经验告诉我们，成功是留给有准备的人。教师要准备好教案，这是老师职责的一部分。教案可以让学生能够在课堂积极的参与互动，帮助教师能够更轻松的上课教学。我们要如何写好一份值得称赞的教案呢？为满足您的需求，小编特地编辑了“从平面向量到空间向量导学案”，欢迎大家阅读，希望对大家有所帮助。

§1从平面向量到空间向量

学习目标
1.了解向量由平面到空间的推导过程
2.理解空间向量的概念
3.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求直线的方向向量和平面的法向量
学习过程
一、课前准备

复习：平面向量基本概念：
具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量，的相反向量记着.叫相等向量，向量的表示方法有，，
和共三种方法.

二、新课导学
※学习探究
探究任务一：空间向量的相关概念
问题：1.什么叫空间向量？

2.空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？

3.空间向量如何表示？

4.向量的夹角的概念、表示、垂直与平行如何表示？

探究任务二：向量、直线、平面的相关概念

问题：1.直线的方向向量概念
2.平面的法向量概念

※典型例题
例1见P26思考与交流例子
三、总结提升
※学习小结
1.空间向量基本概念；
2.直线的方向向量概念
3平面的法向量的概念
4.向量的夹角及垂直、平行与夹角的关系

学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A.很好B.较好C.一般D.较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.下列说法中正确的是（）
A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABCD中，一定有.
2.已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）
A.B.或
C.D.∣∣=∣∣
3.在四边形ABCD中，若,则四边形是（）
A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形
4.下列说法正确的是（）
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量

§2空间向量的运算（一）

一、选择题
1.下列说法中正确的是（）
A.若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B.若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C.空间向量的减法满足结合律;
D.在四边形ABCD中，一定有.
2.已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）
A.B.或
C.D.∣∣=∣∣
3.下列说法正确的是（）
A.零向量没有方向
B.空间向量不可以平行移动
C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
二、填空题
4.长方体中，化简=.
5.如果都是平面的法向量，则的关系.
三、解答题
6.已知平行六面体,M为AC与BD的交点，化简下列表达式：
⑴;⑵;
⑶；⑷.

创新与实践:
已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

错误反思
题号错题分析正确解法

§2空间向量的运算

一、选择题
1.下列说法正确的是（）
A.向量与非零向量共线，与共线，则与共线；
B.任意两个共线向量不一定是共线向量；
C.任意两个共线向量相等；
D.若向量与共线，则.
2.已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，
则与相等的向量是（）
A.B.
C.D.
3.下列命题中：
①若，则，中至少一个为
②若且，则
③
④
正确有个数为（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
二、填空题
3.已知中，所对的边为，且,,则=
4.已知向量满足，，，则________
三、解答题
6.已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量.

创新与实践:
已知为平行四边形，且，求的坐标.

错误反思

题号错题分析正确解法

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)

一、选择题
1.则（）
A．－15B．－5C．－3D．－1

2.若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
3.已知，且，则（）
A.B.
C.D.
二、填空题
4.设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且
，则点B的坐标是.
5.已知，且，则x＝.
三、解答题
6.已知，求：
⑴；⑵；⑶；⑷；（5）.

创新与实践:
已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：
⑴线段AB的中点坐标和长度；
⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

错误反思

题号错题分析正确解法
§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(二)
一、选择题
1.若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）
A.B.
C.D.
2.在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）
A．0B.1C.2D.3
3.已知,与的夹角为120°，则的值为（）
A.B.C.D.
二、填空题
4.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基
底，试用基底表示＝.
5.已知关于x的方程有两个实根，，且
，当t＝时，的模取得最大值.
三、解答题
如图,在单位正方体中，点分别是的一个四等分点.
(1)求与的坐标;
(2)求与所成的角的余弦值．

创新与实践:
如图，正方体的棱长为，
⑴求的夹角；⑵求证：.

错误反思

题号错题分析正确解法
§4用向量讨论垂直与平行（一）

一、选择题
1.若＝，＝，则是的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不不要条件
2.已知且与互相垂直，则的值是（）
A.1B.C.D.
3.下列各组向量中不平行的是（）
A.B.
C.D.
二、填空题
4.设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系
是.
5.已知向量，若，则______；若则______.
三、解答题
6.设分别是平面的法向量，判断平面的位置关系：
⑴；
⑵.
创新与实践:
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=a，E为PB的中点，在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC。
错误反思
题号错题分析正确解法

§4用向量讨论垂直与平行(二)
一、选择题
1.下列说法正确的是（）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
2.已知，能做平面的法向量的是（）
A.B.C.D.
3.已知，，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）
A.B.C.4D.
二、填空题
4.设分别是平面的法向量，则平面的位置关系
是.
5.若向量，则这两个向量的位置关系是___________.
三、解答题
6.如图，在四面体中，，点分别是的中点．
求证：
（1）直线面；
（2）平面面．

创新与实践:
用向量方法证明：(三垂线定理的逆定理)如果平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线b,那么直线垂直于直线b在这个平面上的射影.

错误反思

题号错题分析正确解法

§5夹角的计算（一）
一、选择题
1.已知向量，若，设，则与轴夹角
的余弦值为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
2.若，，与的夹角为，则的值为（）

A.17或-1B.-17或1C.-1D.1
3.在正方体中，为的交点，则与所成角的
（）
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
二、填空题
4.若，且，则与的夹角为____________.
5.若向量与的夹角为，，，则.
三、解答题
6.设空间两个不同的单位向量与向量的夹角
都等于45.
(1)求和的值；(2)求的大小.

创新与实践:
如图，已知点P在正方体的对角线上，∠PDA=60°.
求DP与所成角的大小.

错误反思

题号错题分析正确解法

§5夹角的计算（二）
一、选择题
1.若A，B，C，则△ABC的形状是（）
A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
2.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）
A.B.C.或D.或
3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成
角的正弦值为()
A.B.
C.D.
二、填空题
4.直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，，AA1=6，E为AA1
的中点，则平面EBC1与平面ABC所成的二面角的大小为.
5.在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面
直线和所成角的余弦值为.
三、解答题
6.如图3，已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，是直角，，求异面直线与所成角的大小.
创新与实践:
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=1，,AB1与A1B相交于点D，M为B1C1的中点.
（1）求证：CD⊥平面BDM；
（2）求平面B1BD与平面CBD所成二面角的大小.
错误反思
题号错题分析正确解法

§6距离的计算（一）
一、选择题
1.设，，，则线段的中点到点的距离
为()
A.B.C.D.
2.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
3.四边形为正方形，为平面外一点，，二面角
为，则到的距离为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．2Ｄ．
二、填空题
4.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，
其中，则到平面PAD的距离为.
5.已知正方体的棱长是，则直线与
间的距离为。
三、解答题
6.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,求点C到平面AEC1F的距离.

创新与实践:
如图,是矩形,平面,,,分别是的中点,求点到平面的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法
§6距离的计算（二）

一、选择题
1.正方体的棱长为1，
是的中点，则点到平面距离等于（）
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
2．一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是和，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足的距离是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
3.三角形ABC的三个顶点分别是，，，则AC边上的高BD长为（）
A.5B.C.4D.
二、填空题
4.已知是异面直线，那么：
①必存在平面过且与平行；②必存在平面过且与垂直；
③必存在平面与都垂直；④必存在平面与距离都相等．
其中正确命题的序号是．
2.已知空间四边形，点分别为的中点，且
,用，，表示，则=______________________.
三、解答题
6.如图，在长方体中，，点在棱上移
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离.
创新与实践:
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点.求在侧面内找一点，使面，并计算点到和的距离.

错误反思
题号错题分析正确解法

本章小结测试
一、选择题
1.已知，则的最小值是（）
A.B.C.D.
2.将正方形沿对角线折成直二面角后，异面直线所成角的余弦值为
()
A.B.C.D.

3.正方体的棱长为，,N是的中点，则＝（）
A.B.C.D.
二、填空题
4.已知，且，则k＝.
5.空间两个单位向量与的夹角都等于，则.
三、解答题
6.如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点.
⑴求证：;
⑵求与所成角的余弦值；
⑶求的长.

创新与实践:
如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？

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平面向量教案

二、复习要求
1、向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=(x1,y1),=(x1,y2)
则=(x1x2,y1y2)
-=(x2-x1,y2-y1)=
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R记=(x,y)
则λ=(λx,λy)两个向量
的数量积
·=||||
cos,
记=(x1,y1),=(x2,y2)
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:=,()=()
实数与向量的乘积:λ()=λλ;(λμ)=λμ,λ(μ)=
(λμ)
两个向量的数量积:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),()·=··
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如(±)2=
4、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应,称(λ1,λ2)为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义(λ1,λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A(x,y),则=(x,y);当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言:若∥,≠,则=λ
坐标语言为:设=(x1,y1),=(x2,y2),则∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ0;当与异向时,λ0。
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言:⊥·=0
坐标语言:设=(x1,y1),=(x2,y2),则⊥x1x2y1y2=0
(4)线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
则
特例:当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,(O与P1P2不共线),总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
(5)平移公式:
①点平移公式,如果点P(x,y)按=(h,k)平移至P(x,y),则
分别称(x,y),(x,y)为旧、新坐标,为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:设曲线C:y=f(x)按=(h,k)平移,则平移后曲线C对应的解析式为y-k=f(x-h)
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理变形:cosA=,cosB=,cosC=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的程序性特点。
四、典型例题
例1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。
分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ0,μ0
则=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量坐标。
分析:
用解方程组思想
设D(x,y),则=(x-2,y1)
∵=(-6,-3),·=0
∴-6(x-2)-3(y1)=0,即2xy-3=0①
∵=(x-3,y-2),∥
∴-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y1=0②
由①②得:
∴D(1,1),=(-1,2)
例3、求与向量=,-1)和=(1,)夹角相等,且模为的向量的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:设=(x,y),则·=x-y,·=xy
∵,=,
∴
(2)若∠PED=450,求证:P、D、C、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则C(2,0),D(2,3),E(1,0)
设P(0,y)
∴=(1,3),=(-1,y)
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得(舍),或y=2
∴点P为靠近点A的AB三等分处
(3)当∠PED=450时,由(1)知P(0,2)
∴=(2,1),=(-1,2)
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DCE=900
∴D、P、E、C四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
(一)选择题
1、平面内三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥,则x的值为:
A、-5B、-1C、1D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C点满足,连DC并延长至E,使||=||,则点E坐标为:
A、(-8,)B、()C、(0,1)D、(0,1)或(2,)
2、点(2,-1)沿向量平移到(-2,1),则点(-2,1)沿平移到:
3、A、(2,-1)B、(-2,1)C、(6,-3)D、(-6,3)
4、△ABC中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、以上均有可能
5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①(·)-(·)=0
②||-|||-|
③(·)-(·)不与垂直
④(32)·(3-2)=9||2-4|2中,
真命题是:
A、①②B、②③C、③④D、②④
6、△ABC中,若a4b4c4=2c2(a2b2),则∠C度数是:
A、600B、450或1350C、1200D、300
7、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且=(0,3),=(4,0),则=
A、()B、()C、(7,4)D、()
(二)填空题
9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。
10、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。
11、设,是两个单位向量,它们夹角为600,
则(2-)·(-32)=____________。
12、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
(三)解答题
13、设=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=(2,-8),-=(-8,16),求、及与夹角θ的余弦值。
15、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
(一)1、C2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、A
(二)9、10、11、12、y=sinx1
(三)13、(11,6)
14、=(-3,4),=(5,-12),
15、λ,或λ且λ≠

平面向量的应用

课时12平面向量的应用
一、学习目标：
1．经历用向量的方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是某一种数学工具。
2．发展学生的运算能力和解决实际问题的能力
二、重点与难点：
1．利用向量数量积的相关知识解决平面几何、物理学中的垂直、夹角、模长和质点运动等相关问题。
2．用向量的共线定理解决三点共线、动点的轨迹问题。
3．提高学生对所学知识和方法的迁移（转化）能力。
三、基础训练：
1、已知向量，若点C在函数的图象上，实数的值为
2、平面向量=（x，y），=（x2，y2），=（1，1），=（2，2），若==1，则这样的向量有
3、如果向量与的夹角为，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度为，如果，则的值为
4．在平行四边形ABCD中，,则=______________
5．设中，，且，判断的形状。
6、=(cosθ，－sinθ)，=（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，π2]，则||的最大值为
7、有两个向量，，今有动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为；另一动点，从开始沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度为．设、在时刻秒时分别在、处，则当时，秒．
四、例题研究
例1．已知向量满足条件，且，求证是正三角形。

例2、已知，.求证：

思考：能否画一个几何图形来解释例2

变题：用向量方法证明梯形中位线定理。

例3、已知在△ABC中BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量方法证明：
（1）（2）

五、课后作业：
1．设=（1，3），A、B两点的坐标分别为（1，3）、（2，0），则与的大小关系为
2．当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
3．下面有五个命题，①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|。其中正确的命题序号为
4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于
5．下面有五个命题，①|a|2＝a2；②；③（ab）2＝a2b2；④（a－b）2＝a2－2ab＋b2；⑤若ab＝0，则a＝0或b＝0其中正确命题的序号是
6．已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
7．如图，平面内有三个向量，其中的夹角是120°，的夹角为30°，，若，
则=。
8．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.

9．设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.

10．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0）C（c，0）
（1）若c=5，求sinA的值;（2）若A为钝角，求c的取值范围。

11．已知向量，，
（1）向量、是否共线？并说明理由;（2）求函数的最大值

12．在平面直角坐标系中，已知向量又点A（8，0），，（1）若，且，求向量；
（2）向量与共线，当，且取最大值4，求

问题统计与分析

平面向量坐标表示

平面向量坐标表示
年级高一学科数学课题平面向量坐标表示
授课时间撰写人
学习重点平面向量的坐标运算．

学习难点对平面向量坐标运算的理解
学习目标
1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算；
2.能用两端点的坐标，求所构造向量的坐标；

教学过程
一自主学习
思考1：设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设=(x1,y1)=(x2,y2)则＝x1i＋y1j，＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量＋，－，λ（λ∈R）如何分别用基底i、j表示？
＋＝
－＝
λ＝
思考2：根据向量的坐标表示，向量＋，－，λ的坐标分别如何？
＋＝();－＝();
λ＝().
两个向量和与差的坐标运算法则：
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
思考3：已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，那么向量的坐标如何？

二师生互动
例1已知，，求和.

例2已知平行四边形的顶点，，，试求顶点的坐标.

变式：若与的交点为，试求点的坐标.

练1.已知向量的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷
练2.已知、两点的坐标，求，的坐标.
⑴
⑵
⑶
⑷

三巩固练习
1.若向量与向量相等，则（）
A.B.
C.D.
2.已知，点的坐标为，则的坐标为（）
A.B.
C.D.
3.已知，，则等于（）
A.B.C.D.
4.设点，，且
，则点的坐标为.
5.作用于原点的两力，，为使它们平衡，则需加力.
6.已知A（-1，5）和向量=(2,3)，若=3，则点B的坐标为__________。
A．(7,4)B．(5,4)C．(7,14)D．(5,14)
7．已知点，及，，，求点、、的坐标。

四课后反思

五课后巩固练习
1.若点、、，且，，则点的坐标为多少？点的坐标为多少？向量的坐标为多少？

2.已知向量，，，试用来表示.

平面向量教案2

1、三角形中的特殊位置(四心)所满足的向量方程:
(1)重心满足的向量方程:;
(2)内心满足的向量方程:或;
(3)外心满足的向量方程:;
(4)垂心满足的向量方程:;(斜三角形中)
2、已知是所在平面上的一点,若,则是的垂心。
3、若为的外心,若为的重心,若H为的垂心,则O,G,H三点共线,且,,若O为坐标原点,则重心和外心的坐标分别为:
,。
4、已知是所在平面上的一点,若,则是的外心。
5、点为三角形的重心的充要条件是对平面上的任意一点,。
6、为方向上与同向的单位向量。
7、设、是直线上两点,点是上不同于、的任意一点,且,则。
特别地,当时,(向量的中点公式)。
8、若、、三点不共线,已知,则、、三点共线的充要条件是。
9、若、不共线,且,则必有。
10、向量平移后与原向量相等,即向量平移后坐标是不变的。
11、若直线的方向向量为,则直线的斜率与该向量的关系为。
12、若、、分别为、、的中点,则。
13、若向量、、满足条件,且,则为正三角形。
14、若为的重心,且,则为正三角形。
15、三角形中一些特殊直线的向量表示:
(1)是的中线;
(2)是的高线;
(3)是的内角平分线;
(4)是的外角平分线。
16、两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件,因为要排除夹角为0的情形;
两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件,因为要排除夹角为的情形。
17、设是与的夹角,则称作为在方向上的投影。
。夹角
18、在平行四边形中,若则平行四边形是菱形;
在平行四边形中,若,则平行四边形是矩形;
在平行四边形中,(变形即中线定理)。

文章来源：http://m.jab88.com/j/45274.html

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