＋1＝2.
所以n＝k＋1时结论也成立，
根据①②可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2恒成立，
所以|an＋1－an|≥a2－a1＝2－1＝1，即|an＋1－an|的最小值为1.
总结提高
数学归纳法是证明与自然数有关的命题的常用方法，它是在归纳的基础上进行的演绎推理，其大前提是皮亚诺公理(即归纳公理)：
设M是正整数集合的子集，且具有如下性质：
①1∈M；
②若k∈M，则k＋1∈M，那么必有M＝N*成立.
数学归纳法证明的两个步骤体现了递推的数学思想，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，通过对两个命题的证明替代了无限多次的验证，实现了有限与无限的辩证统一.
从近几年的高考试题来看，比较注重于对数学归纳法的思想本质的考查，如“归纳、猜想、证明”是一种常见的命题形式.而涉及的知识内容也是很广泛的，可覆盖代数命题、三角恒等式、不等式、数列、几何命题、整除性命题等.其难点往往在第二步，关键是“凑形”以便运用归纳假设的条件.

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