一名优秀的教师在教学方面无论做什么事都有计划和准备，教师要准备好教案为之后的教学做准备。教案可以让学生们有一个良好的课堂环境，帮助教师提高自己的教学质量。您知道教案应该要怎么下笔吗？以下是小编为大家精心整理的“向量的乘法”，仅供参考，希望能为您提供参考！

课时4向量的数乘
【学习目标】
要求学生掌握和理解实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的条件并会判断两向量共线的条件。
【知识梳理】
1．实数与向量的积：
定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，并规定：
1
2
3．运算定律：结合律：
第一分配律：
第二分配律：
2．向量共线定理：

【例题选讲】
1．已知向量、求作向量-2.5和2-3。

例2．计算：
（1）3（-）-2（+2）

（2）2（2+6-）-3（-3+4-2）

（3）(m+n)(+)-(m+n)(-)

例3．已知向量=2-2，=-3（-），求证：，是共线向量。m.jAb88.COM

例4．已知=4+2，=+2，求证：M、P、Q三点共线。

【归纳反思】
1．在代数里，几个相等的实数相加，便得到几倍实数的概念，将它推广到几个相等的向量相加，就是正整数n与向量的积，关于数乘向量的这种运算，若将n推广到实数，就得到实数与向量的积的概念。
2．数乘向量可以像实数多项式那样去运算。
3．实数与向量的积是向量。
4．向量共线的等价条件是：（）共线（）
【课内练习】
1．已知向量、是非零向量，在下列条件中，能使、共线的是
（1）2-3=4且+2=-3（2）存在相异实数，使+=
（3）x+y=（其中实数x,y满足x+y=0）
（4）已知梯形ABCD中，其中
2．下列命题中，为真命题的是
（1）//存在唯一的实数，使=λ；
（2）//存在不全为零的实数，使；
（3）与不共线若，则
（4）与不共线不存在实数使。
3．如图，中，，则为
A（2+）B（2+）
C（2+）D（2+）
4．如图，OADB是以向量，为边的平行四边形，又BM=BC，CN=CD，试用表示。

5．如图，点E、F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设，试用表示

【巩固提高】
1．已知点E是正方形ABCD的CD边的中点，若，则为
ABCD
2．已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，若则
A点P在内部B点P在外部
C点P在AB边所在直线上D点P在AC线段上
3．如图，点M是的重心，则为
AB4C4D4
4．ABC中,，则为
A（+2）B（2+）C（+3）D（+2）
5．已知=-2，=2+，其中与不共线，则+与=6-2的关系为
6．若M是的重心，则下列各向量中与共线的是
ABCD
7．已知向量不共线，判断下列向量是否共线？
（1），（2）

8．证明：起点相同的三个向量,,3-2的终点在一条直线上（）

9．若，，，且B、C、D三个点共线，求实数的值。

10．如图，在中，，AD与BC交于M点，设，，
试用表示

问题统计与分析

扩展阅读

向量的减法

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为高中教师就要根据教学内容制定合适的教案。教案可以让学生更好的吸收课堂上所讲的知识点，帮助高中教师能够更轻松的上课教学。你知道怎么写具体的高中教案内容吗？急您所急，小编为朋友们了收集和编辑了“向量的减法”，欢迎您参考，希望对您有所助益！

课时3向量的减法
【学习目标】
1．掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。
2．能正确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律。
3．知道向量的减法运算可以转化为加法，是加法的逆运算。
4．通过本节学习，渗透化归思想和数形结合的思想，继续培养识图和作图的能力及用图形解题的能力。
【知识梳理】
1．向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。
即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：
若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab
【例题选讲】
例1．化简：

例2．如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若，试证：+-=

例3．如图，ABCD是一个梯形，AB//CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知，，试用，表示和
【归纳反思】
1．向量和它的相反向量的和为零向量。
2．向量的减法是加法的逆运算。
3．减去一个向量，等于加上它的相反向量。
4．重要不等式：
【课内练习】
1．下面有四个等式：①-（-）=；②-=；③+（-）=-；④-=，其中正确的等式为
2．在平行四边形ABCD中，，，，，则下列等式不成立的是
ABCD
3．若，为非零向量，则在下列命题中真命题为
①=，，同向共线；②=，，反向共线
③=，，有相等的模；④，同向共线
4．已知=10，=8，则的取值范围为
5．在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，且,,,
证明：

【巩固提高】
1．下列四式中不能化为的是
AB
CD
2．如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，则等于
AB
CD
3．在平行四边形ABCD中，设，记，，则为
ABCD

4．正六边形ABCDEF，若，，则为
ABCD

5．在平面上有三点A、B、C，设，，若的长度相等，则有
AA、B、C三点在一条直线上B必为等腰三角形且B为顶角
C必为直角三角形且B为直角D必为等腰直角三角形

6．在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD为形

7．已知向量的终点与向量的起点重合，向量的起点与向量的终点重合，则下列结论正确的为
①以的起点为终点，的起点为起点的向量为-（+）
②以的起点为终点，的终点为起点的向量为---
③以的起点为终点，的终点为起点的向量为--
8.在中，若，则边AB与边AD所夹的角=

9．已知两个合力的夹角是直角，且知它们的合力与的夹角为，=10N，求的大小。

10．如图，P、Q是ABC的边BC上的两点，且BP=QC，
求证：

11．若，是给定的不共线向量，试求满足下列条件的向量，使
2-=
并作图用，表示，
+2=

问题统计与分析

向量的数乘

一名优秀的教师就要对每一课堂负责，作为教师准备好教案是必不可少的一步。教案可以让学生们能够更好的找到学习的乐趣，使教师有一个简单易懂的教学思路。那么，你知道教案要怎么写呢？下面是小编帮大家编辑的《向量的数乘》，但愿对您的学习工作带来帮助。

课题:2.2.3向量的数乘（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、理解两个向量共线的含义，并掌握向量共线定理；
2、能运用实数与向量的积解决有关问题。
【课前预习】
1、填空：
（1）；
（2）当时，与方向；当时，与方向；
当时，=；当时，=。
（3）；；。
（4）若向量与方向相反，且，则与的关系是。
（5）设是已知向量，若，则。
2、如图，，分别是的边、的中点，求证：与共线，
并将用线性表示。

3、共线向量定理：如果存在一个实数，使，，那么。
反之，如果与是共线向量，那么。
注意：可写成，但不能写成或。
4、提问：上述定理中，若无条件，会有什么结果？

5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。

【课堂研讨】
例1、设是非零向量，若，试问：向量与是否共线？

例2、如图，中，为直线上一点，，
求证：。

思考：上例证明的结论表明：起点为，终点为直线上一点的向量可以用表示。那么两个不共线的向量可以表示平面内任一向量吗？

【学后反思】
共线向量定理及其运用；若，则时，三点共线。

课题:2.2.3向量的数乘（2）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、已知向量，求证：与是共线向量。

2、已知向量，求证：三点共线。

3、如图，在△中，记求证：。

4、如图，设点是线段的三等分点，若，试用表示向量

【课后巩固】
1、点在线段上，且，设，则（）
A、B、C、D、
2、若是平行四边形的中心，且，则()
A、B、C、D、
3、已知向量，则与（填“共线”或“不共线”）。
4、给出下列命题：①若，则；②若，则∥；③若，则；④则∥。其中，正确的序号是。
5、若是△的重心，则。
6、已知，则三点共线。
7、已知非零向量和不共线，若和共线，求实数的值。
8、设分别是的边上的点，且，，
。若记，试用表示。

9、如图，平行四边形中，是的中点，交于，
试用向量的方法证明：是的一个三等分点。

课题:2.2.3向量的数乘（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、理解两个向量共线的含义，并掌握向量共线定理；
2、能运用实数与向量的积解决有关问题。
【课前预习】
1、填空：
（1）；
（2）当时，与方向；当时，与方向；
当时，=；当时，=。
（3）；；。
（4）若向量与方向相反，且，则与的关系是。
（5）设是已知向量，若，则。
2、如图，，分别是的边、的中点，求证：与共线，
并将用线性表示。

3、共线向量定理：如果存在一个实数，使，，那么。
反之，如果与是共线向量，那么。
注意：可写成，但不能写成或。
4、提问：上述定理中，若无条件，会有什么结果？

5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。

【课堂研讨】
例1、设是非零向量，若，试问：向量与是否共线？

例2、如图，中，为直线上一点，，
求证：。

思考：上例证明的结论表明：起点为，终点为直线上一点的向量可以用表示。那么两个不共线的向量可以表示平面内任一向量吗？

【学后反思】
共线向量定理及其运用；若，则时，三点共线。

课题:2.2.3向量的数乘（2）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、已知向量，求证：与是共线向量。

2、已知向量，求证：三点共线。

3、如图，在△中，记求证：。

4、如图，设点是线段的三等分点，若，试用表示向量

【课后巩固】
1、点在线段上，且，设，则（）
A、B、C、D、
2、若是平行四边形的中心，且，则()
A、B、C、D、
3、已知向量，则与（填“共线”或“不共线”）。
4、给出下列命题：①若，则；②若，则∥；③若，则；④则∥。其中，正确的序号是。
5、若是△的重心，则。
6、已知，则三点共线。
7、已知非零向量和不共线，若和共线，求实数的值。

8、设分别是的边上的点，且，，
。若记，试用表示。
9、如图，平行四边形中，是的中点，交于，
试用向量的方法证明：是的一个三等分点。

向量的数量积

一名优秀的教师在教学时都会提前最好准备，教师要准备好教案，这是教师的任务之一。教案可以保证学生们在上课时能够更好的听课，帮助教师在教学期间更好的掌握节奏。优秀有创意的教案要怎样写呢？小编经过搜集和处理，为您提供向量的数量积，仅供参考，希望能为您提供参考！

2.4向量的数量积（3）

一、课题：向量数量积（3）
二、教学目标：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；
2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．

（二）新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度：；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
3．例题分析：
例1设，求．
解：．
例2已知，求证是直角三角形。
证明：∵，
∴∴
所以，是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，
求点和向量的坐标。
解：设，则，，
∵，∴，
即：，
又∵，∴，即：，
由或，
∴，或，．
例4在中，，，求值。
解：当时，，∴∴，
当时，，，
∴∴，
当时，，∴∴．
五、课堂练习课本练习1，2．
六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业：课本习题
补充：已知，，
（1）求证：（2）若与的模相等，且，求的值。

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.
【教学重点】：
平面的法向量.
【教学难点】：
用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.
【教学过程设计】：
教学环节教学活动设计意图
一、复习引入
1．两个非零向量共线的充要条件是什么？
2．什么叫直线的方向向量？
3．回顾平面向量基本定理。为探索新知识做准备.
二、探究新知
一、点、直线、平面的位置的向量表示
1.思考：如何确定一个点在空间的位置？
如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．称向量为点的位置向量。
2.思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？

如图，点A和不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。
3.思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
如图，点O和、不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点P.
4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
法向量：若，则叫做平面的法向量。
如图，过点A，以为法向量的平面是完全确定的.
二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系
设直线l、m的方向向量分别为、，平面的法向量分别为.
探究1：平行关系
1,线线平行:

2,线面平行:

3,面面平行:

探究2：垂直关系
1,线线垂直:
2,线面垂直:
3,面面垂直:
要求学生自己寻找空间中的几何元素点、直线、平面的位置的向量表示方法。

通过对对称轴不同作法的探讨，拓展学生的思维.

让学生对每一种关系都进行探究，找到相应的向量关系和运算公式。

三、练习巩固1．设直线l，m的方向向量分别为，根据下列条件判断l，m的位置关系：

答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。
2.设平面的法向量分别为，根据下列条件判断平面的位置关系：
答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为。
巩固知识，培养技能.
四、训练与提高1．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积．
（1）证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量．
（2），，
∴，
∴，
∴，
∴．
引导学生进行应用.

对法向量作理解.

巩固以往知识，培养运算技能.
五、小结1．点、直线、平面的位置的向量表示。
2．线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。反思归纳
六、作业A，预习课本105～110的例题。
B，书面作业:
1，

练习与测试：
（基础题）
1，与两点和所成向量同方向的单位向量是。
解：向量，它的模
则所求单位向量为。
2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。
解：设点坐标为，由题设有；
由可得。则
，于是所求坐标为。
3，设直线l，m的方向向量分别为，判断l，m的位置关系。
解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。

4，设平面的法向量分别为，判断平面的位置关系。
解：易知所给二法向量平行，故平面平行。

（中等题）
5，已知空间四点坐标分别为A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面AEF的单位法向量。
解：

设平面AEF的法向量为则有
为平面AEF的单位法向量。
6，如图所示建立坐标系，有

分别求平面SAB与平面SDC的法向量，并求出它们夹角的余弦。
解：因为y轴平面SAB，所以平面SAB的法向量为
设平面SDC的法向量为，
由

文章来源：http://m.jab88.com/j/49625.html

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